2023-2024学年江苏省宿迁市沭阳县怀文中学、人民路中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省宿迁市沭阳县怀文中学、人民路中学九年级（上）期末数学试卷（含解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.抛物线y=2(x−2)2+5的顶点坐标是( )
A. (2,5)B. (−2,5)C. (−2,−5)D. (2,−5)
2.甲、乙、丙、丁四名同学参加竞定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：S甲2=2.1，S乙2=3.5，S丙2=9，S丁2=0.7，则成绩最稳定的是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD的度数为122°，则∠DCE的度数为( )
A. 64°
B. 61°
C. 62°
D. 60°
4.如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是( )
A. 2：1B. 1：3C. 1：2D. 3：1
5.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3BC，则sinA为( )
A. 13B. 24C. 1010D. 3 1010
6.下表示用计算器探索函数y=x2+5x−3时所得的数值：
则方程x2+5x−3=0的一个解x的取值范围为( )
A. 07.如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为( )
A. 52
B. 83
C. 3
D. 154
8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，顶点为(1,3)，给出四个结论：
①abc<0；
②若有三个点(−3,y1)(2,y2)(3,y3)都在这个抛物线上，则y2>y3>y1；
③3a+c<0；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m<3．
其中正确的有( )
A. ①②③B. ①②③④C. ①③④D. ①②④
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.若ab=34，则b−ab= ．
10.如图，要使△AFE∽△ABC，可以添加条件：______．
11.往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽AB=48cm，则水的最大深度为______cm．
12.小明某学期的数学平时成绩70分，期中考试80分，期末考试90分，若计算学期总评成绩的方法如下：平时：期中：期末=3：3：4，则小明总评成绩是______分.
13.底面半径为5的圆锥侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的母线长为______．
14.如图，D、E分别是AC、AB上的点，且∠CDE+∠B=180°，F、G分别是DE、BC的中点.若AD=4，AB=6，AG=5，则AF的值为______．
15.已知等腰三角形两边长为4和6，则底角的余弦值为______．
16.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布前形成倒立的实像CD(点A，B的对应点分别是C，D).若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8cm、4cm，则实像CD的高度为______cm．
17.新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数(黄金数)，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”.如图，△ABC是“精准三角形”，AB=AC=2，CD⊥AB，垂足为点D，那么BD的长度为______．
18.如图，在矩形ABCD中，DC=4，tan∠CAD=12，E是AD上一个动点，过点E作EF⊥AC于F，连接BE，取BE中点M，连接MF，则线段MF的最小值为______．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)解方程：x2−2x−8=0；
(2)计算：tan60°−2sin30°+cs245°．
20.(本小题8分)
如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E；
(1)求证：△ABD∽△CED．
(2)若AB=6，AD=2CD，求CE的长．
21.(本小题8分)
如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线解析式和顶点坐标；
(2)观察图象：
①当0②点P为抛物线上一点，若S△ABP=24，求出此时P点的坐标．
22.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点的坐标分别为A(6,3)，O(0,0)，B(0,6)．
(1)以原点O为位似中心，在第一象限内将△AOB缩小得到△A1OB1，相似比为12，请画出△A1OB1；
(2)直接写出点A1的坐标(______，______)；
(3)求出△A1OB1的面积．
23.(本小题10分)
甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛．
(1)已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是______；
(2)随机选取2名同学，求其中有乙同学的概率．
24.(本小题10分)
为了解某校九年级学生科普知识竞赛的情况，现从中随机抽取部分学生的成绩，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，

回答下列问题：
(1)本次随机抽样调查的学生人数为______，图①中的m的值为______；
(2)求本次抽样调查获取的样本数据的众数是______，中位数是______；
(3)若该校九年级共有学生1500人，如果竞赛成绩达到28分及以上为优秀，请估计该校九年级学生在本次科普竞赛中成绩优秀的人数．
25.(本小题10分)
【项目式学习】为了测量某段河流的宽度，两个数学研学小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的数H恰好在A的正北方向.测量方案与数据如表：
请选择其中一个方案及其数据：
(1)求∠AHB的度数；
(2)求出河宽(精确到1m)．
参考数据：sin74°≈0.96，sin37°≈0.60，tan74°≈3.50，tan37°≈0.75．
26.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，tan∠EAD=12，求BC的长．
27.(本小题12分)
(1)问题发现
如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，点D时线段AB上一动点，连接BE．
填空：
①BEAD的值为______； ②∠DBE的度数为______．
(2)类比探究
如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，点D是线段AB上一动点，连接BE.请判断BEAD的值及∠DBE的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸
如图3，在(2)的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE的中点M，连接BM、CM，若AC=2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．
28.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+2ax+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为(2,0)，点D(−3,52)在抛物线上．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图①，点P在y轴上，且点P在点C的下方，若∠PDC=45°，求点P的坐标；
(3)如图②，E为线段CD上的动点，射线OE与线段AD交于点M，与抛物线交于点N，求MNOM的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为抛物线y=2(x−2)2+5，
所以抛物线y=2(x−2)2+5的顶点坐标是(2,5)．
故选：A．
根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵S甲2=2.1，S乙2=3.5，S丙2=9，S丁2=0.7，
∴丁的方差最小，
∴成绩最稳定的是丁，
故选：D．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
3.【答案】B
【解析】解：∵∠BOD的度数为122°，
∴∠A=12∠BOD=61°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD=180°−∠A=119°，
∴∠DCE=180°−∠BCD=61°，
故选：B．
根据圆周角定理求出∠A，根据圆内接四边形的性质得到∠BCD，根据邻补角的概念求出∠DCE即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：由平行四边形的性质可知：AB/​/CD，AB=CD，
∴△BEF∽△DCF，
∵点E是AB的中点，
∴BE=12CD，
∴BEAB=BECD=12，
∴EFCF=BEDC=12，
故选：C．
根据平行四边形的性质可以证明△BEF∽△DCF，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
5.【答案】C
【解析】解：由勾股定理，得
AB= AC2+BC2= 10BC，
∴sinA=BCAB= 1010，
故选：C．
根据勾股定理，可得AB与BC的关系．根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边解答即可．
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
6.【答案】C
【解析】解：∵二次函数y=x2+5x−3中a=1>0，
∴抛物线开口方向向上，
∵对称轴x=−b2a=−52，
∴x>−52时y随x的增大而增大，
∵当x=0.5时，y=−0.25<0，当x=0.75时，y=1.31>0，
∴方程x2+5x−3=0的一个正根：0.5故选：C．
根据函数解析式找出对称轴，即可知何时y随x的增大而增大，本题易解．
解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法．
7.【答案】B
【解析】解：如图：过点G作GF⊥AC，垂足为G，过点G作GE⊥AB，垂足为E，
由题意得：AG平分∠BAC，
∴GF=GE，
∴S△ABGS△ACG=12AB⋅GE12AC⋅GF=ABAC=24=12，
∵△ABC的面积=12AB⋅AC=12×2×4=4，
∴△ACG的面积=23△ABC的面积=23×4=83，
故选：B．
过点G作GF⊥AC，垂足为G，过点G作GE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：AG平分∠BAC，从而利用角平分线的性质可得GF=GE，然后利用三角形的面积公式可得S△ABGS△ACG=12，从而可得△ACG的面积=23△ABC的面积，进行计算即可解答．
本题考查了三角形的面积，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵开口向下，
∴a<0，
∵−b2a=1，
∴b<0，b=−2a，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c>0，
∴abc>0，故①正确．
由题意抛物线为y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，
∴y的最大值为4，
∴一元二次方程ax2+bx+c=5没有实数根，故③正确．
(−3,y1)(2,y2)(3,y3)是抛物线上的三个点，
(−3,y1)(2,y2)(在对称轴两侧，点(x2,y2)离对称轴的距离远越小，
∴则y2>y3>y1，故②正确，
∵x=−1时，y<0，
∴a−b+c<0，
∵b=−2a，
∴3a+c<0，故③正确，
∵一元二次方程ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4a(c−m)>0，
∴b2−4ac+4am>0，
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为(1,3)，
∴3=a+b+c，
3=−a+c，
∴4a2−4ac+4am>0，
4a(a−c+m)>0，
∴a−c+m<0，
−3+m<0，
∴m<3，故④正确，
故选：B．
①根据函数图象可以得到当x=−4时，y<0；
②结合抛物线的开口方向，对称轴的位置来判断a、b、c的符号；
③求出抛物线解析式，求出最大值为4，由此即可判断．
④由题意可知x1，x2在原点两侧，点(x2,y2)离对称轴的距离远，由此即可判断．
本题考二次函数图象与系数关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，利用图象解决问题，属于中考常考题型．
9.【答案】14
【解析】解：∵ab=34，
∴4a=3b，
∴a=34b，
将其代入b−ab得：
原式=b−34bb=14bb=14，
故答案为：14．
由比例的基本性质，可得4a=3b，进而得a=34b，代入计算即可．
本题考查了比例的性质，及分式的化简计算，如何利用比例关系进行代换是解题的关键．
10.【答案】∠AEF=∠ACB(答案不唯一)
【解析】解：可添加条件：∠AEF=∠ACB.证明如下：
∵∠FAE=∠BAC，∠AEF=∠ACB，
∴△AFE∽△ABC．
故答案为：∠AEF=∠ACB(答案不唯一)．
由图可得，两三角形已有一组角对应相等，再加一组角对应相等即可．
本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定定理：(1)两角对应相等，两三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(3)三边对应成比例，两三角形相似．
11.【答案】16
【解析】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB=48cm，
∴BD=12AB=12×48=24(cm)，
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB=OC=26cm，
在Rt△OBD中，OD= OB2−BD2= 262−242=10(cm)，
∴CD=OC−OD=26−10=16(cm)，
即水的最大深度为16cm，
故答案为：16．
连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
12.【答案】81
【解析】解：本学期数学总评分=70×30%+80×30%+90×40%=81(分)．
故答案为：81．
按3：3：4的比例算出本学期数学总评分即可．
本题考查了加权成绩的计算，掌握平时成绩：期中考试成绩：期末考试成绩=3：3：4的含义就是分别占总数的30%、30%、40%是关键．
13.【答案】15
【解析】解：圆锥的底面周长=2π×5=10π，
则：120πl180=10π，
解得l=15．
故答案为：15．
易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：nπr180．
14.【答案】103
【解析】解：∵∠CDE+∠B=180°，∠ADE+∠CDE=180°，
∴∠ADE=∠B，
∵∠EAD=∠CAB，
∴△EAD∽△CAB，
∴ADAB=AFAG，
∴46=AF5，
∴AF=103，
故答案为：103．
首先根据相似三角形的判定得出△EAD∽△CAB，进而根据性质得出ADAB=AFAG，即可得出答案．
本题考查了同角的补角相等和相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质时解题的关键．
15.【答案】34或13
【解析】解：当等腰三角形ABC的腰长为4，底边长6时，作底边BC上的高AD，则BD=CD=3．
在Rt△ADB中，csB=BDAB=34．
当等腰三角形ABC的腰长为6，底边长4时，作底边BC上的高AD，则BD=CD=2．
在Rt△ADB中，csB=BDAB=26=13．
所以底角的余弦值为34或13．
故答案为：34或13．
当等腰三角形ABC的腰长为4，底边长6时，作底边BC上的高AD，根据等腰三角形的性质可得BD=CD=3；根据余弦函数的定义可得csB=BDAB，由此即可解答；当等腰三角形ABC的腰长为6，底边长4时，作底边BC上的高AD，根据等腰三角形的性质可得BD=CD=2；根据余弦函数的定义可得csB=BDAB，由此即可解答．
本题考查时直角三角形，等腰三角形的性质，记得固件是掌握相关知识的灵活运用．
16.【答案】3
【解析】解：∵AB⊥BC，OE⊥BC，DC⊥BC
∴AB//OE//DC，
∴△OEC∽△ABC，△OEB∽△DBC，
∴OEAB=CECB,OECD=BECB，
∵AB的高为6cm，BE，CE分别为8cm、4cm，
∴OE6=44+8,OECD=84+8，
∴OE=2,OECD=84+8，
∴CD=3cm，
故答案为：3．
根据相似计算即可．
本题考查了三角形相似的判定和性质的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
17.【答案】5−2 52
【解析】解：作△ABC的中线CM，
∵△ABC是“精准三角形”，
∴CMAB= 5−12，
∵AB=2，
∴CM= 5−1，
∵M是AB中点，
∴AM=MB=12AB=1，
令DM=x，则AD=x+1，
∵CD2=CM2−MD2=AC2−AD2，
∴( 5−1)2−x2=22−(x+1)2，
∴x=2 5−32，
∴DM=2 5−32，
∴BD=MB−DM=5−2 52．
故答案为：5−2 52．
作△ABC的中线CM，由精准三角形的定义得到CMAB= 5−12，求出CM的长，由线段中点定义得到AM=MB=12AB=1，令DM=x，由勾股定理得到( 5−1)2−x2=22−(x+1)2，求出x=2 5−32，得到DM=2 5−32即可求出BD的长．
本题考查勾股定理，黄金分割，等腰三角形的性质，关键是由精准三角形的定义求出CM的长，由勾股定理列出关于x方程．
18.【答案】65
【解析】解：如图，取AE中点G，过F作FH⊥AD于点H，M作MN⊥FH于点N，
∴四边形MNHG为矩形，四边形ABCD为矩形，
∴GM=HN，MN=GH，AB=CD=4，∠ADC=90°，
∵EF⊥AC，
∴∠AFE=∠EFC=90°，
∴∠CAD=∠HFE，
∴tan∠HFE=tan∠CAD=12=HEHF，
设HE=x，则HF=2x，
在Rt△HFE中，由勾股定理得FE= HE2+HF2= x2+(2x)2= 5x，
同理AE=5x，
∵M是BE中点，G是AE中点，
∴GM=HN=12AB=2，AG=GE=52x，
∴MN=GH=GE−HE=52x−x=32x，NF=FH−HN=2x−2，
在Rt△MNF中，
由勾股定理得MF2=MN2+NF2=(32x)2+(2x−2)2=254x2−8x+4=254(x−1625)2+3625，
当x=1625时，MF2由最小值3625，
∴MF最小值为65，
故答案为：65．
取AE中点G，过F作FH⊥AD于点H，M作MN⊥FH于点N，根据四边形MNHG为矩形，四边形ABCD为矩形，得出GM=HN，MN=GH，AB=CD=4，∠ADC=90°，由tan∠HFE=tan∠CAD=12=HEHF，设HE=x，则HF=2x，根据勾股勾股定理建立函数关系式MF2=254x2−8x+4=254(x−1625)2+3625，根据二次函数的性质即可求解．
本题考查了二次函数的应用，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
19.【答案】解：(1)x2−2x−8=0，
(x−4)(x+2)=0，
x−4=0或x+2=0，
∴x1=4，x2=−2；
(2)tan60°−2sin30°+cs245°
= 3−2×12+( 22)2，
= 3−1+12，
= 3−12．
【解析】(1)利用因式分解法法求解即可；
(2)将特殊角的三角函数值代入，然后计算即可．
本题考查了解一元二次方程和特殊三角函数值，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程及熟练掌握特殊三角函数值的运算．
20.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
又∵CE是外角平分线，
∴∠ACE=∠FCE=60°，
∴AB//CE，
∴∠ABD=∠CED，∠BAD=∠ECD，
∴△ABD∽△CED；
(2)解：由(1)可知△ABD∽△CED，
∴ABCE=ADCD，
又∵AB=6，AD=2CD，
∴6CE=2，
解得：CE=3．
【解析】(1)根据等边三角形的性质及角平分线的性质推出∠ABC=∠FCE=60°，从而推出AB//CE，利用平行线的性质得到∠ABD=∠CED，∠BAD=∠ECD，即可得出△ABD∽△CED；
(2)根据相似三角形的性质推出ABCE=ADCD，将各数值代入求解即可．
本题考查相似三角形的判定与性质及等边三角形的性质，解题的关键是由等边三角形的性质及角平分线的性质逐步推出AB//CE，需注意观察图形，充分的数形结合．
21.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过A(−1,0)，B(3,0)两点，
∴1−b+c=09+3b+c=0，
解得：b=−2c=−3，
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3，
∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴顶点坐标为(1,−4)；
(2)①∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当x<1时，y随着x的增大而减小，当x>1时，y随着x的增大而增大，
∴当0∴当0②∵A(−1,0)，B(3,0)，
∴AB=4，
∵S△ABP=24，
∴12AB⋅|yP|=24，
∴|yP|=12，
∵抛物线顶点坐标为(1,−4)，
∴yP=12，
当yP=12时，x2−2x−3=12，
解得：x1=−3，x2=5，
∴P(−3,12)或(5,12)．
【解析】(1)利用待定系数法进行计算即可得出答案，再化为顶点式即可求得顶点坐标；
(2)①由解析式得出抛物线的对称轴为直线x=1，再由抛物线的增减性即可得出答案；②根据三角形面积即可得出点P的纵坐标，代入解析式进行计算即可得出答案．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
22.【答案】3 32
【解析】解：(1)如图，△A1OB1即为所求．
(2)∵以原点O为位似中心，将△AOB缩小得到△A1OB1，相似比为12，A(6,3)，
∴点A1的坐标为(3,32).
故答案为：3；32．
(3)△A1OB1的面积为12×3×3=92．
(1)根据位似的性质作图即可．
(2)由位似的性质可得出答案．
(3)利用三角形的面积公式计算即可．
本题考查作图−位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
23.【答案】解：(1)13；
(2)画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中选取2名同学中有乙同学的结果数为6，
所以有乙同学的概率=612=12．
【解析】【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
(1)直接利用概率公式求解；
(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选取2名同学中有乙同学的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】
解：(1)已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率=13；
故答案为13；
(2)见答案．
24.【答案】50 24 28 28
【解析】解：(1)根据题意得：本次随机抽样调查的学生人数为：9÷18%=50(人)，
∵12÷50×100%=24%，
∴图①中的m的值为24；
故答案为：50，24；
(2)∵在这组数据中，28出现14次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是28，
将这组数据从小到大排列后，处在第25、26位的两个数都是28，
∴中位数是28；
故答案为：28，28
(3)该校九年级学生在本次科普竞赛中成绩优秀的人数为：
1500×14+10+550=870(人)，
答：该校九年级学生在本次科普竞赛中成绩优秀的人数大约为870人．
(1)根据成绩为26分的人数和所占的百分比即可求得本次随机抽样调查的学生人数，从而求出m的值；
(2)利用众数、中位数的定义，进行求解即可得到答案；
(3)用1500乘以竞赛成绩达到28分、含28分及以上的人数所占的百分比，即可得到答案．
本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、求样本容量、中位数、众数、平均数、由样本估计总体，熟练掌握中位数、众数的定义，准确进行计算，是解题的关键．
25.【答案】解：(1)由题意得：AH⊥AC，
∴∠HAB=90°，
∵∠ABH=74°，
∴∠AHB=90°−∠ABH=16°，
∴∠AHB的度数为16°；
(2)若选择方案一：
∵∠ABH是△BCH的一个外角，∠ABH=74°，∠ACH=37°，
∴∠CHB=∠ABH−∠ACH=37°，
∴∠ACH=∠CHB=37°，
∴BC=BH=200m，
在Rt△ABH中，AH=BH⋅sin74°≈200×0.96=192(m)，
∴河宽约为192m；
若选择方案二：
设AB=x m，
在Rt△ABH中，∠ABH=74°，
∴AH=AB⋅tan74°≈3.5x(m)，
在Rt△ACH中，∠ACH=37°，
∴AC=AHtan37∘≈(m)，
∵AB+AC=BC，
∴x+143x=311，
解得：x=93317，
∴AH=3.5x≈192(m)，
∴河宽约为192m．
【解析】(1)根据题意可得：AH⊥AC，从而可得∠HAB=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；
(2)若选择方案一：先根据三角形的外角性质可得∠ACH=∠CHB=37°，从而可得BC=BH=200m，然后在Rt△ABH中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；若选择方案二：设AB=x m，先在Rt△ABH中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，然后在Rt△ACH中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，最后根据BC=311m，列出关于x的方程进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
26.【答案】解：(1)连接OE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵AE平分∠BAF，
∴∠OAE=∠DAE，
∴∠OEA=∠EAD，
∴OE/​/AD，
∵ED⊥AF，
∴OE⊥DE，
∴CD是⊙O的切线；
(2)连接BE，∵AB为直径，
∴∠AEB=90°=∠D，
又∠DAE=∠BAE，
∴△ADE∽△AEB，
∴ADAE=AEAB=DEBE，
又tan∠EAD=12，
∴DEAD=BEAE=12，则AE=2BE，又AB=10，
在△ABE中，AE2+BE2=AB2，即(2BE)2+BE2=102，
解得：BE=2 5，则AE=4 5，
∴AD4 5=4 510=DE2 5，
解得：AD=8，DE=4，
∵OE/​/AD，
∴△COE∽△CAD，
∴COCA=OEAD，设BC=x，
∴x+5x+10=58，解得：x=103，
经检验：x=103是原方程的解，
故BC的长为103．
【解析】(1)连接OE，由题意可证OE/​/AD，且DE⊥AF，即OE⊥DE，则可证CD是⊙O的切线；
(2)连接BE，证明△ADE∽△AEB，得到ADAE=AEAB=DEBE，根据tan∠EAD=12，在△ABE中，利用勾股定理求出BE和AE，可得AD和DE，再证明△COE∽△CAD，得到COCA=OEAD，设BC=x，解方程即可求出BC．
本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，作出辅助线，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
27.【答案】(1)①1 ; ②90° ;
(2)BEAD= 3，∠DBE=90°
理由如下：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，∠CED=∠ABC=30°
∴AB=2AC，BC= AB2−AC2= 3AC
∴ACBC= 33
∵∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，
∴Rt△ACB∽Rt△DCE
∴ACCD=BCCE
∴ACBC=CDCE，且∠ACD=∠BCE
∴△ACD∽△BCE
∴BEAD=BCAC= 3，∠CBE=∠CAD=60°
∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°
(3)若点D在线段AB上，如图，
由(2)知：BEAD=BCAC= 3，∠ABE=90°
∴BE= 3AD
∵AC=2，∠ACB=90°，∠CAB=60°
∴AB=4，BC=2 3
∵∠ECD=∠ABE=90°，且点M是DE中点，
∴CM=BM=12DE，
且△CBM是直角三角形
∴CM2+BM2=BC2=(2 3)2，
∴BM=CM= 6
∴DE=2 6
∵DB2+BE2=DE2，
∴(4−AD)2+( 3AD)2=24
∴AD= 3+1
∴BE= 3AD=3+ 3
若点D在线段BA延长线上，如图
同理可得：DE=2 6，BE= 3AD
∵BD2+BE2=DE2，
∴(4+AD)2+( 3AD)2=24，
∴AD= 3−1
∴BE= 3AD=3− 3
综上所述：BE的长为3+ 3或3− 3
【解析】解：(1)∵∠ACB=∠DCE=90∘，∠CAB=∠CDE=45∘，
∴∠ABC=∠CAB=45∘=∠CDE=∠CED，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=90∘，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCE,CD=CE
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴BE=AD，∠CAB=∠CBE=45∘，
∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=90∘，BEAD=1，
故答案为：1，90∘
(2)见答案；
(3)见答案。
(1)由直角三角形的性质可得∠ABC=∠CAB=45∘=∠CDE=∠CED，可得AC=BC，CD=CE，由“SAS”可证
△ACD≌△BCE，可得BE=AD，∠CAB=∠CBE=45∘，即可求解;
(2)通过证明△ACD∽△BCE，可得BEAD的值，∠CBE=∠CAD=60°，即可求∠DBE的度数；
(3)分点D在线段AB上和BA延长线上两种情况讨论，由直角三角形的性质可证CM=BM= 6，即可求DE=2 6，由相似三角形的性质可得∠ABE=90°，BE= 3AD，由勾股定理可求BE的长．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，证明△ACD∽△BCE是本题的关键．
28.【答案】解：(1)∵点A(2,0)，D(−3,52)在抛物线上，
∴4a+4a+c=09a−6a+c=52,
解得：a=−12c=4，
∴抛物线的表达式为y=−12x2−x+4．
(2)解法一：
如图，过点P作PE⊥PD交DC的延长线于点E，过点P作x轴的平行线FG，过点D作DF⊥PF于点F，过点E作EG⊥PF于点G，
∴∠DPE=90°，∠DFP=∠PGE=90°，
又∵∠PDC=45°，
∴△PDE为等腰直角三角形，PE=PD，
设点P坐标为(0,m)，
∵点D坐标为(−3,52)，
∴DF=52−m，PF=3，
∵DF⊥PF，EG⊥PG，
又∵∠DPE=90°
∴∠FDP+∠DPF=90°，∠EPG+∠DPF=90°
∴∠FDP=∠EPG，
在△DFP和△PGE中，
∠DEP=∠PGE∠FDP=∠GPEDP=PE，
∴△DFP≌△PGE(AAS)，
∴PG=DF=52−m，EG=PF=3，
∴E(52−m,3+m)，
∵C为抛物线y=−12x2−x+4与y轴交点，
当x=0时，y=4，
∴C(0,4)，
又∵点D坐标为(−3,52)，
设直线CD的表达式为y=kx+b，
∴b=4−3k+b=52,
解得：k=12b=4,
∴直线CD的表达式为y=12x+4，
把E(52−m,3+m)代入y=12x+4，
得：12(52−m)+4=3+m，
解得：m=32，
∴点P的坐标为(0,32)．
解法二：
把CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CF，连接DF，
∴△CDF为等腰直角三角形，CD=CF，∠CDF=45°，
∴DF与y轴的交点即为P点，
作DG⊥y轴于G，作FH⊥y轴于H，
∴∠DGC=∠CHF=90°，
∴∠DCG+∠CDG=90°，
∵∠DCF=90°，
∴∠DCG+∠HCF=90°，
∴∠CDG=∠HCF．
在△CDG和△FCH中，
∠DGC=∠CHF∠CDG=∠FCHCD=FC，
∴△CDG≌△FCH(AAS)，
∴GC=HF，DG=CH，
∵C为抛物线y=−12x2−x+4与y轴交点，
∴C(0,4)，
∵点D坐标为(−3,52)，
∴DG=3，CG=4−52=32，
∴HF=CG=32，CH=DG=3，
∴OH=4−3=1，
∴F坐标为(32,1)，
设直线CF的表达式为y=k1x+b1，
∴32k1+b1=1−3k1+b1=52,
解得：k1=−13b1=32,,
∴直线CF的表达式为y=−13x+32，
当x=0时，y=32，
∴点P的坐标为(0,32)．
解法三：
过P作PE⊥CD于点E，过点D作DF⊥OC于F，
∴∠PEC=∠DFC=90°，
∵C为抛物线y=−12x2−x+4与y轴交点，
∴C(0,4)，
∵点D坐标为(−3,52)，
∴F(0,52)，
∴DF=3，CF=4−52=32，
∴CD= DF2+CF2= 32+(32)2=32 5，
∵∠DFC=∠PEC=90°，
又∵∠FCD=∠ECP，
∴△DCF∽△PCE，
∴CFDF=CEPE，
∴CEPE=323=12，
∴PE=2CE．
∵PE⊥CD，∠PDC=45°，
∴∠DPE=∠PDC=45°，
∴PE=DE，
∴CD=CE+DE=CE+PE=CE+2CE=3CE=32 5，
∴CE=12 5，PE= 5，
∴PC= CE2+PE2= (12 5)2+( 5)2=52，
∴OP=OC−PC=4−52=32，
∴点P的坐标为(0,32)．
(3)解法一：
过点N作NH/​/y轴，交直线AD于点H，则∠HNO=∠QOM，
又∵∠NMH=∠OMQ，
∴△MNH∽△MOQ，
∴MNMO=NHOQ，
由点A坐标为(2,0)，点D坐标为(−3,52)，
可求得直线AD的表达式为y=−12x+1，
当x=0时，y=1，
∴直线AD与y轴的交点坐标为Q(0,1)，
∴OQ=1，
设H(t,−12t+1)，
∴N的坐标为(t,−12t2−t+4)，其中−3≤t≤0，
∴NH=−12t2−t+4−(−12t+1)=−12t2−12t+3，
∴MNMO=NHOQ=−12t2−12t+3=−12(t+12)2+258，
∵−12<0，−3<−12<0，
∴t=−12时，MNMO取最大值，最大值为258．
解法二：
过点N作NQ//x轴，交直线AD于点Q，则∠NQA=∠QAB，
又∵∠NMQ=∠OMA，
∴△MNQ∽△MOA，
∴MNMO=NQOA，
由点A坐标为(2,0)，点D坐标为(−3,52)，
可求得直线AD的表达式为y=−12x+1，
设点N坐标为(t,−12t2−t+4)，
∴点Q坐标为(t2+2t−6,−12t2−t+4)，其中−3≤t≤0，
∴NQ=t−(t2+2t−6)=−t2−t+6，
∴MNMO=NQOA=−t2−t+62=−12(t+12)2+258，
∵−12<0，−3<−12<0，
∴t=−12时，MNMO取最大值，最大值为258．
【解析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式即可；
(2)解法一：如图，过点P作PE⊥PD交DC的延长线于点E，过点P作x轴的平行线FG，过点D作DF⊥PF于点F，过点E作EG⊥PF于点G，设点P坐标为(0,m)，先证明△DFP≌△PGE(AAS)，可得出E(52−m,3+m)，再求出直线CD的表达式为y=12x+4，最后把E(52−m,3+m)代入y=12x+4求解即可；
解法二：把CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CF，连接DF，先证明△CDG≌△FCH(AAS)，再求出直线CF的表达式为y=−13x+32，即可求解；
解法三：过P作PE⊥CD于点E，过点D作DF⊥OC于F，利用勾股定理求出CD=32 5，然后证明△DCF∽△PCE，再利用勾股定理求出PC=52，即可求解；
(3)解法一：过点N作NH/​/y轴，交直线AD于点H，则∠HNO=∠QOM，由△MNH∽△MOQ得到MNMO=NHOQ，利用待定系数求得直线AD的表达式为y=−12x+1，设H(t,−12t+1)，得到N的坐标(t,−12t2−t+4)，其中−3≤t≤0，可得出NH=−12t2−12t+3，所以MNMO=−12(t+12)2+258，再根据二次函数的性质即可求解；
解法二：过点N作NQ//x轴，交直线AD于点Q，则∠NQA=∠QAB，由△MNQ∽△MOA得出MNMO=NQOA，利用待定系数法求得直线AD的表达式为y=−12x+1，设点N坐标为(t,−12t2−t+4)，得出点Q坐标为(t2+2t−6,−12t2−t+4)，其中−3≤t≤0，可得出MNMO=−12(t+12)2+258，再根据二次函数的性质即可求解．
本题考查函数的综合应用，解题的关键是掌握函数的相关应用和性质．x
0
0.25
0.5
0.75
1
y
−3
−1.69
−0.25
1.31
3
项目课题
测量河流宽度
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量小组
第一小组
第二小组
测量方案示意图
说明
点B，C在点A的正东方向
点B在点A的正东方向，点
C在点A的正西方向
数据
BC=200m，∠ABH=74°，∠ACH=37°
BC=311m，∠ABH=74°，∠ACH=37°