陕西省西安市鄠邑区2023-2024学年高三下学期三模理科数学试题

这是一份陕西省西安市鄠邑区2023-2024学年高三下学期三模理科数学试题，共11页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上，本试卷主要考试内容，已知，函数，，，则的最小值为，已知函数则在点处的切线方程为，方程的非负整数解的组数为等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．3D．
3．已知椭圆的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
4．若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知和是两个平面，a，b，c是三条不同的直线，且，，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知是等比数列的前n项和，，，则（ ）
A．12B．14C．16D．18
7．已知，函数，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知变量x与y具有线性相关关系，在研究变量x与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，…，，，，利用此样本数据求得的线性回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的线性回归方程为，且，则（ ）
A．8B．12C．16D．20
9．已知函数则在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
10．方程的非负整数解的组数为（ ）
A．40B．28C．22D．12
11．如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知，则（ ）
A．2290B．2540C．2650D．2870
12．已知定义在R上的函数满足．若的图象关于点对称，且，则（ ）
A．0B．50C．2509D．2499
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知向量，，，则______．
14．若x，y满足约束条件则目标函数的最大值为______．
15．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左支于A，B两点，，，则双曲线的离心率为______．
16．在长方体中，，，，平面平面，则截四面体所得截面面积的最大值为______．
三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求角A的大小；
（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
18．（12分）在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，，，，．
（1）证明：．
（2）若△PAD为等边三角形，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．
19．（12分）假设某同学每次投篮命中的概率均为．
（1）若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率．
（2）该同学参加投篮训练，训练计划如下：先投个球，若这n个球都投进，则训练结束，否则额外再投个．试问n为何值时，该同学投篮次数的期望值最大？
20．（12分）设抛物线的焦点为F，已知点F到圆上一点的距离的最大值为6．
（1）求抛物线C的方程．
（2）设O是坐标原点，点设抛物线，A，B是抛物线C上异于点P的两点，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点（异于点O），且O是线段MN的中点，试判断直线AB是否经过定点．若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
21．（12分）已知函数，．
（1）是否存在实数m，使得和在上的单调区间相同？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
（2）已知，是的零点，，是的零点．
（i）证明：．
（ii）证明：．
（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l和曲线C恰有一个公共点，求．
23．［选修4—5：不等式选讲］（10分）
已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）对于任意的，都有，求a的取值范围．
2024年普通高等学校招生全国统一考试
数学模拟测试参考答案（理科）
1．C 依题意得，则．
2．B 因为，所以的虚部为．
3．D 由题可知，则，所以．
4．C 圆，即圆，
则，解得．过点有两条切线，
则点P在圆外，即，解得．故．
5．A 当时，，所以，又，所以成立，
当时，若a与c相交，则b与c异面，所以“”是“”的充分不必要条件．
6．B 设等比数列的公比为q，则，
则，所以．
7．B 由题可知直线是图象的一条对称轴，则，
解得，，因为，所以的最小值为．
8．C 设没剔除两对数据前的x，y的平均数分别为，，
剔除两对数据后的x，y的平均数分别为，．
因为，所以，则．
因为两对数据为和，所以，
所以，所以，解得．
9．B 当时，，
当时，，则，
所以，．
则所求的切线方程为，即．
10．A 因为，所以2160的因数有，
故方程的非负整数解的组数为40．
11．D 在第堆中，从第2层起，第n层的球的个数比第层的球的个数多n，
记第n层球的个数为，则，
得，
其中也适合上式，则．
在第n堆中，
，
当时，，解得．
12．D 因为的图象关于点对称，
所以，即，
从而，则的图象关于点对称．
由，可得．
令，则，
则的图象关于直线对称．
，则的图象关于点对称，
故是以4为周期的函数，即．
因为，，，
，
所以
．
13． ，解得．
14．9 画出可行域（图略）知，当过点时，z取得最大值，且最大值为9．
15． 由题可设，，
由余弦定理可得，
解得，因为，所以，即．
在中，，，，
所以，解得，
则所求双曲线的离心率为．
16．10 平面截四面体的截面如图所示．
设，则，所以四边形NSRM为平行四边形，
且，．
在矩形UVWT中，，，，，
，，
则
，当且仅当时，等号成立．
17．解：（1），
，
所以，所以，则．
（2）因为△ABC的面积为，所以，解得．
由余弦定理可得，
因为，所以，
解得，．所以△ABC的周长为．
18．（1）证明：因为，，所以，，
由余弦定理可得，所以，则．
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面平面，且，
所以BD⊥平面PAD．因为平面PAD，所以．
（2）解：分别，的方向为x轴，y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面PBD的法向量为，则即
令，得，则．
设直线PC与平面PBD所成的角为，
则，所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为．
19．解：（1）设投中i次的概率为，
则．
（2）设该同学投篮的次数为X，则X的分布列为
．
令，则，
所以，当时，，
当时，，
，
故当时，该同学投篮次数的期望值最大．
20．解：（1）F点的坐标为，
点F到圆上一点的距离的最大值为，解得，
则抛物线C的方程为．
（2）直线AB经过定点，理由如下：
设直线AB的方程为，，,
联立方程组整理得，
则，，．
直线PA的方程为，令，
得，同理可得．
因为O是线段MN的中点，所以，
整理得，
即，
则，所以．
若，则直线AB经过点P，不符合题意．
若，则直线AB的方程为，经过定点．
21．（1）解：由题意得，，．
当时，，，
所以和都在上单调递增，符合题意．
当时，若和都在上的单调区间相同，
则和有相同的极值点，即．
令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，所以无解．
综上，当时，和在上的单调区间相同．
（2）证明：（i）由题意，有两个零点，．
若，则，所以在R上单调递增，不符合题意．
若，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且当时，，当时，，
所以，解得，得证．
（ii）令，，得，，
即，．令，，
则，．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
在同一坐标平面内作出函数与函数的图象，
它们有公共点，如图，
故，且有．
由，得，即，又，所以．
由，得，即，又，所以．
由，得，即．故．
22．解：（1）消去参数t，可得l的直角坐标方程为．
由可得C的直角坐标方程为，即．
（2）由（1）可知，C是以为圆心，为半径的圆．
因为l和C恰有一个公共点，所以，解得．
23．解：（1）因为，所以．
当时，原不等式转化为，解得；
当时，原不等式转化为，不等式无解；
当时，原不等式转化为，解得．
综上，原不等式的解集为．
（2）因为，所以等价于，
即，则整理得
则，故a的取值范围为．X
n
P