决胜高考2024年北京市高考数学精选题练习（一）含答案

这是一份决胜高考2024年北京市高考数学精选题练习（一）含答案，共29页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，在等差数列中，，则，若，则，在中，，的平分线交BC于点D，刘老师沿着某公园的环形道等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，其中i是虚数单位，则（ ）
A．B．1C．D．3
3．在等差数列中，，则（ ）
A．9B．11C．13D．15
4．已知抛物线的焦点为F，点在该抛物线上，且P的横坐标为4，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．若，则（ ）
A．B．1C．15D．16
6．已知直线与圆交于A，B两点，且为等边三角形，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
7．在中，，的平分线交BC于点D．若，则（ ）
A．B．C．2D．3
8．已知二次函数，对任意的，有，则的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知等比数列的公比为q且，记、则“且”是“为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
10．刘老师沿着某公园的环形道（周长大于）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
二、填空题
11．在复平面内复数对应点的坐标为，则 .
12．能够说明“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为 .
13．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为 .
14．在中，，则 ；的值为 .
15．设函数给出下列四个结论：①函数的值域是；②，方程恰有3个实数根；③，使得；④若实数，且.则的最大值为.其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题
16．如图，四棱锥中，底面是梯形，，面，是等腰三角形，，，是的中点.
(1)求证：；
(2)设与所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角为，从以下所给的三个条件中选出其中一个作为已知条件，求四棱锥的体积.
① ； ② ； ③ ．
17．在中，，.
(1)当时，求和；
(2)求面积的最大值.
18．某服装销售公司进行关于消费档次的调查，根据每人月均服装消费额将消费档次分为0-500元；500-1000元；1000-1500元；1500-2000元四个档次，针对两类人群各抽取100人的样本进行统计分析，各档次人数统计结果如下表所示：
月均服装消费额不超过1000元的人群视为中低消费人群，超过1000元的视为中高收入人群.
（Ⅰ）从类样本中任选一人，求此人属于中低消费人群的概率；
（Ⅱ）从两类人群中各任选一人，分别记为甲、乙，估计甲的消费档次不低于乙的消费档次的概率；
（Ⅲ）以各消费档次的区间中点对应的数值为该档次的人均消费额，估计两类人群哪类月均服装消费额的方差较大（直接写出结果，不必说明理由）.
19．已知椭圆经过点，离心率为，与轴交于两点，，过点的直线与交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为原点，当点异于点时，求证：为定值.
20．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：有且只有一个极值点；
(3)求证：方程无解．
21．已知为正整数，集合具有性质：“对于集合中的任意元素，，且，其中”. 集合中的元素个数记为．
(1)当时，求；
(2)当时，求的所有可能的取值；
(3)给定正整数，求．
题号
一
二
三
总分
得分
0～500元
500～1000元
1000～1500元
1500～2000元
A类
20
50
20
10
B类
50
30
10
10
参考答案：
1．A
【分析】求交集可得答案.
【详解】因为集合，所以.
故选：A.
2．B
【分析】利用复数乘法及相等求，即可得结果.
【详解】由题设，故，
所以.
故选：B
3．C
【分析】根据等差数列的通项公式进行求解即可.
【详解】由题意知，解得，所以，所以.
故选：C.
4．D
【分析】直接根据抛物线焦半径公式计算得到答案.
【详解】抛物线的准线方程为，
因为点在抛物线上，P的横坐标为4，抛物线的焦点为F，
所以等于点到直线的距离，
所以，
故选：D.
5．C
【分析】利用赋值法结合条件即得.
【详解】因为，
令得，，
令得，，
所以，．
故选：C.
6．D
【分析】根据圆的方程求出圆心坐标以及半径，由等边三角形的性质可得到圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式列出方程求出的值即可.
【详解】圆的圆心为，半径，
若直线与圆交于A，B两点，且为等边三角形，
则圆心到直线的距离，
又由点到直线的距离公式可得，解得，
故选：D.
7．B
【分析】设，由角平分线定理求得，然后由向量的线性运算可用表示出，从而求得，得出结论．
【详解】设，因为，所以，
又是的平分线，所以，，
，
又，所以，
所以．
故选：B．
8．A
【分析】令中，则，排除C，D；又由可得任意的恒成立，则，，排除B，即可得出答案.
【详解】因为对任意的，有，令，则，
所以，排除C，D；即，
设二次函数，
所以，，
由可得，则，
所以任意的恒成立，则，，故排除B.
故选：A.
9．B
【分析】由等比数列及已知，要为递增数列只需在上恒成立，讨论、、，结合的符号，再根据充分必要性的定义即可得答案.
【详解】由题设且n ≥ 2，要为递增数列，只需在上恒成立，
当，不论取何值，总存在，不满足要求；
当，
，则，不满足要求；
，总存在，不满足要求；
当，
，则，不满足；
，若，，显然，即，不满足；
，则在上恒成立，满足.
所以为递增数列有且.
综上，“且”是“为递增数列”的必要不充分条件.
故选：B
10．B
【分析】利用环形道的周长与里程数的关系建立不等关系求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程，即可求解.
【详解】设公园的环形道的周长为，刘老师总共跑的圈数为，（），
则由题意，所以，
所以，因为，所以，又，所以，
即刘老师总共跑的圈数为8.
故选：B
11．/
【分析】根据复数的几何意义表示复数，然后利用复数乘法运算法则计算.
【详解】因为复数在复平面内对应点的坐标为，
所以，所以.
故答案为：
12．（答案不唯一）
【分析】根据不等式的性质，讨论的正负和三种情况，得出结论．
【详解】若，当时，；
当时，；
当时，；
“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为，
故答案为：（答案不唯一）
13．2
【分析】由题意求出双曲线的渐近线方程，则，由代入即可得出答案.
【详解】双曲线的渐近线方程为,
所以，所以双曲线C的离心率为.
故答案为：2.
14． /
【分析】化简得到，再根据正弦定理得到，得到，计算得到答案.
【详解】，，故，，；
，则，即，，
，则，，.
故答案为：；
15．②③④
【分析】画出函数图象，结合图象对四个结论依次分析，即可求解结论.
【详解】因为函数，其图象如下图所示：
对于①，由图可知，函数的值域不是，故①不正确；
对于②，由图可知，，方程恰有3个实数根，故②正确；
对于③，当时，使得有成立，即与有交点，这显然成立，故③正确；
对于④，不妨设互不相等的实数满足，当满足时，
由图可知，即，
，即，
所以，由图可知，，
而在上单调递减，所以，
所以，
则的最大值为，故④正确.
故答案为：②③④.
16．(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）根据线面垂直可得线线垂直，进而由线线垂直即可求证，
（2）根据空间中的垂直关系可利用几何法求解线面角，进而利用角度求解长度，由体积公式即可求解，或者建立空间直角坐标系，利用空间角的向量求解即可解出长度，进而可求体积.
【详解】（1）因为是的中点,所以,
因为平面，平面，所以.
因为，平面,
所以平面.因为平面,所以.
（2）选①；
法一：设是的中点，连接，
因为，所以.
所以就是与所成的角，.
设， 则，，.
因为，所以.
解得.
所以.
法二：设，设的中点为，连，
则，两两垂直.
分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,
则.
所以 .
所以，解得.
所以.
选② ；
法一：连接.
因为平面，所以是在平面内的投影.
所以 就是与平面所成的角， ，且，
因为，所以.
因为， 所以，.
所以，故.
所以 .
法二: 设的中点为，连，
则，两两垂直，分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图.
设平面的法向量为.设
所以.所以.
解得.
所以.
选③ .
因为，面，所以平面，
所以.
所以就是二面角的平面角，.
因为，所以.
所以.
所以.
17．(1)，
(2)27
【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理即可求解；
（2）由余弦定理可得，结合可得，进而根据面积公式即可求解.
【详解】（1）因为且，
所以.
由正弦定理得，即.
所以.
所以或.
因为，
，所以.
所以.
由，即，
解得.
（2）因为，
因为，
所以.
所以，当且仅当为时，等号成立.
所以.
所以面积的最大值为.
18．(1)0.7;(2)0.78;(3)B.
【详解】试题分析：
(Ⅰ)利用题意结合古典概型公式可得从类样本中任选一人，求此人属于中低消费人群的概率为0.7；
(Ⅱ)利用题意列出所有可能的时间，然后进行计算可得甲的消费档次不低于乙的消费档次的概率为0.78
(Ⅲ)利用题中数据的波动程度可得两类人群哪类月均服装消费额的方差较大是B.
试题解析：
（Ⅰ）设此人属于中低消费人群为事件，
则

（Ⅱ）设甲的消费档次不低于乙的消费档次为事件，
则

（Ⅲ）答：
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由椭圆过点及离心率，可得椭圆方程；
（2）法一：设直线方程，联立方程组确定点，联立直线，方程可得，从而确定；法二：设，分别表示直线，，进而表示点，即可确定，若直线过点，可得，当直线不过点时，要证，即证，化简即可得证；法三：设，分别表示直线，，进而表示点，即可确定，化简即可.
【详解】（1）由题意得，
又因为，解得，，
所以的方程为；
（2）
法一：
若的斜率不存在，则，
此时，，不符合题意，
若的斜率存在，则设的斜率为，则的方程为，
联立方程，得，
解得，，
所以，
所以，
，
则，
又，
，
联立，的方程，解得：，，
所以点坐标为，
直线，令，解得：，
所以，
所以为定值.
法二：
若在轴上，则，
此时，，不符合题意，
设， 则，且，，
，，，
，，
消去得，
，
解得，
，，
令，解得，
，
特别地，当过点时，，，此时，
要证恒成立，即恒成立，
只需证，
即证，
即证，
即，
上式显然成立，
所以.
法三：
若在轴上，则，
此时，，不符合题意，
设， 则，且，，
，，，
，，
消去得，
，
解得，
，，
令，解得，
所以为定值.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
20．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义可得切线斜率，进而可得切线方程；
（2）求导，根据导数的正负情况确定函数的极值点情况；
（3）构造函数，根据导数判断函数的单调性与最值情况，即可确定零点情况.
【详解】（1）由，得，
则，且
所以切线斜率为，
所以切线方程为，即；
（2）由的定义域为，
又，，
所以在上单调递减，
因为，，
所以，使，
且当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数有且只有一个极值点；
（3）设，
则，
当时，，，则，单调递减，
且，
由（2）可得在上单调递减，
时，，
时，，
在上单调递减，
又当时，，，，即，
当时，，
所以当时，，
即时，恒成立，
所以函数无零点，
即方程无解.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
21．(1)
(2)所有可能取值为
(3)
【分析】（1）由定义即可求解，
（2）先证明，且，然后利用“移位”，即可求解，
（3）根据数组中有多少个不满足，即可推理求解.
【详解】（1）时，集合中的元素为，，
所以．
（2）时，首先证明，且．
在中，令，得，从而有．
在中，令，得．
又， 故，从而有．
考虑，即，，
此时为最大值．
现交换与，使得，此时．
现将逐项前移，直至．在前移过程中，显然不变，这一过程称为1次“移位”．
依此类推，每次“移位”的值依次递减．经过有限次移位，一定可以调整为交替出现．
注意到为奇数，所以为最小值．
所以的所有可能取值为．
（3）由题设，在中，有个，个，显然，从中选个，其余为的种数共有种．
下面我们考虑这样的数组中有多少个不满足，记该数为．
如果不满足，则一定存在最小的正整数
，使得，且．
将统统改变符号， 这一对应为：
，
从而将变为个，个组成的有序数组．
因此，就是个，个组成的有序数组的个数，即．
所以.
【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.