福建省厦门市双十中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份福建省厦门市双十中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．若二次根式有意义，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
2．下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A.B.C.D.
3．下列计算中正确的是( )
A.B.C.D.
4．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是( )
A.1B.C.D.
5．在平行四边形中，，则等于( )
A.B.C.D.
6．下列条件中，能判定四边形是矩形的是( )
A.对角线互相平分B.对角线互相平分且垂直
C.对角线互相平分且相等D.对角线互相垂直且相等
7．如图，△ABC中，已知AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为( )
A.4B.3C.2D.2
8．已知中，a、b、c分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是( )
A.B.
C.D.
9．如图，四边形是平行四边形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F；分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；连结并延长，交于点E.连结，若，则的长为( )
A.5B.8C.12D.10
10．如图，，点在上，是边长为10的等边三角形，过点作与垂直的射线，，过射线上一动点（不与重合）作矩形，记矩形的对角线交点为，连接，则线段的最小值为( )
A.B.20C.D.40
二、填空题
11．化简______.
12．一个三角形的三边长分别为 5，12，13，则这个三角形最长边上的中线为______.
13．平行四边形中，、长分别为12和26，边与之间的距离为8，则与间的距离为______.
14．已知矩形的对角线长为，两条邻边的比为，则该矩形的较短的一边长为______.
15．如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动，如果点同时出发，设运动时间为，当______时，以为顶点的四边形是平行四边形.
16．如图，在菱形中，，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为______.
三、解答题
17．计算：
18．已知：▱ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF.求证：AE＝CF.
19．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km.若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间.
20．（1）如图1，在中，点在上，平分，，求.
（2）如图2，在中，点是的中点，请过点作的平行线交于点. （仅用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法）.
21．如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的长.
22．（1）用“”、“”、“”填空.
______；______；______.
（2）由（1）中各式猜想与的大小，并说明理由.
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某同学在做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？
23．我们规定用表示一对数对，给出如下定义：记，（，），将与称为数对的一对“对称数对”.
例如：的一对“对称数对”为与.
(1)求数对的一对“对称数对”；
(2)若数对的一对“对称数对”的两个数对相同，求的值；
(3)若数对的一对“对称数对”的一个数对是，求的值.
24．本学期我们接触到了几何学上的明珠——勾股定理. 千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有国家总统，下面试举三例，一起领略其魅力.
(1)【验证】图1是由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用两种不同的方法表示这个图形的面积，通过计算证明勾股定理；
(2)【应用】如图2，和都是等边三角形，点在内部，连接、、.若，，，求的长；
(3)【提升】如图，在一般三角形中，，，，是边的中线. 在一般三角形中，如何用、、表示.
25．如图，在中，
(1)若是菱形，，试求出的度数；
(2)如图2，若，点在边的延长线上，连接.，若是的中点，连接，求证：；
(3)如图3，，点是上动点，连结.过点作交线段于点.过点作于，交的高于点.若，请你写出线段之间的数量关系，并证明你的结论.
参考答案
1．答案：A
解析：∵二次根式有意义，
∴，
解得：.
故选A.
2．答案：D
解析：A.，不是最简二次根式，故该选项不符合题意，
B. ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意，
C.，被开方数中含分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意，
D.，是最简二次根式，故该选项符合题意，
故选：D.
3．答案：D
解析：A.，故不符合题意；
B.，故不符合题意；
C.，故不符合题意；
D.，故符合题意；
故选：D.
4．答案：B
解析：点到原点的距离是.
故选：B.
5．答案：D
解析：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选；D.
6．答案：C
解析：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项不能判定四边形是矩形；
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故B选项不能判定四边形是矩形；
C、对角线相互平分且相等的四边形是矩形，故C选项能判定四边形是矩形；
D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故D选项不能判定四边形是矩形；
故选：C.
7．答案：D
解析：∵∠C=90°，∠A=30°，
∴BC=AB=4，
又∵DE是中位线，
∴DE=BC=2.
故选：D.
8．答案：C
解析：A、，则，则是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，可得，则是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，则，，
∴，
∴，
∴则不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、，设，则，，则，即，
根据勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：C.
9．答案：D
解析：如图，连接，设交于点O.
由作图可知：平分，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴
∴
在中，.
故选：D.
10．答案：A
解析：如图，连接，
四边形是矩形，对角线，的交点为，
，
是等边三角形，
，，
，且平分，
点在的垂直平分线上，
平分， ，
当时，的值最小，
此时，
，，
，
故选：A.
11．答案：
解析：
故答案为：
12．答案：
解析：∵，
∴该三角形是直角三角形，
∴这个三角形最长边上的中线为×13＝.
故答案为：.
13．答案：/
解析：如图，过点作于点、于，则，
由平行四边形的面积公式=底×高，可得，
解得
故答案为.
14．答案：
解析：矩形的对角线长为，两条邻边的比为，
设两条邻边分别为、，
由勾股定理得：，
解得：，
，
故答案为：.
15．答案：或
解析：当点在的左侧时，根据题意得：，，
则，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
即，
解得；
当点在的右侧时，根据题意得：，，
则，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
即，
解得；
综上可得，当或时，以为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：或.
16．答案：
解析：如图，的下方作，截取，使得，连接，.
四边形是菱形，，
，，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：.
17．答案：
解析：
.
18．答案：证明见解析
解析：证明∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵∠BAE＝∠DCF，CD＝AB，∠ABD＝∠BDC，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF.
19．答案：
解析：由题意，得：AD＝60km，
Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002，
∴BD＝80km，
∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km），
∴，
∴75÷25＝3（h），
∴从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h.
20．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1），
，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
；
（2）如图，即为所求，
21．答案：(1)见解析
(2)
解析：（1）证明：是的垂直平分线，
，.
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
.
又，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
（2）∵四边形是菱形，
∴.
∵，
在中，，
∴，
在中，.
22．答案：（1），，
（2），理由见解析
（3）120厘米
解析：（1），
.
.
同理得：；.
故答案为：，，；
猜想：.
理由是：，，
.
；
设，，
（3）∵对角线相互垂直，
∴.
.
，
.
.
∴用来做对角线的竹条至少要120厘米.
23．答案：(1)与
(2)
(3)或
解析：（1）由题意得：，，
的一对“对称数对”为与.
（2）由题意，，，
数对的一对“对称数对”的两个数对相同，
，
，
.
（3）由题意得：，3或3，，
，或，.
或.
24．答案：(1)见解析
(2)
(3)
解析：（1），，
，
，
；
（2）和都是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）过点作于点，
是边的中线，
，
设，则，，
由勾股定理得：，，
即，
得：，
，
，
，
，
即，
.
25．答案：(1)
(2)见解析
(3)，证明见解析
解析：（1）∵是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）证明：如图所示，延长交于点，连接
∵
∴
又∵是的中点，
∴，
又
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴
∵
∴
∵
∴
（3）连接
.
在和中
，
又，
，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
，
，
在和中，
又
在中，.

在和中
，
.
，
又，
.