广东省新南方联盟2024届高三下学期4月联考数学试题

这是一份广东省新南方联盟2024届高三下学期4月联考数学试题，共8页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁，已知，，，则a，b的大小关系是，抛物线等内容，欢迎下载使用。
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号和座位号填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡上对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在问卷、草稿纸上则答案无效．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．
一、单选题（共40分）：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的．
1．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知集合，则A的真子集数量是（ ）
A．8B．7C．32D．31
3．已知向量与能作为平面向量的一组基底，若与共线（），则k的值是（ ）
A．B．C．D．
4．8名同学以2人为一组分为学习小组完成学习任务，每个小组内成员地位等价，则所有可能的分组方案数量是（ ）
A．28B．2520C．105D．128
5．设函数，若将的图象向左平移单位长度后在上有且只有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．以下什么物体能被整体放进底面半径为，高为的圆柱中（ ）
A．底面半径为，母线长为的圆锥B．边长为1m的正二十面体
C．底面半径为0.01m，高为1.9m的圆柱D．底面积为，高为1.5m的直三棱柱
7．设数列的通项公式为，其前n项和为，则使的最小n是（ ）
A．5B．6C．7D．8
8．已知，，，则a，b的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（共18分）：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．已知a，，且，则下列不等式中成立的有（ ）
A．B．
C．D．
10．抛物线：焦点为F，且过点，斜率互为相反数的直线AC，AD分别交于另一点C和D，则下列说法正确的有（ ）
A．直线CD过定点
B．在C，D两点处的切线斜率和为－4
C．上存在无穷多个点到点F和直线的距离和为6
D．当C，D都在A点左侧时，面积的最大值为
11．已知函数，的定义域为，的导函数为，且，，若为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若存在使在上单调递增，在上单调递减，则的极小值点为
D．若为偶函数，则满足题意的唯一，满足题意的不唯一
三、填空题（共15分）：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，则的值是______．
13．已知在平面直角坐标系中，一双曲线的图象可以通过旋转和平移变换为（为关于x的函数）的图象，则双曲线的离心率的取值范围是______．
14．设函数的零点为，则当a的取值为时，的最大值为______．
四、解答题（共77分）：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）
数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前n项和．
16．（15分）
如图，四棱锥的底面是矩形，侧棱底面ABCD，E是PD的中点，，，．
（1）证明：平面ACE；
（2）求直线CP与平面ACE所成角的正弦值．
17．（15分）
某厂有3组生产用设备，由于设备使用时间过长，每组设备在一个月内均有的故障率．现该厂制定设备翻新计划，每个月月初有的概率在剩余未改造设备中随机抽取一组并在月底翻新，但月内若有设备发生故障，则无论本月有无翻新计划及是否抽到该设备，故障的设备都将立即翻新，且该月内不再因为故障翻新其它设备（但若发生故障的不是已经在送修计划内的设备，则计划翻新仍将正常进行），若再有设备发生故障则将会维修（但暂不翻新）后重新投入生产．
（1）求第一个月恰好翻新一组设备的概率；
（2）设第一个月结束后，已翻新的设备数量为随机变量X，求X的均值．
18．（17分）
设函数，．
（1）当时，比较和的大小关系；
（2）证明：的图象与的图象关于直线对称；
（3）在平面直角坐标系中，若以为圆心的圆交的图象于A，B两点，证明：．
19．（17分）
在平面直角坐标系中，若A，B两点在一曲线C上，曲线C在A，B均存在不垂直于x轴的切线，且两条切线的斜率的平均值等于直线AB的斜率，则称AB是曲线C的一条“切线相依割线”．
（1）证明：准线平行于x轴的抛物线上任意一条割线均为“切线相依割线”；
（2）试探究双曲线在第一象限内是否存在“切线相依割线”，若存在，请求出所有的“切线相依割线”，若不存在，请说明理由．
广东省新南方联盟2024届高三4月联考
数学参考答案
一、单选题
二、多选题
三、填空题
12．3 13． 14．（1）e （2）
四、解答题
15．（1） （2）前n项和．
解：（1），因此是以2为首项，1为公差的等差数列，
设的前n项和为，则，
又由，
得，，
当时，经检验也满足，∴．
（2）：．因此
．
16．（1）证明见解析 （2）正弦值为
证明：（1）连BD，与AC交于点O，连OE，
因为点O，E分别是BD，PD的中点，
所以OE是的中位线，，平面ACE，平面ACE，
所以平面ACE；
（2）以点A为原点，以，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
，，，
，，，
设平面ACE的法向量为，
则，平面ACE的法向量可以为，
设直线CP与平面ACE所成角为，
．
17．（1）概率为 （2）均值为
（1）由题，“翻新一组设备”包含“计划翻新一组且没有发生故障”，“没有计划翻新但出现故障”及“有计划翻新且出现了故障，但故障设备恰好为计划翻新的设备”三种事件．
设“翻新一组设备”为事件A，“计划翻新”为事件B，“出现故障”为事件C，“抽到故障设备”为事件D
则，，，
，
因此第一个月恰好翻新一组设备的概率为．
（2）X的可能取值为0，1，2，
当且仅当没有出现故障且没有计划改造，故，
由（1），，，
故．
18．（1）时 （2）（3）证明见解析
（1）设函数，则，
，符号为符号，
，，
故单调递增，，
故，单调递增，时，
故时．
（2）设的图象上一点，
则其关于对称的点坐标为，
而，故在的图象上，
故与的图象关于直线对称．
（3）不妨设，，其中，
作A关于x轴的对称点，再作关于的对称点，
由对称性，A，，都在圆M上．
设与圆M的交点为P，设x轴与圆M在M右侧的交点为Q，，
则，则，，
由对称，，且，
又，故，
又在图象上，B在图象上，故B在上方，因此．
19．（1）证明见解析（2）不存在
证明：（1）由准线平行于x轴，故抛物线图象开口向上，为二次函数，
设，，则AB斜率为，
，故A，B处均存在不垂直于x轴的切线，且两条切线的斜率的平均值为，等于直线AB的斜率，故AB为切线相依割线，由于AB可以任取，故准线平行于x轴的抛物线上任意一条割线均为“切线相依割线”．
（2）设，，其中，，，，则AB斜率为，
设双曲线在A点处切线方程为l：，则将其代入双曲线方程，消去y有，
令，得，故，
同理，双曲线在B点处切线斜率为，故其均值为，
由A，B在双曲线上，故，，两式相减得，故，
假设存在“切线相依割线”，则，即，
化简得，设AB：，
则，即，
当时，即，得，不合题意，
当时，与双曲线在第一象限内至多有一个焦点，不合题意，
故双曲线在第一象限内不存在“切线相依割线”．1
2
3
4
5
6
7
8
B
D
B
C
A
C
C
D
9
10
11
ABC
BCD
ABD