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2023-2024学年河南省信阳市淮滨县七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年河南省信阳市淮滨县七年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各数中，是无理数的是( )
A. π3B. 13C. 4D. 0.1010010001
2.在平面直角坐标系中，下列各点在第四象限的是( )
A. (3,1)B. (−3,1)C. (3,−1)D. (−3,−1)
3.下列车标中哪一个可以看成是由图案自身一部分经平移后得到的？( )
A. B. C. D.
4.下列命题是真命题的是( )
A. 内错角相等B. 若两个角的和为180°，则这两个角互补
C. 相等的角是对顶角D. 两个锐角的和是锐角
5.如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中不正确的是( )
A. ∠1与∠3是对顶角
B. ∠3与∠4是同旁内角
C. ∠3与∠4互补
D. ∠2与∠4是同位角
6.在平面直角坐标系的第二象限内有一点A，点A到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点A的坐标是( )
A. (−3,4)B. (4,−3)C. (−4,3)D. (3,−4)
7.如图，DE//BC，BE平分∠ABC，若∠1=70°，则∠CBE的度数为( )
A. 20°
B. 35°
C. 55°
D. 70°
8.已知一个正数的两个平方根分别是a+2与2a−11，那么这个数是( )
A. 4B. ±5C. −5D. 25
9.如图，下列条件：①∠1=∠3；②∠DAB=∠BCD；③∠ADC+∠DAB=180°；④∠2=∠4，其中能判定AD//BC的有( )
A. 1个B. 2个C. 4个D. 3个
10.如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示−1的点重合，圆沿着数轴滚动2周，此时点A表示的数是( )
A. −1+4πB. −1+2π
C. −1+4π或−1−4πD. −1+2π或−1−2π
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.比较大小：2______ 5(填“>”、“<”或“=”)．
12.下列三个日常现象：
其中，可以用“垂线段最短”来解释的是______.(填序号)
13.平面直角坐标系中，若点P(4−m,3m)在y轴上，则点P的坐标为______．
14.将一张矩纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= ______．
15.如图，在平面直角坐标系中，有若干个坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，(2,0)，(2,1)，(1,1)，(1,2)，(2,2)…根据这个规律，第2024个点的坐标为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：
(1)(−1)2022+|1− 2|+327；
(2) (−3)2− 2( 2−1)．
17.(本小题10分)
解方程：
(1)(x−2)2=16；
(2)3(x+1)3=81．
18.(本小题9分)
如图，点B、O、C三点在同一直线上，∠DOE=90°，
(1)若AO⊥BC，∠AOE=65°，求∠COE的度数；
(2)若∠BOD：∠COE=2：1，求∠COD的度数．
19.(本小题9分)
已知 3a−2=4，b是1的立方根，c是 50的整数部分，求3a+3b+4c的平方根．
20.(本小题8分)
请在下列空格内填写结论或理由，完成推理过程．
如图，已知AD⊥BC于D，点E在BA的延长线上，EG⊥BC于G，交AC于点F，∠E=∠1.求证：AD平分∠BAC．
证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G(已知)
∴∠ADC=∠EGC=90°(垂直的定义)
∴ ______(同位角相等，两直线平行)
∴∠1=∠2(______)
______=∠3(两直线平行，同位角相等)
又∵∠E=∠1(已知)
∴∠2=∠3(______)
∴AD平分∠BAC(角平分线的定义)
21.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点的坐标分别为(−5,4)、(−3,0)、(0,2)．
(1)画出三角形ABC，并求其面积；
(2)如图，△A′B′C′是由△ABC经过怎样的平移得到的？
(3)已知点P(a,b)为△ABC内的一点，则点P在△A′B′C′内的对应点P′的坐标是(______，______).
22.(本小题10分)
小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出−50653的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为103=1000，1003=1000000，所以350653是两位数；
②其次观察了立方数：13=1，23=8，33=27，43=64，53=125，63=216，73=343，83=512，93=729；猜想350653的个位数字是7；
③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为33=27，43=64，所以350653的十位数字应为3，于是猜想350653=37，验证得：50653的立方根是37；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到3−50653=−37，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1)3−117649=______；
(2)若31−2x+35=0，则x=______；
已知3x−2+2=x，且33y−1与31−2x互为相反数，求x，y的值．
23.(本小题11分)
在同一平面内，如果线段外一点到这条线段所在的直线的距离是2，我们称这个点为这条线段的“标准距离点”.例如，图1中点P为线段MN外一点，点P到线段MN所在的直线的距离PO是2，则称点P是线段MN的“标准距离点”.如图2，平面直角坐标系xOy中，点A(2,0)，点B(−1,a)在第二象限．
(1)在点G(0,1)，H(3,2)，K(−2,−2)中，线段OA的“标准距离点”是______(只填字母)；
(2)若点B是线段OA的“标准距离点”．
①a的值为______；
②点C是x轴上一点(点C不与点A重合)，三角形OBC的面积等于三角形OAB的面积，直接写出点C的坐标；
③已知点D(m,n)是线段OA的“标准距离点”，其中m<−1，n是正数，连接AD交线段OB于点E，点F在x轴上，如果三角形BDE的面积等于三角形BEF的面积，求点F的坐标(用含m的式子表示)．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A．π3是无理数，故本选项符合题意；
B.13是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C. 4=2，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：A．
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， 6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
2.【答案】C
【解析】解：A.(3,1)在第一象限，故本选项不符合题意；
B.(−3,1)在第二象限，故本选项不符合题意；
C.(3,−1)在第四象限，故本选项符合题意；
D.(−3,−1)在第三象限，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据各象限内点的坐标特征解答对各选项分析判断后利用排除法求解即可
本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
3.【答案】D
【解析】解：A、是一个对称图形，不能由平移得到，故不符合题意；
B、是一个对称图形，不能由平移得到，故不符合题意；
C、是一个对称图形，不能由平移得到，故不符合题意；
D、图案自身的一部分经平移后得到，故符合题意．
故选：D．
根据平移不改变图形的形状和大小，结合图案，对选项一一分析，排除错误答案．
本题考查了利用平移设计图案，图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错．
4.【答案】B
【解析】解：两直线平行，内错角相等，故A是假命题，不符合题意；
若两个角的和为180°，则这两个角互补，故B是真命题，符合题意；
相等的角不一定是对顶角，故C是假命题，不符合题意；
两个锐角的和可能是锐角，直角或钝角，故D是假命题，不符合题意；
故选：B．
根据平行线性质，两个角互补的定义，对顶角性质等逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材扇相关的概念和定理．
5.【答案】C
【解析】解：A.∠1与∠3是对顶角，因此选项A不符合题意；
B.∠3与∠4是同旁内角，因此选项B不符合题意；
C.∠3与∠4是同旁内角，不一定互补，因此选项C符合题意；
D.∠2与∠4是同位角，因此选项D不符合题意；
故选：C．
根据对顶角、邻补角、同位角、内错角、同旁内角的定义进行判断即可．
本题考查同位角、内错角、同旁内角以及对顶角、邻补角，理解同位角、内错角、同旁内角以及对顶角的定义是正确判断的前提．
6.【答案】A
【解析】解：由题意可得，
|x|=3，|y|=4，
∵点A在第二象限，
∴x=−3，y=4，
即A(−3,4)，
故选：A．
根据第二象限内点的坐标特征，可得答案．
本题考查了直角坐标系，正确理解横坐标与纵坐标的意义是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等，根据平行线的性质可得∠1=∠ABC=70°，再根据角平分线的定义可得答案．
【解答】
解：∵DE//BC，
∴∠1=∠ABC=70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=12∠ABC=35°．
故选B．
8.【答案】D
【解析】解：∵一个正数的两个平方根分别是a+2和2a−11，
∴a+2+2a−11=0，
解得：a=3，
a+2=5，
则这个正数是25．
故选：D．
根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数得出a+2+2a−11=0，求出a，即可得出答案．
本题考查了平方根的应用，能根据题意得出关于a的方程是解此题的关键，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
9.【答案】A
【解析】解：①∵∠1=∠3，∴AD//BC；
②∵∠DAB=∠BCD，不能判定AD//BC；
③∵∠ADC+∠DAB=180°，∴DC//AB；
④∵∠2=∠4，∴DC//AB；
故选：A．
依据平行线的判定方法进行判断，即可得出结论．
本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
10.【答案】C
【解析】解：圆的周长为：2π×1=2π，
沿着数轴正方向滚动2周后，A点表示的数是：−1+4π，
沿着数轴负方向滚动2周后，A点表示的数是：−1−4π，
故选：C．
本题通过圆滚动两周，实际上就是A点移动了两个圆的周长的长度，因为没有给定方向，所以有两种情况，分别向左和向右．
本题主要考查数轴上的点移动后的表示方法，和圆的周长的计算．
11.【答案】<
【解析】解：∵2= 4，
∴ 4< 5，
∴2< 5；
故答案为：<．
根据2= 4< 5即可得出答案．
此题考查了实数的大小比较．关键是得出2= 4< 5，题目比较基础，难度适中．
12.【答案】①
【解析】解：可以用“垂线段最短”来解释的是①，
故答案为：①．
根据垂线的性质：垂线段最短即可得到结论．
本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．
13.【答案】(0,12)
【解析】解：∵点P(4−m,3m)在y轴上，
∴4−m=0，
解得m=4，
∴3m=12，
∴点P的坐标为(0,12)．
故答案为：(0,12)．
根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，然后求解即可．
本题考查了点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
14.【答案】52°
【解析】解：∵∠GEF=∠FEC=64°，
∴∠BEG=180°−64°×2=52°，
∵AD//BC，
∴∠1=∠BEG=52°．
故答案为：52°．
根据翻折变换的性质求出∠GEF的度数，从而求出∠GEB的度数，再根据平行线的性质求出∠1的度数．
本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
15.【答案】(45,1)
【解析】解：由图可知：第一个正方形每条边上有2个点，共有4=22个点，且终点为(1,1)；
第二个正方形每条边上有3个点，连同第一个正方形共有9=32个点，且终点为(3,0)；
第三个正方形每条边上有4个点，连同前两个正方形共有16=42个点，且终点为(1,3)；
第四个正方形每条边上有5个点，连同前两个正方形共有25=52个点，且终点为(5,0)；
故当n为奇数时，第n个正方形每条边上有(n+1)个点，连同前边所有正方形共有(n+1)2个点，且终点为(1,n)；
当n为偶数时，第n个正方形每条边上有(n+1)个点，连同前边所以正方形共有(n+1)2点，且终点为(n+1,0)．
而2024=452−1，n+1=45，
解得：n=44．
由规律可知，第44个正方形每条边上有45个点，且终点坐标为(45,0)，由图可知，再倒着推1个点的坐标为：(45,1)．
故答案为：(45,1)．
根据图形推导出当n为奇数时，第n个正方形每条边上有(n+1)个点，连同前边所有正方形共有(n+1)2个点，且终点为(1,n)；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有(n+1)个点，连同前边所以正方形共有(n+1)2点，且终点为(n+1,0).而2024=452−1，由n+1=45，解得n=44.由规律可知，第44个正方形每条边上有45个点，且终点坐标为(45,0)，由图可知，再倒着推1个点的坐标即可得到答案．
本题考查了点的坐标的规律变化，观察出点的个数按照平方数的规律变化是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=1+ 2−1+3
=3+ 2；
(2)原式=3−2+ 2
=1+ 2．
【解析】(1)利用有理数的乘方法则，绝对值的意义，立方根的意义化简运算即可；
(2)利用二次根式的性质化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，有理数的乘方法则，绝对值的意义，立方根的意义和二次根式的性质，熟练掌握上述法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1)∵(x−2)2=16，
∴x−2=±4，
∴x=6或x=−2．
(2)∵3(x+1)3=81，
∴(x+1)3=27，
∴x+1=3，
∴x=2．
【解析】(1)利用平方根的意义解答即可；
(2)利用立方根的意义解答即可．
本题主要考查了立方根和平方根的意义，熟练掌握平方根与立方根的意义是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵AO⊥BC，
∴∠AOC=90°，
∵∠AOE=65°，
∴∠COE=90°−∠AOE=25°；
(2)∵∠BOD+∠DOE+∠COE=90°，∠DOE=90°，
∴∠BOD+∠COE=90°，
∵∠BOD：∠COE=2：1，
∴∠BOD=2∠COE，
∴2∠COE+∠COE=90°，
∴∠COE=30°，
∴∠COD=∠COE+∠DOE=120°．
【解析】(1)由垂直的定义可得∠AOC=90°，再根据角度的和差可得出结论；
(2)由∠DOE=90°，可得∠BOD+∠COE=90°，再结合比例关系，代入可得∠COE的度数，再根据角度的和差可得出结论．
本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．
19.【答案】解：∵ 3a−2=4，b是1的立方根，c是 50的整数部分，
∴3a−2=16，b=31，7< 50<8
∴a=6，b=1，c=7．
∴3a+3b+4c
=3×6+3×1+4×7
=49．
∴± 3a+3b+4c
=± 49
=±7．
【解析】先根据算术平方根、立方根的定义确定a、b，再估算 50确定c，最后求出3a+3b+4c的平方根．
本题主要考查了平方根、立方根，掌握平方根、立方根的定义，估算 50的整数部分是解决本题的关键．
20.【答案】AD//EG 两直线平行，内错角相等 ∠E 等量代换
【解析】证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G(已知)，
∴∠ADC=∠EGC=90°(垂直的定义)，
∴AD//EG(同位角相等，两直线平行)，
∴∠1=∠2(两直线平行，内错角相等)，
∠E=∠3(两直线平行，同位角相等)，
又∵∠E=∠1(已知)，
∴∠2=∠3(等量代换)，
∴AD平分∠BAC(角平分线的定义)，
故答案为：AD//EG；两直线平行，内错角相等；∠E；等量代换．
根据垂直的定义得出∠ADC=∠EGC=90°，进而利用平行线的判定和性质解答即可．
本题考查的是平行线的性质和判定和角平分线，灵活运用性质和概念是解题的关键，解答时，注意步骤要规范、清楚．
21.【答案】解：(1)如图，△ABC即为所求．
S△ABC=4×5−12×2×4−12×2×5−12×2×3=8；
(2)先向右平移4个单位，再向下平移3个单位．
(3)a+4 ，b−3
【解析】(1)根据A，B，C的坐标作出图形即可．
(2)根据平移变换的规律解决问题即可．
(3)利用平移规律解决问题即可．
本题考查坐标与图形的变化−平移，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)−49；
(2)∵31−2x+35=0，
∴1−2x=−5，解得x=3．
∵3x−2+2=x，
∴3x−2=x−2，
∴x−2=0或x−2=1或x−2=−1，
解得x=2或x=3或x=1；
∵33y−1与31−2x互为相反数，
∴3y−1=2x−1，
即3y−1=3或3y−1=5或3y−1=1，
解得y=43或2或23．
【解析】解：(1)∵103=1000，1003=1000000，
∴3117649是两位数．
∵13=1，23=8，33=27，43=64，53=125，63=216，73=343，83=512，93=729；3117649的个位数字是9．
∵将117649往前移动3位小数点后约为117，因为33=27，43=64，53=125，所以3117649的十位数字应为4，
∴117649的立方根是49，．
∵两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，
∴3−117649=−49．
故答案为：−49；
(2)∵31−2x+35=0，
∴1−2x=−5，解得x=3．
∵3x−2+2=x，
∴3x−2=x−2，
∴x−2=0或x−2=1或x−2=−1，
解得x=2或x=3或x=1；
∵33y−1与31−2x互为相反数，
∴3y−1=2x−1，
即3y−1=3或3y−1=5或3y−1=1，
解得y=43或2或23．
(1)根据题中的猜想得出3117649的个位数与十位数，再取其相反数即可；
(2)根据两数相加等于0列出关于x的方程，求出x的值；由3x−2+2=x求出x的值，再根据相反数的定义列出关于y的方程，求出y的值即可．
本题考查的是实数的性质，熟知若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数是解题关键．
23.【答案】H K
【解析】解：(1)∵点G(0,1)到x轴的距离为1，点H(3,2)到x轴的距离为2，K(−2,−2)到x轴的距离为2，
∴点G(0,1)到线段OA的距离为1，点H(3,2)到线段OA的距离为2，K(−2,−2)到线段OA的距离为2，
∴线段OA的“标准距离点”是点H和点K．
故答案为：H，K；
(2)①∵点B(−1,a)是线段OA的“标准距离点”，
∴|a|=2∴a=±2，
∵点B(−1,a)在第二象限，
∴a=2；
②设点C的坐标为(x,0)，过点B作BM⊥x轴于点M，
∵A(2,0)，B(−1,2)，C(x,0)，
∴AO=2，CO=|x|，BM=2，
∴S△OAB=12AO⋅BM=12×2×2=2S△OBC=12CO⋅BM=12×|x|×2=|x|，
∵S△OBC=S△OAB，
∴|x|=2，
解得x=±2，
∴点C的坐标为(2,0)或(−2,0)，
∵点C不与点A重合，
∴点C的坐标为(−2,0)，
③过点E作PQ⊥x轴于点P，与DB的延长线交于点Q，
∵点D(m,n)是线段OA的“标准距离点”，其中m<−1，n是正数，
∴n=2，即点D的坐标为(m,2)，
∵B(−1,2)，
∴BD//x轴，BD=−1−m，
∵PQ⊥x轴，BD//x轴，
∴PQ⊥BD，
∴PQ=2，PE=PQ−EQ，
∵S△BDE=12DB⋅PE，
S△BEF=S△BFO−S△EFO=12FO⋅PQ−12FO⋅EQ=12FO(PQ−EQ)=12FO⋅PE
又S△BDE=S△BEF，
∴12DB⋅PE=12FO⋅PE
∴FO=DB=−1−m，
∴点F的坐标为(−m−1,0)或(m+1,0)．
(1)根据“标准距离点”的定义，线段OA的“标准距离点”就是要求到线段OA的距离为2，又线段OA在x轴上，即要求到x轴的距离为2，故点H、K满足要求；
(2)①由于点B是线段OA的“标准距离点”，所以a=2；
②设点C的坐标为(x,0)，过点B作BM⊥x轴于点M，则S△OAB=12AO⋅BM=12×2×2=2，S△OBC=12CO⋅BM=12×|x|×2=|x|，根据S△OBC=S△OAB列出方程求解即可；
③过点E作PQ⊥x轴于点P，与DB的延长线交于点Q，则PQ⊥BD，由点D(m,n)是线段OA的“标准距离点”，其中m<−1，n是正数可得点D的坐标为(m,2)，由点B、点D的坐标可得BD=−1−m，由于S△BDE=12DB⋅PE，S△BEF=S△BFO−S△EFO=12FO(PQ−EQ)=12FO⋅PE，根据S△BDE=S△BEF得到FO=DB=−1−m，因此点F的坐标为(−m−1,0)或(m+1,0)．
本题主要考查新定义，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，坐标系中求三角形的面积．解题的关键是平面直角坐标系中线段的长的求解．
1.下列各数中，是无理数的是( )
A. π3B. 13C. 4D. 0.1010010001
2.在平面直角坐标系中，下列各点在第四象限的是( )
A. (3,1)B. (−3,1)C. (3,−1)D. (−3,−1)
3.下列车标中哪一个可以看成是由图案自身一部分经平移后得到的？( )
A. B. C. D.
4.下列命题是真命题的是( )
A. 内错角相等B. 若两个角的和为180°，则这两个角互补
C. 相等的角是对顶角D. 两个锐角的和是锐角
5.如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中不正确的是( )
A. ∠1与∠3是对顶角
B. ∠3与∠4是同旁内角
C. ∠3与∠4互补
D. ∠2与∠4是同位角
6.在平面直角坐标系的第二象限内有一点A，点A到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点A的坐标是( )
A. (−3,4)B. (4,−3)C. (−4,3)D. (3,−4)
7.如图，DE//BC，BE平分∠ABC，若∠1=70°，则∠CBE的度数为( )
A. 20°
B. 35°
C. 55°
D. 70°
8.已知一个正数的两个平方根分别是a+2与2a−11，那么这个数是( )
A. 4B. ±5C. −5D. 25
9.如图，下列条件：①∠1=∠3；②∠DAB=∠BCD；③∠ADC+∠DAB=180°；④∠2=∠4，其中能判定AD//BC的有( )
A. 1个B. 2个C. 4个D. 3个
10.如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示−1的点重合，圆沿着数轴滚动2周，此时点A表示的数是( )
A. −1+4πB. −1+2π
C. −1+4π或−1−4πD. −1+2π或−1−2π
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.比较大小：2______ 5(填“>”、“<”或“=”)．
12.下列三个日常现象：
其中，可以用“垂线段最短”来解释的是______.(填序号)
13.平面直角坐标系中，若点P(4−m,3m)在y轴上，则点P的坐标为______．
14.将一张矩纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= ______．
15.如图，在平面直角坐标系中，有若干个坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，(2,0)，(2,1)，(1,1)，(1,2)，(2,2)…根据这个规律，第2024个点的坐标为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：
(1)(−1)2022+|1− 2|+327；
(2) (−3)2− 2( 2−1)．
17.(本小题10分)
解方程：
(1)(x−2)2=16；
(2)3(x+1)3=81．
18.(本小题9分)
如图，点B、O、C三点在同一直线上，∠DOE=90°，
(1)若AO⊥BC，∠AOE=65°，求∠COE的度数；
(2)若∠BOD：∠COE=2：1，求∠COD的度数．
19.(本小题9分)
已知 3a−2=4，b是1的立方根，c是 50的整数部分，求3a+3b+4c的平方根．
20.(本小题8分)
请在下列空格内填写结论或理由，完成推理过程．
如图，已知AD⊥BC于D，点E在BA的延长线上，EG⊥BC于G，交AC于点F，∠E=∠1.求证：AD平分∠BAC．
证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G(已知)
∴∠ADC=∠EGC=90°(垂直的定义)
∴ ______(同位角相等，两直线平行)
∴∠1=∠2(______)
______=∠3(两直线平行，同位角相等)
又∵∠E=∠1(已知)
∴∠2=∠3(______)
∴AD平分∠BAC(角平分线的定义)
21.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点的坐标分别为(−5,4)、(−3,0)、(0,2)．
(1)画出三角形ABC，并求其面积；
(2)如图，△A′B′C′是由△ABC经过怎样的平移得到的？
(3)已知点P(a,b)为△ABC内的一点，则点P在△A′B′C′内的对应点P′的坐标是(______，______).
22.(本小题10分)
小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出−50653的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为103=1000，1003=1000000，所以350653是两位数；
②其次观察了立方数：13=1，23=8，33=27，43=64，53=125，63=216，73=343，83=512，93=729；猜想350653的个位数字是7；
③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为33=27，43=64，所以350653的十位数字应为3，于是猜想350653=37，验证得：50653的立方根是37；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到3−50653=−37，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1)3−117649=______；
(2)若31−2x+35=0，则x=______；
已知3x−2+2=x，且33y−1与31−2x互为相反数，求x，y的值．
23.(本小题11分)
在同一平面内，如果线段外一点到这条线段所在的直线的距离是2，我们称这个点为这条线段的“标准距离点”.例如，图1中点P为线段MN外一点，点P到线段MN所在的直线的距离PO是2，则称点P是线段MN的“标准距离点”.如图2，平面直角坐标系xOy中，点A(2,0)，点B(−1,a)在第二象限．
(1)在点G(0,1)，H(3,2)，K(−2,−2)中，线段OA的“标准距离点”是______(只填字母)；
(2)若点B是线段OA的“标准距离点”．
①a的值为______；
②点C是x轴上一点(点C不与点A重合)，三角形OBC的面积等于三角形OAB的面积，直接写出点C的坐标；
③已知点D(m,n)是线段OA的“标准距离点”，其中m<−1，n是正数，连接AD交线段OB于点E，点F在x轴上，如果三角形BDE的面积等于三角形BEF的面积，求点F的坐标(用含m的式子表示)．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A．π3是无理数，故本选项符合题意；
B.13是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C. 4=2，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：A．
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， 6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
2.【答案】C
【解析】解：A.(3,1)在第一象限，故本选项不符合题意；
B.(−3,1)在第二象限，故本选项不符合题意；
C.(3,−1)在第四象限，故本选项符合题意；
D.(−3,−1)在第三象限，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据各象限内点的坐标特征解答对各选项分析判断后利用排除法求解即可
本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
3.【答案】D
【解析】解：A、是一个对称图形，不能由平移得到，故不符合题意；
B、是一个对称图形，不能由平移得到，故不符合题意；
C、是一个对称图形，不能由平移得到，故不符合题意；
D、图案自身的一部分经平移后得到，故符合题意．
故选：D．
根据平移不改变图形的形状和大小，结合图案，对选项一一分析，排除错误答案．
本题考查了利用平移设计图案，图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错．
4.【答案】B
【解析】解：两直线平行，内错角相等，故A是假命题，不符合题意；
若两个角的和为180°，则这两个角互补，故B是真命题，符合题意；
相等的角不一定是对顶角，故C是假命题，不符合题意；
两个锐角的和可能是锐角，直角或钝角，故D是假命题，不符合题意；
故选：B．
根据平行线性质，两个角互补的定义，对顶角性质等逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材扇相关的概念和定理．
5.【答案】C
【解析】解：A.∠1与∠3是对顶角，因此选项A不符合题意；
B.∠3与∠4是同旁内角，因此选项B不符合题意；
C.∠3与∠4是同旁内角，不一定互补，因此选项C符合题意；
D.∠2与∠4是同位角，因此选项D不符合题意；
故选：C．
根据对顶角、邻补角、同位角、内错角、同旁内角的定义进行判断即可．
本题考查同位角、内错角、同旁内角以及对顶角、邻补角，理解同位角、内错角、同旁内角以及对顶角的定义是正确判断的前提．
6.【答案】A
【解析】解：由题意可得，
|x|=3，|y|=4，
∵点A在第二象限，
∴x=−3，y=4，
即A(−3,4)，
故选：A．
根据第二象限内点的坐标特征，可得答案．
本题考查了直角坐标系，正确理解横坐标与纵坐标的意义是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等，根据平行线的性质可得∠1=∠ABC=70°，再根据角平分线的定义可得答案．
【解答】
解：∵DE//BC，
∴∠1=∠ABC=70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=12∠ABC=35°．
故选B．
8.【答案】D
【解析】解：∵一个正数的两个平方根分别是a+2和2a−11，
∴a+2+2a−11=0，
解得：a=3，
a+2=5，
则这个正数是25．
故选：D．
根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数得出a+2+2a−11=0，求出a，即可得出答案．
本题考查了平方根的应用，能根据题意得出关于a的方程是解此题的关键，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
9.【答案】A
【解析】解：①∵∠1=∠3，∴AD//BC；
②∵∠DAB=∠BCD，不能判定AD//BC；
③∵∠ADC+∠DAB=180°，∴DC//AB；
④∵∠2=∠4，∴DC//AB；
故选：A．
依据平行线的判定方法进行判断，即可得出结论．
本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
10.【答案】C
【解析】解：圆的周长为：2π×1=2π，
沿着数轴正方向滚动2周后，A点表示的数是：−1+4π，
沿着数轴负方向滚动2周后，A点表示的数是：−1−4π，
故选：C．
本题通过圆滚动两周，实际上就是A点移动了两个圆的周长的长度，因为没有给定方向，所以有两种情况，分别向左和向右．
本题主要考查数轴上的点移动后的表示方法，和圆的周长的计算．
11.【答案】<
【解析】解：∵2= 4，
∴ 4< 5，
∴2< 5；
故答案为：<．
根据2= 4< 5即可得出答案．
此题考查了实数的大小比较．关键是得出2= 4< 5，题目比较基础，难度适中．
12.【答案】①
【解析】解：可以用“垂线段最短”来解释的是①，
故答案为：①．
根据垂线的性质：垂线段最短即可得到结论．
本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．
13.【答案】(0,12)
【解析】解：∵点P(4−m,3m)在y轴上，
∴4−m=0，
解得m=4，
∴3m=12，
∴点P的坐标为(0,12)．
故答案为：(0,12)．
根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，然后求解即可．
本题考查了点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
14.【答案】52°
【解析】解：∵∠GEF=∠FEC=64°，
∴∠BEG=180°−64°×2=52°，
∵AD//BC，
∴∠1=∠BEG=52°．
故答案为：52°．
根据翻折变换的性质求出∠GEF的度数，从而求出∠GEB的度数，再根据平行线的性质求出∠1的度数．
本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
15.【答案】(45,1)
【解析】解：由图可知：第一个正方形每条边上有2个点，共有4=22个点，且终点为(1,1)；
第二个正方形每条边上有3个点，连同第一个正方形共有9=32个点，且终点为(3,0)；
第三个正方形每条边上有4个点，连同前两个正方形共有16=42个点，且终点为(1,3)；
第四个正方形每条边上有5个点，连同前两个正方形共有25=52个点，且终点为(5,0)；
故当n为奇数时，第n个正方形每条边上有(n+1)个点，连同前边所有正方形共有(n+1)2个点，且终点为(1,n)；
当n为偶数时，第n个正方形每条边上有(n+1)个点，连同前边所以正方形共有(n+1)2点，且终点为(n+1,0)．
而2024=452−1，n+1=45，
解得：n=44．
由规律可知，第44个正方形每条边上有45个点，且终点坐标为(45,0)，由图可知，再倒着推1个点的坐标为：(45,1)．
故答案为：(45,1)．
根据图形推导出当n为奇数时，第n个正方形每条边上有(n+1)个点，连同前边所有正方形共有(n+1)2个点，且终点为(1,n)；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有(n+1)个点，连同前边所以正方形共有(n+1)2点，且终点为(n+1,0).而2024=452−1，由n+1=45，解得n=44.由规律可知，第44个正方形每条边上有45个点，且终点坐标为(45,0)，由图可知，再倒着推1个点的坐标即可得到答案．
本题考查了点的坐标的规律变化，观察出点的个数按照平方数的规律变化是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=1+ 2−1+3
=3+ 2；
(2)原式=3−2+ 2
=1+ 2．
【解析】(1)利用有理数的乘方法则，绝对值的意义，立方根的意义化简运算即可；
(2)利用二次根式的性质化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，有理数的乘方法则，绝对值的意义，立方根的意义和二次根式的性质，熟练掌握上述法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1)∵(x−2)2=16，
∴x−2=±4，
∴x=6或x=−2．
(2)∵3(x+1)3=81，
∴(x+1)3=27，
∴x+1=3，
∴x=2．
【解析】(1)利用平方根的意义解答即可；
(2)利用立方根的意义解答即可．
本题主要考查了立方根和平方根的意义，熟练掌握平方根与立方根的意义是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵AO⊥BC，
∴∠AOC=90°，
∵∠AOE=65°，
∴∠COE=90°−∠AOE=25°；
(2)∵∠BOD+∠DOE+∠COE=90°，∠DOE=90°，
∴∠BOD+∠COE=90°，
∵∠BOD：∠COE=2：1，
∴∠BOD=2∠COE，
∴2∠COE+∠COE=90°，
∴∠COE=30°，
∴∠COD=∠COE+∠DOE=120°．
【解析】(1)由垂直的定义可得∠AOC=90°，再根据角度的和差可得出结论；
(2)由∠DOE=90°，可得∠BOD+∠COE=90°，再结合比例关系，代入可得∠COE的度数，再根据角度的和差可得出结论．
本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．
19.【答案】解：∵ 3a−2=4，b是1的立方根，c是 50的整数部分，
∴3a−2=16，b=31，7< 50<8
∴a=6，b=1，c=7．
∴3a+3b+4c
=3×6+3×1+4×7
=49．
∴± 3a+3b+4c
=± 49
=±7．
【解析】先根据算术平方根、立方根的定义确定a、b，再估算 50确定c，最后求出3a+3b+4c的平方根．
本题主要考查了平方根、立方根，掌握平方根、立方根的定义，估算 50的整数部分是解决本题的关键．
20.【答案】AD//EG 两直线平行，内错角相等 ∠E 等量代换
【解析】证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G(已知)，
∴∠ADC=∠EGC=90°(垂直的定义)，
∴AD//EG(同位角相等，两直线平行)，
∴∠1=∠2(两直线平行，内错角相等)，
∠E=∠3(两直线平行，同位角相等)，
又∵∠E=∠1(已知)，
∴∠2=∠3(等量代换)，
∴AD平分∠BAC(角平分线的定义)，
故答案为：AD//EG；两直线平行，内错角相等；∠E；等量代换．
根据垂直的定义得出∠ADC=∠EGC=90°，进而利用平行线的判定和性质解答即可．
本题考查的是平行线的性质和判定和角平分线，灵活运用性质和概念是解题的关键，解答时，注意步骤要规范、清楚．
21.【答案】解：(1)如图，△ABC即为所求．
S△ABC=4×5−12×2×4−12×2×5−12×2×3=8；
(2)先向右平移4个单位，再向下平移3个单位．
(3)a+4 ，b−3
【解析】(1)根据A，B，C的坐标作出图形即可．
(2)根据平移变换的规律解决问题即可．
(3)利用平移规律解决问题即可．
本题考查坐标与图形的变化−平移，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)−49；
(2)∵31−2x+35=0，
∴1−2x=−5，解得x=3．
∵3x−2+2=x，
∴3x−2=x−2，
∴x−2=0或x−2=1或x−2=−1，
解得x=2或x=3或x=1；
∵33y−1与31−2x互为相反数，
∴3y−1=2x−1，
即3y−1=3或3y−1=5或3y−1=1，
解得y=43或2或23．
【解析】解：(1)∵103=1000，1003=1000000，
∴3117649是两位数．
∵13=1，23=8，33=27，43=64，53=125，63=216，73=343，83=512，93=729；3117649的个位数字是9．
∵将117649往前移动3位小数点后约为117，因为33=27，43=64，53=125，所以3117649的十位数字应为4，
∴117649的立方根是49，．
∵两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，
∴3−117649=−49．
故答案为：−49；
(2)∵31−2x+35=0，
∴1−2x=−5，解得x=3．
∵3x−2+2=x，
∴3x−2=x−2，
∴x−2=0或x−2=1或x−2=−1，
解得x=2或x=3或x=1；
∵33y−1与31−2x互为相反数，
∴3y−1=2x−1，
即3y−1=3或3y−1=5或3y−1=1，
解得y=43或2或23．
(1)根据题中的猜想得出3117649的个位数与十位数，再取其相反数即可；
(2)根据两数相加等于0列出关于x的方程，求出x的值；由3x−2+2=x求出x的值，再根据相反数的定义列出关于y的方程，求出y的值即可．
本题考查的是实数的性质，熟知若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数是解题关键．
23.【答案】H K
【解析】解：(1)∵点G(0,1)到x轴的距离为1，点H(3,2)到x轴的距离为2，K(−2,−2)到x轴的距离为2，
∴点G(0,1)到线段OA的距离为1，点H(3,2)到线段OA的距离为2，K(−2,−2)到线段OA的距离为2，
∴线段OA的“标准距离点”是点H和点K．
故答案为：H，K；
(2)①∵点B(−1,a)是线段OA的“标准距离点”，
∴|a|=2∴a=±2，
∵点B(−1,a)在第二象限，
∴a=2；
②设点C的坐标为(x,0)，过点B作BM⊥x轴于点M，
∵A(2,0)，B(−1,2)，C(x,0)，
∴AO=2，CO=|x|，BM=2，
∴S△OAB=12AO⋅BM=12×2×2=2S△OBC=12CO⋅BM=12×|x|×2=|x|，
∵S△OBC=S△OAB，
∴|x|=2，
解得x=±2，
∴点C的坐标为(2,0)或(−2,0)，
∵点C不与点A重合，
∴点C的坐标为(−2,0)，
③过点E作PQ⊥x轴于点P，与DB的延长线交于点Q，
∵点D(m,n)是线段OA的“标准距离点”，其中m<−1，n是正数，
∴n=2，即点D的坐标为(m,2)，
∵B(−1,2)，
∴BD//x轴，BD=−1−m，
∵PQ⊥x轴，BD//x轴，
∴PQ⊥BD，
∴PQ=2，PE=PQ−EQ，
∵S△BDE=12DB⋅PE，
S△BEF=S△BFO−S△EFO=12FO⋅PQ−12FO⋅EQ=12FO(PQ−EQ)=12FO⋅PE
又S△BDE=S△BEF，
∴12DB⋅PE=12FO⋅PE
∴FO=DB=−1−m，
∴点F的坐标为(−m−1,0)或(m+1,0)．
(1)根据“标准距离点”的定义，线段OA的“标准距离点”就是要求到线段OA的距离为2，又线段OA在x轴上，即要求到x轴的距离为2，故点H、K满足要求；
(2)①由于点B是线段OA的“标准距离点”，所以a=2；
②设点C的坐标为(x,0)，过点B作BM⊥x轴于点M，则S△OAB=12AO⋅BM=12×2×2=2，S△OBC=12CO⋅BM=12×|x|×2=|x|，根据S△OBC=S△OAB列出方程求解即可；
③过点E作PQ⊥x轴于点P，与DB的延长线交于点Q，则PQ⊥BD，由点D(m,n)是线段OA的“标准距离点”，其中m<−1，n是正数可得点D的坐标为(m,2)，由点B、点D的坐标可得BD=−1−m，由于S△BDE=12DB⋅PE，S△BEF=S△BFO−S△EFO=12FO(PQ−EQ)=12FO⋅PE，根据S△BDE=S△BEF得到FO=DB=−1−m，因此点F的坐标为(−m−1,0)或(m+1,0)．
本题主要考查新定义，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，坐标系中求三角形的面积．解题的关键是平面直角坐标系中线段的长的求解．
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河南省信阳市淮滨县2023-2024学年七年级上册期中数学试题（含解析）： 这是一份河南省信阳市淮滨县2023-2024学年七年级上册期中数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
