2024西宁大通县高三下学期4月第二次模拟考试数学（理）含解析

这是一份2024西宁大通县高三下学期4月第二次模拟考试数学（理）含解析，共14页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，已知是的边上一点，若，则，已知，则等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.设集合，若，则（ ）
A.-2 B.-1 C.1 D.3
3.已知直线与直线平行，则的值为（ ）
A.4 B.-4 C.2或-4 D.-2或4
4.已知，且数列是等比数列，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
5.已知是的边上一点，若，则（ ）
A. B.0 C. D.
6.将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换元件的概率为0.3，需要更换元件的概率为0.2，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是（ ）
A. B. C. D.
8.已知，则（ ）
A. B. C. D.
9.在中，内角的对边分别为，若，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10.17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，设，则所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
11.已知椭圆的左顶点､上顶点分别为，右焦点为，过且与轴垂直的直线与直线交于点，若直线的斜率小于为坐标原点，则直线的斜率与直线的斜率之比值的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12.在棱长为4的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球半径的最小值为（ ）
A.3 B. C. D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若实数满足约束条件则的最大值为__________.
14.已知双曲线的一条渐近线平行于直线，且双曲线的一个焦点在直线上，则该双曲线的方程为__________.
15.展开式的常数项为__________.
16.记是不小于的最小整数，例如，则函数的零点个数为__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
17.（本小题满分12分）
只要骑车，都应该戴头盔.骑行头盔是骑行中生命坚实的保护屏障.骑行过程中的摔倒会对头部造成很大的损害，即使骑行者是以较低的车速沿着坡度平稳的自行车道骑行，也同样不可忽视安全问题.佩戴头盔的原因很简单也很重要——保护头部，减少伤害.相关数据表明，在每年超过500例的骑车死亡事故中，有的死亡原因是头部受到致命伤害造成的.医学研究发现，骑车佩戴头盔可防止的头部受伤，并且大大减小了损伤程度和事故死亡率.
某市对此不断进行安全教育，下表是该市某主干路口连续5年监控设备抓拍到通过该路口的骑电动车不戴头盔的人数的统计数据：
（1）求不戴头盔人数与年份序号之间的线性回归方程；
（2）预测该路口2024年不戴头盔的人数.
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
18.（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）若数列，求数列的前项和.
19.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，点是棱上的一点，且，点是棱的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知点是抛物线上的一点，直线交于两点.
（1）若直线过的焦点，求的值；
（2）若直线分别与轴相交于两点，且，试判断直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若，求函数的图象在处的切线方程；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围；
（3）求证：.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标，直线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若点的直角坐标为，直线与交于两点，求的值.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的最小值为，且正数满足，求证：.
青海省大通县教学研究室24届高三第二次模拟考试·数学（理科）
参考答案､提示及评分细则
1.B 因为复数，所以对应的点为，位于第二象限.故选B.
2.C 由已知得，若，解得，此时，符合题意；若，解得-2，此时，不符合题意；若，解得，此时，不符合题意，综上所述：.故选C.
3.B 因为直线与直线平行，所以，解得或.当时，直线与直线重合，不符合题意；当时，直线与直线平行，符合题意.综上，.故选B.
4.B 设等比数列的公比为.若，当时，，但是，所以“”不是“”的充分条件；
若，则，所以，所以“”是“”的必要条件.综上，“”是“”的必要不充分条件.故选B.
5.C 因为，所以.所以，.故选C.
6.A 将函数的图象向右平移个单位长度得，又的图象关于轴对称，所以，解得，当-1时，取得最小值.故选A.
7.A 记事件为在某次通电后､有且只有一个需要更换，事件为需要更换，则，由条件概率公式可得.故选A.
8.C 因为，又，所以.故选C.
9.B 因为，所以，即，因为，则，且余弦函数在上单调递减，所以，所以，又，所以，由正弦定理得，即，所以.故选B.
10.D 因为，所以，所以.故选D.
11.D 由已知得，直线的方程为，设椭圆的焦距为，由题意设点，则，即，所以，又，所以，即，设直线的斜率与直线的斜率之比值为，则，又，所以.故选D.
12.C 连接，取中点，设，连接，过作垂直于平面，设为三棱锥的外接球的球心.以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，则球半径，所以，所以，则，当且仅当时取等号，所以.故选C.
13.13 实数满足约束条件表示的可行域如图阴影部分所示.当直线经过点时，取得最大值.由解得，所以.
14. 由题意可知，双曲线的其中一条渐近线与直线平行，所以，又双曲线的一个焦点在直线上，所以，又，解得，所以该双曲线的方程为.
15.48 因为的展开式的通项是，所以所求常数项为.
16.3 令，则，令，则与的交点个数即为的零点个数，当时，，又，所以是周期为1的函数，在上单调递减，且，所以可作出与的图象如图，
所以与有3个交点，故的零点个数为3.
17.解：（1）由题意知，
所以
，
所以，
所以，
所以不戴头盔人数与年份序号之间的线性回归方程为.
（2）当时，，即预测该路口2024年不戴头盔的人数为840.
18.解：（1）因为，所以，所以数列是公比为的等比数列，
所以，解得，
所以.
（2）由（1）知，
所以，
所以，
相减得，，
所以.
19.（1）证明：在直三棱柱中，平面，又平面，
所以，又，所以，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以.
因为，所以，又，
所以，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，如图所示.所以，
.设平面的法向量为，又
，所以令，
解得，所以平面的一个法向量.
又，设直线与平面所成角的大小为，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为.
20.解：（1）因为点是抛物线上的一点，
所以，解得，所以的方程为，
所以的焦点为.显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
由得，所以，
所以，
所以.
（2）设，显然直线的斜率存在，且斜率为，
所以直线的方程为，
所以，即，
同理可得，，
所以，所以，即，①
显然直线的斜率存在，且斜率为，
所以直线的方程为，②
将①式代入②式，整理得，
所以直线恒过定点.
21.（1）解：若，则，所以，所以，又，所以函数的图象在处的切线方程为，即.
（2）解：若对任意的恒成立，即对任意的恒成立.
令，所以，
若，则，所以在上单调递增，所以，不符合题意.
若，方程的判别式，
当，即时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，不符合题意；
当，即时，则，所以在上单调递减，所以，符合题意.
综上，的取值范围为.
（3）证明：由（2）知，当时，，令，
所以，所以，
所以，即.
22.解：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），
所以，
即的普通方程为.
直线的极坐标方程为，所以，
将代入，得，即，
所以直线的直角坐标方程为.
（2）点的直角坐标为，易得点在直线上，
直线的一个参数方程为（为参数），
将（为参数）代入，得，
设点在直线上对应的参数分别为，
所以，
所以与的夹角为，所以.
23.（1）解：当时，，
解得，所以；
当时，，
解得，所以；
当时，，
解得，所以.
综上，不等式的解集为.
（2）证明：函数
以，所以，所以.
因为，所以
当且仅当时，等号成立，所以.年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份序号
1
2
3
4
5
不戴头盔人数
1450
1300
1200
1100
950