2024届高三数学二轮复习素养提升点3-5立体几何中的轨迹问题讲义

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立体几何中的轨迹问题是高考的难点之一，主要利用平行、垂直、定角、定长等性质分析动点的轨迹，根据轨迹解决一些简单问题，有时可以借助空间直角坐标系来探求变量关系，然后用函数的性质求解。
【归纳题型】
核心考点题型一 动点平行轨迹问题
【例题1】．（2023秋.山东威海高三模拟）在棱长为1的正方体中，E在棱上且满足，点F是侧面上的动点，且面AEC，则动点F在侧面上的轨迹长度为 ．
【例题2】（2023·贵州铜仁第一中学校考开学考试）设正方体的棱长为1，点E是棱的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题：

①如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为；
②如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为；
③如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为；
④如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为．
其中正确的命题个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【例题3】（2023秋·广东梅州高三期末）（多选题）如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为正方形上的动点，则（ ）
A．满足MP//平面的点P的轨迹长度为 B．满足的点P的轨迹长度为
C．存在点P，使得平面AMP经过点B D．存在点P满足
【变式1-1】（2023·江苏扬州·高二统考期中）如图，正方体的棱长为2，点是线段的中点，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点轨迹在正方形内的长度为 .

【变式1-2】．（2023秋·湖南岳阳高三期末）如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．若侧面的中心为，为侧面内的一个动点，平面，且的轨迹长度为，则三棱柱的表面积为 ．

【变式1-3】．（2023秋·江西九江高三期末）（多选题）已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A．B．平面
C．与所成角的余弦值为D．动点P的轨迹长为
【变式1-4】．（2023·陕西汉中高三专题检测）在边长为2的正方体中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则动点M的轨迹所形成区域的面积是 ．
【变式1-5】（2023·四川大学附中三模）已知棱长为的正四面体，为的中点，动点满足，平面经过点，且平面平面，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为_________．
核心考点题型二 动点垂直轨迹问题
【例题1】（2023秋·宁夏银川二中校考检测）在棱长为4的正方体中，点P、Q分别是，的中点，点M为正方体表面上一动点，若MP与CQ垂直，则点M所构成的轨迹的周长为 .
【例题2】．（2023秋·陕西榆林二中校考检测）如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为 ，点S与P距离的最小值是 ．

【例题3】．（2023秋·甘肃天水高三检测）（多选）如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，点为的中点，点为底面上的动点，则（ ）
A．当时，存在唯一的点满足
B．当时，存在点满足
C．当时，满足的点的轨迹长度为
D．当时，满足的点轨迹长度为
【变式2-1】（2023·河北石家庄高三模拟预测）已知为正方体的内切球球面上的动点，为的中点，，若动点的轨迹长度为，则正方体的体积是 .
【变式2-2】（2023·河北保定高三检测）如图，正方体的棱长为，点是棱的中点，点是正方体表面上的动点．若，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹的长度为（ ）

A． B． C．D．
【变式2-3】（2023·湖北宜昌高三检测）直四棱柱的底面是边长为的正方形，，点为的中点，点为的中点，则点到底面的距离为__________若为底面内的动点，且，则动点的轨迹长度为__________．
【变式2-4】（2023秋·河南开封高三专题检测）如图，为圆柱下底面圆的直径，是下底面圆周上一点，已知，圆柱的高为5．若点在圆柱表面上运动，且满足，则点的轨迹所围成图形的面积为 ．
【变式2-5】（2023秋·山东青岛高三专题检测）（多选）如图，正方体的棱长为3，动点在侧面内运动（含边界），且，则（ ）
A．点的轨迹长度为B．点的轨迹长度为
C．的最小值为D．的最小值为
核心考点题型四 动点定长轨迹问题
【例题1】（2023秋·山西大同高三专题检测）在棱长为1的正方体中，点Q为侧面内一动点（含边界），若，则点Q的轨迹长度为 ．
【例题2】（2023秋·河南安阳模拟预测）在四边形ABCD中，，，P为空间中的动点，，E为PD的中点，则动点E的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【例题3】．（2023秋·云南大理高三专题检测）（多选）已知正方体的棱长为为空间中任一点，则下列结论中正确的是（ ）
A．若为线段上任一点，则与所成角的范围为
B．若在正方形内部，且，则点轨迹的长度为
C．若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为
D．若三棱锥的体积为恒成立，点的轨迹为椭圆或部分椭圆
【变式4-1】（2023秋·辽宁抚顺高三专题检测）．已知正方体的棱长为3，动点在内，满足，则点的轨迹长度为 .
【变式4-2】（2023·河北邯郸第一中学校考）已知正方体的棱长为1，点P在该正方体的表面上运动，且则点P的轨迹长度是 ．
【变式4-3】．（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）已知正方体的棱长为4，点P在该正方体的表面上运动，且，则点P的轨迹长度是 ．
【变式4-4】（2023秋·山东威海高三模拟）如图，已知棱长为2的正方体A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点，满足PM=PD，则点P的轨迹长度为 ．
核心考点题型五 动点定角轨迹问题
【例题1】．（2023秋·四川成都高三模拟）如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为45°，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【例题2】．（2023·山东临沂高三专题检测）如图所示，在平行四边形中，E为中点，，，.沿着将折起，使A到达点的位置，且平面平面.设P为内的动点，若，则P的轨迹的长度为 .
【例题3】．（2023·陕西榆林中学校联考）已知正方体的棱长为2，点为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点的轨迹所围成的周长为 ．
【变式5-1】．（2023·陕西榆林中学校联考）已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，N为底面正方形ABCD上一动点，且直线MN与底面ABCD所成的角为，则动点N的轨迹的长度为 ．
【变式5-2】．（2023·四川绵阳中学校联考）已知是半径为2的球面上的四点，且．二面角的大小为，则点形成的轨迹长度为 ．
【变式5-3】．（2023·湖北武汉高三联考）如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为4和6，侧棱长为2，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，则所有满足条件的动点P形成的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-4】．（2023秋·江西赣州高三联考）在棱长为6的正方体中，点是线段的中点，是正方形（包括边界）上运动，且满足，则点的轨迹周长为 .
【变式5-5】．（2023·云南昭通市第一中学模拟）（多选题）如图，若正方体的棱长为，点是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．沿正方体的表面从点到点的最短路程为
B．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为
C．三棱锥的体积最大值为
D．若点满足，则点的轨迹为线段
核心考点题型六 翻折过程求轨迹
【例题1】（2023秋·河北保定第一中学模拟）如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为 ．
【例题2】（2023秋·湖南长沙高三模拟）．在矩形ABCD中，，，点E在CD上，现将沿AE折起，使面面ABC，当E从D运动到C，求点D在面ABC上的射影K的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】．（2023秋·甘肃武威高三专题检测）矩形ABCD中，，E为AB中点，将△ADE沿DE折起至△A'DE，记二面角A'-DE-C=θ，当θ在范围内变化时，点A'的轨迹长度为
【变式6-2】．（2023·江苏连云港·高二校考）在矩形ABCD中，，，点E在CD上，现将沿AE折起，使面面ABC，当E从D运动到C，求点D在面ABC上的射影K的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
核心考点题型七 投影求轨迹
【例题1】．（2023·山东烟台三模）如图所示，二面角的平面角的大小为，是上的两个定点，且，满足与平面所成的角为，且点在平面上的射影在的内部（包括边界），则点的轨迹的长度等于_________．
【例题2】．（2023·云南师大附中高三模拟）1822年，比利时数学家Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得与小球相切．若，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】．（2023·四川成都一模）椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆．现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例题2】．（2023·湖北武汉市第一中学校高三模拟预测）参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点．他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率______．
【变式8-1】（2023·江西南昌·二模）通过研究发现：点光源P斜照射球，在底面上形成的投影是椭圆，且球与底面相切于椭圆的一个焦点（如图所示），如图是底面边长为2､高为3的正四棱柱，一实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，若点光源P位于的中点处时，则在平面上的投影形成的椭圆的离心率是___________．
【变式8-2】．（2023·吉林东北师大附中模拟预测）如图，已知水平地面上有一半径为4的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆O．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率__________．