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江西省南昌市第十九中学2023-2024学年高三上学期1月模拟数学试题含答案
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一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数的共轭复数对应的点在复平面内的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．设集合,，则
A．B．C．D．
3．奥林匹克标志由5个奥林匹克环套接组成，五环象征五大洲的团结以及全世界的运动员以公正、坦率的比赛和友好的精神在奥林匹克运动会上相见．如图，5个奥林匹克环共有8个交点，从中任取3个点，则这3个点恰好位于同1个奥林匹克环上的概率为
A．B．C．D．
4．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．阿基米德（公元前287年—公元前212年），古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家、力学家.他发展的“逼近法”为近代的“微积分”的创立奠定了基础.他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数为奇函数，当时，，函数的导函数为．且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数的部分图象如图所示，两点之间的距离为10，且，若将函数的图象向右平移个单位长度后所得函数图象关于轴对称，则的最小值为
A．1B．2C．3D．4
8．已知数列满足：，若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为.现有如下命题：；；；﹒则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．在正方体中，点，，分别在棱，，上，且，，（其中），若平面与线段的交点为，则
A．B．C．D．
10．已知抛物线的焦点为，定点，若射线与抛物线交于点，与抛物线的准线交于点，则的值是
A．B．C．D．
11．若函数，则（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共1小题，共5分。在本小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
12．如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0
D．点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，，向量，，，且，，则 .
14．设直线与球有且只有一个公共点，从直线出发的两个半平面截球的两个截面圆的半径分别为1和，二面角的平面角为，则球的表面积为 ．
15．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 .
16．函数的图象与函数图象的所有交点的横坐标之和为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）若，求A，B；
（2）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围.
18．（12分）已知数列的前项和为，数列是首项为1，公差为2的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
19．（12分）
某学校开展了一项“摸球过关”的游戏，规则如下：不透明的盒子中有3个黑球，2个白球.这些球除颜色外完全相同，闯关者每一轮从盒子中一次性取出3个球，将其中的白球个数记为该轮得分，记录完得分后，将摸出的球全部放回盒子中，当闯关者完成第轮游戏，且其前轮的累计得分恰好为时，游戏过关，同时游戏结束，否则继续参与游戏：若第3轮后仍未过关，则游戏也结束.每位闯关者只能参加一次游戏.
（1）求随机变量的分布列及数学期望；
（2）若某同学参加该项游戏，求他能够过关的概率.
20．（12分）
已知为等腰直角三角形，，将沿底边上的高线折起到位置，使，如图所示，分别取的中点.
（1）求二面角的余弦值；
（2）判断在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出点的位置，若不存在，说明理由．
21．（12分）
已知椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、，设、分别为、的内切圆半径，求的最大值．
22．（12分）
已知函数.
（1）若函数的图象与轴存在交点, 求的最小值；
（2）若函数的图象在点处的切线斜率为, 且函数的最大值为，求证：.
一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数的共轭复数对应的点在复平面内的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．设集合,，则
A．B．C．D．
3．奥林匹克标志由5个奥林匹克环套接组成，五环象征五大洲的团结以及全世界的运动员以公正、坦率的比赛和友好的精神在奥林匹克运动会上相见．如图，5个奥林匹克环共有8个交点，从中任取3个点，则这3个点恰好位于同1个奥林匹克环上的概率为
A．B．C．D．
4．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．阿基米德（公元前287年—公元前212年），古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家、力学家.他发展的“逼近法”为近代的“微积分”的创立奠定了基础.他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数为奇函数，当时，，函数的导函数为．且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数的部分图象如图所示，两点之间的距离为10，且，若将函数的图象向右平移个单位长度后所得函数图象关于轴对称，则的最小值为
A．1B．2C．3D．4
8．已知数列满足：，若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为.现有如下命题：；；；﹒则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．在正方体中，点，，分别在棱，，上，且，，（其中），若平面与线段的交点为，则
A．B．C．D．
10．已知抛物线的焦点为，定点，若射线与抛物线交于点，与抛物线的准线交于点，则的值是
A．B．C．D．
11．若函数，则（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共1小题，共5分。在本小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
12．如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0
D．点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，，向量，，，且，，则 .
14．设直线与球有且只有一个公共点，从直线出发的两个半平面截球的两个截面圆的半径分别为1和，二面角的平面角为，则球的表面积为 ．
15．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 .
16．函数的图象与函数图象的所有交点的横坐标之和为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）若，求A，B；
（2）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围.
18．（12分）已知数列的前项和为，数列是首项为1，公差为2的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
19．（12分）
某学校开展了一项“摸球过关”的游戏，规则如下：不透明的盒子中有3个黑球，2个白球.这些球除颜色外完全相同，闯关者每一轮从盒子中一次性取出3个球，将其中的白球个数记为该轮得分，记录完得分后，将摸出的球全部放回盒子中，当闯关者完成第轮游戏，且其前轮的累计得分恰好为时，游戏过关，同时游戏结束，否则继续参与游戏：若第3轮后仍未过关，则游戏也结束.每位闯关者只能参加一次游戏.
（1）求随机变量的分布列及数学期望；
（2）若某同学参加该项游戏，求他能够过关的概率.
20．（12分）
已知为等腰直角三角形，，将沿底边上的高线折起到位置，使，如图所示，分别取的中点.
（1）求二面角的余弦值；
（2）判断在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出点的位置，若不存在，说明理由．
21．（12分）
已知椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、，设、分别为、的内切圆半径，求的最大值．
22．（12分）
已知函数.
（1）若函数的图象与轴存在交点, 求的最小值；
（2）若函数的图象在点处的切线斜率为, 且函数的最大值为，求证：.
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