2024届高三数学二轮复习重难点2-7数列的求和（九类考点题型）讲义

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高考对数列求和的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．数列的求和主要考查等差、等比数列的前项和公式及非等差、等比数列的求和方法，其综合性较强．数列求和问题以解答题的形式为主，偶尔出现在选择填空题当中，常结合函数、不等式综合考查．
【题型归类】
核心考点题型一 通项分析法
【例题1】．（2023·云南曲靖一中高三模拟）求和．
【例题2】．（2023·四川成都高三模拟）数列9，99，999，的前项和为
A．B．C．D．
【变式1-1】．（2023·陕西榆林高三模拟）数列的前n项和为 .
【变式1-2】．（2023·山西太原高三模拟）年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列，即该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用若此数列各项被除后的余数构成一新数列，则数列的前项的和为 .
核心考点题型二 公式法求数列前n项和
（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．
（3）一些常见的数列的前n项和：
①；
②；
③；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
【例1】（2023·广东珠海统考模拟预测）已知为等比数列，且，若.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【例题2】（2023·陕西榆林高三校联考模拟）设正项等比数列且的等差中项为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项为，数列满足，为数列的前项和，求.
【例题3】（2023·银川一中高三模拟）已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列 (1)求通项公式 (2)设，求数列的前项和
【变式2-1】（2023·山西·校考模拟预测）已知等差数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且，若，求的最小值.
【变式2-2】（2023·湖南长沙统考模拟预测）已知是数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．
【变式2-3】（2023·四川成都·统考一模）已知首项为的等比数列的前项和为，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的最大项.
核心考点题型三 倒序相加求和
【例题1】（2023秋·辽宁沈阳·高三统考）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（ ）
A．2023B．4046C．2022D．4044
【例题2】（2023·河北石家庄高三模拟）已知数列的前n项和为，且，设函数，则 ．
【例题3】（2023·江苏连云港中学校考模拟预测）已知数列的项数为，且，则的前n项和为 ．
【变式3-1】（2023·湖北·统考模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则__________.
【变式3-2】（2023秋·四川成都高三校考）已知函数，则______；设数列满足，则此数列的前2023项的和为______.
【变式3-3】（2023秋·河南新乡第一中学校考）已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为______.
【变式3-4】（2023·银川一中校考模拟）已知为正项等比数列，且，若函数，则（ ）
A．2023 B．2024 C． D．1012
【变式3-5】（2023·山东烟台高三专题检测）设函数，设，．
(1)计算的值．(2)求数列的通项公式．
【变式3-6】．（2023·云南曲靖一中高三检测）已知，则 .
核心考点题型四 裂项相消求和
（一）等差型
等差型是裂项相消法中最常见的类型，也是最容易掌握的。设等差数列的各项不为零，公差为，则，另外
常见的类型有：
（1）
特别注意
拓展：
（3）
分式的裂项：解答过程通过在分母上“减项”实现了通项的升幂，从而达到把通项裂项的目的。
（4）
如：
（5）
（6）
整式的裂项：解答过程可以通过“增项”实现了通项的升幂，从而达到将通项进行裂项的目的，具体可使用待定系数法求参数.
（7）
（8）
【例题1】（2023·四川南充统考一模）已知数列是首项为2的等比数列，公比，且是和的等差中项．
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，求的前2023项和．
【例题2】．（2023·四川绵阳校联考模拟预测）已知数列的各项均为正数，其前项和满足，数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
【变式4-1】．（2023·江西赣州高三校联考）已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和，并证明：.
【变式4-2】．（2023·湖北武汉外国语学校校考模拟预测）已知数列满足．
(1)证明为等差数列，并的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【变式4-3】．（2023·江西九江高三模拟）记为正项数列的前n项和．已知，当时，．
(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．
（二）指数型
由于，因此一般地有
常见的有：
（1）
（2）
（3）
差指综合类型
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9），设，易得，于是
（10）
【例题1】（2023·福建莆田第四中学校考）已知数列前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求证：.
【例题2】．（2023·河南郑州一中校考模拟预测）设数列的前n项和为，已知，，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，为数列的前n项和，求．
【变式4-4】．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）已知是数列的前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【变式4-5】．（2023·河北·校联考模拟预测）已知非零数列，点在函数的图像上，则数列的前2023项的和为（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-6】．（2023秋·江苏南通高三联考专题模拟）数列各项均为正数，数列的前n项和为，，
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和Tn.
【变式4-7】．（2023·云南昆明一中校考模拟预测）已知数列的前项和为，，，.
(1)求，及的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的最小值.
（三）幂型
常见的形式有：（1）（2）
（3）
【例题1】（2023·陕西榆林高三模拟预测）已知数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.
【例题2】．（2023·江西九江·统考三模）已知数列的前n项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和.
【变式4-8】．（2023·山东青岛校联考二模）已知数列中，
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若恒成立，试求实数的取值范围.
（四）无理型
该类型的特点是，分母为两个根式之和，这两个根式的平方差为常数，然后通过分母有理化来达到消项的目的，有时在证明不等式时，常常把分母放缩成两个根式之和，来达到消项化简的目的。常见的有
eq \f(1,\r(n＋k)＋\r(n))=
特别注意
（3）
（4）
（5）
【例题1】（2024·河南洛阳统考三模）已知等差数列的前项和为，，．(1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：当时，．
【例题2】．（2024·四川·统考模拟预测）已知等差数列的前项和为，，．(1)求的通项公式及；(2)设__________，求数列的前项和．
在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【变式4-9】（2024·甘肃统考模拟预测）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；(2)，是数列的前项和，求．
【变式4-10】．（2023·山西太原模拟预测）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【变式4-11】（2023·山东济南校联考模拟预测）在①；②；③，这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解答问题．
已知数列的前n项和．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若，设___________，求数列的前n项和．
（五）对数型
由对数的运算法则可知：若则
【例题1】．（2023·江苏无锡校联考模拟预测）已知数列的首项为2，且满足（且），．
(1)求的通项公式； (2)设，求的前n项和．
【变式4-12】．（2023·福建厦门高三模拟预测）设为公差不为0的等差数列的前项和，若成等比数列，.
(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.
（六）三角函数型
常见的形式有：（1）
（2）
（3）
（4），
则
【例题1】．（2023·陕西西安联考模拟预测）数列满足，，为的前n项和，若，则的范围为_______________．
【例题2】．（2023·辽宁沈阳高三模拟预测）已知数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和
【变式4-13】．（2023·广东珠海第一中学校考模拟预测）已知数列满足：对于任意有，且，若，，数列的前n项和为，则________．
【变式4-14】．（2023·浙江义乌统考二模）已知2n＋2个数排列构成以为公比的等比数列，其中第1个数为1，第2n＋2个数为8，设．
(1)证明：数列是等差数列；(2)设，求数列的前100项和．
【变式4-15】（2023·安徽合肥一中学校考期末）已知正项数列的前项和为，，且当时．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，数列的前项和为，试比较与的大小，并加以证明.
核心考点题型五 错位相减法求和
【例题1】（2023·湖北黄冈高三模拟预测）已知数列的首项为1，且.(1)求数列的通项公式；
(2)若为前项的和，求.
【例题2】（2023·河北保定高三期末）已知数列满足，且对任意都有.
（1）设，证明：是等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
【例题3】（2023秋·陕西榆林高三模拟）已知数列的前n项和为，在数列中，，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，求的最值．
【变式5-1】（2023·云南曲靖高三联考模拟）已知数列满足，，且数列是等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.
【变式5-2】（2023·广东深圳校考三模）已知数列和，，，.
(1)求证数列是等比数列；(2)求数列的前项和.
【变式5-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔三模）已知各项均不为零的数列满足，且，，设.
(1)证明：为等比数列；(2)求的前项和.
【变式5-4】．（2023·宁夏银川二中校联考模拟预测）已知数列的前项和为，，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，的前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
核心考点题型六 分组求和
【例题1】．（2023秋·安徽合肥一中校考期末）已知数列和满足：，，，，其中．
(1)求证：；(2)求数列的前项和．
【例题2】（2023·江苏无锡·高三校联考）已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【例题3】．（2023·四川成都高三专题模拟）设是公差不为零的等差数列，已知，为，的等比中项．
(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和；
(3)若求数列的前2n项和
【变式6-1】（2023·重庆巴南·统考一模）已知数列的首项，且满足.
(1)求证：是等比数列；(2)求数列的前项和.
【变式6-2】（2023·山西大同统考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和．
【变式6-3】．（2023秋·山西吕梁·高三统考期末）已知正项等差数列，，且，，成等比数列，数列的前n项和为，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求证：．
核心考点题型七 并项求和
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
【例题1】（2023·湖南长沙统考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列，求数列的前项和．
.
【例题2】．（2023·云南曲靖高三模拟预测）已知的前项和为，，，则 .
【例题3】．（2023·河北沧州校考模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.
【变式7-1】（2023·贵州贵阳高三统考）记为等差数列的前n项和，已知，.
（1）求的通项公式；（2）记，求数列的前23项的和.
【变式7-2】（2023·湖南邵阳·高三校联考）已知数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【变式7-3】．（2023·天津塘沽高三模拟预测）已知数列为等差数列，为其前n项和，若．(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前18项和．
【变式7-4】（2023·山东烟台高三模拟）已知数列满足，，且．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，求数列的前n项的和．
【变式7-5】．（2023·陕西榆林·统考二模）已知数列的前项和为，，，数列满足，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
核心考点题型八 含绝对值数列求和
【例题1】．（2023·甘肃天水校联考二模）记为等差数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；(2)求的值．
【例2】（2022秋·江苏徐州高三联考）已知数列的前项和为，满足．
（1）求数列的通项公式及；
（2）若数列满足，求数列的前10项的和．
【变式8-1】（2023·云南曲靖一中模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前项和为，设，求的最小值.
【变式8-2】（2023·四川成都高三模拟预测）在数列中，，．
（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．
【变式8-3】（2023春·安徽阜阳二中校考）在数列，中，，对任意，，等差数列及正整数满足，，且.
（1）求数列，的通项公式；
（2）令，求前项和.
核心考点题型九 放缩法求和
【例题1】．（2023·陕西宝鸡一模）已知数列是等差数列，其前n项和为，，；数列的前n项和为，.
(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前n项和；
(3)求证：.
【例题2】．（2023·宁夏银川第一中学二模）已知为等差数列，前n项和为是首项为2的等比数列，且公比大于0，．
(1)和的通项公式；(2)求数列的前8项和；(3)证明：．
【变式9-1】．（2023·浙江·效实中学模拟预测）设各项均为正数的数列的前项和为，满足.
(1)求的值：(2)求数列的通项公式：(3)证明：对一切正整数，有.
【变式9-2】．（2023·云南昆明一模）已知数列的前n项和为，.
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；
(2)设，证明：.