江苏省南京市致远初级中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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总时长：100分钟 总分值：100分 命题人：七年级数学备课组 审核人：七年级数学备课组
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查合并同类项、同底数幂的乘除法及幂的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据同底数幂的乘除法及幂的乘方可进行排除选项．
【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意；
B、，原计算正确，故符合题意；
C、，原计算错误，故不符合题意；
D、，原计算错误，故不符合题意；
故选B．
2. 若x2+kxy+16y2是一个完全平方式，那么k的值为（ ）
A. 4B. 8C. ±8D. ±16
【答案】C
【解析】
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【详解】∵=，
∴ =±2×x×4y，
解得k=±8．
故选C．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
3. 若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（ ）
A. 5B. 10C. 15D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，掌握相关知识是解题的关键．根据等腰三角形的定义及三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：等腰三角形的腰长为3，
等腰三角形的底长，
即等腰三角形的底长，
等腰三角形的周长，
故选：B．
4. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了因式分解，把多项式变形为多个因式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可．
【详解】解：A．不是因式分解，故选项不符合题意；
B．不是因式分解，故选项不符合题意；
C．因式分解，故选项符合题意；
D．不是因式分解，故选项不符合题意．
故选：C．
5. 如图，点在的延长线上，下列条件能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐项进行判断即可．
【详解】解：∵
∴，
故选项A不合题意，
∵，
∴，
故选项B不合题意，
∵，
∴∴，
故选项C不合题意，
∵，
∴，
故选项D符合题意．
故选：D
6. 如图，长方形ABCD中，AB＝6，第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到长方形A2B2C2D2，…，以此类推，第n次平移将长方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣1Bn﹣1的方向向右平移5个单位，得到长方形AnBnCnDn（n＞2），则ABn长为 （ ）
A. 5n＋6B. 5n＋1C. 5n＋4D. 5n＋3
【答案】A
【解析】
【分析】每次平移5个单位，n次平移5n个单位，加上AB的长即为ABn的长．
【详解】每次平移5个单位，n次平移5n个单位，即BN的长为5n，加上AB的长即为ABn的长．
ABn=5n+AB=5n+6，
故选：A．
【点睛】本题考查了平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 计算______，______．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】本题主要考查零次幂及负指数幂，熟练掌握零次幂及负指数幂是解题的关键；因此此题可根据零次幂及负指数幂进行求解即可．
【详解】解：；
故答案1，．
8. 一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000079米，0.0000079用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：0.0000079用科学记数法表示为；
故答案为
9. 在△ABC中，若∠A﹣∠B=∠C，则此三角形是________三角形．
【答案】直角
【解析】
【详解】分析：本题主要考查了三角形的内角和定理，熟练掌握该定理是解题的关键.三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.例如本题根据三角形的内角和定理，再结合已知条件得出一个内角的度数为90°，所以这个三角形是直角三角形.
本题解析: ∵∠A-∠B=∠C，
∴∠C+∠B=∠A，
∵∠A+∠B+∠C=2∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴此三角形是直角三角形．
故选：A．
点睛：1、本题考查的是三角形内角和定理，结合已知应用定理是解答此题的关键；2、把∠A-∠B=∠C变形为∠B+∠C=∠A；由三角形内角和定理的∠A+∠B+∠C=180°；3、两式结合再根据直角三角形的判定即可得出结论．
10. 若，则=__________
【答案】
【解析】
【分析】先逆用同底数幂的除法、幂的乘方法则将原式变形为，然后把代入计算即可．
【详解】∵，
∴原式=3x÷32y==4÷49=，
故答案为．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识．
11. 已知方程组的解满足，则的值是______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意可把两个方程进行相减，然后问题可求解．
【详解】解：
得：，
∵，
∴，
∴；
故答案为1．
12. 若一个正多边形的每一个外角都是，则该正多边形的内角和等于___________度．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和．根据任何多边形的外角和都是，可以求出多边形的边数， 再根据多边形的内角和公式，就得到多边形的内角和，掌握内角和公式是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：该多边形的边数为，
∴该正多边形的内角和等于．
故答案为：．
13. 如图，将四边形纸片沿折叠，点A、D分别落在、处，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查轴对称的性质和多边形的内角和定理等知识点，掌握轴对称的对应角相等的性质是基础；利用四边形的内角和等于的性质是解题的关键．
先根据得出的度数，再由四边形内角和定理即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
14. 如图，在长为14m，宽为10m的长方形展厅，划出三个形状、大小完全一样的小长方形区域摆放鲜花，则每个小长方形的周长是____________．
【答案】16m
【解析】
【分析】设小长方形的长为xm，宽为ym，由图可知，长方形展厅的长是（2x+y）m，宽为（x+2y）m，由此列出方程组求得长、宽，进一步解决问题．
【详解】解：设小长方形的长为x m，宽为y m，由图可得：
，
解得x+y=8，
则每个小长方形的周长为8×2=16m．
故答案为：16m．
【点睛】此题考查二元一次方程组的运用，看清图意，正确利用图意列出方程组解决问题．
15. 如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线与相交于点，若，则_________．
【答案】116
【解析】
【分析】先根据平行线的性质得到，，再由折叠的性质求出即可得到答案．
详解】解：∵，
∴，，
∵长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，
∴，
∴，
∴．
故答案为：116．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
16. 二元一次方程组有可能无解，例如方程组无解，原因是：将，得，它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于，的方程组无解，则，满足的条件是____________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据题意，方程组两边系数相等，得出矛盾，即可求解．
【详解】解：∵关于，的方程组无解，
，得，
∴，
解得：且，
故答案：且．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解题意是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 积的乘方公式为：（ab）m＝ ．（m是正整数）．请写出这一公式的推理过程．
【答案】：ambm，见解析.
【解析】
【分析】先写出题目中式子的结果，再写出推导过程即可解答本题．
【详解】解：（ab）m＝ambm，
理由：（ab）m＝ab×ab×ab×ab×…×ab
＝aa…abb…b
＝ambm
故答案为ambm．
【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是明确它们的计算方法．
18. 计算：
（1）；
（2）；
（3）
（4）解方程组：
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】此题考查了整式的混合运算、幂的相关运算、解二元一次方程组等知识，熟练掌握运算法则和方法是解题的关键．
（1）先计算单项式的乘法、积的乘方、同底数幂的除法，再进行合并同类项即可；
（2）先计算多项式乘法，再合并同类项即可；
（3）根据乘方、负整数指数幂、零指数幂法则进行计算后再进行加减法即可．
（4）利用加减法进行解方程组即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
【小问3详解】
【小问4详解】
①＋②×2得，
解得，
把代入②得，
解得
∴．
19. 分解因式．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键；
（1）根据提公因式法及平方差公式可进行分解因式；
（2）根据提公因式法及完全平方公式可进行分解因式．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
20. 先化简，再计算： (b＋2a) (b－2a)－(b－3a)2，其中a＝－1，b＝－2．
【答案】－13a2+6ab，-1
【解析】
【分析】运用整式乘法公式化简，再代入已知值计算.
【详解】解：原式＝b2－4a2－(b2－6ab+9a2)
＝b2－4a2－b2+6ab－9a2
＝－13a2+6ab
当a＝－1，b＝－2时，原式＝-13+12=－1
【点睛】考核知识点：整式化简求值.熟记平方差公式和完全平方公式是解题关键.
21. 在下列解题过程的空白处填上适当的内容（推理的理由或数学表达式）
如图，∠1＋∠2＝1800，∠3＝∠4．
求证：EF∥GH．
证明：∵∠1＋∠2＝1800（已知），
∠AEG ＝∠1（对顶角相等）
∴ ，
∴AB∥CD（ ），
∴∠AEG＝∠ （ ），
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠3＋∠AEG＝∠4＋∠ ，（等式性质）
∴ ，
∴EF∥GH．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题根据平行线的判定和性质交互运用，最后证出∠FEG=∠HGE，可得EF∥GH．
【详解】∵∠1＋∠2＝1800（已知），
∠AEG =∠1（对顶角相等）,
∴ ∠AEG＋∠2＝1800，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行 ），
∴∠AEG＝∠DGE（两直线平行，内错角相等 ），
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠3＋∠AEG＝∠4＋∠DGE，（等式性质）
∴∠FEG=∠HGE，
∴EF∥GH．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
22. 画图并填空：
如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点的对应点．
（1）在给定方格纸中画出平移后的三角形；
（2）线段与线段的关系是______；
（3）四边形的面积是______．
【答案】（1）见解析 （2）平行且相等
（3）
【解析】
【分析】此题考查了平移的性质和作图、网格中求面积，准确作图是解题的关键．
（1）根据点B的平移规律得到点A、点C的对应点，顺次连接即可；
（2）根据平移的性质进行解答即可；
（3）用正方形的性质减去三个直角三角形的面积即可得到答案．
【小问1详解】
如图所示，三角形即所求，
【小问2详解】
连接、，则线段与线段的关系是平行且相等；
故答案为：平行且相等
【小问3详解】
连接，
则四边形的面积，
故答案为：
23. 如图所示，已知，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，2两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可．
【详解】证明：如图．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
24. 如图，在中，是的高，平分，若．求的度数．

【答案】．
【解析】
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠BAC和∠DAC的度数，根据角平分线的定义求出∠EAC的度数，根据角的和与差可得结论．
【详解】解：是的高，
，
在中，，
．
平分，
．
在中，，
．
．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
25. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形．
利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：．
（1）若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______．
①；②；③；④；⑤．
（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______．
（3）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果）
【答案】（1）①③④⑤
（2）画图见解析，
（3）9或21或12
【解析】
【分析】本题考查整式乘法与图形面积的关系，掌握数形结合思想成为解题关键．
（1）根据图形表示出两个正方形边长与a、b的关系、，结合面积加减计算逐个判断即可；
（2）根据整式得到两个大正方形、两个小正方形、五个长方形，然后画出图形即可解答；
（3）根据因式分解平方项凑长宽展开求解即可解答．
【小问1详解】
解：由图形可得，、，故①正确，
∴，即②错误；
由图形可得，，即，即③正确；
∵、，
∴，即，即④正确；
∵，，即故⑤正确．
故答案为：①③④⑤．
【小问2详解】
解：由题意可得，图形如图所示，
∴．
故答案为：．
【小问3详解】
解：由题意可得，
①当，，
②当，，
③当，．
故答案为：9或21或12．
26. 如图1，直线与直线，分别相交于点，三条直线把平面分成①，②，…，⑥六个区域．规定：三条直线上的点不属于任何一个区域．当任意一点落在某个区域时，连接，，可得到，，．
（1）如图2，当动点落在区域④时，如果，那么与平行吗？请说明理由；
（2）如图3，当动点落在区域③时，，，三角满足什么等量关系时，？（请说明理由）
（3）如果直线，试探究动点落在______区域时，存在．
【答案】（1），理由见解析
（2）当动点落在区域③时，，，三角满足时，有；理由见解析
（3）②
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用平行线的判定与性质成为解题的关键．
（1）如图：过点P作，根据平行线性质可得，然后再证明，进而证明结论；
（2）如图：过点P作，根据平行线的性质可得、，然后再利用角的和差即可解答；
（3）如图：当点P在①区域时，过点P作，先证明，再根据平行线的性质可得，由三角形外角和定理可得，然后根据等量代换即可判定区域①；同理判定区域②③④⑤⑥即可．
【小问1详解】
解：，理由如下：
如图：过点P作，
∴，
∵，
∴，
∵,
∴，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
解：当动点落在区域③时，，，三角满足时，有；，理由如下：
如图：过点P作，
∴，即，
∵，
∴，即，
∵
，
∴当动点落在区域③时，，，三角满足时，有．
【小问3详解】
解：如图：当点P在①区域时，过点P作，交于J，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，即点P在①区域时不符合题意；
同理：可判定点P在③④⑤⑥区域时不符合题意；
当点P在②区域时，过点P作，交于J，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，即点P在②区域时符合题意；
综上，点P在②区域时存在．
故答案为：②．