决胜高考2024年上海市高考数学精选题练习含答案

这是一份决胜高考2024年上海市高考数学精选题练习含答案，共28页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，已知点M为正方体内部的一点等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知点M为正方体内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题：
：过点M有且只有一个平面与和都平行；
：过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交．
则以下说法正确的是（ ）
A．命题是真命题，命题是假命题B．命题是假命题，命题是真命题
C．命题，都是真命题D．命题，都是假命题
4．若存在实数，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．若，其中是虚数单位，则 ．
6．设集合，，则 ．
7．双曲线x2-2y2=1的渐近线方程为 ．
8．某公司生产的糖果每包标识质量是，但公司承认实际质量存在误差．已知糖果的实际质量服从的正态分布．若随意买一包糖果，假设质量误差超过克的可能性为，则的值为 ． （用含的代数式表达）
9．在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为 ．
10．已知数列是各项为正的等比数列，，，则其前10项和 ．
11．一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 件产品．
12．设为定义在R上的奇函数，当时，（b为常数），则 .
13．设函数在区间上恰有三个极值点，则的取值范围为 ．
14．某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点和．某日两个观测点的林场人员都观测到处出现火情．在处观测到火情发生在北偏西方向，而在处观测到火情在北偏西方向．已知在的正东方向处（如图所示），则 . （精确到）
15．已知直线和直线，则曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 ．
16．已知正方体的棱长为1，，则的最大值是 ．
三、解答题
17．已知三角形，
(1)，三角形的面积，求角的值；
(2)若，，，求．
18．已知数列的前n项和为，其中．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
19．中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示．
材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，
(1)假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；
(2)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如下图所示，请问为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理．
20．抛物线上有一动点．过点P作抛物线的切线l，再过点P作直线，使得，直线m和抛物线的另一个交点为Q．
(1)当时，求切线的直线方程；
(2)当直线与抛物线准线的交点在x轴上时，求三角形的面积（点O是坐标原点）；
(3)求出线段关于s的表达式，并求的最小值；
21．已知．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)请严格证明曲线有唯一交点；
(3)对于常数，若直线和曲线共有三个不同交点，其中，求证：成等比数列．
题号
一
二
三
总分
得分
圆形截面
正方形截面
矩形截面
条件
r为圆半径
a为正方形边长
h为矩形的长，b为矩形的宽，
抗弯截面系数
参考答案：
1．D
【分析】利用并集的定义可求得集合.
【详解】因为集合，，因此，.
故选：D.
2．C
【分析】ABD举反例即可判断，C结合反比例函数即可判断.
【详解】对A，若，则，但，A错误；
对B，若，则，但，B错误
对D，若，则，，D错误；
对C，结合反比例函数知其在单调递减，则，有，C正确.
故选：C
3．A
【分析】根据题意作出图形，根据异面直线定义和线面平行判断即可.
【详解】已知点为正方体内（不包含表面）的一点，过点的平面为，
如图所示：
对于，在平面与平面之间与平面与平面平行的平面均与和平行，如平面
，当点为正方体内（不包含表面）的一点，满足要求的平面有且只有一个，故命题是真命题；
对于，点M在正方体内部（不包含表面），假设过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交，则由平面的基本性质可得，，M在同一平面内，与和异面矛盾，所以假设错误，所以命题是假命题.
故选：A.
4．A
【分析】不等式等价于，原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立，等价于存在实数，，不等式成立，分别讨论，，，的情况，先求出，再求出即可解决问题.
【详解】不等式等价于即，
原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立，
等价于存在实数，，不等式成立，
记，则，
（1）当时，对任意，恒成立，即在上单调递减
①当，即时，，
②当，即时，，
从而当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以；
（2）当时，令，解得，
在区间上单调递增，在上单调递减，
，，，
①当时，此时，
当即时，，
当即时，，
从而当时，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增,
所以；
令，则，，记，
则，
当时，恒成立，
即在区间上单调递减，即，
即；
②当时，此时，
当即时，，
当即时，，
从而当时，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以；
（3）当时，对任意，恒成立，即在上单调递增，
①当，即时，，
②当，即时，，
从而当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以；
综上所述，，
所以.
故选：A
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
5．/
【分析】根据题意，由复数相等列出方程，即可得到结果.
【详解】因为，则，即，
所以.
故答案为：
6．
【分析】先求出集合，然后求解.
【详解】由题意得，，
所以.
故答案为：.
7．
【详解】由双曲线的方程知，所以双曲线的渐近线方程为．
考点：双曲线的几何性质．
8．
【分析】根据正态分布的性质直接求解即可.
【详解】由题知，，
则
.
故答案为：
9．
【分析】根据点面距公式代入计算即可得.
【详解】由点面距公式得.
故答案为：.
10．
【分析】根据题意，由条件可得数列的公比为，则，即可得到结果.
【详解】因为数列是各项为正的等比数列，则其公比，
又，，则，即，
所以数列为常数数列，且，
所以.
故答案为：
11．
【详解】试题分析：因为抽取的个体数组成一个等差数列，所以甲，乙，丙生产的产品也组成一个等差数列，设乙生产线生产了件产品，那么甲和丙共生产了件产品，所以，解得．
考点：分层抽样
12．-1
【分析】由为定义在R上的奇函数，则，得，由，代入求值即可.
【详解】解：∵为定义在R上的奇函数，
∴，
当时，（b为常数），
∴，得，
即当时，，
则，
故答案为：-1.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了函数求值问题，属基础题.
13．
【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数图象的性质得到不等式组，解得即可.
【详解】由已知得.
要使函数在区间上恰有三个极值点，
由图象可得，
解得，即.
故答案为：.
14．
【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，，，则，
在中，由正弦定理可得，
，
即，
所以，
，
则.
故答案为：
15．/
【分析】先设出点的坐标，表示出点到直线和直线的距离之和；再利用几何意义求解得出答案.
【详解】
设点的坐标为
则动点到直线的距离为；动点直线的距离为.
所以曲线上一动点到直线和直线的距离之和为
令，即
则的几何意义是过点的直线在轴上的截距.
因为点在曲线上.
所以当直线与曲线相切时有最值.
因为曲线是以圆心，为半径的圆.
则，解得或
所以曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值为.
故答案为：
16．
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量运算求出模的关系式，再分类分析求出最大值即得.
【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
，
于是，
因此
由，得，
当时，，此时，的最大值为9，
当且仅当与同号时取得最大，因此的最大值为；
当时，，，，的最大值为9，
当且仅当与同号时取得最大，因此的最大值为，显然，
所以的最大值为.
【点睛】关键点睛：涉及多变量的最值问题，以某个量的取值情况分类讨论求解是解决问题的关键，如本题的.
17．(1)
(2)或
【分析】⑴根据求得，根据，求得，联立两式求角的值；
⑵由求得，结合角的范围与的正负确定角的值，分两种情况利用正弦定理求值.
【详解】（1）根据，有，即，
又因为，，即，
所以，所以，即，
因为，所以
（2）由，有，，
又因为,，结合，有，即，
所以或，即或；
因为，，两值都符合题意，所以：
当，由正弦定理有，
即，，解得；
当，由正弦定理有，
即，，解得.
综上：时，；时，.
18．(1)，；
(2)
【分析】（1）利用之间的关系进行求解即可；
（2）利用裂项相消法进行求解即可.
【详解】（1）因为当时，有，
所以当时，有，
两式相减，得，
当时，由，适合，
所以，；
（2）因为，；
所以，
因此.
19．(1)矩形截面的梁的截面形状最好.
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，得到，，，结合题意，得到，得到结论；
（2）根据题意，得到，得到，求得函数的单调性，求得时，取得最大值，进而得到结论.
【详解】（1）解：假设截面面积均为正常数，
可得，，，
所以，
又因为，所以，所以,
综上，，于是矩形截面的梁的截面形状最好.
（2）解：由，
可得，
可得
所以，当时，取得最大值，
此时，当，于是，
因为的结论与抗弯系数理论的结论不同，但比较接近，是合理的，应肯定李诫从实践总总结的经验的实用价值，
考虑到所处的时代，从历史辩证的角度，其观点代表了我国古代在工程技术方面已经达到了较高的水平.
20．(1)切线方程为：
(2)
(3)详见解析
【分析】（1）利用求导解决点在抛物线上的切线问题；
（2）利用第一问的计算结果，得到直线的方程，求出线段的长，和到直线的距离，计算面积即可；
（3）利用求导得到直线的方程，从而得到直线的方程，求出点的坐标，联立得到的表达式，再根据求导研究表达式的增减性，从而得到的最小值.
【详解】（1）当时，点，又因为点在抛物线上，
由于点在第一象限，则，
求导，代入，则
所以过点的切线方程为：；

（2）当直线与抛物线准线的交点在x轴上时,
则直线过点，由于（1）的切线方程过点，
则此时切线方程为，又因为，
则的方程为：.

联立，解得或.
故点点，
则，
到直线的距离为：，
则面积为.
（3）由于点，
所以点在第一象限，则，
求导，代入，即，
则直线的方程为：，
所以直线的方程为：，
联立抛物线于直线得：，得，
令，则，即，
，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时， 取最小值，即.
21．(1)答案见解析
(2)证明过程见解析
(3)证明过程见解析
【分析】（1）根据导数的性质，结合极值的定义进行求解即可；
（2）构造新函数利用导数的性质，结合函数零点存在原理进行求解即可；
（3）根据题意得到，结合（1）中结论、等比数列的定义进行运算证明即可.
【详解】（1）由题意可知：的定义域为，的定义域为，
，
当时，得，此时函数单调递增，
当时，得，此时函数单调递减，
因此函数极大值为，
单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，得，此时函数单调递增，
当时，得，此时函数单调递减，
因此函数极大值为，
单调递增区间为，单调递减区间为，
所以函数极大值为，单调递增区间为，单调递减区间为；
函数极大值为，单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）设，
设，
设，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
设，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
因此有，当时取等号，
于是有，
因此单调递减，而，
根据函数零点存在原理，当时，函数在内有唯一零点，
因此有唯一实根，因此曲线有唯一交点.
（3）由（1）可知两个函数的最大值均为，
且函数单调递增区间为，单调递减区间为；
函数单调递增区间为，单调递减区间为，
由（2）可知曲线有唯一交点，且交点在内，
因为直线和曲线共有三个不同交点，其中，
因此两条曲线必过两个曲线的交点，
所以有，
因此有，
因为，，在上单调递增，
所以有，
同理，，而函数在单调递减，
所以有，而，所以，
因此成等比数列.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用构造新函数，利用导数的性质、结合放缩法进行运算证明.




极大值