2023-2024学年江苏省宿迁市泗洪县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省宿迁市泗洪县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列成语所描述的事件属于不可能事件的是( )
A. 水落石出B. 水中捞月C. 水涨船高D. 水滴石穿
3.某中学为了解本校1500名学生的睡眠情况，从中随机抽查了300名学生的睡眠时间进行调查，此次调查的样本容量是( )
A. 1500B. 1500名学生C. 300D. 300名学生
4.有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面朝上．下列说法正确的是( )
A. 事件A，B都是必然事件B. 事件A，B都是随机事件
C. 事件是A必然事件，事件B是随机事件D. 事件是A随机事件，事件B是必然事件
5.若顺次连接矩形的各边中点所得的四边形一定是( )
A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 平行四边形
6.某校艺术节的乒乓球比赛中，小明同学顺利进入决赛.有同学预测“小明夺冠的可能性是80%”，则对该同学的说法理解最合理的是( )
A. 小明夺冠的可能性较大B. 小明夺冠的可能性较小
C. 小明肯定会赢D. 若小明比赛10局，他一定会赢8局
7.如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F两点，连接CE，则△CDE的周长为( )
A. 5cm
B. 8cm
C. 9cm
D. 10cm
8.如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转一周，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的度数为( )
A. 15°或150°
B. 15°或165°
C. 30°或165°
D. 40°或135°
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.计划于2024年4月下旬发射神舟十八号载人飞船，要调查神舟十八号飞船各部件功能是否符合要求，这种调查适合采用______.(填“普查”或“抽样调查”)
10.数串“202406160900”中“0”出现的频数是______．
11.在▱ABCD中，∠A+∠C=120°，则∠B=______．
12.箱子中有5个白球、7个黑球及m个红球.它们仅有颜色不同，若从中随机摸出一球，结果是红球的可能性比黑球的可能性小，同时又比白球的可能性大，则m的值是______．
13.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD长为______．
14.如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转α得到的，点A′与点A对应，则α的大小为______．
15.如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，∠B的平分线BE交AD于点E，则DE的长为______．
16.在长度分别为3、4、7、9的四条线段中，任意选取三条，端点顺次连接，能组成三角形的概率为______．
17.如图，正方形ABCD的边长为1，点E是CD的中点，点F是BE的中点，点G是AF的中点，连接AC和GC，则图中阴影部分(△AGC)的面积等于______．
18.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点E是CD边上一动点，点F是矩形内一动点，∠DCF=∠CBF，则AE+EF的最小值为______．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，建立如图所示平面直角坐标系，△ABC的顶点均在格点上，其中点A的坐标为(1,−3)．
(1)以点B为旋转中心，画出△ABC绕点B顺时针旋转90°的△A1B1C1；
(2)画△ABC关于点O对称的△A2B2C2；
(3)点B2的坐标是______，点C2的坐标是______．
20.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，∠D=45°，∠CAD=30°.求∠BAC的度数．
21.(本小题8分)
在一个不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球观察它的颜色.下列事件：①摸出的球是红色；②摸出的球是白色；③摸出的球是黄色；④摸出的球不是白色；⑤摸出的球不是黄色，估计各事件发生的可能性大小，回答下列问题：
(1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？(用序号表示)
(2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列.(用序号表示)
22.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
23.(本小题10分)
某校对A《三国演义》、B《红楼梦》、C《西游记》、D《水浒》四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查，随机调查了若干名学生(每名学生必选且只能选这四大名著中的一部)并将得到的信息绘制了如图两幅不完整的统计图：
(1)本次一共调查了______名学生；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)求扇形统计图中A部分所对应的圆心角度数；
(4)该校共有学生2000人，大约多少学生喜欢读《三国演义》？
24.(本小题10分)
如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB，分别取CA、CB的中点D、E.若DE的长为36m，求A、B两地的距离．
25.(本小题10分)
如图，点C为线段AB外的一点．
(1)求作四边形ABCD，使得CD/​/AB，且CD=2AB；(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)若AB=2，点E，F分别是AC，BD的中点，求EF的长．
26.(本小题10分)
在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，八(1)班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
(1)按表格数据格式，表中的a=______；b=______；
(2)请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近______(精确到0.1)；
(3)请推算：摸到红球的概率是______(精确到0.1)；
(4)试估算：这一个不透明的口袋中红球有______个．
27.(本小题12分)
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG/​/EF．
(1)求证：四边形OEFG是矩形；
(2)若AD=10，EF=4，求菱形ABCD的面积．
28.(本小题12分)
在正方形ABCD中：
(1)如图甲，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M，求证：AE=BF；
(2)如图乙，如果点E、F、G分别在BC、CD、DA上，且GE⊥BF，垂足M，那么GE、BF相等吗？证明你的结论；
(3)如图丙，如果正方形ABCD的边长为6，点G为AD的中点，点F为CD上一点，DF=2CF，E为BC上一点，且GE=BF，求BE的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】B
【解析】解：A、水落石出，是必然事件，不符合题意；
B、水中捞月，是不可能事件，符合题意；
C、水涨船高，是必然事件，不符合题意；
D、水滴石穿，是必然事件，不符合题意．
故选：B．
根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】C
【解析】解：某中学为了解本校1500名学生的睡眠情况，从中随机抽查了300名学生的睡眠时间进行调查，此次调查的样本容量是300，
故选：C．
根据样本容量的意义，即可解答．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：事件A：367人中至少有2人生日相同，是必然事件；
事件B：抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面朝上，是随机事件．
故选：C．
根据必然事件以及随机事件的定义即可判断．
解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5.【答案】A
【解析】解：如图：
在△ABD中，
∵AH=HD，AE=EB
∴EH=12BD，
同理FG=12BD，HG=12AC，EF=12AC，
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：A．
因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意，有人预测李东夺冠的可能性是80%，结合概率的意义，
A、小明夺冠的可能性较大，故本选项符合题意；
B、小明夺冠的可能性较大，故本选项不符合题意；
C、小明夺冠的可能性较大，故本选项不符合题意；
D、若小明比赛10局，他可能会赢8局，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据概率的意义分别对各选项进行判断即可．
本题考查概率的意义，准确理解概率的意义是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵ABCD为矩形，矩形ABCD的周长为20cm，
∴AO=OC，CD+AD=20÷2=10(cm)
∵EF⊥AC，
∴AE=EC，
∴C△CDE=CD+DE+EC=CD+DE+AE=CD+AD=10(cm)
故选：D．
根据矩形的性质及线段垂直平分线的性质得到C△CDE=CD+AD，即可得到答案．
本题的关键是利用线段垂直平分线的性质求出AE=EC，进而求三角形的周长．
8.【答案】B
【解析】解：当△AEF在正方形内部时，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°．
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，∠EAF=60°．
在△ABE和△ADF中，
AB=ADAE=AFBE=DF，
∴△ABE≌△ADF(SSS)，
∴∠BAE=∠DAF=12×(90°−60°)=15°．
当△AEF在正方形外部时，
同理可得，△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF．
∴∠BAF=∠DAE=12×(360°−90°−60°)=105°，
∴∠BAE=105°+60°=165°．
综上所述，∠BAE的度数为15°或165°．
故选：B．
根据所给条件，可得出△ABE≌△ADF，再对△AEF的位置进行分类讨论即可解决问题．
本题考查旋转的性质及正方形和等边三角形的性质，熟知正方形和等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
9.【答案】普查
【解析】解：计划于2024年4月下旬发射神舟十八号载人飞船，要调查神舟十八号飞船各部件功能是否符合要求，这种调查适合采用普查，
故答案为：普查．
根据全面调查与抽样调查的特点，即可解答．
本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
10.【答案】5
【解析】解：数串“202406160900”中“0”出现的频数是5．
故答案为：5．
根据频数的概念即可求解．
本题考查了频数和频率，解答本题的关键是掌握频数的概念：频数是指每个对象出现的次数．
11.【答案】120°
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠C=120°，
∴∠A=60°，
∴∠B=120°．
故答案为：120°．
由四边形ABCD是平行四边形，可得平行四边形的对角相等，邻角互补，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对角线相等，邻角互补是解题关键．
12.【答案】6
【解析】解：∵箱子中有5个白球、7个黑球及m个红球，从中随机摸出一球，结果是红球的可能性比黑球的可能性小，
∴m<7，
∵同时又比白球的可能性大，
∴5∴5∴m=6．
故答案为：6．
直接利用已知结合概率的意义得出m的取值范围进而得出答案．
此题主要考查了可能性大小，正确得出m的取值范围是解题关键．
13.【答案】10
【解析】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO=DO，AO=CO，
∵AB⊥AC，AB=4，AC=6，
∴BO= 32+42=5，
∴BD=2BO=10，
故答案为：10．
利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．
14.【答案】90°
【解析】解：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′
∠AOA′即为旋转角，
∴旋转角为90°
故答案为：90°
如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角．
本题考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心的知识，难度不大．
15.【答案】2
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵∠B的平分线BE交AD于点E，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB，
∵AB=3，BC=5，
∴DE=AD−AE=BC−AB=5−3=2．
故答案为2．
根据平行四边形的性质，可得出AD//BC，则∠AEB=∠CBE，再由∠ABE=∠CBE，则∠AEB=∠ABE，则AE=AB，从而求出DE．
本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质：对边相等．
16.【答案】12
【解析】解：画树状图如图：
共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有12个，
∴能组成三角形的概率为1224=12，
故答案为：12．
画树状图，共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有12个，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；正确画出树状图是解题的关键．
17.【答案】116
【解析】解：连接CF，如下图所示：

∵四边形ABCD为正方形，且边长为1，
∵AB=BC=CD=DA=1，∠ABC=∠BCD=90°，CD/​/AB，
∵点E为CD的中点，
∴CE=DE=12CD=12，
∴S△ABC=12AB⋅BC=12，S△BCE=12BC⋅CE=14，S△EAB=12AB⋅BC=12，
∵点F为BE的中点，
∴S△BFC=12S△BCE=18，S△ABF=12S△EAB=14，
∴S△ACF=S△ABC−S△BFC−S△ABF=12−18−14=18，
∵点G为AF的中点，
∴S△AGC=12S△ACF=12×18=116．
∴图中阴影部分(△AGC)的面积等于116．
故答案为：116．
连接CF，由三角形的面积公式得S△ABC=12，S△BCE=14，S△EAB=12，再根据点F为BE的中点得S△BFC=12S△BCE=18，S△ABF=12S△EAB=14，则S△ACF=S△ABC−S△BFC−S△ABF=18，然后根据点G为AF的中点得S△AGC=12S△ACF，由此可得出图中阴影部分(△AGC)的面积．
此题主要考查了正方形的性质，三角形中线性质，三角形的面积公式，熟练掌握正方形的性质，理解三角形的一条中线将原三角形分成两个面积相等的三角形是解决问题的关键．
18.【答案】12
【解析】解：延长AD到A′，使DA′=DA，连接A′E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，A′D=AD=BC=10，
∴CD垂直平分AA′，∠DCF+∠BCF=90°，
∴AE=A′E，
∵∠DCF=∠CBF，
∴∠CBF+∠BCF=90°，即∠BFC=90°，
∴点F在以BC为直径的⊙O上，
画出⊙O，连接OA′交⊙O于点F′，过点O作OH⊥AD于点H，
∴OF=OF′=5，四边形ABOH和四边形CDHO都是矩形，
∵AB=8，BC=10，
∴DH=5，OH=8，
∵AE+EF=A′E+EF=A′E+EF+OF−OF′≥OA′−5，
∴AE+EF的最小值为OA′−5，
在Rt△OA′H中，
OH=8，A′H=A′D+DH=15，
由勾股定理，得OA′= OH2+A′H2= 82+152=17，
∴AE+EF的最小值为17−5=12，
故答案为：12．
延长AD到A′，使DA′=DA，连接A′E，得到AE=A′E，由已知条件得出点F在以BC为直径的⊙O上，连接OA′交⊙O于点F′，过点O作OH⊥AD于点H，推出AE+EF的最小值为OA′−5，利用勾股定理求出OA′即可解决问题．
本题考查轴对称−最短路线问题，解答中涉及矩形的性质，轴对称，线段垂直平分线的性质，点到圆的最段距离，两点之间线段最短，勾股定理，能将两线段和的最小值转化为一条线段的长是解题的关键．
19.【答案】(−5,2) (−3,5)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
(3)点B2的坐标是(−5,2)，点C2的坐标是(−3,5)．
故答案为：(−5,2)；(−3,5)．
(1)根据旋转的性质作图即可．
(2)根据中心对称的性质作图即可．
(3)由图可得答案．
本题考查作图−旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
20.【答案】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D=45°，AB/​/CD，
∴∠BAD+∠D=180°，
∴∠BAD=180°−45°=135°，
∴∠BAC=∠BAD−∠CAD=135°−30°=105°．
【解析】根据平行四边形的性质可知：∠D=∠B=45°，AB/​/CD，得出∠BAD+∠D=180°，求出∠BAD的度数，即可得出∠BAC的度数．
本题考查平行四边形的性质，属于基础题，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质并灵活运用．
21.【答案】解：(1)由题意知，①摸出的球是红色的可能性大小为36=12；
②摸出的球是白色的可能性大小为16；
③摸出的球是黄色的可能性大小为26=13；
④摸出的球不是白色的可能性大小为56；
⑤摸出的球不是黄色的可能性大小为46=23；
所以可能性最大的是④，最小的是②；
(2)由(1)知，②③①⑤④．
【解析】(1)分别用该事件中颜色球的个数除以球的总个数求得事件可能性大小，继而可得答案；
(2)依据(1)中所得答案即可得．
本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性(概率)的计算方法．
22.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴AD−AE=BC−CF，
∴ED=BF，
又∵AD/​/BC，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【解析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD//BC，AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．
此题考查了平行四边形的性质与判定，注意熟练掌握定理与性质是解决问题的关键．
23.【答案】50
【解析】解：(1)本次一共调查：15÷30%=50(名)；
故答案为：50；
(2)B对应的人数为：50−16−15−7=12(名)，
如图所示：
(3)扇形统计图中A部分所对应的圆心角度数为360°×1650=115.2°；
(4)2000×1650=640(人)，
答：大约640名学生喜欢读《三国演义》．
(1)由C名著人数及其所占百分比可得总人数；
(2)根据四种名著的人数和等于总人数可得B名著的人数，从而补全图形；
(3)用360°乘以A著作人数所占比例即可；
(4)总人数乘以样本中A著作人数所占比例即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24.【答案】解：∵点D，E分别为CA，CB的中点，
∴DE=12AB，
∴AB=2DE=72m，
答：A、B两地的距离为72m．
【解析】根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
25.【答案】解：(1)如图1，四边形ABCD即为所求作的四边形；

(2)如图2，取BC中点G，连接EG，

∵点E，F分别是AC，BD的中点，
∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，
∴EG=12AB=1，FG=12CD=12×2AB=2，
∴EF=FG−EG=2−1=1．
【解析】(1)作∠MCE=∠B，得CM/​/AB，然后在CM上截取CD=2AB，即可完成画图；
(2)取BC中点G，连接EG，得EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，利用三角形中位线定理即可解决问题．
本题考查作图—复杂作图，三角形中位线定理，关键是掌握基本作图方法．
26.【答案】(1)123；0.404；
(2)0.4；
(3)0.6；
(4)15.
【解析】【分析】
考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为1．
(1)根据频率=频数÷样本总数分别求得a、b的值即可；
(2)从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在0.4左右；
(3)摸到红球的概率为1−0.4=0.6；
(4)根据红球的概率公式得到相应方程求解即可．
【解答】解：(1)a=300×0.41=123，b=606÷1500=0.404；
故答案为123；0.404；
(2)当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.4；
故答案为0.4；
(3)摸到红球的概率是1−0.4=0.6；
故答案为0.6；
(4)设红球有x个，根据题意得：xx+10=0.6，
解得：x=15；
故答案为：15．
27.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，OD=OB，
∴O是BD的中点，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE/​/AB，
∵OG/​/EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG=90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
(2)解：∵AD=10，E是AD的中点，
∴AE=12AD=5，
∵EF=4，
∴在Rt△AFE中，AF= AE2−EF2=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=10，OB=OD，OA=OC，BD⊥AC
∵OE是△ABD的中位线，
∴OE=12AB=5，
∵四边形OEFG是矩形，
∴OE=FG=5，OG=EF=4，
∴BG=AB−AF−FG=10−3−5=2，
在Rt△OBG中，OB= OG2+BG2= 42+22=2 5，
∴BD=4 5，
在Rt△AOB中，OA= AB2−OB2= 102−(2 5)2=4 5，
∴AC=8 5，
∴菱形ABCD的面积为12BD⋅AC=12×4 5×8 5=80．
【解析】(1)根据菱形的性质，证明OE是△ABD的中位线，得到OE/​/AB，进而证明四边形OEFG是平行四边形，再根据EF⊥AB，即可证明结论；
(2)利用线段中点和勾股定理，求得AF的长，然后根据菱形和矩形的性质，得到OG和BG的长，再利用勾股定理求出OB和OA的长，进而得到对角线BD和AC的长，即可求出菱形ABCD的面积．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，中位线的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形和矩形的性质是解题关键．
28.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠C=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠BAE+∠ABM=∠ABM+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE与△BCF中，
∠BAE=∠CBFAB=CB∠ABE=∠C，
∴△ABE≌△BCF(ASA)，
∴AE=BF；
(2)解：GE=BF．
证明：如图，过点A作AN//GE，

∵AD/​/BC，
∴四边形ANEG是平行四边形，
∴AN=GE，
∵GE⊥BF，
∴AN⊥BF，
由(1)可得△ABN≌△BCF，
∴AN=BF，
∴GE=BF；
(3)解：∵DF=2CF，CD=6，
∴CF=2，
若点E靠近C点，如图，过点G作GM⊥BC于点M，则四边形ABMG是矩形，

∴GM=AB，
∵AB=BC，
∴GM=BC，
∵GE=BF，
∴Rt△BCF≌Rt△GME(HL)，
∴CF=ME=2，
∵点G为AD的中点，
∴BM=3，
∴BE=3+2=5；
若点E靠近B点时，如图，GE=GE′，同理可得BE=CE′=1．

综上所述，BE的长为1或5．
【解析】(1)根据正方形的性质得到AB=BC，∠ABE=∠C=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠CBF，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
(2)过点A作AN//GE，可证四边形ANEG是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AN=GE，由(1)的结论可知AN=BF，所以GE=BF；
(3)分两种情况，由全等三角形的性质可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，掌握特殊几何图形的性质是解题的关键．摸球的次数s
150
300
600
900
1200
1500
摸到白球的频数n
63
a
247
365
484
606
摸到白球的频率ns
0.420
0.410
0.412
0.406
0.403
b