江西省赣州市章贡区、经开区2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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2．请将答案写在答题卷上，否则不给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列各数中，负数（ ）
A. B. 0C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据负数的定义即可得出答案．
【详解】解：-1是负数，2，是正数，0既不是正数也不是负数，
故选：A．
【点睛】本题考查了实数，掌握在正数前面添加“-”得到负数是解题的关键．
2. 如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选：B．
3. 将不等式组的解集在数轴上表示出来，应是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据大于折线向右，小于折线向左，含等于号使用实心小圆点，不包含等于号使用空心小圆圈，从而可得答案．
【详解】解：不等式组的解集在数轴上表示出来如下：
．
故选B
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，掌握表示方法是解本题的关键．
4. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，，则长为（ ）
A. 9B. 10C. 12D. 15
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意求出位似比，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴位似比为
∴
∵，
∴
故选：D
5. 下列选项的括号内填入，等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键对相应的运算法则的掌握．
把代入各项，然后利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则，同底数幂的除法的法则进行运算即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：B．
6. 华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的思想方法判断方程的根的情况是（ ）
A. 有三个实数根B. 有两个实数根C. 有一个实数根D. 无实数根
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可知，方程的根的情况是函数与的交点情况，画出函数图象草图即可求解．
【详解】解：依题意，函数与的函数图象如图所示，
根据函数图象可知图象共有3个交点，即方程有3个根，
故选:A．
【点睛】本题考查了方程的根与函数图象交点的关系．数形结合的思想是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 请任意写出一个你喜欢的无理数：__________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：根据无理数的概念，直接写出一个符合条件的无理数即可，如：、π等.
点睛：无理数：无限不循环小数称之为无理数.
无理数包括：1、无限不循环小数，
2、开方开不尽的数，
3、含有π的倍数的数等.
8. 2024年2月18日，赣州经开区举行一季度重大项目集中开工暨“十百千万”工程动员大会，本次集中开竣工的项目共39个，总投资亿元，其中数据亿用科学记数法表示应为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：亿，
故答案为：．
9. 因式分解： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：
10. 《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为_________．
【答案】
【解析】
【分析】设矩形田地的长为x步，则宽为步．根据面积为864，即可列出方程．本题考查了一元二次方程的应用，审清题意，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设矩形田地的长为x步，则宽为步，
根据矩形面积长宽，得：，
故答案为：．
11. 以为中心点的量角器与直角三角板如图所示摆放，直角顶点在零刻度线所在直线上，且量角器与三角板只有一个公共点，若点的读数为135°，则的度数是______．
【答案】45
【解析】
【分析】根据切线的性质得到∠OPB＝90°，证出OP∥BC，再根据图即可∠EOP＝135°，进一步可得出∠POB的度数，根据平行线的性质得到∠POB＝∠CBD，于是得到结果．
【详解】解：∵AB是⊙O的切线，
∴∠OPB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴OP∥BC，
∵点的读数为135°，
∴∠EOP＝135°
∴∠POB＝180°-135°=45°
∴∠CBD＝∠POB＝45°，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
12. 如图，在平角坐标系中，直线分别与x轴、轴交于点A、B，点M在坐标轴上、点N在坐标平面内，若以A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则点N的坐标为______．
【答案】或或，
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与矩形的综合题型，解题关键是分类讨论和利用相似三角形的性质得到对应线段之间的关系．
分类讨论：①点M在x轴上；②点M在原点；③点M在y轴上，利用相似及平移规律即可求解．
【详解】解：直线分别与轴、轴交于点A、，
当时，，时，，
点坐标，B点坐标，
分三种情况：点在原点上，
矩形中，如图，
，
点坐标为；
如图1，点在轴上，如图，
矩形中，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
点坐标为，
将点向右平移4个单位，向下平移2个单位得到点，
∴N的坐标为；
如图2，点在轴上，如图，
矩形中，，由②同理可得： ，
∴
∴，
点坐标为，
将点向左平移4个单位，向上平移2个单位得到点，
的坐标为，
∴点坐标为或或，
故答案为：或或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：；
（2）如图，，．求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】此题主要考查了实数运算，全等三角形的判定，正确化简各数和选择合适的判定依据是解题关键．
（1）先根据平方性质，指数幂法则，算术平方根的性质，负指数幂的运算，再进行有理数的加减运算便可．
（2）先根据条件使用判定全等三角形，然后说明线段相等即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）证明：在和中，
，
，
．
14. 如图，有张分别印有版西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．

现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片求下列事件发生的概率：
（1）第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为__________；
（2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有张图案为“唐僧”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式即可求解；
（2）根据题意，画出树状图， 进而根据概率公式即可求解．
【小问1详解】
解：共有张卡片，
第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为
故答案为：．
【小问2详解】
树状图如图所示：

由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“A唐僧”的结果有7种．
∴(至少一张卡片图案为“A唐僧”）．
答：两次取出的2张卡片中至少有一张图案为“A唐僧”的概率为．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
15. 以下是小华化简分式的过程；
解：原式①
②
③
（1）小华的解答过程在第_______步出现错误．
（2）请你帮助小华写出正确的解答过程．
【答案】（1）②； （2）．
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，
（1）根据去括号时符号的变化可得答案；
（2）先通分计算括号内的，再将除法变为乘法，然后约分得出答案即可．
【小问1详解】
②.小华的解答过程在第②步出现错误，在运算去括号时没有变号．
第②步应该为：．
故答案为②；
【小问2详解】
原式
．
16. 如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，已知点A，B在格点上，请仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角，画出符合要求的格点图形．
（1）在图甲中画出以线段为对线的；
（2）在图乙中画出以线段为边的，且使其面积最大．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质．
（1）在格点中水平向左数2格到，则水平向右数2格到，然后，首尾依次连接即可，答案不唯一，符合，，即可；
（2）根据面积最大即两平行线与之间的距离最大，且，作图即可．
【小问1详解】
如图，即为所求；
【小问2详解】
如图，即为所求．
17. 如图，反比例函数的图象过和两点．
（1）求k的值．
（2）连接，过点B作，交x轴于点C，连接，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，三角形的面积计算，解答本题的关键是求出反比例函数解析式．
（1）将代入求解即可；
（2）首先求出，然后求出所在直线表达式为，求出，得到，然后利用三角形面积公式求解即可．
【小问1详解】
∵点在反比例函数的图象上，
∴
∴；
小问2详解】
由（1），得，
∵在反比例函数图象上，
∴
∴
设所在直线表达式为，则
设所在直线表达式为
∵，
∴
将代入，
得，解得
∴所在直线表达式为
令，得
∴点
∴
∴．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如今，柳州螺蛳粉已经成为名副其实的“国民小吃”，螺蛳粉小镇对A、B两种品牌的螺蛳粉举行展销活动．若购买20箱A品牌螺蛳粉和30箱B品牌螺蛳粉共需要4400元，购买10箱A品牌螺蛳粉和40箱B品牌螺蛳粉则需要4200元．
（1）求A、B品牌螺蛳粉每箱售价各为多少元？
（2）小李计划购买A、B品牌螺蛳粉共100箱，预算总费用不超过9200元，则A品牌螺蛳粉最多购买多少箱？
【答案】（1）A品牌螺蛳粉每箱售价为100元，B品牌螺蛳粉每箱售价为80元；（2）60箱
【解析】
【分析】（1）设品牌螺蛳粉每箱售价为元，品牌螺蛳粉每箱售价为元，根据两种购买方式建立方程组，解方程组即可得；
（2）设购买品牌螺蛳粉为箱，从而可得购买品牌螺蛳粉为箱，再根据“预算总费用不超过9200元”建立不等式，解不等式，结合为正整数即可得．
【详解】解：（1）设品牌螺蛳粉每箱售价为元，品牌螺蛳粉每箱售价为元，
由题意得：，
解得，
答：品牌螺蛳粉每箱售价为100元，品牌螺蛳粉每箱售价为80元；
（2）设购买品牌螺蛳粉为箱，则购买品牌螺蛳粉为箱，
由题意得：，
解得，
答：品牌螺蛳粉最多购买60箱．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键．
19. 在数学活动讯中，欧潭数学兴趣小组对进行作图探究．
①如图，分别以和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；
②作直线，交于点；
③以点为圆心，长为半径作圆，交于A，B两点；
④作射线．
（1）请结合上述作图步骤回答，直线与的位置关系是______，请说明理由．
（2）若，连接交于点，连接．求阴影部分的面积．
【答案】（1）相切，理由见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连接，由作图过程可知，，根据等边对角可得，即可证明；
（2）设，在中，由勾股定理求出半径，根据即可求解．
【小问1详解】
相切
如图，连接，
由作图过程可知，，
，，
，
，
，
，
直线为的切线．
【小问2详解】
解：设，
在中，，
，
解得，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的证明、勾股定理、三角函数、扇形面积计算等知识，掌握相关知识并添加适当辅助线是解题关键．
20. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管cm，，试管倾斜角为．
（1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到0.1cm）；
（2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：cm，cm，，求线段的长度（结果精确到0.1cm）．（参考数据：，，）
【答案】（1）cm
（2）cm
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键.
（1）过点作于点，解即可求解；
（2）过点分别作，，在中，，，根据即可求解．
【小问1详解】
解：如图，过点作于点，
，，
，，
在中，，，
，
答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为；
【小问2详解】
解：如图，过点分别作，，垂足分别为、，

在中，，，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
答：线段的长度约为．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 为了进一步推进学校安全教育，切实增强广大学生的安全防范意识和自护自救能力，某校举行了安全知识网络竞赛活动，测试满分为100分．为了解八、九年级学生此次竞赛成绩的情况，分别随机在八、九年级抽取了20名参赛学生的成绩．已知抽到的八年级的竞赛成绩（单位：分）如下：80，95，60，80，75，60，95，65，75，70，80，75，85，65，90，70，75，80，85，80．
注：分数在80分以上（不含80分）为优秀．
为了便于分析数据，统计员对八年级的数据进行了整理，得到下表：
八、九年级所抽竞赛成绩的平均数、中位数、优秀率如表：
（1）根据题目信息填空：_________，_________，_________；
（2）八年级小明和九年级小亮的分数都为80分，则两位同学在各自年级的排名_________更靠前（按照分数由高到低的顺序排序）；
（3）若九年级共有700人参加竞赛，请估计九年级80分以上（不含80分）的人数．
【答案】（1）6，3，77.5
（2）小明 （3）350人
【解析】
【分析】（1）根据频数统计的方法，分别对20个数据进行统计可得a、b的值，根据中位数的定义求出八年级成绩的中位数，即确定c的值．
（2）根据小明、小亮的成绩和所在年级抽查成绩的中位数进行比较即可得出结论．
（3）用总人数乘以样本中九年级成绩80分以上的人数所占比例可得答案．
【小问1详解】
根据频数统计的方法可得，
成绩在的有6人，即，
成绩在的有3人，即，，
八年级20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置两个数的平均数为（分），因此中位数是77.5，即，
故答案为：，，．
【小问2详解】
八年级成绩中位数为：77.5，小明的成绩为80分大于77.5，则小明排名在前10名，
九年级成绩中位数为：82.5，小亮的成绩为80分小于82.5，则小亮排名在后10名，
则小明在八年级的排名更靠前．
【小问3详解】
80分以上（不含80分）为优秀，求九年级优秀率为，
（人），
答：估计九年级80分以上（不含80分）的人数约为350人．
【点睛】本题考查了中位数、频数分布表以及样本估计总体，理解中位数、频数统计的方法是解决问题的前提．
22. 已知抛物线的顶点为M．
（1）当时，抛物线的对称轴是 ；顶点M坐标是 ；当函数值y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围为 ；
（2）若抛物线关于直线轴对称后得到新的抛物线，其顶点．
①当时，请在图中画出相应的，图象；
②求顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式；
③直接写出当k为何值时，顶点恰好落在x轴上．
【答案】（1）直线；；
（2）①见解析；②；③或
【解析】
【分析】（1）把代入，得出，然后写出对称轴和顶点坐标；根据函数的增减性，写出函数值y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围即可；
（2）①当时，得出抛物线的解析式为，顶点坐标为，此时对称轴为直线，点M关于直线的对称点为，求出抛物线的解析式，然后列表，描点，连线画出抛物线的解析式即可；
②先求出抛物线的顶点坐标，然后求出点的坐标，即可得出答案；
③根据x轴上的点，纵坐标为0，列出关于k的方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴
，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点为，
∵此时，
∴在抛物线的左侧函数值y随x的增大而减小，
∴当时，函数值y随x的增大而减小，
故答案为：直线；；．
【小问2详解】
解：①当时，抛物线，
∴抛物线的顶点，
∵M点关于直线的对称点为，
∴抛物线，
列表为：
抛物线，图象，如图所示：
②∵抛物线，
∴的顶点为，
∴M点关于直线对称的点，
∴顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式为；
③当顶点M′恰好落在x轴上时，，
解得或．
【点睛】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标，对称轴，画抛物线的图像，解题的关键是根据对称性求出抛物线的顶点坐标．
六、解答题（本大题12分）
23. 如图1四边形和四边形有公共顶点A
（1）如图2，若四边形和四边形都是正方形，当正方形绕点A逆时针旋转角（）时，BM和DN的数量关系是______，位置关系是______；
（2）如图3，若四边形和四边形都是矩形，且，判断和的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，，矩形绕点A逆时针旋转角（），当时，求线段的长．
【答案】（1）相等，垂直；
（2）数量关系：；位置关系：．
（3）3，或
【解析】
【分析】（1）先证明得到和的数量关系，同时得到．然后延长交、于点E、F，在和中用三角形内角和公式即可得到和的位置关系；
（2）由已知条件可推出，得到和的数量关系，同时得到．然后使用同(1)中相同的方法可得到和的位置关系；
（3）当时，由已知条件可证得以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，此时存在两种位置情况，故进行分类讨论：①当位于上方时， 由平行四边形的性质可推出，再利用小问(2)的结论可求出的长；②当位于下方时，由平行四边形的性质可推出，且能证明B、N、P在同一直线上，因此可在中使用勾股定理求出BM的长，再利用小问(2)的结论可求出的长．
【小问1详解】
相等，垂直．理由如下：
如图：
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，即：，
∴，
∴，．
延长交、于点E、F，
在和中，
∵，，且，
∴，
∴．
【小问2详解】
数量关系：，位置关系：．理由如下：
如图：
∵四边形和四边形都是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
延长交于点O，交于点H，
∵，
∴，
又∵，
∴，即．
【小问3详解】
∵，，，
∴，
分类讨论：连结．
①如图：
当位于上方时，
在中，由勾股定理得，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴．
②如图：
当位于下方时，连结，
同理可得，四边形是平行四边形，
∴，，
∴
又，
∴B、N、P在一条直线上，
∴，
∴，，
∴在中，，
∵，
∴．
综上所述，DN的长为或．
【点睛】本题是一道几何综合探究题．先从特殊图形探究发现规律，再拓展到一般的图形，然后使用发现的规律来解决相应的几何问题．在探究的过程中，重点考查了正方形、矩形、平行四边形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用等，涉及到的数学思想方法有图形运动思想，分类讨论思想等．其中，善于发现特殊图形和一般规律是解决这一类问题的关键．
成绩等级
分数（单位：分）
学生数
D级
C级
9
B级
A级
2
年级
平均数
中位数
优秀率
八年级
77
九年级
78.5
82.5
x
…
1
…
…
2
2
…
…
0
3
4
3
0
…