2024省牡丹江普通高中协同发展共同体高三下学期第一次模拟考试数学含答案

这是一份2024省牡丹江普通高中协同发展共同体高三下学期第一次模拟考试数学含答案，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


考试时间：120分钟 分值：150分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
已知集合,,则 （ ）
A． B. C. D．
2. 5名应届毕业生报考3所不同院校，每人报考且仅报考1所院校，则不同的报名方法种数是( )
A. B. C. D.
3. 一份新高考数学试卷中有8道单项选择题，小李对其中5道题有思路，3道题完全没有思路。有思路的题做对的概率是，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为，则小李从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（ ）
A． B． C． D．
4. 已知为虚数单位，复数且满足，求点到直线距离的最大值为（ ）
A. 0 B. C. D.
5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（结果取整数，参考数据：，）（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6. 已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知=是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，若关于实数的不等式 +恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，．若有5个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错误的得0分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A.某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：
6，5，7，9，6，8，9，9，7，5, 这组数据的下四分位数为9
B.若随机变量100,，且20，则16
C.若随机变量,，且，则
D.对一组样本数据,,,进行分析，由此得到的线性回归方程为：
，至少有一个数据点在回归直线上
已知为函数的一个对称中心，则（ ）
A. B. 函数为奇函数
C. 曲线关于对称 D. 函数在单调递增
11.如图，已知正方体的棱长为，为底面内(包括边界)的动点，则下
列结论正确的是（ ）
A.三棱锥的体积为定值
B．存在点，使得
C.若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为
D.若点是的中点，点是的中点，过，作平面平
面，则平面截正方体的截面面积为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点在终边上，则_____
13. 已知,则 (用数字作答)
14. 设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.(13分)设，若数列的前项和为，且是与的等差中项
(Ⅰ) 求数列的通项公式；
(Ⅱ) 若是以为首项，为公差的等差数列，求数列的前项和．
16.(15分)某高中举办诗词知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从 类7道题中任选4道进行答题，答完后正确数超过两道（否则终止比赛）才能进行第二轮答题。第二轮答题从类5道题中任选3道进行答题，直到答完为止。类题每答对一道得10分，类题每答对一道得20分，答错不扣分。以两轮总分和决定优胜者。总分70分或80分为三等奖，90分为二等奖，100分为一等奖。某班小张同学类题中有5道会做，类5题中，每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响.
(Ⅰ) 求小张同学被终止比赛的概率；
(Ⅱ) 现已知小张同学第一轮中回答的类题全部正确，求小张同学第二轮答完题后总得分
的分布列及期望；
(Ⅲ) 求小张同学获得三等奖的概率.
17.（15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，．为的中点，点在上，且．
(Ⅰ) 求证：平面；
(Ⅱ) 求平面与平面夹角的余弦值.
(Ⅲ) 设点在上，且．判断直线
是否在平面内，说明理由
18.(17分)已知双曲线的左、右焦点分别为, ,双曲线的虚轴长为，有一条渐近线方程为, 如图，点是双曲线上位于第一象限内的点，过点作直线与双曲线的右支交于另外一点，连接并延长交双曲线左支于点，连接与，其中垂直于 的平分线，垂足为.
(Ⅰ) 求双曲线的标准方程；
(Ⅱ) 求证：直线与直线的斜率之积为定值；
(Ⅲ) 求的最小值.


19.(17分)设 ,
(Ⅰ) 当时，求函数的最小值；
(Ⅱ) 当时,求证: ;
(Ⅲ) 求证: 数学试题 参考答案
考试时间：120分钟 分值：150分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错误的得0分.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
13. 14.
三、解答题
15（13分）【解析】（1），由于是2与的等差中项；所以①，分
当时，解得；分 当时，②，①②得：，整理得，分
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列；所以（首项符合通项），所以；分
（2）若是以2为首项，4为公差的等差数列，所以，所以，或分
故①，②，分
①②得：；分
整理得分
16、（15分）解析：小张同学被终止比赛的概率为分
分
分布列如下
分
15分
17、（15分）（1）因为平面，又平面，则，
又，且，，平面，故平面；
,
分
（2）过点作的垂线交于点，
因为平面，且，平面，所以，，
故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，..6分
则，
因为为的中点，则，所以，
又，所以，故，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，故，分
又因为平面的法向量为，
所以，
分
（3）直线不在平面内，分
因为点在上，且，又，故，
则，由（2）可知，平面的法向量为，所以，所以直线不在平面内．分
（第三问，通过共面向量基本定理且有一个公共点的证明方法，同样给分）
（17分）解析
(1)因为虚轴长为2, 即: 2b=2,所以 b=1.
又因为有一条渐近线方程为，所以
所以双曲线C的标准方程为. ’
(2)由题意，点 A 与点 P 关于原点对称. 设,则
由题意可知直线的斜率存在，设直线 的斜率为,
记，又直线为 ∠F₁PF₂的平分线，则 ’
因为 ，所以
所以 |PF1|=−2+x02+y02 =−2+x02+x023−1=233x0−3,
同理 |PF2|=233x0+3. ’
又，，代入得,
， 化简得
所以，即直线 OA与直线m 的斜率之积为定值. ’
(3)由(2)可知 x₀=3ky₀.又 x₀>0,y₀>0,所以k>0,
将 x₀=3ky₀代入 x023−y02=1,x0>3得, x0=3k3k2−1,y0=13k2−1,
所以 A3k3k2−113k2−1,P(−3k2k2−1, −13k2−1),k>33.
设直线m的方程为y=kx+n,将 P−3k3k2−1−13k2−1代 入 得 n =3k2−1,
所以直线m的方程为 y=kx+3k2−1,k>33.由点到直线距离公式得，
’
又直线 AB 的斜率为 −1k,设直线 AB 的方程为x=−ky+t,
将 A3k3k2−113k2−1代入得 t=4k3k2−1,所以直线AB的方程为 x=−ky+4k3k2−1.
将其与 x23−y2=1x0)联立得 k²−3y²− 8k23k2−1y+7k2+33k2−1=0。
设 Ax₁ y₁,Bx₂ y₂,则y₁+y₂= 8k2k2−33k2−1,y1y2=7k2+3k2−33k2−1. ’
由 y₁y₂<0得 k2∈13 3,
所以 |AB|=1+k2|y1−y2|=1+k2 y1+y22−4y1y2=6k2+1323−k23k2−1.
所以 SAPBSAPD=|AB||AD|=3k2+123−k23k2−1≥ 3k2+12k2+12=3,
当且仅当 3−k²=3k²−1,即 k²=1时等号成立，
所以当且仅当 k=1时, SAPBSAPD的最小值为3. ’
19. （17分）解析(1)因为f(x) 的定义域为 R,
且 f−x =a−x²+cs−x−1=ax²+csx−1=f(x)，所以f(x)为偶函数,
下面取 x≥0。当 a=1π时, fx=x2π+csx−1,则 f'x=2xπ−sinx,
当 x>π2时, f'x=2xπ−sinx>1−sinx≥0,可知f(x)在 π2+∞上单调递增，
0≤x≤π2时，令 gx=f'x,当则 g'x=2π−csx,可知 g'x在 0π2上单调递增.
因为 0<2π<1,则∃ x0∈0π2,使得 csx0=2π.当 x∈0x₀时, g'x<0;
当 x∈x0π2时, g'x>0;所以g(x)在[0,x₀)上单调递减,在 x0π2上单调递增，且 g0=gπ2=0,
则 f'x=gx≤0在 0π2内恒成立，可知f(x)在 0π2上单调递减.
综上所述, f(x)在 0π2上单调递减，在 π2+∞上单调递增，
所以 f(x)在[0,+∞)上的最小值为 fπ2= π4−1.
又因为f(x)为偶函数，所以f(x) 在 R 内的最小值为 π4−1. ’
(2)由(1)可知 f(x)是定义在 R上的偶函数,下面取x≥0,
可知 f'x=2ax−sinx,令 φx=f'x=2ax−sinx.
因为 a≥12,则 ϕ'x=2a−csx≥1−csx≥0,则φ(x)在[ 0+∞上单调递增，可得 φx≥φ0=0,即 f'x≥0在 0+∞上恒成立，
可知 f(x)在[ 0+∞上单调递增，
所以 f(x)在0+∞上的最小值为f0=0,结合偶函数性质可知 fx≥0. ’
(3)由(2)可得,当 a=12 时, fx=12x2+csx-1≥0,当且仅当x=0时,等号成立,即 csx≥1−12x2.
令 x=1n,n≥2,n∈N∗,则 cs1n>1−12n2,
当n≥2 时, cs1n>1−12n2=1−24n2>1− 24n2−1=1−12n−1−12n+1,
即 cs1n>1−12n−1−12n+1,
则 cs12>1−13−15,cs13>1− 15−17,⋯,cs1n>1−12n−1−12n+1,
相加可得 cs12+cs13+⋯+cs1n>n−1 −13−12n+1=n−43+12n+1.
因为 n≥2,则 12n+1>0, 所以
即 ， ’
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
C
D
C
B
D
A
题号
9
10
11
答案
BC
BCD
ABD
X
40
60
80
100
P