2021人教版·山西大学附属中学月考九年级下册数学试题

这是一份2021人教版·山西大学附属中学月考九年级下册数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 计算的结果等于（ ）
A. 4B. C. 3D. 5
2. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. a3+a3＝2a6B. a6÷a﹣3＝a3
C. a3•a2＝a6D. (﹣2a2)3＝﹣8a6
4. 如图所示的几何体是由七个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是 （ ）
A. B.
C D.
5. 如图所示，直线，，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
6. 在求解一元二次方程﹣2x2+4x+1＝0的两个根x1和x2时，某同学使用电脑软件绘制了如图所示的二次函数y＝﹣2x2+4x+1的图象，然后通过观察抛物线与x轴的交点，该同学得出﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3的结论，该同学采用的方法体现的数学思想是（ ）
A. 类比B. 演绎C. 数形结合D. 公理化
7. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 对于双曲线，当时，随的增大而增大，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
9. 2019年12月26日是中国伟大领袖毛泽东同志诞辰126周年纪念日．某校举行以“高楼万丈平地起，幸福不忘毛主席”为主题的演讲比赛，最终有15名同学进入决赛（他们决赛的成绩各不相同），比赛将评出一等奖1名，二等奖2名，三等奖4名．某参赛选手知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他需要知道这15名学生成绩的（ ）
A. 平均数B. 方差C. 众数D. 中位数
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，将Rt△ABC绕A点按逆时针方向旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. 1+D. 1
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 2020年5月21日，是联合国确定的首个“国际茶日”．茶是世界三大饮品之一，全球饮茶人口超过20亿，将数据20亿用科学记数法表示为_____．
12. 如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，以此规律，第6个图案中由______个基础图形组成，第n个需要______个基础图形组成(用含n的代数式表示).
13. 如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇同学利用以下步骤作图：
①以点A为圆心，适当长为半径作弧交射线AN于点C，交线段AB于点D；
②以点C为圆心，适当长为半径画弧；然后再以点D为圆心，同样长为半径画弧．前后两弧在∠NAB内交于点E；
③作射线AE，交PQ于点F；
若AF＝2，∠FAN＝30°，则线段BF的长为_____．
14. 如图，某工厂师傅要在一个面积为15m2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1m，则裁剪后剩下的阴影部分的面积为_____．
15. 两个等腰直角三角板如图放置，点F为BC的中点，AG=1，BG=3，则CH的长为__________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：（﹣2021）0+|1﹣|﹣2cs45°++（﹣）-2；
（2）先化简，再求值：（）÷﹣1，其中x=﹣3．
17. 在防疫新冠状病毒期间，市民对医用口罩的需求越来越大．某药店第一次用3000元购进医用口罩若干个，第二次又用3000元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一次进价的1.25倍，购进的数量比第一次少200个．求第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为多少个？
18. “垃圾分类”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就“垃圾分类”知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，条形统计图中的值为 ；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（3）若从对垃圾分类知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加垃圾分类知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
19. 如图，放置在水平桌面上台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°． 使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）
20. 阅读下列材料，完成相应的任务
任务：
（1）材料中划横线部分短缺的条件为： ；
（2）请用符号语言将下面“布拉美古塔定理”的逆命题补充完整，并证明该逆命题的正确性：
已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，
① ．
求证：② ．
证明：
21. 综合与实践：矩形的旋转
问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形旋转”为主题开展数学活动．具体要求：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD和FFGH叠放在一起，这时对角线AC和EG互相重合．固定矩形ABCD，将矩形FFGH绕AC的中点O逆时针方向旋转，直到点E与点B重合时停止，在此过程中开展探究活动．
操作发现：
（1）雄鹰小组初步发现：在旋转过程中，当边AB与EF交于点M，边CD与GH交于点N，如图2、图3所示，则线段AM与CN始终存在的数量关系是 ．
（2）雄鹰小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形QMRN时，如图3所示，四边形OMRN为菱形，请你证明这个结论．
实践探究：
（3）在图3中，随着矩形纸片EFGH的旋转，四边形QMRN的面积会发生变化，若矩形纸片的长为2+，宽为，请你帮助雄鹰小组探究当旋转角∠AOE为 度时，四边形QMRN的面积最大，最大面积是 ．
22. 如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与直线l交于A，B两点，点A是对称轴与x轴的交点．
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；
（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1-5. DCDDB 6-10. CBADB
11. 2×109 12. (1).19 (2) 13. 2
14. 2m2 15.
16. 【详解】（1）（﹣2021）0+|1﹣|﹣2cs45°++（﹣）-2
；
（2）（）÷﹣1
，
当时，
原式．
17. 解：设第一次购进医用口罩的数量为x个，
∴第二次购进医用口罩的数量为（x-200）个，
∴由题意可知：
，
解得：x=1000，
经检验，x=1000是原方程的解，
∴x-200=800，
答：第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为1000和800个．
18. 【详解】（1）
（2）“了解很少”所占总人数的百分比为
所以所对的圆心角的度数为
（3）
由表格可知，共有12种结果，其中1名男生和1名女生有8种可能，所以恰好抽到1名男生1名女生的概率为
19. 解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G．

∴四边形BFDG矩形，
∴BG=FD，
在Rt△BCF中，∠CBF=30°，
∴CF=BC·sin30°= 20× =10，
在Rt△ABG中，∠BAG=60°，
∴BG=AB·sin60°= 30× = 15，
∴CE=CF+FD+DE=10+15+2 =12+15≈37.98≈38.0（cm）
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm．
20. 解：（1）由题意：空格处为∠CBD=∠CAD．
（2）①FA=FD，②FE⊥BC．
理由：∵AF=FD，AC⊥BD，
∴∠AMD=90°，
∴AF=MF=FD，
∴∠FMD=∠ADM，
∵∠DAM+∠ADM=90°，
∴∠FMD+∠DAM=90°，
∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，
∴∠DBC+∠BME=90°，
∴∠MEB=90°，
∴FE⊥BC．
21. 解：（1）结论：AM=CN．
理由：如图2中，设AB交EG于K，CD交EG于J．
∵四边形ABCD是矩形，四边形EFGH是矩形，
∴AB∥CD，EF∥EG，OA=OC=OE=OG，
∴∠MEK=∠JGN，∠OAK=∠OCJ，
∵∠AOK=∠COJ，
∴△AOK≌△COJ（ASA），
∴OK=OJ，AK=CJ，∠AKO=∠CJO，
∴EK=JG，
∵∠EKM=∠AKO，∠GJN=∠CJO，
∴∠EKM=∠GJN，
∴△EKM≌△GJN（ASA），
∴KM=JN，
∴AM=AN；
（2）证明：过点Q作QK⊥EF，QL⊥CD，垂足分别点K，L．
由题可知：矩形ABCD≌矩形EFGH，
∴AD=EH，AB∥CD，EF∥HG，
∴四边形QMRN为平行四边形，
∵QK⊥EF，QL⊥CD，
∴QK=EH，QL=AD，∠QKM=∠QLN=90°，
∴QK=QL，
又∵AB∥CD，EF∥HG，
∴∠KMQ=∠MQN，∠MQN=∠LNQ，
∴∠KMQ=∠LNQ，
∴△QKM≌△QLN（AAS），
∴MQ=NQ，
∴四边形QMRN为菱形；
（3）如图3-2中，连接BD，在DC上取一点J，使得DJ=AD=，则AJ=2，
∵CD=2+，
∴CJ=AJ=2，
∴∠JCA=∠JAC，
∵∠AJD=45°=∠JCA+∠JAC，
∴∠ACJ=22.5°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=22.5°，
∴∠BOC=45°，
观察图象可知，当点F与点C重合或点G与点D重合时，四边形QMRN的面积最大，最大值=2，
∴∠AOE=45°或135°时，四边形QMRN面积最大为2．
22. 解：（1）∵，
∴函数的对称轴为：，
∴点A的坐标为（3，0）；
令x=0，则y=3，
∴点B的坐标为（0，3）；
设直线AB的解析式为，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为；
（2）连接PO，
BO=3，AO=3，
设P（n，t2+2t+3），
∴S△ABP=S△BOP+S△AOP-S△ABO，
∵S△BPO=，S△APO=n2+3n+，S△ABO=，
∴S△ABP=S△BOP+S△AOP-S△ABO=n2+n=（n）2+，
∴当x=时，S△ABP的最大值为；
（3）存在，设D点的坐标为（t，t2+2t+3），
过D作对称轴的垂线，垂足为G，
则DG=t-3，CG=6（t2+2t+3）=t22t+3，
∴∠ACD=30°，
∴2DG=DC，
在Rt△CGD中，
CG=DG，
∴（t3）=t2-2t+3，
∴t=3+3或t=3（舍）
∴D（3+3，3），
∴AG=3，GD=3，
连接AD，在Rt△ADG中，
∴AD=，
∴AD=AC=6，∠CAD=120°，
∴在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，
此时，∠CQD=∠CAD=60°，
设Q（0，m），AQ为圆A的半径，
AQ2=OA2+QO2=9+m2，
∴AQ2=AC2，
∴9+m2=36，
∴m=3或m=3，
综上所述：Q点坐标为（0，3）或（0，3）．
婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”．该定理的内容及部分证明过程如下：
古拉美古塔定理：已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，直线ME⊥BC，垂足为E，并且交直线AD于点F，则AF＝FD．
证明：∵AC⊥BD，ME⊥BC
∴∠CME+∠C＝90°，∠CBD+∠C＝90°
∴∠CBD＝∠CME
∴ ，∠CME＝∠AMF
∴∠CAD＝∠AMF
∴AF＝MF
…