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2021-2022学年天津市河北区汇森中学九年级（上）期中数学试卷 答案解析
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这是一份2021-2022学年天津市河北区汇森中学九年级（上）期中数学试卷 答案解析，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知点P的坐标是（﹣6，5），则P点关于原点的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣6，﹣5）B．（6，5）C．（6，﹣5）D．（5，﹣6）
3．二次函数y＝（x+2）2﹣1的顶点是（ ）
A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）
4．将抛物线y＝（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2B．y＝（x﹣2）2+6
C．y＝x2+6D．y＝x2
5．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（ ）
A．x（x+1）＝210B．x（x﹣1）＝210
C．2x（x﹣1）＝210D．x（x﹣1）＝210
6．一次函数y＝ax+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+x+c的图象可能大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（ ）
A．8cmB．5cmC．3cmD．2cm
8．如图，PA、PB分别与半径为3的⊙O相切于点A，B，直线CD分别交PA、PB于点C，D，并切⊙O于点E，当PO＝5时，△PCD的周长为（ ）
A．4B．5C．8D．10
9．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
A．（2，10）B．（﹣2，0）
C．（2，10）或（﹣2，0）D．（10，2）或（﹣2，0）
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：
①4a+2b＜0；
②﹣1≤a≤；
③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；
④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．
其中结论正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．如果y＝（m2﹣1）x是二次函数，则m＝ ．
12．已知二次函数y＝（x﹣1）2+2，当x＞1时，y随x的增大而 （填“减小”或“增大”）．
13．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（5，y3）三点，则y1、y2、y3大小关系是 ．
14．如图所示，△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为 ．
15．一球从地面抛出的运动路线呈抛物线．当球离抛出地的水平距离为10m时，达到最大高度5m，则球被抛出 m．
16．如图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB＝30°，则∠AOB的度数是 ．
17．如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，4），P是△AOB外接圆⊙C上的一点，且∠AOP＝45°，则点P的坐标为 ．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ取最小值时，Q点的坐标为 ．
三、解答题
19．解方程：x2﹣8x+12＝0．（注：解方程时要给出详细的解答过程）
20．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（0，3），（﹣1，0），（3，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求它的对称轴和顶点．
21．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．
（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数；
（2）若AC＝4，CE＝2，求⊙O半径的长．
22．一种进价为每件80元的T恤，若销售单价为100元，则每月可卖出200件，为提高利润，欲对该T恤进行涨价销售，经过调查发现：若每涨价5元，则每月少卖出10件，求该T恤涨价后每月的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？
23．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，8），点B（m，0），且m＞0．把△AOB绕点A逆时针旋转90°，得△ACD，点O，B旋转后的对应点为C，D．
（1）点C的坐标为 ；
（2）①设△BCD的面积为S，用含m的式子表示S，并写出m的取值范围；
②当S＝6时，求点B的坐标（直接写出结果即可）．
24．已知：抛物线l1：y＝﹣x2+2x+3交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（6，0），交y轴于点D（0，﹣3）．
（1）求抛物线l2的函数表达式；
（2）P为抛物线l1的对称轴上一动点，连接PA，PC，当∠APC＝90°时，求点P的坐标；
（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．
2021-2022学年天津市河北区汇森中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．已知点P的坐标是（﹣6，5），则P点关于原点的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣6，﹣5）B．（6，5）C．（6，﹣5）D．（5，﹣6）
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
【解答】解：∵点P的坐标是（﹣6，5），
∴P点关于原点的对称点的坐标是（6，﹣5），
故选：C．
【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
3．二次函数y＝（x+2）2﹣1的顶点是（ ）
A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）
【分析】根据题目中二次函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝（x+2）2﹣1，
∴该函数图象的顶点坐标为（﹣2，﹣1），
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．将抛物线y＝（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2B．y＝（x﹣2）2+6
C．y＝x2+6D．y＝x2
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+3向左平移1个单位所得直线解析式为：y＝（x﹣1+1）2+3，即y＝x2+3；
再向下平移3个单位为：y＝x2+3﹣3，即y＝x2．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（ ）
A．x（x+1）＝210B．x（x﹣1）＝210
C．2x（x﹣1）＝210D．x（x﹣1）＝210
【分析】根据题意列出一元二次方程即可．
【解答】解：由题意得，x（x﹣1）＝210，
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系．
6．一次函数y＝ax+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+x+c的图象可能大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先根据一次函数图象得出a，c的值，进而利用二次函数性质即可解决问题．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+c的图象经过一三四象限，
∴a＞0，c＜0，
故二次函数y＝ax2+x+c的图象开口向上，对称轴在y轴左边，交y轴于负半轴，
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的性质，根据已知得出a，c的值是解题关键．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（ ）
A．8cmB．5cmC．3cmD．2cm
【分析】根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE＝AO+OE即可得出AE的长度．
【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝8cm，
∴CE＝CD＝4cm．
在Rt△OCE中，OC＝5cm，CE＝4cm，
∴OE＝＝3cm，
∴AE＝AO+OE＝5+3＝8cm．
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出OE的长度是解题的关键．
8．如图，PA、PB分别与半径为3的⊙O相切于点A，B，直线CD分别交PA、PB于点C，D，并切⊙O于点E，当PO＝5时，△PCD的周长为（ ）
A．4B．5C．8D．10
【分析】连接OB，根据切线的性质得到∠PBO＝90°，根据勾股定理求出PB，根据切线长定理计算即可．
【解答】解：连接OB，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO＝90°，
∴PB＝＝4，
∵PA、PB分别与⊙O相切，
∴PA＝PB＝4，
∵CD分别交PA、PB于点C，D，并切⊙O于点E，
∴DE＝DB，CE＝CA，
∴△PCD的周长＝PC+CD+PD＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝8，
故选：C．
【点评】本题考查的是切线的性质，掌握切线长定理是解题的关键．
9．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
A．（2，10）B．（﹣2，0）
C．（2，10）或（﹣2，0）D．（10，2）或（﹣2，0）
【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．
【解答】解：∵点D（5，3）在边AB上，
∴BC＝5，BD＝5﹣3＝2，
①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′＝2，
所以D′（﹣2，0），
②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以D′（2，10），
综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：
①4a+2b＜0；
②﹣1≤a≤；
③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；
④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．
其中结论正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①由抛物线的顶点横坐标可得出b＝﹣2a，进而可得出4a+2b＝0，结论①错误；
②利用一次函数图象上点的坐标特征结合b＝﹣2a可得出a＝﹣，再结合抛物线与y轴交点的位置即可得出﹣1≤a≤﹣，结论②正确；
③由抛物线的顶点坐标及a＜0，可得出n＝a+b+c，且n≥ax2+bx+c，进而可得出对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；
④由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n只有一个交点，将直线下移可得出抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，进而可得出关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，结合④正确．
综上，此题得解．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴4a+2b＝0，结论①错误；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝3a+c＝0，
∴a＝﹣．
又∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，
∴﹣1≤a≤﹣，结论②正确；
③∵a＜0，顶点坐标为（1，n），
∴n＝a+b+c，且n≥ax2+bx+c，
∴对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；
④∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n只有一个交点，
又∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，结合④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
二、填空题
11．如果y＝（m2﹣1）x是二次函数，则m＝ 2 ．
【分析】根据二次函数定义：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得m2﹣m＝2，且m2﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：m2﹣m＝2，且m2﹣1≠0，
解得：m＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是注意y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）．
12．已知二次函数y＝（x﹣1）2+2，当x＞1时，y随x的增大而 增大 （填“减小”或“增大”）．
【分析】根据其顶点式可知抛物线开口向上，对称轴为x＝1，在对称轴右侧y随x的增大而增大，可得到答案．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2，
∴二次函数开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，
∵对称轴为x＝1，
∴当x＞时，y随x的增大而增大，
故答案为：增大．
【点评】题主要考查二次函数的对称轴及增减性，掌握当二次函数开口向下时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小是解题的关键．
13．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（5，y3）三点，则y1、y2、y3大小关系是 y1＞y3＞y2 ．
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x＝3，图象开口向上；利用对称轴左侧y随x的增大而减小，可判断y2＜y1，根据二次函数图象的对称性可判断y3＞y2；于是y1＞y3＞y2．
【解答】解：根据二次函数图象的对称性可知，C（5，y3）中，|5﹣3|＞|3﹣2|＝1，
A（﹣1，y1），B（2，y2）在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
因为﹣1＜1＜2，于是y1＞y3＞y2．
故答案为：y1＞y3＞y2．
【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
14．如图所示，△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为 17° ．
【分析】先利用旋转的性质得到∠B'AC'＝33°，∠BAB'＝50°，从而得到∠B′AC的度数．
【解答】解：∵∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，
∴∠B'AC'＝33°，∠BAB'＝50°，
∴∠B′AC的度数＝50°﹣33°＝17°．
故答案为：17°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
15．一球从地面抛出的运动路线呈抛物线．当球离抛出地的水平距离为10m时，达到最大高度5m，则球被抛出 20 m．
【分析】根据已知得出抛物线经过点（0，0）（10，5），进而利用顶点式求出函数解析式，然后求得抛物线与x轴的交点坐标即可求解．
【解答】解：根据题意，得
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣10）2+5，
把（0，0）代入得a＝﹣．
所以抛物线解析式为y＝﹣（x﹣10）2+5
当y＝0时，x1＝0，x2＝20．
所以抛物线与x轴的交点为（0，0），（20，0）
∴球被抛出20m．
故答案为：20．
【点评】本题考查了二次函数的应用，要恰当地把实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决问题．
16．如图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB＝30°，则∠AOB的度数是 60° ．
【分析】直接利用圆周角定理得出答案．
【解答】解：∵A、B、C是⊙O上三点，∠ACB＝30°，
∴∠AOB的度数是：2∠ACB＝60°．
故答案为：60°．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，正确掌握相关定义是解题关键．
17．如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，4），P是△AOB外接圆⊙C上的一点，且∠AOP＝45°，则点P的坐标为 （3，3） ．
【分析】由OA与OB的长，利用勾股定理求出AB的长，根据∠AOP＝45°，得到三角形OPE为等腰直角三角形，即P横纵坐标相等，设为P（a，a），由∠AOB为直角，利用直角所对的弦为直径得到AB为直径，Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，求出圆心C坐标，过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，在直角三角形PCF中，利用勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出P的坐标即可．
【解答】解：∵OB＝4，OA＝2，
∴AB＝＝2，
∵∠AOP＝45°，
∴P点横纵坐标相等，可设为a，即P（a，a），
∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（1，2），
P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径．
过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP＝90°，
∴PF＝a﹣2，CF＝a﹣1，PC＝，
∴根据勾股定理得：（a﹣2）2+（a﹣1）2＝（）2，
解得：a＝3或a＝0（舍去），
∴P（3，3）；
故答案为：（3，3）．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ取最小值时，Q点的坐标为 （） ．
【分析】连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得PQ⊥OQ，再利用勾股定理得到OQ＝，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，得到OQ的最小值，于是得到结论．
【解答】解：连接PQ、OP，如图，
∵直线OQ切⊙P于点Q，
∴PQ⊥OQ，
在Rt△OPQ中，OQ＝＝，
当OP最小时，OQ最小，
当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2，
∴OQ的最小值为＝．
设点Q的横坐标为a，
∴S△OPQ＝×＝×2×|a，
∴a＝，
∴Q点的纵坐标＝＝，
∴Q点的坐标为（，），
故答案为（，）．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．
三、解答题
19．解方程：x2﹣8x+12＝0．（注：解方程时要给出详细的解答过程）
【分析】移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：移项得：x2﹣8x＝﹣12，
配方得：x2﹣8x+42＝﹣12+42，
即（x﹣4）2＝4，
开方得：x﹣4＝±2，
解得：x1＝6，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能正确配方．
20．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（0，3），（﹣1，0），（3，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求它的对称轴和顶点．
【分析】（1）用待定系数法，将已知的三个点坐标代入函数求解即可；（2）将（1）所得函数解析式化为顶点式，然后写出对称轴与顶点坐标即可．
【解答】（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（0，3），（﹣1，0），（3，0）三点，
，
解得，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴是直线x＝1，顶点坐标（1，4）．
【点评】本题考查了抛物线解析式的确定，配方法确定抛物线的对称轴，顶点坐标，熟练掌握待定系数法，配方法是解题的关键．
21．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．
（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数；
（2）若AC＝4，CE＝2，求⊙O半径的长．
【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，根据切线的性质求出∠OAC，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）设OA＝OE＝r，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）连接OA，
∵∠ADE＝25°，
∴由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADE＝50°，
∵AC切⊙O于A，
∴∠OAC＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠AOC﹣∠OAC＝180°﹣50°﹣90°＝40°；
（2）设OA＝OE＝r，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2＝OC2，
即r2+42＝（r+2）2，
解得：r＝3，
答：⊙O半径的长是3．
【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质和勾股定理等知识点，能求出∠OAC和∠AOC的度数是解此题的关键．
22．一种进价为每件80元的T恤，若销售单价为100元，则每月可卖出200件，为提高利润，欲对该T恤进行涨价销售，经过调查发现：若每涨价5元，则每月少卖出10件，求该T恤涨价后每月的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？
【分析】首先根据“实际销售量＝单价为100元时销售量﹣因价格上涨减少的销售量”表示出售价为x元时的销售量；再由“总利润＝单件利润×销售量”列出函数关系式并配方可得最大值．
【解答】解：根据题意得，
整理得：y＝﹣2x2+560x﹣32000，
当时，y最大＝7200；
答：当销售单价定为140元，每月的销售利润最大是7200．
【点评】本题主要考查二次函数的实际应用能力，准确表示出销售量和总利润的函数关系式是关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，8），点B（m，0），且m＞0．把△AOB绕点A逆时针旋转90°，得△ACD，点O，B旋转后的对应点为C，D．
（1）点C的坐标为 （8，8） ；
（2）①设△BCD的面积为S，用含m的式子表示S，并写出m的取值范围；
②当S＝6时，求点B的坐标（直接写出结果即可）．
【分析】（1）由旋转的性质得出AC＝AO＝8，∠OAC＝90°，得出C（8，8）即可；
（2）①由旋转的性质得出DC＝OB＝m，∠ACD＝∠AOB＝90°，∠OAC＝90°，得出∠ACE＝90°，证出四边形OACE是矩形，得出DE⊥x主，OE＝AC＝8，分三种情况：
a、当点B在线段OE的延长线上时，得出BE＝OB﹣OE＝m﹣8，由三角形的面积公式得出S＝m2﹣4m（m＞8）即可；
b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，BE＝OE﹣OB＝8﹣m，由三角形的面积公式得出S＝﹣m2+4m（0＜m＜8）即可；
c、当点B与E重合时，即m＝8，△BCD不存在；
②当S＝6，m＞8时，得出m2﹣4m＝6，解方程求出m即可；
当S＝6，0＜m＜8时，得出﹣m2+4m＝6，解方程求出m即可．
【解答】解：（1）∵点A（0，8），
∴AO＝8，
∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，
∴AC＝AO＝8，∠OAC＝90°，
∴C（8，8），
故答案为：（8，8）；
（2）①延长DC交x轴于点E，
∵点B（m，0），
∴OB＝m，
∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，
∴DC＝OB＝m，∠ACD＝∠AOB＝90°，∠OAC＝90°，
∴∠ACE＝90°，
∴四边形OACE是矩形，
∴DE⊥x主，OE＝AC＝8，
分三种情况：
a、当点B在线段OE的延长线上时，如图1所示：
则BE＝OB﹣OE＝m﹣8，
∴S＝DC•BE＝m（m﹣8），
即S＝m2﹣4m（m＞8）；
b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，如图2所示：
则BE＝OE﹣OB＝8﹣m，
∴S＝DC•BE＝m（8﹣m），
即S＝﹣m2+4m（0＜m＜8）；
c、当点B与E重合时，即m＝8，△BCD不存在；
综上所述，S＝m2﹣4m（m＞8），或S＝﹣m2+4m（0＜m＜8）；
②当S＝6，m＞8时，m2﹣4m＝6，
解得：m＝4±2（负值舍去），
∴m＝4+2；
当S＝6，0＜m＜8时，﹣m2+4m＝6，
解得：m＝2或m＝6，
∴点B的坐标为（4+2，0）或（2，0）或（6，0）．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识；本题综合性强，有一定难度．
24．已知：抛物线l1：y＝﹣x2+2x+3交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（6，0），交y轴于点D（0，﹣3）．
（1）求抛物线l2的函数表达式；
（2）P为抛物线l1的对称轴上一动点，连接PA，PC，当∠APC＝90°时，求点P的坐标；
（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．
【分析】（1）通过解方程﹣x2+2x+3＝0得A（﹣1，0）设交点式y＝a（x+1）（x﹣6），然后把D点坐标代入求出a的值即可得到得抛物线l2的解析式；
（2）先求出C（0，3）和抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，则设P（1，t），利用两点间的距离公式和勾股定理得到12+（t﹣3）2+22+t2＝10，然后解方程求出t即可得到点P的坐标；
（3）抛物线l2与抛物线l1经过的另一个交点为F，如图2，先通过解方程x2﹣x﹣3＝﹣x2+2x+3得F（4，﹣5），设M（x，x2﹣x﹣3），则N（x，﹣x2+2x+3），讨论：当﹣1≤x＜4时，MN＝﹣x2+x+6；当4≤x≤6时，MN＝x2﹣x﹣6＝（x﹣）2﹣，然后分别利用二次函数的性质求出两种情况下的MN的最大值，再比较大小即可得到点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．
【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0）
设抛物线l2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣6），
把D（0，﹣3）代入得a•1•（﹣6）＝﹣3，解得a＝，
所以抛物线l2的解析式为y＝（x+1）（x﹣6），即y＝x2﹣x﹣3；
（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3）
抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，
设P（1，t），则AC2＝12+32＝10，PC2＝12+（t﹣3）2，PA2＝22+t2，
∵∠APC＝90°，
∴PC2+PA2＝AC2，即12+（t﹣3）2+22+t2＝10，
整理得t2﹣3t+2＝0，解得t1＝1，t2＝2，
∴点P的坐标为（1，1）或（1，2）；
（3）抛物线l2与抛物线l1经过的另一个交点为F，如图2，
解方程x2﹣x﹣3＝﹣x2+2x+3得x1＝﹣1，x2＝4，则F（4，﹣5），
设M（x，x2﹣x﹣3），则N（x，﹣x2+2x+3），
当﹣1≤x＜4时，MN＝﹣x2+2x+3﹣（x2﹣x﹣3）＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+，此时x＝时，MN有最大值；
当4≤x≤6时，MN＝x2﹣x﹣3﹣（﹣x2+2x+3）＝x2﹣x﹣6＝（x﹣）2﹣，此时x＝6时，MN有最大值21；
所以点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为21．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式，会求抛物线与坐标轴的交点坐标；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式和勾股定理．
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1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知点P的坐标是（﹣6，5），则P点关于原点的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣6，﹣5）B．（6，5）C．（6，﹣5）D．（5，﹣6）
3．二次函数y＝（x+2）2﹣1的顶点是（ ）
A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）
4．将抛物线y＝（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2B．y＝（x﹣2）2+6
C．y＝x2+6D．y＝x2
5．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（ ）
A．x（x+1）＝210B．x（x﹣1）＝210
C．2x（x﹣1）＝210D．x（x﹣1）＝210
6．一次函数y＝ax+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+x+c的图象可能大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（ ）
A．8cmB．5cmC．3cmD．2cm
8．如图，PA、PB分别与半径为3的⊙O相切于点A，B，直线CD分别交PA、PB于点C，D，并切⊙O于点E，当PO＝5时，△PCD的周长为（ ）
A．4B．5C．8D．10
9．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
A．（2，10）B．（﹣2，0）
C．（2，10）或（﹣2，0）D．（10，2）或（﹣2，0）
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：
①4a+2b＜0；
②﹣1≤a≤；
③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；
④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．
其中结论正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．如果y＝（m2﹣1）x是二次函数，则m＝ ．
12．已知二次函数y＝（x﹣1）2+2，当x＞1时，y随x的增大而 （填“减小”或“增大”）．
13．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（5，y3）三点，则y1、y2、y3大小关系是 ．
14．如图所示，△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为 ．
15．一球从地面抛出的运动路线呈抛物线．当球离抛出地的水平距离为10m时，达到最大高度5m，则球被抛出 m．
16．如图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB＝30°，则∠AOB的度数是 ．
17．如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，4），P是△AOB外接圆⊙C上的一点，且∠AOP＝45°，则点P的坐标为 ．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ取最小值时，Q点的坐标为 ．
三、解答题
19．解方程：x2﹣8x+12＝0．（注：解方程时要给出详细的解答过程）
20．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（0，3），（﹣1，0），（3，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求它的对称轴和顶点．
21．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．
（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数；
（2）若AC＝4，CE＝2，求⊙O半径的长．
22．一种进价为每件80元的T恤，若销售单价为100元，则每月可卖出200件，为提高利润，欲对该T恤进行涨价销售，经过调查发现：若每涨价5元，则每月少卖出10件，求该T恤涨价后每月的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？
23．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，8），点B（m，0），且m＞0．把△AOB绕点A逆时针旋转90°，得△ACD，点O，B旋转后的对应点为C，D．
（1）点C的坐标为 ；
（2）①设△BCD的面积为S，用含m的式子表示S，并写出m的取值范围；
②当S＝6时，求点B的坐标（直接写出结果即可）．
24．已知：抛物线l1：y＝﹣x2+2x+3交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（6，0），交y轴于点D（0，﹣3）．
（1）求抛物线l2的函数表达式；
（2）P为抛物线l1的对称轴上一动点，连接PA，PC，当∠APC＝90°时，求点P的坐标；
（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．
2021-2022学年天津市河北区汇森中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．已知点P的坐标是（﹣6，5），则P点关于原点的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣6，﹣5）B．（6，5）C．（6，﹣5）D．（5，﹣6）
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
【解答】解：∵点P的坐标是（﹣6，5），
∴P点关于原点的对称点的坐标是（6，﹣5），
故选：C．
【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
3．二次函数y＝（x+2）2﹣1的顶点是（ ）
A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）
【分析】根据题目中二次函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝（x+2）2﹣1，
∴该函数图象的顶点坐标为（﹣2，﹣1），
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．将抛物线y＝（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2B．y＝（x﹣2）2+6
C．y＝x2+6D．y＝x2
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+3向左平移1个单位所得直线解析式为：y＝（x﹣1+1）2+3，即y＝x2+3；
再向下平移3个单位为：y＝x2+3﹣3，即y＝x2．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（ ）
A．x（x+1）＝210B．x（x﹣1）＝210
C．2x（x﹣1）＝210D．x（x﹣1）＝210
【分析】根据题意列出一元二次方程即可．
【解答】解：由题意得，x（x﹣1）＝210，
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系．
6．一次函数y＝ax+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+x+c的图象可能大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先根据一次函数图象得出a，c的值，进而利用二次函数性质即可解决问题．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+c的图象经过一三四象限，
∴a＞0，c＜0，
故二次函数y＝ax2+x+c的图象开口向上，对称轴在y轴左边，交y轴于负半轴，
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的性质，根据已知得出a，c的值是解题关键．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（ ）
A．8cmB．5cmC．3cmD．2cm
【分析】根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE＝AO+OE即可得出AE的长度．
【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝8cm，
∴CE＝CD＝4cm．
在Rt△OCE中，OC＝5cm，CE＝4cm，
∴OE＝＝3cm，
∴AE＝AO+OE＝5+3＝8cm．
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出OE的长度是解题的关键．
8．如图，PA、PB分别与半径为3的⊙O相切于点A，B，直线CD分别交PA、PB于点C，D，并切⊙O于点E，当PO＝5时，△PCD的周长为（ ）
A．4B．5C．8D．10
【分析】连接OB，根据切线的性质得到∠PBO＝90°，根据勾股定理求出PB，根据切线长定理计算即可．
【解答】解：连接OB，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO＝90°，
∴PB＝＝4，
∵PA、PB分别与⊙O相切，
∴PA＝PB＝4，
∵CD分别交PA、PB于点C，D，并切⊙O于点E，
∴DE＝DB，CE＝CA，
∴△PCD的周长＝PC+CD+PD＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝8，
故选：C．
【点评】本题考查的是切线的性质，掌握切线长定理是解题的关键．
9．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
A．（2，10）B．（﹣2，0）
C．（2，10）或（﹣2，0）D．（10，2）或（﹣2，0）
【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．
【解答】解：∵点D（5，3）在边AB上，
∴BC＝5，BD＝5﹣3＝2，
①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′＝2，
所以D′（﹣2，0），
②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以D′（2，10），
综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：
①4a+2b＜0；
②﹣1≤a≤；
③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；
④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．
其中结论正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①由抛物线的顶点横坐标可得出b＝﹣2a，进而可得出4a+2b＝0，结论①错误；
②利用一次函数图象上点的坐标特征结合b＝﹣2a可得出a＝﹣，再结合抛物线与y轴交点的位置即可得出﹣1≤a≤﹣，结论②正确；
③由抛物线的顶点坐标及a＜0，可得出n＝a+b+c，且n≥ax2+bx+c，进而可得出对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；
④由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n只有一个交点，将直线下移可得出抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，进而可得出关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，结合④正确．
综上，此题得解．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴4a+2b＝0，结论①错误；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝3a+c＝0，
∴a＝﹣．
又∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，
∴﹣1≤a≤﹣，结论②正确；
③∵a＜0，顶点坐标为（1，n），
∴n＝a+b+c，且n≥ax2+bx+c，
∴对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；
④∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n只有一个交点，
又∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，结合④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
二、填空题
11．如果y＝（m2﹣1）x是二次函数，则m＝ 2 ．
【分析】根据二次函数定义：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得m2﹣m＝2，且m2﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：m2﹣m＝2，且m2﹣1≠0，
解得：m＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是注意y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）．
12．已知二次函数y＝（x﹣1）2+2，当x＞1时，y随x的增大而 增大 （填“减小”或“增大”）．
【分析】根据其顶点式可知抛物线开口向上，对称轴为x＝1，在对称轴右侧y随x的增大而增大，可得到答案．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2，
∴二次函数开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，
∵对称轴为x＝1，
∴当x＞时，y随x的增大而增大，
故答案为：增大．
【点评】题主要考查二次函数的对称轴及增减性，掌握当二次函数开口向下时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小是解题的关键．
13．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（5，y3）三点，则y1、y2、y3大小关系是 y1＞y3＞y2 ．
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x＝3，图象开口向上；利用对称轴左侧y随x的增大而减小，可判断y2＜y1，根据二次函数图象的对称性可判断y3＞y2；于是y1＞y3＞y2．
【解答】解：根据二次函数图象的对称性可知，C（5，y3）中，|5﹣3|＞|3﹣2|＝1，
A（﹣1，y1），B（2，y2）在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
因为﹣1＜1＜2，于是y1＞y3＞y2．
故答案为：y1＞y3＞y2．
【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
14．如图所示，△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为 17° ．
【分析】先利用旋转的性质得到∠B'AC'＝33°，∠BAB'＝50°，从而得到∠B′AC的度数．
【解答】解：∵∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，
∴∠B'AC'＝33°，∠BAB'＝50°，
∴∠B′AC的度数＝50°﹣33°＝17°．
故答案为：17°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
15．一球从地面抛出的运动路线呈抛物线．当球离抛出地的水平距离为10m时，达到最大高度5m，则球被抛出 20 m．
【分析】根据已知得出抛物线经过点（0，0）（10，5），进而利用顶点式求出函数解析式，然后求得抛物线与x轴的交点坐标即可求解．
【解答】解：根据题意，得
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣10）2+5，
把（0，0）代入得a＝﹣．
所以抛物线解析式为y＝﹣（x﹣10）2+5
当y＝0时，x1＝0，x2＝20．
所以抛物线与x轴的交点为（0，0），（20，0）
∴球被抛出20m．
故答案为：20．
【点评】本题考查了二次函数的应用，要恰当地把实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决问题．
16．如图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB＝30°，则∠AOB的度数是 60° ．
【分析】直接利用圆周角定理得出答案．
【解答】解：∵A、B、C是⊙O上三点，∠ACB＝30°，
∴∠AOB的度数是：2∠ACB＝60°．
故答案为：60°．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，正确掌握相关定义是解题关键．
17．如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，4），P是△AOB外接圆⊙C上的一点，且∠AOP＝45°，则点P的坐标为 （3，3） ．
【分析】由OA与OB的长，利用勾股定理求出AB的长，根据∠AOP＝45°，得到三角形OPE为等腰直角三角形，即P横纵坐标相等，设为P（a，a），由∠AOB为直角，利用直角所对的弦为直径得到AB为直径，Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，求出圆心C坐标，过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，在直角三角形PCF中，利用勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出P的坐标即可．
【解答】解：∵OB＝4，OA＝2，
∴AB＝＝2，
∵∠AOP＝45°，
∴P点横纵坐标相等，可设为a，即P（a，a），
∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（1，2），
P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径．
过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP＝90°，
∴PF＝a﹣2，CF＝a﹣1，PC＝，
∴根据勾股定理得：（a﹣2）2+（a﹣1）2＝（）2，
解得：a＝3或a＝0（舍去），
∴P（3，3）；
故答案为：（3，3）．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ取最小值时，Q点的坐标为 （） ．
【分析】连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得PQ⊥OQ，再利用勾股定理得到OQ＝，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，得到OQ的最小值，于是得到结论．
【解答】解：连接PQ、OP，如图，
∵直线OQ切⊙P于点Q，
∴PQ⊥OQ，
在Rt△OPQ中，OQ＝＝，
当OP最小时，OQ最小，
当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2，
∴OQ的最小值为＝．
设点Q的横坐标为a，
∴S△OPQ＝×＝×2×|a，
∴a＝，
∴Q点的纵坐标＝＝，
∴Q点的坐标为（，），
故答案为（，）．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．
三、解答题
19．解方程：x2﹣8x+12＝0．（注：解方程时要给出详细的解答过程）
【分析】移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：移项得：x2﹣8x＝﹣12，
配方得：x2﹣8x+42＝﹣12+42，
即（x﹣4）2＝4，
开方得：x﹣4＝±2，
解得：x1＝6，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能正确配方．
20．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（0，3），（﹣1，0），（3，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求它的对称轴和顶点．
【分析】（1）用待定系数法，将已知的三个点坐标代入函数求解即可；（2）将（1）所得函数解析式化为顶点式，然后写出对称轴与顶点坐标即可．
【解答】（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（0，3），（﹣1，0），（3，0）三点，
，
解得，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴是直线x＝1，顶点坐标（1，4）．
【点评】本题考查了抛物线解析式的确定，配方法确定抛物线的对称轴，顶点坐标，熟练掌握待定系数法，配方法是解题的关键．
21．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．
（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数；
（2）若AC＝4，CE＝2，求⊙O半径的长．
【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，根据切线的性质求出∠OAC，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）设OA＝OE＝r，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）连接OA，
∵∠ADE＝25°，
∴由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADE＝50°，
∵AC切⊙O于A，
∴∠OAC＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠AOC﹣∠OAC＝180°﹣50°﹣90°＝40°；
（2）设OA＝OE＝r，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2＝OC2，
即r2+42＝（r+2）2，
解得：r＝3，
答：⊙O半径的长是3．
【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质和勾股定理等知识点，能求出∠OAC和∠AOC的度数是解此题的关键．
22．一种进价为每件80元的T恤，若销售单价为100元，则每月可卖出200件，为提高利润，欲对该T恤进行涨价销售，经过调查发现：若每涨价5元，则每月少卖出10件，求该T恤涨价后每月的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？
【分析】首先根据“实际销售量＝单价为100元时销售量﹣因价格上涨减少的销售量”表示出售价为x元时的销售量；再由“总利润＝单件利润×销售量”列出函数关系式并配方可得最大值．
【解答】解：根据题意得，
整理得：y＝﹣2x2+560x﹣32000，
当时，y最大＝7200；
答：当销售单价定为140元，每月的销售利润最大是7200．
【点评】本题主要考查二次函数的实际应用能力，准确表示出销售量和总利润的函数关系式是关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，8），点B（m，0），且m＞0．把△AOB绕点A逆时针旋转90°，得△ACD，点O，B旋转后的对应点为C，D．
（1）点C的坐标为 （8，8） ；
（2）①设△BCD的面积为S，用含m的式子表示S，并写出m的取值范围；
②当S＝6时，求点B的坐标（直接写出结果即可）．
【分析】（1）由旋转的性质得出AC＝AO＝8，∠OAC＝90°，得出C（8，8）即可；
（2）①由旋转的性质得出DC＝OB＝m，∠ACD＝∠AOB＝90°，∠OAC＝90°，得出∠ACE＝90°，证出四边形OACE是矩形，得出DE⊥x主，OE＝AC＝8，分三种情况：
a、当点B在线段OE的延长线上时，得出BE＝OB﹣OE＝m﹣8，由三角形的面积公式得出S＝m2﹣4m（m＞8）即可；
b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，BE＝OE﹣OB＝8﹣m，由三角形的面积公式得出S＝﹣m2+4m（0＜m＜8）即可；
c、当点B与E重合时，即m＝8，△BCD不存在；
②当S＝6，m＞8时，得出m2﹣4m＝6，解方程求出m即可；
当S＝6，0＜m＜8时，得出﹣m2+4m＝6，解方程求出m即可．
【解答】解：（1）∵点A（0，8），
∴AO＝8，
∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，
∴AC＝AO＝8，∠OAC＝90°，
∴C（8，8），
故答案为：（8，8）；
（2）①延长DC交x轴于点E，
∵点B（m，0），
∴OB＝m，
∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，
∴DC＝OB＝m，∠ACD＝∠AOB＝90°，∠OAC＝90°，
∴∠ACE＝90°，
∴四边形OACE是矩形，
∴DE⊥x主，OE＝AC＝8，
分三种情况：
a、当点B在线段OE的延长线上时，如图1所示：
则BE＝OB﹣OE＝m﹣8，
∴S＝DC•BE＝m（m﹣8），
即S＝m2﹣4m（m＞8）；
b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，如图2所示：
则BE＝OE﹣OB＝8﹣m，
∴S＝DC•BE＝m（8﹣m），
即S＝﹣m2+4m（0＜m＜8）；
c、当点B与E重合时，即m＝8，△BCD不存在；
综上所述，S＝m2﹣4m（m＞8），或S＝﹣m2+4m（0＜m＜8）；
②当S＝6，m＞8时，m2﹣4m＝6，
解得：m＝4±2（负值舍去），
∴m＝4+2；
当S＝6，0＜m＜8时，﹣m2+4m＝6，
解得：m＝2或m＝6，
∴点B的坐标为（4+2，0）或（2，0）或（6，0）．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识；本题综合性强，有一定难度．
24．已知：抛物线l1：y＝﹣x2+2x+3交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（6，0），交y轴于点D（0，﹣3）．
（1）求抛物线l2的函数表达式；
（2）P为抛物线l1的对称轴上一动点，连接PA，PC，当∠APC＝90°时，求点P的坐标；
（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．
【分析】（1）通过解方程﹣x2+2x+3＝0得A（﹣1，0）设交点式y＝a（x+1）（x﹣6），然后把D点坐标代入求出a的值即可得到得抛物线l2的解析式；
（2）先求出C（0，3）和抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，则设P（1，t），利用两点间的距离公式和勾股定理得到12+（t﹣3）2+22+t2＝10，然后解方程求出t即可得到点P的坐标；
（3）抛物线l2与抛物线l1经过的另一个交点为F，如图2，先通过解方程x2﹣x﹣3＝﹣x2+2x+3得F（4，﹣5），设M（x，x2﹣x﹣3），则N（x，﹣x2+2x+3），讨论：当﹣1≤x＜4时，MN＝﹣x2+x+6；当4≤x≤6时，MN＝x2﹣x﹣6＝（x﹣）2﹣，然后分别利用二次函数的性质求出两种情况下的MN的最大值，再比较大小即可得到点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．
【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0）
设抛物线l2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣6），
把D（0，﹣3）代入得a•1•（﹣6）＝﹣3，解得a＝，
所以抛物线l2的解析式为y＝（x+1）（x﹣6），即y＝x2﹣x﹣3；
（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3）
抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，
设P（1，t），则AC2＝12+32＝10，PC2＝12+（t﹣3）2，PA2＝22+t2，
∵∠APC＝90°，
∴PC2+PA2＝AC2，即12+（t﹣3）2+22+t2＝10，
整理得t2﹣3t+2＝0，解得t1＝1，t2＝2，
∴点P的坐标为（1，1）或（1，2）；
（3）抛物线l2与抛物线l1经过的另一个交点为F，如图2，
解方程x2﹣x﹣3＝﹣x2+2x+3得x1＝﹣1，x2＝4，则F（4，﹣5），
设M（x，x2﹣x﹣3），则N（x，﹣x2+2x+3），
当﹣1≤x＜4时，MN＝﹣x2+2x+3﹣（x2﹣x﹣3）＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+，此时x＝时，MN有最大值；
当4≤x≤6时，MN＝x2﹣x﹣3﹣（﹣x2+2x+3）＝x2﹣x﹣6＝（x﹣）2﹣，此时x＝6时，MN有最大值21；
所以点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为21．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式，会求抛物线与坐标轴的交点坐标；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式和勾股定理．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/10/30 13:42:34；用户：15297698232；邮箱：15297698232；学号：50382024
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