2022-2023学年天津九十中九年级（上）期中数学试卷及答案解析

这是一份2022-2023学年天津九十中九年级（上）期中数学试卷及答案解析，共29页。
A．B．
C．D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（3，2）B．（3，﹣2）C．（2，﹣3）D．（﹣3，﹣2）
3．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+＝1B．x2+3＝（x﹣1）2
C．﹣2x﹣3y＝4D．x2﹣1＝0
4．（3分）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+7B．y＝（x﹣4）2﹣25
C．y＝（x+4）3+7D．y＝（x+4）2﹣25
5．（3分）自行车车轮要做成圆形，实际上是根据圆的以下哪个特征（ ）
A．圆是轴对称图形
B．圆是中心对称图形
C．圆上各点到圆心的距离相等
D．直径是圆中最长的弦
6．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
7．（3分）若4xy2与xym是同类项，则m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（3分）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交于点D，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出AB＝40cm，CD＝10cm，则轮子的半径为（ ）
A．50cmB．35cmC．25cmD．20cm
9．（3分）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是（ ）
A．x1＝﹣2，x2＝1B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝﹣4，x2＝﹣1D．无法求解
10．（3分）某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A．y＝200﹣10x
B．y＝（200﹣10x）（80﹣60﹣x）
C．y＝（200+10x）（80﹣60﹣x）
D．y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）
11．（3分）已知⊙O，如图：
（1）作⊙O的直径AB；
（2）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点；
（3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．
根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE＝DE；②AE＝OE；⑧BC＝2CE．其中正确的推断的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，有下列结论：
①ab＜0；
②一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间；
③；
④点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数时，y1＜y2．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二．填空题（共6小题）
13．（3分）将一元二次方程3x2﹣x＝5x化为一般形式后，其中二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项分别是 ．
14．（3分）青山村2012年的人均收入12000元，2014年的人均收入为14520元，则该村人均收入的年平均增长率为 （填百分数）．
15．（3分）把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ．
16．（3分）线段AB，MN的端点均在正方形的网格格点上，如图建立平面直角坐标系，线段MN由线段AB绕点P旋转得到，点A（3，1）的对应点M的坐标为（2，2），则P点的坐标是 ．
17．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为 ．
18．（3分）如图1，在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，
（1）如图2，AB＝ ．
（2）则线段EP1的最大值为 ，最小值为 ．
三．解答题（共7小题）
19．解方程：
（1）x2﹣6x﹣4＝0；
（2）3x（x+1）＝3x+3．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1x2＝5，求k的值．
21．已知⊙O中，弦AB⊥AC，且AB＝AC＝6，点D在⊙O上，连接AD，BD，CD．
（1）如图1，若AD经过圆心O，求BD，CD的长；
（2）如图2，若∠BAD＝2∠DAC，求BD，CD的长．
22．已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接BC，过点O作OD⊥BC于D，交于点E，连接AE，交BC于F．
（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠E．
（2）如图2，连接OF，若OF⊥AB，DF＝1，求AE的长．
23．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x的值．
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，当x取何值时，这个苗圃园的面积有最大值，最大值是多少？
24．阅读：旋转具有丰富的性质，我们常常可以借助旋转解决问题．
（1）如图1，点B，C，D在同一条直线上，△ABC和△ECD都是等边三角形，△EBC可以看作是△DAC绕点 ，旋转 度得到；
（2）理解：如图2，已知点D在等边三角形ABC内，AD＝5，BD＝4，CD＝3，求∠BDC的度数（可以通过（1）思路尝试解决）；
（3）应用：如图3，点D在△ABC外，AD＝5，CD＝3，当BD的长度最大时，△ABC的面积为 ．
25．已知抛物线y＝ax2+bx+5（a，b为常数，a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），B（﹣1，0），顶点为D，且过点C（﹣4，m）．
（1）求抛物线解析式和点C，D的坐标；
（2）点P在该抛物线上（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②连接BD，当∠PCB＝∠CBD时，求点P的坐标．
2022-2023学年天津九十中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（3，2）B．（3，﹣2）C．（2，﹣3）D．（﹣3，﹣2）
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【解答】解：点A（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣2）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
3．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+＝1B．x2+3＝（x﹣1）2
C．﹣2x﹣3y＝4D．x2﹣1＝0
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【解答】解：A．该方程是分式方程，故本选项不合题意；
B．该方程整理可得2x+2＝0，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C．该方程是二元一次方程，故此选项不符合题意；
D、该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
4．（3分）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+7B．y＝（x﹣4）2﹣25
C．y＝（x+4）3+7D．y＝（x+4）2﹣25
【分析】8＝2×1×4，要配方，可给函数加上16．
【解答】解：y＝x2﹣8x+16﹣9﹣16＝（x﹣4）2﹣25．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，掌握配方法把一般式化为顶点式的一般步骤是解题的关键．
5．（3分）自行车车轮要做成圆形，实际上是根据圆的以下哪个特征（ ）
A．圆是轴对称图形
B．圆是中心对称图形
C．圆上各点到圆心的距离相等
D．直径是圆中最长的弦
【分析】利用车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳进行判断．
【解答】解：因为圆上各点到圆心的距离相等，
所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳，
所以自行车车轮要做成圆形．
故选：C．
【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
6．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
【分析】由旋转的性质可得∠BAD＝55°，∠E＝∠ACB＝70°，由直角三角形的性质可得∠DAC＝20°，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，
∴∠BAD＝55°，∠E＝∠ACB＝70°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝20°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝75°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
7．（3分）若4xy2与xym是同类项，则m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据同类项的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：m＝2，
故选：B．
【点评】本题考查合并同类项，解题的关键是熟练运用同类项的定义，本题属于基础题型．
8．（3分）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交于点D，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出AB＝40cm，CD＝10cm，则轮子的半径为（ ）
A．50cmB．35cmC．25cmD．20cm
【分析】由垂径定理，可得出BC的长；连接OB，在Rt△OBC中，可用半径OB表示出OC的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．
【解答】解：设圆心为O，连接OB．
Rt△OBC中，BC＝AB＝20cm，
根据勾股定理得：
OC2+BC2＝OB2，即：
（OB﹣10）2+202＝OB2，
解得：OB＝25；
故轮子的半径为25cm．
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
9．（3分）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是（ ）
A．x1＝﹣2，x2＝1B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝﹣4，x2＝﹣1D．无法求解
【分析】可把方程a（x+m+2）2+b＝0看作关于x+2的一元二次方程，从而得到x1+2＝﹣2，x2+2＝1，解之即可得出结论．
【解答】解：可把方程a（x+m+2）2+b＝0看作关于x+2的一元二次方程，
∴关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，
∴关于x+2的方程a（x+m+2）2+b＝0的解是x1+2＝﹣2，x2+2＝1，
∴x1＝﹣4，x2＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10．（3分）某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A．y＝200﹣10x
B．y＝（200﹣10x）（80﹣60﹣x）
C．y＝（200+10x）（80﹣60﹣x）
D．y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）
【分析】由每件涨价x元，可得出销售每件的利润为（80﹣60+x）元，每星期的销售量为（200﹣10x），再利用每星期售出商品的利润＝销售每件的利润×每星期的销售量，即可得出结论．
【解答】解：∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，每件涨价x元，
∴销售每件的利润为（80﹣60+x）元，每星期的销售量为（200﹣10x），
∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）．
故选：D．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式．
11．（3分）已知⊙O，如图：
（1）作⊙O的直径AB；
（2）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点；
（3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．
根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE＝DE；②AE＝OE；⑧BC＝2CE．其中正确的推断的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】利用基本作图得到AC＝AD＝OA，则＝，根据垂径定理得到CD⊥AB，CE＝DE，则可对①进行判断；连接OC，如图，证明△OAC为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AOC＝60°，AE＝OE，则可对②进行判断；然后根据圆周角定理得到∠B＝30°，利用含30度角的直角三角形三边的关系可对③进行判断．
【解答】解：由作法得AC＝AD＝OA，
∴＝，
∵AB为直径，
∴CD⊥AB，
∴CE＝DE，所以①正确；
连接OC，如图，
∵OA＝OC＝AC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，AE＝OE，所以②正确；
∴∠B＝30°，
∴BC＝2CE，所以③正确；
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂径定理和圆周角定理．
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，有下列结论：
①ab＜0；
②一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间；
③；
④点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数时，y1＜y2．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a＜0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可对②进行判断；把B（0，﹣2），A（﹣1，m）和b＝﹣2a代入抛物解析式可对③进行判断；利用二次函数的增减性对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴ab＜0，所以结论①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以结论②正确；
把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，
而b＝﹣2a，
∴a+2a﹣2＝m，
∴，所以结论③正确；
∵点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，
∴当点P1、P2都在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时t≥1；
当点P1在直线x＝1的左侧，点P2在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即＜t＜1，
∴当＜t＜1或t≥1时，y1＜y2，所以结论④错误．
故选：B．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质．
二．填空题（共6小题）
13．（3分）将一元二次方程3x2﹣x＝5x化为一般形式后，其中二次项系数为 3 ，一次项系数为 ﹣6 ，常数项分别是 0 ．
【分析】根据一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项可得答案．
【解答】解：将一元二次方程3x2﹣x＝5x化为一般形式为3x2﹣6x＝0，
故二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣6，0．
故答案为：3，﹣6，0．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．
14．（3分）青山村2012年的人均收入12000元，2014年的人均收入为14520元，则该村人均收入的年平均增长率为 10% （填百分数）．
【分析】设该村人均收入的年平均增长率为x，2012年的人均收入×（1+平均增长率）2＝2014年人均收入，把相关数值代入求得年平均增长率．
【解答】解：设该村人均收入的年平均增长率为x，由题意得：
12000（1+x）2＝14520，
解得：x1＝﹣2.1（不合题意舍去），x2＝0.1＝10%．
答：该村人均收入的年平均增长率为10%．
故答案为：10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的运用，应明确增长的基数，增长的次数，根据公式增长后的人均收入＝增长前的人均收入×（1+增长率）．
15．（3分）把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 y＝2（x+1）2﹣2 ．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2﹣2，
故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
16．（3分）线段AB，MN的端点均在正方形的网格格点上，如图建立平面直角坐标系，线段MN由线段AB绕点P旋转得到，点A（3，1）的对应点M的坐标为（2，2），则P点的坐标是 （2，1） ．
【分析】根据两组对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，作出点P即可．
【解答】解：如图，旋转中心为P，P（2，1），
故答案为：（2，1）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解两组对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，学会利用图象法解决问题．
17．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为 40° ．
【分析】利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝130°，
∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝50°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补．
18．（3分）如图1，在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，
（1）如图2，AB＝ 2 ．
（2）则线段EP1的最大值为 4+ ，最小值为 2﹣ ．
【分析】（1）如图，过点B作BD⊥AC，D为垂足，解直角三角形即可得到结论；
（2）当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小．当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，分别求出最大值，最小值即可解决问题．
【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC，D为垂足，
在Rt△BDC中，∵∠BDC＝90°，∠C＝30°，BC＝4，
∴BD＝BC＝2，
∵∠ADB＝90°，∠A＝45°，
∴AD＝BD＝2，
∴AB＝AD＝2，
故答案为：2．
（2当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，如图：
此时EP1最小值为：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE＝2﹣．
当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，如图：
此时EP1最大值为：EP1＝BC+BE＝4+，
故答案为：4+，2﹣．
【点评】本题考查旋转变换，解直角三角形，最短问题等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共7小题）
19．解方程：
（1）x2﹣6x﹣4＝0；
（2）3x（x+1）＝3x+3．
【分析】（1）利用配方法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣4＝0，
∴x2﹣6x＝4，
则x2﹣6x+9＝4+9，即（x﹣3）2＝13，
则x﹣3＝±，
∴x1＝3+，x2＝3﹣；
（2）3x（x+1）＝3x+3，
3x（x+1）﹣3（x+1）＝0，
则（x+1）（3x﹣3）＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程和分式方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1x2＝5，求k的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1x2＝k2+1，再利用x1x2＝5得到k2+1＝5，然后解关于k的方程，最后利用k的范围确定k的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，
解得k＞；
（2）根据题意得x1x2＝k2+1，
∵x1x2＝5，
∴k2+1＝5，
解得k1＝﹣2，k2＝2，
∵k＞，
∴k＝2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1x2＝．也考查了根的判别式．
21．已知⊙O中，弦AB⊥AC，且AB＝AC＝6，点D在⊙O上，连接AD，BD，CD．
（1）如图1，若AD经过圆心O，求BD，CD的长；
（2）如图2，若∠BAD＝2∠DAC，求BD，CD的长．
【分析】（1）由AD经过圆心O，利用圆周角定理得∠ACD＝∠ABD＝90°，又因为AB⊥AC，且AB＝AC＝6，易得四边形ABCD为正方形，易得结果；
（2）连接OC，OB，OD，由∠BAD＝2∠DAC，AB⊥AC，由圆周角定理得BC为直径，易得∠CAD＝30°，∠BAD＝60°，BO＝CO＝DO＝BC＝3，由圆周角定理得∠COD＝60°，∠BOD＝120°，△COD为等边三角形，求得CD，BD．
【解答】解：（1）∵AD经过圆心O，
∴∠ACD＝∠ABD＝90°，
∵AB⊥AC，且AB＝AC＝6，
∴四边形ABCD为正方形，
∴BD＝CD＝AB＝AC＝6；
（2）连接OC，OB，OD，过O点作OE⊥BD，
∵AB⊥AC，AB＝AC＝6，
∴BC为直径，
∴BC＝6，
∴BO＝CO＝DO＝BC＝3，
∵∠BAD＝2∠DAC，
∴∠CAD＝30°，∠BAD＝60°，
∴∠COD＝60°，∠BOD＝120，
∴△COD为等边三角形，∠BOE＝60°，
∴CD＝CO＝DO＝3，
在直角三角形CDB中，BD＝CD＝3，
则BE＝，
∵OE⊥BD，
∴BD＝2BE＝3．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，数形结合，作出适当的辅助线是解答此题的关键．
22．已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接BC，过点O作OD⊥BC于D，交于点E，连接AE，交BC于F．
（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠E．
（2）如图2，连接OF，若OF⊥AB，DF＝1，求AE的长．
【分析】（1）证明OE∥AC，推出∠CAF＝∠AEO，由OA＝OE，推出∠OAE＝∠E，可得结论；
（2）证明∠B＝∠EAO＝∠E＝30°，求出EF，AF，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OE⊥BC，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°，
∴OE∥AC，
∴∠CAF＝∠AEO，
∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE，
∴∠BAC＝2∠E；
（2）解：如图2中，
∵OF⊥AB，OA＝OB，
∴FA＝FB，
∴∠FAB＝∠FBA，
∵∠CAF＝∠EAB，
∴∠CAB＝2∠ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠B＝∠EAO＝∠E＝30°，
∴∠AOE＝120°，
∴∠FOE＝∠E＝30°，
∴FO＝EF，
∵FD⊥OE，
∴EF＝OF＝2DF＝2，AF＝2OF＝4，
∴AE＝AF+EF＝4+2＝6．
【点评】本题考查圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会性质特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x的值．
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，当x取何值时，这个苗圃园的面积有最大值，最大值是多少？
【分析】（1）根据题意和图形，可以列出相应的一元二次方程，从而可以求得x的值，注意墙长是18米；
（2）根据题意和图形，可以得到S与x的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求得当x取何值时，这个苗圃园的面积有最大值，最大值是多少．
【解答】解：（1）由题意可得，
x（30﹣2x）＝72，
即x2﹣15x+36＝0，
解得，x1＝3，x2＝12，
当x＝3时，30﹣2x＝24＞18，故舍去；
当x＝12时，30﹣2x＝6，
由上可得，x的值是12；
（2）设这个苗圃园的面积为S平方米，
由题意可得，
S＝x（30﹣2x）＝﹣2（x﹣）2+，
∵平行于墙的一边长不小于8米，且不大于18米，
∴8≤30﹣2x≤18，
解得，6≤x≤11，
∴当x＝时，S取得最大值，此时S＝，
答：当x＝时，这个苗圃园的面积有最大值，最大值是平方米．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的一元二次方程，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
24．阅读：旋转具有丰富的性质，我们常常可以借助旋转解决问题．
（1）如图1，点B，C，D在同一条直线上，△ABC和△ECD都是等边三角形，△EBC可以看作是△DAC绕点 C ，旋转 60 度得到；
（2）理解：如图2，已知点D在等边三角形ABC内，AD＝5，BD＝4，CD＝3，求∠BDC的度数（可以通过（1）思路尝试解决）；
（3）应用：如图3，点D在△ABC外，AD＝5，CD＝3，当BD的长度最大时，△ABC的面积为 ．
【分析】（1）根据旋转的性质进行判断即可；
（2）以B为旋转中心，△BCD绕B点逆时针旋转60°得到△ABE，从而得到△BDE是等边三角形，△ADE是直角三角形，即可求∠AEB＝∠BDC的度数；
（3）作△CDE为等边三角形，连接AE，证明△EBC≌△DAC（SAS），则当A、D、E三点共线是，AE有最大值8，即BD的最大值8，过点A作AF⊥BD交于点F，根据∠ADB＝60°，分别求出AF＝，DF＝，BF＝BD﹣DF＝，在Rt△ABF中，根据勾股定理求出AB＝7，即可求出S△ABC．
【解答】解：（1）△EBC可以看作是△DAC绕C顺时针旋转60°得到的，
故答案为：C，60°；
（2）以B为旋转中心，△BCD绕B点逆时针旋转60°得到△ABE，
∴AE＝CD，BE＝BD，∠DBE＝60°，∠CDB＝∠AEB，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠DEB＝60°，
∵BD＝4，
∴DE＝4，
∵CD＝3，
∴AE＝3，
在△ADE中，AE＝3，ED＝4，AD＝5，
∴AD2＝AE2+ED2，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＝150°，
∴∠BDC＝150°；
（3）作△CDE为等边三角形，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE，∠ECD＝60°，
∴∠BCA+∠ACD＝∠ECD+∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△EBC≌△DAC（SAS），
∴BD＝AE，
∵AD＝5，CD＝3，
∴AD+DE≥AE，
当A、D、E三点共线是，AE有最大值8，
∴BD的最大值8，
∵△EBC≌△DAC，
∴∠BDC＝∠E＝60°，
∵∠CDE＝60°，
∴∠ADF＝60°，
过点A作AF⊥BD交于点F，
∴AF＝，DF＝，
∴BF＝BD﹣DF＝8﹣＝，
在Rt△ABF中，AB＝＝7，
∴S△ABC＝7×7×＝，
故答案为：．
【点评】本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握等边三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理是解题的关键．
25．已知抛物线y＝ax2+bx+5（a，b为常数，a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），B（﹣1，0），顶点为D，且过点C（﹣4，m）．
（1）求抛物线解析式和点C，D的坐标；
（2）点P在该抛物线上（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②连接BD，当∠PCB＝∠CBD时，求点P的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）①过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，用待定系数法求得直线BC的解析式，设点P的坐标为（t，t2+6t+5），则点E的坐标为（t，t+1），从而可用t表示出PE，然后按照S△PBC＝S△EPB+S△EPC，可得出△PBC的面积关于t的二次函数，根据二次函数的性质可得答案；
②分两种情况讨论：当点P在直线BC的上方，且∠PCB＝∠CBD时，则PC∥BD，求得直线PC与抛物线的交点，即可得出相应的点P；当点P在直线BC的下方时，设直线PC与BD交于点M，若∠PCB＝∠CBD，则MB＝MC，过点C作CN⊥x轴于点N，则点N（﹣4，0），求得直线CM与抛物线的交点，即可得出相应的点P．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5，
则抛物线的对称轴为x＝﹣3，当x＝﹣3时，y＝x2+6x+5＝﹣4，即点D（﹣3，﹣4），
当x＝﹣4时，m＝y＝x2+6x+5＝﹣3，即点C（﹣4，﹣3）；
（2）∵点P在该抛物线上，且点P的横坐标为t，则点P坐标为（t，t2+6t+5），
①如图，过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点E，
①如图，设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（﹣1，0），点C（﹣4，﹣3）代入，
得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x+1，
∵点P的坐标为（t，t2+6t+5），由题意可知﹣4＜t＜﹣1，
∴点E的坐标为（t，t+1），
∴EP＝（t+1）﹣（t2+6t+5）＝﹣t2﹣5t﹣4，
∴S△PBC＝S△EPB+S△EPC＝×3EP＝（﹣t2﹣5t﹣4）＝﹣（t+）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝﹣时，△PBC的面积的最大值为；
②存在．
如图，当点P在直线BC的上方，且∠PCB＝∠CBD时，则PC∥BD，
由点B、D的坐标得：直线BD的解析式为y＝2x+2，
∵PC∥BD，
∴设直线PC的解析式为y＝2x+n，
∵C（﹣4，﹣3），
∴﹣3＝﹣8+n，
∴n＝5，
∴直线PC的解析式为y＝2x+5，
由x2+6x+5＝2x+5，解得x1＝0，x2＝﹣4（舍），
当x＝0时，y＝2x+5＝5，
∴点P的坐标为（0，5）；
如图，当点P在直线BC的下方时，设直线PC与BD交于点M，若∠PCB＝∠CBD，则MB＝MC，
过点C作CN⊥x轴于点N，则点N（﹣4，0），
∴NB＝NC＝3，
∴MN垂直平分线段BC．
设直线MN与BC交于点G，则线段BC的中点G为（﹣，﹣），
由点N（﹣4，0）和点G（﹣，﹣），可得直线NG的解析式为y＝﹣x﹣4．
∵直线BD和直线NG交于点M，
∴令2x+2＝﹣x﹣4，解得x＝﹣2，
∴点M的坐标为（﹣2，﹣2）．
由点C（﹣4，﹣3）和点M（﹣2，﹣2）可得直线CM的解析式为y＝x﹣1，
由x2+6x+5＝x﹣1，解得x1＝﹣，x2＝﹣4（舍），
所以点P（﹣，﹣）；
综上，点P的坐标为（﹣，﹣）或（0，5）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、利用二次函数的性质求抛物线上的动点与直线所围成的三角形的面积的最值问题、直线与抛物线的交点问题、二元一次方程组和一元二次方程等知识点，数形结合、分类讨论及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
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