决胜高考2024年杭州市高考数学精选题练习（一）含答案

这是一份决胜高考2024年杭州市高考数学精选题练习（一）含答案，共31页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，已知数列为等比数列，且，则，已知函数的零点分别为，则，下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知（，为虚数单位），若是实数，则（ ）
A．B．
C．D．
2．设集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
3．若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知数列为等比数列，且，则（ ）
A．的最小值为50B．的最大值为50
C．的最小值为10D．的最大值为10
5．已知函数的零点分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
6．设为坐标原点，为椭圆的焦点，点在上，，则（ ）
A．B．0C．D．
7．已知二面角的大小为，球与直线相切，且平面、平面截球的两个截面圆的半径分别为、，则球半径的最大可能值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
二、多选题
9．如图，正四棱柱中，，、分别为的中点，则（ ）
A．
B．直线与直线所成的角为
C．直线与直线所成的角为
D．直线与平面所成的角为
10．下列说法正确的有（ ）
A．若事件与事件互斥，则
B．若，，，则
C．若随机变量服从正态分布，，则
D．这组数据的分位数为
11．设为抛物线：的焦点，过点的直线与抛物线交于两点，过作与轴平行的直线，和过点且与垂直的直线交于点，与轴交于点，则（ ）
A．为定值
B．当直线的斜率为时，的面积为其中为坐标原点
C．若为的准线上任意一点，则直线，，的斜率成等差数列
D．点到直线的距离为
12．已知函数的零点为，函数的零点为，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．在的展开式中，常数项为 ．
14．已知点，直线与圆：交于两点，若为等腰直角三角形，则直线的方程为 写出一条即可
15．已知椭圆：的左右焦点分别为，，若与椭圆无公共点的直线上存在一点，使得的最大值为，则椭圆离心率的取值范围是 ．
16．若点在函数的图象上，则的取值范围是 ．
四、解答题
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角C；
(2)若，的面积为，求c.
18．已知等比数列的前n项和，为常数.
(1)求的值与的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求.
19．如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为棱AB，的中点，，，.
(1)证明：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.
20．某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成一个小组.游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”.已知甲、乙两名队员投进篮球的概率分别为，.
(1)若，，求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率；
(2)若，则在游戏中，甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，理论上他们小组至少要进行多少轮游戏才行？并求此时，的值.
21．已知双曲线的离心率为，且点在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若点M，N在双曲线C上，且，直线不与y轴平行，证明：直线的斜率为定值.
22．已知函数，为其导函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若关于的方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围.
题号
一
二
三
四
总分
得分
参考答案：
1．A
【分析】根据复数乘法及复数的虚部为0计算即可.
【详解】因为是实数，
所以，
故选：A
2．B
【分析】化简集合，根据集合的交集、并集、补集求解.
【详解】因为，
所以，，
，
因为，所以，
故选：B
3．B
【分析】由题意先分别算出的值，然后将“与垂直”等价转换为，从而即可求解.
【详解】由题意有，
又因为与垂直，
所以，
整理得，解得.
故选：B.
4．C
【分析】写出的表达式，利用基本不等式即可得出结论.
【详解】由题意，
在等比数列中，，
设公比为，则，
∴，
当且仅当即时等号成立，
∴的最小值为10，
故选：C.
5．D
【分析】根据指数函数、对数函数的性质可判断小于1，大于1，再由数形结合判断即可.
【详解】令，可得，所以，即；
令，可得，即，所以，
即；
令，可得，由此可得，所以，
即，
作的图象，如图，

由图象可知，，所以.
故选：D
6．C
【分析】设，利用余弦定理可得，再由向量表示可知，即可得；联立即可求得.
【详解】如下图所示：

不妨设，根据椭圆定义可得，；
由余弦定理可知；
又因为，所以，又，
即可得，解得；
又，即；
所以可得；
故选：C
7．D
【分析】设点在平面、平面内的射影点分别为、，设球切于点，连接、、，分析可知，、、、四点共圆，利用二面角的定义可得或，利用余弦定理求出的长，分析可知，球半径的最大值即为外接圆的直径，结合正弦定理求解即可.
【详解】设点在平面、平面内的射影点分别为、，
设球切于点，连接、、，如下图所示：
因为平面，平面，则，
由球的几何性质可知，，
因为，、平面，则平面，
同理可知，平面，
因为过点作直线的垂面，有且只有一个，所以，平面、平面重合，
因为平面，平面，则，同理可知，，
所以，、、、四点共圆，
由已知条件可知，，，
因为平面，、平面，则，，
所以，二面角的平面角为或其补角.
①当时，
由余弦定理可得
，故，
易知，为外接圆的一条弦，
所以，球半径的最大值即为外接圆的直径，即为；
②当时，
由余弦定理可得
故，
易知，为外接圆的一条弦，
所以，球半径的最大值即为外接圆的直径，即为.
综上所述，球的半径的最大可能值为.
故选：D.
8．B
【分析】由题意有，通过分析得到，是满足题意的唯一解，注意检验.
【详解】由题意若不等式在上恒成立，
则必须满足，即，
由，两式相加得，
再由，两式相加得，
结合（4），（5）两式可知，代入不等式组得，
解得，
经检验，当，时，，
有，，满足在上恒成立，
综上所述：满足要求的有序数对为：，共一个.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解题的关键是首先得到，进一步由不等式的性质通过分析即可求解.
9．ACD
【分析】根据线面垂直的判定定理、线面角的定义，结合异面直线所成的角定义逐一判断即可.
【详解】对A选项，如图，取的中点，连接，，，
又，分别为的中点，
，且，
四边形为平行四边形，
，又易知，
，所以本选项正确；
对B选项，假设直线与直线所成的角为，即，
由正四棱柱的性质可知：平面，而平面，
所以，显然平面，
所以平面，而由正四棱柱的性质可知：平面，
所以，显然这是不可能的，所以假设不成立，因此本选项错误；
对C选项，在矩形中，因为，
所以，而，因此，
所以直线与直线所成的角为，本选项正确；
对D选项，由A选项分析可知，
直线与平面所成的角为，
又根据题意易知，本选项正确，
故选：ACD
10．BC
【分析】利用互斥事件的定义判断A，利用条件概率公式和独立事件的定义判断B，利用正态分布曲线的对称性判断C，利用百分位数的定义判断D.
【详解】选项A，若事件与事件互斥，则，故A错误；
选项B，若，，，
则，即事件与事件相互独立，
所以，故B正确；
选项C：若随机变量服从正态分布，，
则，
所以，故C正确；
选项D：将数据进行排序得，共个，
，所以这组数据的分位数为，故D错误；
故选：BC
11．ACD
【分析】A.设直线的方程为，代入抛物线方程化为，利用根与系数的关系可得，结合抛物线方程可得，进而判断出正误．B.当直线的斜率为时，直线的方程为，代入椭圆方程可得：，利用根与系数的关系及抛物线的定义可得，利用点到直线的距离公式可得点到直线的距离，可得的面积，进而判断出正误．C.设，利用斜率计算公式可得，，，计算，进而判断出正误．D.过点作，垂足为，利用相似的性质可得，，进而得出，即可判断出正误．
【详解】解：A.，设直线的方程为，
联立，化为，
，，
，，
为定值，因此A正确．
B.当直线的斜率为时，直线的方程为，
代入椭圆方程可得：，
，，
点到直线的距离，
的面积为，因此B不正确．
C.设，则，，，
，
通分后分子 ，
，，
即，则直线，，的斜率成等差数列，因此C正确．
D.如图所示，
过点作，垂足为，，，
又，，，因此D正确．
故选：ACD．
12．ABD
【分析】由题意可得，，令，可得，代入方程可得，变形为，根据函数的单调性及已知，，可得，，进而根据指数与对数的运算性质以及导数判断出结论的正误．
【详解】由题意可得，，
令，则，
代入方程可得，
变形为，
令，，
可知函数在上单调递减，
又，，
，即．
由，，即，因此A正确；
，因此B正确；
，因此C不正确；
令，则，
函数在上单调递增，，
，因此D正确．
故选：ABD
【点睛】利用导数可求得函数的最值（范围），步骤如下：先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导函数求得函数的单调区间，再根据单调性求得函数的最值（范围）.
13．41
【分析】将问题转化成的常数项及含的项，利用二项展开式的通项公式求出第项，令的指数为，求出常数项及含的项，进而相加可得答案．
【详解】先求的展开式中常数项以及含的项；

由得，由得；
即的展开式中常数项为，
含的项为
的展开式中常数项为
故答案为：
14．（或或）
【分析】分、和讨论即可得解.
【详解】由圆：，得圆心，半径，
，在圆上，
若，可得过圆心且，
又，，
直线的方程为，即；
若，可得过圆心且，
则,可得的直线的方程为，联立圆方程，
解得或，可得的坐标为或，
根据圆的对称性易知，
直线的方程为或，
即或；
若，由的等价性可知该情况与一致；
综上：直线方程为：或或．
故答案为：（或或）.
15．
【分析】不妨设，，，，直线倾斜角为，直线倾斜角为，由，结合基本不等式可得，由已知可得，进而可求椭圆离心率的取值范围．
【详解】不妨设，，，，
设直线倾斜角为，直线倾斜角为，
则，
，
若的最大值为，则有最小值，
又，当且仅当，即时取等号，
则，即，解得，
又椭圆与直线无公共点，则，所以，
所以椭圆离心率的取值范围是．
故答案为：．
16．
【分析】运用两点的距离公式和不等式的性质，以及构造函数并利用导数判断单调性，可得所求取值范围．
【详解】由，，
可得，
因为恒成立，
所以，即；
设，，
因为，所以，即在递减，
所以，
则，即，
则的取值范围是.
故答案为：
【点睛】利用导数可求得函数的最值，步骤如下：先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导函数求得函数的单调区间，再根据单调性求得函数的最值.
17．(1)；
(2).
【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式、特殊角的正切值进行求解即可；
（2）根据三角形面积公式和余弦定理进行求解即可.
【详解】（1）根据正弦定理由
因为，所以，所以由，
因为，所以
（2）因为，的面积为，
所以有，舍去，
即，
所以.
18．(1)；
(2)
【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用错位相减法求数列的前项和为即可．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
是等比数列，
，即，所以，
数列的通项公式为；
（2）解：由（1）得
，
，
则．
．
19．(1)证明见解析
(2)二面角的余弦值为
【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据直线与平面的位置关系计算直线方向向量和平面法向量，即可证明；
（2）根据三棱锥的体积可求得三棱柱的高为，利用空间向量求二面角的余弦值即可.
【详解】（1）证明：在三棱柱中，平面，，，.
所以，则，则，
则如下图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，设，
则，
所以，，设平面的法向量为，
所以，令，则，
所以，又平面，所以平面；
（2）解：三棱锥的体积，解得，则
由（1）知平面的法向量为，
设平面的法向量为，，
所以，令，则，
则，由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
20．(1)
(2)至少需要进行625轮游戏
【分析】(1)根据获得“神投小组”称号的分类求概率即可；
(2)利用二项分布概率的数学期望即可求解.
【详解】（1）他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率等于.
（2）由（1）可知他们在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率为
,
因为，所以,
且，
令则，，
因为对称轴，
所以当时概率最大为，
此时，
设他们在场比赛获得神投小组称号的次数为，每场获得神投小组称号的概率为，
则，所以，所以，
解得，
即至少需要进行625轮游戏.
21．(1)
(2)直线的斜率为定值
【分析】(1)根据离心率公式确定，再根据双曲线经过点即可求解；
(2)利用韦达定理用坐标表示出,进而可求解.
【详解】（1）由题可得离心率，所以，
又因为，所以，
所以双曲线方程为，
又因为双曲线过点，所以，解得，
所以双曲线方程为.
（2）设直线的方程为，
联立得，
则得，
，得，
，
，
因为，所以，
所以，
即，
所以，
所以即，
得或，
若，则直线的方程为，
即过点，不符合题意，
若，则，满足，
综上直线的斜率为定值.
22．(1)的单调减区间为，增区间为
(2)
【分析】（1）根据函数单调性与导数的关系确定函数的单调区间即可；
（2）将方程有两个不相等的实根，转化为函数，在上有两个零点问题，求导数从而讨论函数单调性，结合零点存在定理判断是否符合题意，从而可得实数的取值范围.
【详解】（1）解：函数，，则，
令，则，设，则，得，
故时，，函数即单调递减，时，，函数即单调递增，
所以，又时，，又，
所以时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，
故的单调减区间为，增区间为；
（2）解：关于的方程有两个不相等的实根，即函数，在上有两个零点，
又，
①当时，，得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以，又时，，，则函数在上有两个零点；
②当时，，得，，
（i）当时，，此时恒成立，函数单调递增，在上不可能有两个零点，不符合题意；
（ii）当时，，则当时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以，，故函数在区间无零点，在不可能存在两个零点，故不符合题意；
（iii）当时，，则当时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
又，故函数在区间无零点，在不可能存在两个零点，故不符合题意；
③当时，方程只有一个实根1，不合题意；
综上，实数的取值范围.
【点睛】本题考查的是函数单调性、函数零点问题与导数的综合，难度较大.解决含参方程问题得关键是将含参方程转化为函数零点问题，从而利用函数单调性与导数的关系，对参数进行讨论先确定单调性，再结合零点存在定理及函数的极值判断各单调区间零点个数，从而求得参数范围，需要注意的是取值判断函数值符号的过程可结合函数的极限思想看开区间端点处的函数值趋势得正负.