决胜高考2024年北京市高考数学精选题练习（二）含答案

这是一份决胜高考2024年北京市高考数学精选题练习（二）含答案，共26页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，若直线与圆相切，则等于，若，则“”是“复数是纯虚数”的，设，，，则，，的大小关系是，数列中，，定义等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知集合，若，则的值为
A．B．C．D．
2．已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．若直线与圆相切，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．若，则“”是“复数是纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
6．为坐标原点，点，的坐标分别为，，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．ISO216是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了A，B系列的纸张尺寸．设型号为的纸张的面积分别是，它们组成一个公比为的等比数列，设型号为的纸张的面积分别是已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
8．将的图象向左平移个单位，所得图象与的图象关于轴对称，则（ ）
A．B．
C．D．
9．若外接圆的半径为1，圆心为，且,则等于
A．B．C．D．
10．数列中，，定义：使为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．不等式的解集为 ．
12．已知双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则它的离心率为 ．
13．已知函数．若在区间上单调递减，则的一个取值可以为 ．
14．设函数
①当时， ；
②若恰有2个零点，则a的取值范围是 ．
15．在中，，D是边AC的中点，E是边AB上的动点（不与A，B重合），过点E作AC的平行线交BC于点F，将沿EF折起，点B折起后的位置记为点P，得到四棱锥．
如图所示．给出下列四个结论：
①平面PEF；
②不可能为等腰三角形；
③存在点E，P，使得；
④当四棱锥的体积最大时，．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
16．已知函数的最小正周期为.
(1)求值；
(2)再从条件①.条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知.确定的解析式.设函数，求的单调增区间.条件①：是偶函数；条件②：图象过点；条件③：图象的一个对称中心为.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.
17．如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点.
(1)求证：平面PBD；
(2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；
(3)求D到平面APM的距离.
18．某社区组织了一次公益讲座.向社区居民普及垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民.让他们在讲座前和讲座后分别回答一份垃圾分类知识向卷.这10位社区居民的讲座前和讲座后答卷的正确率如下表：
(1)从公益讲座前的10份垃圾分类知识答卷中随机抽取一份.求这份答卷正确率低于的概率；
(2)从正确率不低于的垃圾分类知识答卷中随机抽取3份，记随机变量X为抽中讲座前答卷的个数.求随机变量X的分布列和数学期望；
(3)判断此次公益讲座的宣传效果.并说明你的理由.
19．已知椭圆过点，且离心率为
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l与椭圆E相切，过点作直线l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明：为定值.
20．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在处取得极值，求的单调区间；
(3)求证：当时，关于x的不等式在区间上无解.
21．如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.
(1)判断数列是否为“速增数列”？说明理由；
(2)若数列为“速增数列”.且任意项，，求正整数k的最大值；
(3)已知项数为（）的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于k，若，，证明：.
题号
一
二
三
总分
得分
1号
2号
3号
4号
5号
6号
7号
8号
9号
10号
讲座前
讲座后
参考答案：
1．A
【详解】分析：根据集合间的关系确定，进而可以求解．
详解：因为，
所以，
解得．
点睛：本题考查元素和集合间的关系、集合和集合间的关系等知识，意在考查学生的逻辑思维能力．
2．C
【分析】根据二项式展开式的特点，即可求解.
【详解】，所以，
故选：C
3．A
【分析】直线与圆相切，由圆心到直线距离等于半径，求的值.
【详解】圆化成标准方程为，则且圆心坐标为，半径为，
直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，
即：，解得.
故选：A
4．C
【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合复数中纯虚数的概念求解.
【详解】，
当时，复数，是纯虚数；
复数是纯虚数时，有，解得.
则“”是“复数是纯虚数”的充分必要条件.
故选：C
5．A
【分析】根据对数函数的单调性即可比较，由指数的性质即可求解.
【详解】，，所以，
，故，
故选：A
6．B
【分析】利用向量的夹角公式可得，进而确定.
【详解】由已知点，的坐标分别为，，
则，，
所以，
又，所以，
故选：B.
7．C
【分析】利用是等比数列以及，令求解即可.
【详解】，令，

又组成一个公比为的等比数列，
，
又，
.
故选：C.
8．B
【分析】首先求出与关于轴对称的解析式，然后一一分析选项即可.
【详解】与关于轴对称的三角函数为，
对A，平移后的解析式为，不合题意，舍去；
对B，平移后的解析式为，符合题意，
对C，平移后的解析式为，不合题意，舍去；
对D，平移后的解析式为，不合题意，舍去；
故选：B.
9．D
【详解】分析：利用向量的运算法则将已知等式化简得到，得到为直径，所以为直角三角形，求出三边的长求得的值，利用两个向量的数量积的定义即可求得的值．
详解：因为，所以，
所以，所以三点共线，且为直径，
如图所示，所以，
因为，所以，
则，故选D．
点睛：本题主要考查了向量在几何问题中的应用、数量积的计算，以及向量垂直的充要条件等知识的应用，其中求出为直角三角形即三边是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
10．D
【分析】利用换底公式与累乘法把化为，然后根据为整数，可得，最后由等比数列前项和公式求解．
【详解】解：，，
，
又为整数，
必须是2的次幂，即．
内所有的“幸运数”的和：
，
故选：D．
11．或
【分析】将分式不等式转化成整式不等式，再利用一元二次不等式解法即可求得结果.
【详解】根据分式不等式解法可知等价于，
由一元二次不等式解法可得或；
所以不等式的解集为或.
故答案为：或
12．2
【详解】由题意，得e＝＝＝＝2.
13．（不唯一）
【分析】根据正弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】由，
因为在区间上单调递减，且，
所以有，
因此的一个取值可以为，
故答案为：
14．
【分析】由分段函数解析式先求，再求的值，结合零点的定义分段求零点，由条件求a的取值范围.
【详解】当时，，
所以，
所以，
令，可得
当时，，
所以或，
当或时，方程在上有唯一解，
当或时，方程在上的解为或，
当时，，
所以当时，，
当时，方程在上无解，
综上，当时，函数有两个零点，
当时，函数有两个零点，
当时，函数有三个零点，
当时，函数有两个零点，
因为恰有2个零点，所以或，
所以a的取值范围是.
故答案为：；.
15．①③
【分析】根据线面平行的判断定理，判断①；证明,即可判断②；利用垂直关系转化，即可判断③；表示四棱锥的体积后，利用导数计算最值，即可判断④.
【详解】①因为，平面，平面，
所以平面，故①正确；
②因为是等腰直角三角形，所以也是等腰直角三角形，则，
因为，，所以，且
当时，,所以，
此时是等腰三角形，故②错误；
③因为，且，，
且平面，平面，所以平面，平面，
所以平面平面，且平面平面，
如图，过点作，连结，
则平面，平面，所以，
若，，平面，平面，
所以平面,平面，
所以,
如图，，延长，交于点，
则和都是等腰直角三角形，
则，点到直线的距离等于，
这样在翻折过程中，若要满足题意，则，
设，则，则，
则存在点E，P，使得，故③正确；
④当底面的面积一定时，平面平面平面时，即平面时，四棱锥的体积最大，
设，，
得（舍）或，
当，，函数单调递增，
当，，函数单调递减，
所以当时，函数取得最大值，此时，故④错误；
故答案为：①③
【点睛】思路点睛：本题考查几何体的线线，线面位置关系，以及动点问题，和导数相联系的最值问题，本题的关键是第三问，需在变化过程中找到位置关系，建立不等式，即可判断.
16．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据周期公式，即可求解；
（2）分别选择条件，根据三角函数的性质，求，再根据三角函数的单调性，代入公式，即可求解.
【详解】（1）由条件可知，，解得：；
（2）由（1）可知，，
若选择条件①：是偶函数，
所以，即，
所以，
，
令,
解得：,
所以函数的递增区间是，
若选择条件②：图象过点，，，
则，即，所以，
所以，
所以
令，
解得：，
所以的单调递增区间是.
如选择条件③：图象的一个对称中心为，
所以，，，，
所以，
所以
令，
解得：，
所以的单调递增区间是.
17．(1)证明过程见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（3）利用空间点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】（1）因为，M为BC的中点，
所以，
因为四棱锥的底面是矩形，
所以，
所以，所以，
而，即，
因为底面ABCD，底面ABCD，
所以，而平面PBD，
所以平面PBD；
（2）因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
因为因为四棱锥的底面是矩形，
所以，建立如下图所示的空间直角坐标系，
，
因为平面ABCD，
所以平面ABCD的法向量为，
设平面APM的法向量为，
，，
于是有，
平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为；
（3）由（2）可知平面APM的法向量为，，
所以D到平面APM的距离为
18．(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
(3)答案见解析
【分析】（1）共10份书卷，准确率低于有份，计算概率即可.
（2）的取值可能是，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
（3）讲座前的平均准确率为，讲座后的平均准确率为，提升明显，得到答案.
【详解】（1）共10份书卷，准确率低于有份，故概率为；
（2）正确率不低于的垃圾分类知识答卷中，讲座前有2份，讲座后有5份，
的取值可能是，
；；
.
故X的分布列为：
故数学期望为.
（3）此次公益讲座的宣传效果很好，
讲座前的平均准确率为：
；
讲座后的平均准确率为：
；
平均准确率明显提高，故此次公益讲座的宣传效果很好.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用椭圆过点，得到，再由椭圆的离心率为，求出的值，从而求到椭圆的标准方程；
（2）对直线的斜率为0、斜率不存在及斜率存在且不为0三种情况讨论，从而求出，得到结论.
【详解】（1）因为椭圆过点，所以，
又，，所以，得到，
所以椭圆的标准方程为.
（2）当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为，
联立直线和椭圆的方程得，消去并整理，得，
因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以方程有两个相等的根，
，
化简整理得
因为直线与垂直，所以直线的方程为，
联立得，解得， ，
所以
把代入上式得，，所以，为定值；
当直线斜率为0时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，
此时或，，为定值；
当直线斜率不存在时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，
此时或，，为定值；
综上所述，，为定值.
20．(1)
(2)的单调递增区间为和，单调递减区间为
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线斜率，即可求得切线方程；
（2）根据可求出，并对其进行检验即可求解；
（3）分和两种情况，求出函数在区间上的最大值即可作答.
【详解】（1）由可得，
当时，，，
在点处的切线方程为；
（2）因为在处取得极值，所以，解得，
检验如下：
令，解得或，
若或时，则；若，则.
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，
故在处取得极小值，满足题意，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（3）由（1）知，由时，得，因，
当时，当时，，即函数在上单调递减，则，
因此不等式不成立，即不等式在区间上无解；
当时，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，
于是得在上的最大值为或，而，，
，即，
因此不等式不成立，即不等式在区间上无解，
所以当时，关于的不等式在区间上无解.
21．(1)是，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）计算，，，得到答案.
（2）根据题意得到，，计算当时，，当时，，得到答案.
（3）证明，得到，得到，代入计算得到证明.
【详解】（1）因为，则，，
又，故，数列是“速增数列”.
（2），
当时，，
即，，
当时，，当时，，
故正整数k的最大值为.
（3），故，即；
，故，
即，
同理可得：，，，
故，
故，，得证.
【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据题意利用累加法的思想确定是解题的关键.