内蒙古自治区赤峰市红山区2023-2024学年九年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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本次考试时间120分钟，满分150分．
一．选择题 （下列各题的四个选项中只有一个正确选项，请你将正确选项前的代号填在答题卡上．本题共有14个小题，每小题3分，满分42分）
1. 下列图形是四届数学大会会标，其中不属于中心对称的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2. 杭州亚运会期间，文创产品热销，其中亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”凭借时尚、可爱的形象更是圈粉无数，据不完全统计，一周内“江南忆”组合的销售额高达35000000元．该销售额用科学记数法可表示为（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
3. 如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ）
A. 120°B. 130°C. 140°D. 150°
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C D.
5. 在平面直角坐标系中，将点M（4，5）向左平移3个单位，再向上平移2个单位，则平移后的点的坐标是（ ）
A. （1，3）B. （7，7）C. （1，7）D. （7，3）
6. a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图， 四边形是的内接四边形， 若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 某餐厅计划推出一个新菜品，在菜品研发阶段研制出两种味道，为测试哪种味道更符合当地人口味，随机抽取餐厅内的5位当地顾客分别为两种味道的菜品打分，打分情况如下表，下列关系全部正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知a是方程 一个根，求代数式 的值（ ）
A. B. 1C. D. 3
10. 如图，要测量楼高，在距为的点处竖立一根长为的直杆，恰好使得观测点、直杆顶点和高楼顶点在同一条直线上．若，，则楼高是（ ）
A. B. C. D.
11. x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
12. 如图，这是一个几何体三视图，则该几何体的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
13. 如图，点O为线段的中点，，连接，．则下面结论不一定成立的是（ ）

A. B.
C. D. 平分
14. 如图，等边三角形的边长为2，点A，B在上，点C在内，的半径为．
将绕点A逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论：
①当点C第一次落在上时，旋转角为；
②当第一次与相切时，旋转角为．
则结论正确的是（ ）
A. ①B. ②C. ①②D. 均不正确
二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，满分12分）
15 分解因式：3a2﹣12=___．
16. 请写出一个大于且小于的整数：________．
17. 如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为，且D离地面的高度．坡底，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是，点E，A，C在同一水平线上，则建筑物的高为________（结果用含有根号的式子表示）
18. 在平面直角坐标系中，二次函数 的图象过点．如果当时，对于x的每一个值，都有，则k的取值范围是________．
三、解答题（本大题满分96分）
19. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中 ．
20. 如图， 点O为的对角线的中点．

（1）使用直尺和圆规，依以下作法补全图形 （保留作图痕迹）；作法如下：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N；
②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；
③过点O、P画直线l， 分别交边，于点E，F，连接，．
（2）求证：四边形菱形；
（3）若，，，求的面积．
21. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
22. 为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩(满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分)分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表.
(1)表中m＝__________，n＝____________；
(2)请在图中补全频数直方图；
(3)甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在_________分数段内；
(4)选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率.
23. 对于平面直角坐标系中的点P和线段，已知点A的坐标为，点B的坐标为．给出如下定义：若线段上存在点Q，使得点P绕着点Q旋转得到的对应点在线段上，则称点P为线段的“关联点”．例如图1中，点绕线段上的点旋转后， 得到的对应点与点A重合，满足在线段上的条件，则点P为线段的“关联点”．
（1）如图2，在点，，，中，是线段的“关联点”有 ；
（2）若是线段的“关联点”，且此时的坐标为，与点B重合，求点的坐标；
（3）当时，在反比例函数的图象上存在线段的“关联点”，直接写出k的取值范围．
24. 如图，是⊙O的直径，弦，垂足为H，E为上一点，过点E作⊙O的切线，分别交的延长线于点F，G，连接，交于点P．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的长．
25. 如图1，利用喷水头喷出水对小区草坪进行喷灌作业是养护草坪的一种方法，如图2，点O处由一个喷水头，距离喷水头8m的M处有一棵高度是2.3m的树，距离这棵树10m的N处有一面高2.2m的围墙，建立如图所示的平面直角坐标系，已知某次浇灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．
（1）某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下：
①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系；
②判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并说明理由．
（2）某次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，下面有四个关于b的不等式：
A.； B.；
C.； D.．
其中正确的不等式是__________．（填上所有正确的选项）
26. 【知识回顾】图1中点P是的角平分线上的一点，过点P作，，垂足分别是E、F，则与的数量关系为 ．
【知识探究】如图2，点P是的角平分线上的一点，M、N分别是两边的反向延长线上的点，若，则与的数量关系为 ．
【问题解决】已知，直线，交于点O，点E是平分线的一点，点M，N分别是射线，上的点，且．
①如图3，求证：；
②如图4，点F在线段上，点G在线段延长线上，连接，，若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
口味
顾客1
顾客2
顾客3
顾客4
顾客5
7
9
8
6
10
5
6
10
10
9
分数段
频数
频率
74.5～79.5
2
0.05
79.5～84.5
m
0.2
84.5～89.5
12
0.3
89.5～94.5
14
n
94.5～99.5
4
0.1
x
0
2
6
10
12
14
16
y
0
0.88
2.16
2.80
2.88
2.80
2.56