2024届高三数学二轮复习热点1-6三角函数的图象与性质（考点八大题型）讲义

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三角函数的图象与性质是高考的重点和热点内容，函数的图象变换以及三角函数的周期性、对称性、单调性之间逻辑关系则是重心。随着新高考改革的推进，更加注重对以周期性为核心的三大性质之间的逻辑关系的考查，要求考生能用几何直观和代数运算来研究三角函数。主要从以下两个方面进行考查：三角函数的图像，主要涉及图像变换问题及由图像确定解析式，主要以选择题、填空题的形式考查；2、利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以客观题或作为解答题其中一问考查；3、与三角函数有关的零点、绝对值以及的取值范围问题。
【考题归纳】
核心考点题型一 三角函数的图象辨析
【例1】．（贵州省遵义市2023届高三第三次统一考试数学（理）试题）函数在上的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2023·湖南湘潭·统考二模）函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． ．
【变式1-1】（2023秋·四川·成都七中高三阶段检测）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． ．
【变式1-2】（2023·四川泸州·高三月考试题）函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
核心考点题型二 三角函数图象变换
【例1】．（2024·山东青岛·高三期中）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个长度单位，得到函数的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
【例2】．（2022·山东潍坊·三模）已知函数向右平移个单位长度后得到．若对于任意的，总存在，使得，则的最小值为______．
【变式2-1】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知函数的图象向左平移个单位长度后与其导函数的图象重合，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【变式2-2】（2023·山东师范大学附中模拟）已知函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿x轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象，则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．函数是偶函数 B．的图象关于点对称
C．在上是增函数 D．当时，函数的值域是[1，2]
【变式2-3】．（2023·江苏扬州模拟）已知函数，将的图象上所有点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到图象，若在有个不同的解，则__________.
核心考点题型三 根据图象求三角函数解析式
【例1】（2024秋·山西运城高三月考试题）函数的部分图象如图，轴，当时，若不等式恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2】．（2024·广东·华南师大附中南海实验高中高三阶段）已知函数（，，）的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．的图像关于点对称 B．的图像关于直线对称
C．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
【变式3-1】（2024·福建龙岩·高三期中）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”，由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（单位；cm）和时间t（单位：s）的函数关系式为，若振幅是2，图像上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则和的值分别为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（2024秋·甘肃兰州一中高三校考试题）已知A，B，C，D，E是函数一个周期内的图像上的五个点，如图，A，B为y轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则的值为（ ）
A． B．， C．， D． ，
方法点拨：函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的确定
（1）A由最值确定，A＝最大值最小值；
（2）ω由周期确定；
（3）φ由图象上的特殊点确定．
提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先根据图象的升降分清零点的类型．
核心考点题型四 三角函数的性质
（1）三角函数的周期性
【例1】（2022·上海·模拟预测）函数的周期为___________；
【例2】（2022·广西桂林·模拟预测）函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】．（2023秋·湖南长沙高三阶段检测）设函数，则的最小正周期（ ）
A．与有关，且与有关B．与有关，但与无关
C．与无关，且与无关D．与无关，但与有关
（2）三角函数的奇偶性
【例1】．（2023秋·广东深圳高三阶段检测）使为奇函数，且在上是减函数的θ的一个值是（ ）
A．B．C．D．
【例2】（2023秋·河南南阳·高三统考期末）已知函数是偶函数,则______．
【变式4-2】（2023·广西·模拟预测（理））若将函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】（2023秋·陕西咸阳高三模拟预测）把函数的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，若为偶函数，则在上的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
（3）三角函数的对称性
【例1】（2022·江西南昌·高三阶段检测）已知函数的最小值为2，且的图象关于点对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【例2】．（2023秋·广东省广州高三期中考试）已知，若方程在的解为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-4】．（2023秋·福建福州高三期中考试）已知直线是函数图象的一条对称轴，则（ ）
A． B．的图象关于点对称
C．在上单调递减
D．将的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度后所得的图象关于轴对称
【变式4-5】．（2023秋·北京·高三开学考试）已知函数，满足，且对任意，都有，当取最小值时，则下列正确的是 ．
①图像的对称轴方程为
②在上的值域为
③将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
④在上单调递减．
（4）三角函数的单调性
【例1】．（2023秋·北京高三阶段检测）已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．在 内单调递增B．在 内单调递减
C．在 内单调递增D．在内单调递减
【例2】．（2023秋·四川成都高三阶段检测）已知，记（）．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．3B．C．D．
【变式4-6】．（2023秋·北京·高三开学考试）．（22·23下·南通·期中）已知，，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-7】．（2023年秋·陕西西安高三阶段检测）已知函数满足，且在上单调递减，将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
（5）三角函数的最值与范围
【例1】．（2023年秋·浙江杭州高三期中）已知函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式和单调递增区间.
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.
【例2】．（2023年秋·重庆渝中高三期中）函数的最大值为（ ）
A．2B．C．0D．
【变式4-8】．（2022·全国·高考真题）函数的最大值为________.
核心考点题型五 三角函数的综合性质
【例1】（2023年秋·贵州黔西高三阶段检测）已知函数的图象与轴的两个相邻交点的横坐标为，下面4个有关函数的结论：
①函数的图象关于原点对称；
②在区间上，的最大值为；
③是的一条对称轴；
④将的图象向左平移个单位，得到的图象，若为两个函数图象的交点，则面积的最小值为．
其中正确的有 ．
【例2】．（2023年秋·江苏淮安高三阶段检测）已知函数，则（ ）
A．是方程的两个不等实根，且最小值为，则
B．若在上有且仅有4个零点，则
C．若在上单调递增，则在上的零点最多有3个
D．若的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次为，若，则
【例3】（2023·江苏南通·高三期中）已知函数，的定义域均为R，它们的导函数分别为，．若是奇函数，，与图象的交点为，，…，，则（ ）
A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称
C．的图象关于直线对称D．
【变式5-1】（2023年秋·湖南长沙高三·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，则下列关于函数，下列说法正确的有（ ）

A．图象关于点对称 B．单调递减区间为，
C．当时，
D．有5个零点
【变式5-2】．（2023年.甘肃省高三第一次模拟预测）已知函数，则（ ）
A．为周期函数B．的图像关于点对称
C．有最大值D．在上单调递增
核心考点题型六 和三角函数有关的零点问题
【例1】（2023年秋四川雅安·一模）已知函数（且），设T为函数的最小正周期，，若在区间有且只有三个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例2】．（2023年秋·湖南长沙模拟预测）已知函数关于x的方程在上有四个不同的解，，，，且．若恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-1】．（2023·陕西·咸阳高三模拟试题）已知向量，函数
(1)求函数的单调增区间；
(2)若函数在区间上有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
【变式6-2】．（2023吉林·东北师大附中模拟预测）已知．
(1)求函数的值域；
(2)若方程在上的所有实根按从小到大的顺序分别记为，求的值．
【变式6-3】（2023秋·广西桂林·高三校考阶段检测）已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
核心考点题型七 绝对值与三角函数综合模型
关于和，如图，将图像中轴上方部分保留，轴下方部分沿着轴翻上去后得到，故是最小正周期为的函数，同理是最小正周期为的函数；是将图像中轴右边的部分留下，左边的删除，再将轴右边图像作对称至左边，故不是周期函数.我们可以这样来表示：
，
【例1】．（2023年秋·浙江杭州高三模拟）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．为最大值为3B．在上单调递增
C．为周期函数D．方程在上有三个实根
【例2】．（2023年秋·河北保定高三阶段检测）已知函数，下列四个选项正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是周期函数
C．在，上为增函数
D．的最大值为
【变式7-1】．（2023秋·河南开封高三阶段检测）已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．是的一个周期B．函数在单调递减
C．函数的值域为D．函数在内有6个零点
【变式7-2】（2022·四川雅安高三模拟试题）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为B．的最大值为
C．在上单调递减D．在上有4个零点
【变式7-3】．（2023·广东深圳高三专题检测）已知函数，则
①在上的最小值是1；②的最小正周期是；
③直线是图象的对称轴；
④直线与的图象恰有2个公共点.
其中说法正确的是________________.
核心考点题型八 的取值与范围问题
【规律方法】1、在区间内没有零点
同理，在区间内没有零点
2、在区间内有个零点
同理在区间内有个零点

3、在区间内有个零点

同理在区间内有个零点
4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．
5、已知单调区间，则.
【例1】．（2023年秋·四川成都高三模拟）已知函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例2】（2023·湖南长沙高三专题检测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2023.河北沧州·一模）已知函数，若函数在上只有三个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】（2023·四川成都高三专题检测）已知，函数在上存在最值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（2023·河南信阳·高三统考期末）已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-4】．（2023·云南昆明高三阶段检测）已知函数，若是图象的一个对称中心，在区间上有最大值点无最小值点，且，记满足条件的的取值集合为，则______.