安徽省芜湖市无为市部分学校2023-2024学年九年级下学期联考数学试题（原卷版+解析版）

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说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 的相反数是（ ）
A. 3B. C. D.
2. 下列各式中，计算正确是（ ）
A. B.
C. D.
3. 石墨烯是2004年科学家从石墨中分离出的单层石墨片，这是目前世界上人工制得的最薄的材料，仅为米，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C D.
4. 一个由两个长方体组成的几何体按如图所示的方式水平放置，则它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 点向右平移3个单位长度后，恰好在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A. 3B. C. 6D.
6. 某校举行以“我和我的祖国”为主题的演讲比赛，7位评委给某同学打分（满分10分），该同学的得分情况是8，6，8，7，8，5，7．对于该组数据，下列说法错误的是（ ）
A. 平均数为7B. 众数为8C. 中位数为7D. 方差为2
7. 如图，四边形内接于，连接，且平分，则错误的结论是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，是等边三角形，是边上一点，连接，点在的延长线上，且，延长交于点，若，则的值为（ ）
A. B. C. 2D.
9. 已知二次函数的图象如图所示，则二次函数与一次函数的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，矩形的边分别是上的动点，连接，将沿着翻折，点的对应点为点，连接和，当的值最小时，的最小值为（ ）
A. 10B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. ________．
12. 分解因式：_____．
13. 我国明代商人，珠算发明家程大位在《算法统宗》中记载了这样一个问题：一古寺内有三百六十四只碗，如果三个和尚共吃一碗饭，四个和尚共吃一碗羹，碗刚好够用．问古寺内共有和尚多少人?根据上述问题，可知和尚的总人数是________．
14. 如图，是反比例函数在第一象限内的图象上的一点，连接并延长至点，使得，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点．
（1）若，则________．
（2）________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
（1）以原点为位似中心，将放大为原来的3倍，画出放大后的．
（2）以直线为对称轴，画出（1）中关于直线对称的．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 劳动教育已纳人人才培养全过程，某学校加大劳动教育投人，建设校园农场．该农场一种作物的产量在两年内从200千克增加到242千克，若平均每年的增产率相同，求该作物平均每年的增产率．
18. 观察下列等式．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
第5个等式：．
…
按照以上规律，解决下列问题．
（1）写出第6个等式：________．
（2）写出你猜想的第个等式：________（用含的式子表示），并证明．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 安徽省科技馆是大型公益性科普教育场所，开馆以来，吸引了大量学生和家长前去参观和体验．如图1，这是馆内的一个全国最大的球状屏幕，图2是它的示意图，是球屏的平面图，的直径为28米，是测角仪，高度为0.5米．垂直水平地面，此时测得球屏视线最上部的仰角为，即，视线最下部的仰角为，即．视线与相切，切点分别为和．求点到的距离．（参考数据：，，，，，）
20. 如图，菱形对角线相交于点，分别过点作的平行线，且与相交于点．
（1）求证：四边形矩形．
（2）求四边形与菱形的面积比．
六、（本题满分12分）
21. 某中学近期举行了“我的中国梦”歌手大赛，根据初赛成绩，选出了5位歌手．为了了解学生最喜爱的歌手，随机抽取若干名学生进行投票，投给自己最喜爱的歌手，每人都要投票且只投一人，将投票结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图．
（1）本次随机抽取的学生人数为________，并补全条形统计图．
（2）若参与投票的学生共有500名，可估计出其中最喜爱歌手的学生人数为_______，扇形统计图中所占的圆心角的度数为________°．
（3）学校计划在4位歌手中随机抽取2位分享心得体会，求恰好选中歌手和歌手的概率．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，连接，某同学设计了一条抛物线取不同的值，便可得到不同的抛物线，设抛物线与直线交于点．
（1）用含的代数式表示抛物线的对称轴及顶点坐标．
（2）设点的纵坐标为，当取得最小值时，抛物线上有两点，且，请求出的最小值，并比较与的大小．
（3）当抛物线与线段有公共点时，求出的取值范围．
八、（本题满分14分）
23. 如图，四边形是正方形，是对角线，点和点分别在边和上，且，过点作，交的延长线于点，连接．
（1）求证：．
（2）当为中点时，求．
（3）求证：．