山西省山西大学附属中学校2021-2022学年高二下学期期中数学试题及详细解答

这是一份山西省山西大学附属中学校2021-2022学年高二下学期期中数学试题及详细解答，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．若不等式的解集为，则的值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
4．已知p：（其中，），q：关于x的一元二次方程有一正一负两个根.若p是q的充分不必要条件，则m的最大值为（ ）
A．1B．0C．D．2
5．袋中有大小和形状都相同的3个白球和2个黑球，现从袋中不放回地依次抽取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次也取到白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为9B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为
8．在 的展开式中， 若 项的系数为 ， 则实数 的值为（ ）
A．B．C．D．
9．A，，，，五个人站成一排，A和分别站在的两边（可以与相邻，也可以与不相邻）的不同站法共有（ ）
A．12种B．16种C．28种D．40种
10．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．下列命题中不正确的为（ ）
①已知随机变量服从二项分布，若，，则；
②将一组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍后，则方差也随之扩大为2倍；
③设随机变量服从正态分布，若，则；
④某人在10次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大.
A．①②B．②C．②③④D．③④
12．近期全国多地又出现新冠疫情，形式严峻．某中学为落实疫情防控的要求，将对进出校门人员进行健康码检查，现准备安排甲乙等5名工作人员在学校的前门，后门和侧门这三处进行值班，每处至少要安排一人且所有人员都要安排到位，甲乙两人因特殊情况不能安排在一处，则不同的安排方案共有（ ）
A．90种B．96种C．114种D．150种
二、填空题
13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
14．设函数，则的单调递增区间为 ．
15．若实数满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是 .
16．已知函数，，若对，，使成立，则实数的取值范围为 .
三、解答题
17．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在处有极小值，求函数在区间上的最大值.
18．新式茶饮是指由上等茶叶，辅以不同的萃取方式提取的浓缩液为原料，并根据消费者偏好添加牛奶､芝士､水果等以及各种小料调制而成的饮料.新式茶饮是茶饮业的一大创新，近几年快速扩张，数据显示2021年中国新式茶饮市场规模将达到2800亿元，某数据传媒公司为了解新式茶饮消费者购买偏好及用户年龄，随机调查了4000名新式茶饮消费者.
(1)调查数据显示消费者喜好的前两名茶饮类别分别为奶茶类､水果类，从调查者中随机抽取10名消费者，经统计这10名消费者中喜欢奶茶类的消费者有6人，喜欢水果类的消费者有6人，既喜欢奶茶类又喜欢水果类的消费者有2人，现从这10人中任取3人，记这3人中喜欢奶茶类不喜欢水果类的消费者的人数为X，求X的分布列与期望；
(2)若参与调查的4000名新式茶饮消费者年龄，估计这4000名新式茶饮消费者年龄小于14岁的人数.
参考数据：
19．已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)若，证明：.
20．某地区出现了一种病毒性传染病疫情，该病毒是一种人传人，不易被人们直接发现，潜伏时间长，传染性极强的病毒.我们把与该病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者，一旦发现感染者，社区会立即对其进行流行病学调查，找到其密切接触者进行隔离观察.通过病毒指标检测，每位密切接触者为阳性的概率为，且每位密切接触者病毒指标是否为阳性相互独立.调查发现某位感染者共有10位密切接触者，将这10位密切接触者隔离之后立即进行病毒指标检测.检测方式既可以采用逐个检测，又可以采用“合1检测法”.“合1检测法”是将个样本混合在一起检测，混合样本中只要发现阳性，则该组中各个样本必须再逐个检测；若混合样本为阴性，则可认为该混合样本中每个人都是阴性.
(1)若逐个检测，发现恰有2个人样本检测结果为阳性的概率为，求的最大值点；
(2)若采用“ 5合1检测法”，总检测次数为，求随机变量的分布列及数学期望；
(3)若采用“10合1检测法”，总检测次数的数学期望为，以（1）中确定的作为的值，试比较与的大小(精确到0.1).
附：.
参考答案：
1．D
【分析】分别求出集合根据集合的交集运算可得答案.
【详解】，，
∴．
故选：D．
2．A
【分析】根据特称命题的否定形式为全称命题，可得答案.
【详解】命题“ ”为特称命题，
它的否定是全称命题形式：即，
故选：A
3．D
【分析】由不等式解集可确定的两根，利用韦达定理可构造方程求得结果.
【详解】由不等式解集可知：和是方程的两根，且，
，解得：，.
故选：D.
4．C
【分析】由一元二次方程根的分布可得求命题q的参数a范围，再由命题间的关系求m的最值即可.
【详解】因为有一正一负两个根，
所以，解得.
因为p是q的充分不必要条件，
所以，且，则m的最大值为.
故选：C
5．C
【分析】记第次取得白球为事件，直接根据条件概率计算公式即可得结果.
【详解】记第次取得白球为事件，
故选：C.
6．C
【分析】设，求出，再由求出.
【详解】设，因为
所以，
又，所以，
所以.
故选：C.
7．D
【分析】将各选项中求最值问题转化为二次函数或者基本不等式求最值问题即可，要注意各选项中等号成立时范围是否满足题意.
【详解】对于A，因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为9，故A错误；
对于B，，
当时（此时）取得最小值，故B错误；
对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，即的最大值为，故C错误；
对于D，，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为，故D正确.
故选：D.
8．B
【分析】代二项展开式的通项公式化简，根据题设条件列式即可求解
【详解】
依题意，则
当时，
所以
故选：B
9．D
【分析】按A和中间人数分三种情况研究，分别利用排列组合计算，再求和即得结果.
【详解】按A和中间人数分以下三种情况：
（1）A和中间1人，必是B，则A和排法，三人捆绑，与其他2人全排，故总共有种；
（2）A和中间2人，一人是B，B选位置，再选一人放中间，A和排法，最后一人放在最左或最右，2种，故共有种；
（3）A和中间3人，则A和排法，其他三人在中间全排，故故总共有种.
综上，不同站法有种.
故选：D.
10．B
【分析】整理可得在上有解，令，则只需即可，利用导数求得的单调性和最值，即可得答案.
【详解】∵在上有解，
∴在上有解，
令，，则即可．
又，
令，解得，
∴当时，，则为减函数，
当时，，则为增函数，
∴当时，取得最小值．
∴，则实数的取值范围是．
故选：B．
11．B
【分析】根据二项分布数学期望和方差的公式，结合数学方差的性质、正态分布的对称性、二项分布的概率公式逐一判断即可.
【详解】对于①：由题意，得，
解得，即选项①正确；
对于②：由，得：将一组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍后，则方差也随之扩大为4倍，即选项②错误；
对于③：由题意，得，，
，由正态曲线的对称性，得
，即选项③正确；
对于④：记，（这里），，当时，，即
时，递增，当时，，即时递减，故，即当时概率最大，④正确，
故选：B
12．C
【分析】由题意，分为三类,甲一个人去一处，三人选一人陪甲在一处，或者三人选两人陪甲在一处，据此计算.
【详解】第一类，甲单独在一处，其余人在剩下的两处；
第二类，从剩下三人中选一人与甲在一处，其余人在剩下的两处；
第三类，从剩下三人中选两人与甲在一处，其余人在剩下的两处；
总的安排方案数
故答案为：C.
13．
【分析】根据抽象函数的定义域求解规则求解即可.
【详解】函数的定义域为，即，所以，
所以，即，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14．
【分析】根据，则单调递增，求解的范围即为的单调递增区间．
【详解】，则
令，则
∴的单调递增区间为
故答案为：．
15．
【分析】结合题意，根据不等式求，代入求解．
【详解】，
，当且仅当时“”成立，
又不等式恒成立，
，
的取值范围是．
故答案为：．
16．
【分析】根据,,使成立,转化为两个函数值域的包含关系,进而根据关于的不等式组,解不等式组可得答案．
【详解】记函数在上的值域为集合，函数在上的值域为集合，由题意得，，.
当时，，，满足；
当时，在上单调递增，，∵，，解得，∴；
当时，在上单调递减，，∵，∴，解得，∴.综上，实数的取值范围为.
故答案为：
17．（1）；（2）.
【分析】(1）利用导数的几何意义求切线的斜率，再利用点斜式方程即可求出切线方程。
(2）根据极小值点求出的值，根据导数值的正负判断函数的单调性，即可求出最大值
【详解】（1）当时，， ，
所以，，
所以切线方程为，
整理得.
（2），
因为函数在处有极小值，
所以，
解得，
所以，
令，解得或，
当或时，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在区间，单调递增，
在上单调递减，所以
，因为，
所以的最大值为.
【点睛】本题主要考查导数的概念及其几何意义，导数在研究函数中的应用.
18．(1)分布列答案见解析，数学期望：
(2)人数为91
【分析】（1）根据的所有可能取值，求出对应的概率，即可得分布列，并结合期望公式，即可求解；
（2）根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系即可求解.
【详解】（1）10名消费者中喜欢奶茶类不喜欢水果类的4人，所以X的取值依次为0，1，2，3，
.
所以X的分布列为
（2），可得.
，
所以4000名新式茶饮消费者年龄小于14岁的人数为91.
19．(1)见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由导数并分类讨论的值，得出单调性；
（2）由单调性得出，利用导数证明，从而得出.
【详解】（1）
当时，，故函数在上单调递增
当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增
（2）由（1）可知，
令，
即函数在上单调递减，故
故，，故
即
20．(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式结合导数得出的最大值点；
（2）总检测次数为可能为，求出相应概率，列出分布列计算数学期望；
（3）先计算出与，再比较大小.
【详解】（1）有2个人样本检测结果为阳性的概率为
令，得，当时，；当时，
即函数在上为单调递增，在上单调递减，即的最大值点
（2）采用“5合1检测法”，总检测次数为可能为
随机变量的分布列为
数学期望为
（3）当时，
采用“10合1检测法”，总检测次数可能是
数学期望
【点睛】方法点睛：求离散型随机变量的分布列以及期望的步骤：
（1）理解随机变量的意义，写出的所有可能取值
（2）求取每个值的概率
（3）写出的分布列
（4）由均值的定义求
0
1
2
3