初中苏科版1.2 全等三角形课后测评

这是一份初中苏科版1.2 全等三角形课后测评，文件包含专题02《全等三角形》重难点题型分类原卷版docx、专题02《全等三角形》重难点题型分类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。

方法点拨：一、根据已知的对应元素来找
1．已知对应顶点，以对应顶点为顶点的角是对应角，以对应顶点为端点的边是对应边；
2．已知对应角，对应角的对边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
3．已知对应边，对应边的对角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
二、根据两个全等三角形的位置来找
1．有公共边的，公共边一定是对应边；
2．有公共角的，公共角一定是对应角；
3．有对顶角的，对顶角一定是对应角；
三、根据大小来找
1．一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边；
2．一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角；
四、根据两个全等三角形的位置关系，分析其中一个是由另一个经过哪种全等变换（平移、旋转、翻折）形成的，从而找出对应关系。
1．（2022·福建厦门·八年级期末）如图，△ABC≌△BDE，AC和BC对应边分别是BE和DE，则下列与∠BFC相等的是（ ）
A．∠BCFB．∠ABCC．∠DBCD．∠E
【答案】B
【分析】根据三角形全等的性质和平行线的性质判断即可．
【详解】解：∵，
∴,，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形和平行线的性质，掌握三角形全等的性质和平行线的性质是解题的关键．
2．（2022·山东临沂·八年级期末）如图所示，≌，下面四个结论中，不一定成立的是（ ）．
A．和的面积相等B．和的周长相等
C．D．
【答案】C
【分析】根据三角形全等的性质，可知：全等三角形的对应边相等，对应角相等，周长相等，面积相等．
【详解】根据三角形全等的性质可知：面积相等，所以A不符合题意．
根据三角形全等的性质可知：周长相等，所以B不符合题意．
根据三角形全等的性质可知：对应边相等，AD=CD，AB=CB，应为，所以C符合题意．
根据三角形全等的性质可知：对应边相等AD=CD，所以D不符合题意．
故选C
【点睛】本题考察的知识点为全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，周长相等，面积相等；熟练掌握全等三角形的性质和对应关系是解答此题的关键．
3．（2022·天津蓟州·八年级期末）如图，已知，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意依据三角形全等其对应边、对应角相等进行分析判断即可.
【详解】解：∵，
∴，A选项正确；
，,，
∵,
∴,B选项正确；
∵,
∴，C选项正确；
∵，
∴，不一定成立，D选项不正确.
故选：D.
【点睛】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是找准对应边和对应角以及熟悉等腰三角形的性质.
4．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，已知，下列结论中不正确的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质进行判断即可得到答案．
【详解】


故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，即全等三角形对应角相等，对应边相等．
5．（2022·广东广州·八年级期末）已知△ABC≌△DEF，则BC＝_____．
【答案】EF
【分析】根据全等三角形的对应边相等解答即可．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
故答案为：EF．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
6．（2022·贵州黔南·八年级期末）如图，已知，∠ABC与∠ADE是对应角，则图中与∠DAC相等的角是______．
【答案】∠BAE=∠EAB
【详解】解：∵
∴∠DAC=∠BAE
故答案为：∠BAE
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
考点2：利用全等三角形的性质求角度
方法点拨：利用全等三角形性质求线段的长度和角的度数，是利用全等三角形性质的一种考法。在求解时直接运用全等三角形的性质，得到对应边（或对应角）间的相等关系，再进行等量替换及和差运算，求线段的长度或角的度数。这类题目的答题思路是：由两个三角形全等找出对应角及对应边，再利用已知条件，结合对顶角、三角形内角和等的性质求解。
1．（2022·云南昆明·三模）如图，，若，则的度数是（ ）
A．80°B．70°C．65°D．60°
【答案】B
【分析】由根据全等三角形的性质可得，再利用三角形内角和进行求解即可．
【详解】，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2022·山东淄博·模拟预测）在中，，分别是，上的点，，则的度数（ ）
A．15B．20C．25D．30
【答案】D
【分析】根据，得，再利用直角三角形中两个锐角互余即可得出.
【详解】解：∵
∴，
，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形两个锐角和等于90°，掌握全等的性质是解题的关键.
3．（2022·广西百色·八年级期末）如图，已知△ABC≌△ADC，∠1与∠2互余，则∠B等于（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
【答案】C
【分析】根据三角形全等的性质可得∠1=∠BCA，再根据互余和三角形内角和定理可得∠B的值 ．
【详解】解：∵△ABC≌△ADC，
∴∠1=∠BCA，
又∠1与∠2互余，
∴∠2+∠BCA=90°，
∴∠B=90°，
故选C ．
【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的性质、互余的意义和三角形内角和定理是解题关键 ．
4．（2022·重庆渝中·二模）如图，点，，，在同一条直线上，，若，，则的度数为（ ）
A．50°B．60°C．65°D．120°
【答案】B
【分析】根据得到∠D=∠A=36°，运用三角形外角性质得到∠DEC=∠D+∠F=60°．
【详解】∵，
∴∠D=∠A=36°，
∴∠DEC=∠D+∠F=60°．
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形，三角形外角，熟练掌握全等三角形角的性质和三角形外角性质是解决此题的关键．
5．（2021·四川乐山·七年级期末）如图，，其中，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用全等三角形的性质，三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵，∠A=36°，=24°，
∴∠C==24°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-36°-24°=120°，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质，灵活运用内角和定理是解题的关键．
6．（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知△ABC与△DEF全等，且∠A＝72°、∠B＝45°、∠E＝63°、BC＝10，EF＝10，那么∠D＝_____度．
【答案】
【分析】△ABC中，根据三角形内角和定理求得∠C＝63°，那么∠C＝∠E．根据相等的角是对应角，相等的边是对应边得出△ABC≌△DFE，然后根据全等三角形的对应角相等即可求得∠D．
【详解】解：在△ABC中，∵∠A＝72°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝63°，
∵∠E＝63°，
∴∠C＝∠E．
∵△ABC与△DEF全等，BC＝10，EF＝10，
∴△ABC≌△DFE，
∴∠D＝∠A＝72°，
故答案为72．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质；注意：题目条件中△ABC与△DEF全等，但是没有明确对应顶点．得出△ABC≌△DFE是解题的关键．
7．（2022·四川成都·二模）如图，已知△ABC≌△DBE，∠A＝36°，∠B＝40°，则∠AED的度数为 _____．
【答案】76°##76度
【分析】根据全等三角形的性质得到∠A＝∠D＝36°，根据三角形的外角的性质即可得出答案．
【详解】解：∵△ABC≌△DBE，
∴∠A＝∠D＝36°，
∵∠AED是△BDE的外角，
∴∠AED＝∠B+∠D＝40°+36°＝76°．
故答案为：76°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质及三角形外角的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
8．（2022·广西·西林县民族初中八年级期末）如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE=135°，∠DAC=55°，那么∠CFE的度数是_________．
【答案】40°##40度
【分析】根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，进而求出∠BAD，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：如图，设AD与BC交于点G，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
∵∠BAE=135°，∠DAC=55°，
∴∠BAD+∠CAE=135°-55°=80°，
∴∠BAD=∠CAE=40°，
∵∠B=∠D，∠BGA=∠DGF，
∴∠CFE=∠DFB=∠BAD=40°，
故答案为：40°．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
9．（2021·山西大同·八年级期中）如图，，∠O=90°．已知，且，若，求的度数．
【答案】40°
【分析】由题意利用全等三角形的性质得出∠BAC的度数，进而依据三角形内角和定理和平行线性质得出∠OAB,最终即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴∠OAB=∠DAC，
∵∠OAD=∠DAB+∠OAB=80°，
∴∠BAC=∠DAB+∠DAC=80°.
在∆ABC中，∵∠ABC=∠ACB，
由三角形内角和定理知，∠ABC=∠ACB=（180°-80°）=50°，
又∵BC∥OA，
∴∠OAB=∠ABC=50°，
在∆AOB中 ∵ ∠O=90°,
∴∠ABO=90°-50°=40°.
【点睛】本题考查全等三角形的性质运用，熟练掌握三角形内角和定理和平行线性质是解题的关键.
10．（2021·河南商丘·八年级期末）如图，△ABC≌△ADE，延长BC交AD、DE于点F和点G，∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．
【答案】90°，65°
【分析】先根据全等三角形的性质得∠BAC=∠DAE，由于∠DAE+∠CAD+∠BAC=120°，则可计算出∠CAB=55°，根据三角形外角性质可得∠DFB=∠BAF+∠B=90°，据此即可解答．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE
∴∠B=∠D=25°，∠EAD=∠CAB
又∵∠EAB=120°
∴∠CAB=（∠EAB－∠CAD）÷2=（120°－10°）÷2=55°，
∵∠DFB=∠CAD＋∠CAB+∠B
∴∠DFB=10°＋55°＋25°=90°
∴∠ACB=180°－∠B－∠CAB =180°－25°－55°=100°
又∵∠DGB=∠DFB－∠D
∴∠DGB=90°－25°=65°
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
考点3：利用全等三角形的性质求线段长度
方法点拨：利用全等三角形性质求线段的长度和角的度数，是利用全等三角形性质的一种考法。在求解时直接运用全等三角形的性质，得到对应边（或对应角）间的相等关系，再进行等量替换及和差运算，求线段的长度或角的度数。这类题目的答题思路是：由两个三角形全等找出对应角及对应边，再利用已知条件，结合对顶角、三角形内角和等的性质求解。
1．（2022·江苏·景山中学七年级阶段练习）如图，，，，则的长是（ ）
A．18B．17C．16D．15
【答案】D
【分析】由全等三角形的性质可得BE＝CD，即可求解．
【详解】解：∵△ABE≌△ACD，
∴BE＝CD，
∴BE+CD＝BC+DE＝30，
∴2CD＝30，
∴CD＝15，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是本题的关键．
2．（2022·陕西延安·八年级期末）如图，已知，，，则的长为（ ）
A．7B．3.5C．3D．2
【答案】C
【分析】利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵△ABC≌△DAE，
∴AC=DE=5，AE=BC=2，
∴CE=AC-AE=3，
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键．
3．（2021·湖南长沙·八年级期中）如图，△ABC≌△DEF，AD=2，CD=1，则DF的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】AC＝AD＋CD＝3，再根据△ABC≌△DEF，可得DF＝AC， 即可求解．
【详解】解：∵ AC＝AD＋CD，AD＝2，CD＝1，
∴ AC＝2＋1＝3，
∵ △ABC≌△DEF，
∴ DF＝AD＝3，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等的性质．
4．（2021·河南商丘·八年级期末）如图，△ABC≌△DEF，B、E、С、F在同一直线上，BC=5， EC=3，则BF的长是( )
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质求出EF，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，BC=5，
∴EF=BC=5，
∵EC=3
∴CF=EF-EC=5-3=2
∴BF=BC+CF=5+2=7，
故选：C．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
5．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校一模）如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点，如果AB＝8cm，BD＝7cm，AD＝6cm，那么BC的长是（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形对应边相等，BC＝AD.
【详解】解：∵△ABC≌△BAD，AD＝6cm，
∴BC＝AD＝6（cm），
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，找到全等三角形的对应边是本题的解题关键.
6．（2022·江苏淮安·八年级期末）如图，ΔABC≌ΔDEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE=2，CD=4，则BD的长__________．
【答案】
【分析】根据全等的性质可得，根据点B，C，D在同一条直线上，可得，代入数值求解即可．
【详解】解：∵ΔABC≌ΔDEC，CE=2，
∴
点B，C，D在同一条直线上，CD=4，
故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
7．（2022·湖北武汉·八年级期末）如图，△ACB≌△ADB，△ACB的周长为20，AB＝8，则AD+BD＝_____．
【答案】12
【分析】由全等三角形的性质可得△ABD的周长为20，从而可求解．
【详解】解：∵△ACB≌△ADB，△ACB的周长为20，
∴△ABD的周长为20，
∵AB＝8，
∴AD＋BD＝20−AB＝12．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质并灵活运用．
8．（2022·湖北黄石·八年级期末）如图，点B、E、D、C在同一直线上，≌，，，则______．
【答案】3
【分析】根据全等三角形的性质得，故可得，再求出答案即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟记全等三角形对应边相等，对应角相等是解题的关键．
9．（2021·山东·东营市东营区实验中学七年级阶段练习）如图，，，，求的值．
【答案】6
【分析】由全等的性质可知AC=EF，进而推得AE=CF，故．
【详解】∵
∴AC=EF
∵
∴AE=CF
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等，可以进一步推广到全等三角形对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应边上的中线相等，周长及面积相等．
10．（2022·上海·七年级专题练习）如图，将三角形ABC沿射线BC平移后能与三角形DEF重合（点B、C分别与点E、F对应），如果BF的长为12，点E在边BC上，且2＜EC＜4，求边BC长的取值范围．
【答案】
【分析】根据平移得到两个三角形全等，再分别求出当EC＝2或EC＝4时BC的值即可得出结论．
【详解】解：∵将ABC沿射线BC平移后与DEF重合，
∴，
∴BC＝EF，
∴BE＝CF，
当EC＝2时，BE＝CF＝（12﹣2）＝5，
∴BC＝5+2＝7，
当EC＝4时，BE＝CF＝（12﹣4）＝4，
∴BC＝4+4＝8，
∴7＜BC＜8．
【点睛】本题考查平移变换，全等三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
考点4：与全等三角形性质有关的证明
方法点拨：证明角度相等：证明角度相等是证明两个三角形全等最直接的应用。
证明线段相等：对应边相等;、对应角相等.
证明平行关系：两个三角形全等得到对应角相等，通过内错角、同位角相等或者同旁内角互补，两直线平行可以证明。
证明线段垂直：证明垂直关系，可以通过证明三角形中两个锐角互余得到。
证明线段的和差关系：可通过等量代换得到结论
1．（2022·北京大兴·八年级期末）如图，≌，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）35°
【分析】（1）根据≌，可得∠BAC=∠DAE，即可求证；
（2）由（1）可得∠CAE=35°，再由≌，可得∠C=∠AED，然后根据三角形外角的性质，可得∠BED=∠CAE，即可求解．
【详解】（1）证明：∵≌，
∴∠BAC=∠DAE，
即∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE，
∴；
（2）∵，，
∴∠CAE=35°，
∵≌，
∴∠C=∠AED，
∵∠AEB=∠C+∠CAE，∠AEB=∠AED+∠BED，
∴∠BED=∠CAE=35°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键．
2．（2021·河北保定·八年级期中）如图，已知，且点B，C，D在同一条直线上，延长交于点F．
(1)求证：；
(2)已知，，求的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）由三角形全等的性质可得出，．根据点B，C，D在同一条直线上，即可求出，即．由对顶角相等即得出，从而即可求出，即可证明；
（2）由三角形全等的性质可得出，，从而可求出，即得出，进而可求出．
(1)证明：∵，
∴，．
∵点B，C，D在同一条直线上，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即；
(2)∵，
∴，，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等的性质．掌握两个全等三角形的对应角相等和对应边相等是解题关键．
3．（2022·四川自贡·八年级期末）如图，△ABE≌△DCE，点A，C，B在一条直线上，∠AED和∠BEC相等吗？为什么？
【答案】相等．见解析
【分析】根据全等三角形的对应角相等进一步减去同一个角后即可证得结论．
【详解】解：相等；
理由：
∵△ABE≌△DCE，
∴∠AEB=∠DEC，
∴∠DEC-∠AEC=∠AEB-∠AEC，
即：∠AED=∠BEC．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是了解全等三角形的对应角相等，难度不大．
4．（2022·广东珠海·二模）如图，，点E在线段上，点F在延长线上，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】由全等三角形的性质证明结合，证明从而可得结论.
【详解】解： ，

，

【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，平行线的判定，证明是解本题的关键.
5．（2021·北京市海淀外国语实验学校八年级期中）如图，，，三点在同一直线上，且，
（1）线段，，有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）请你猜想满足什么条件时，，并证明．
【答案】（1），理由见解析；（2），证明见解析．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得出，再根据，，三点在同一直线上，求出，则答案可解；
（2）根据平行线的性质得出，根据全等三角形的性质得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：（1）．
理由：∵，
∴，．
∵，，三点在同一直线上，
∴，
∴．
（2）假如，
则．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴当满足时，．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
考点5：与全等三角形性质有关的综合
方法点拨：全等三角形的对应边相等，对应角相等.（另外全等三角形的周长、面积相等，对应边上的中线、角平分线、高线均相等）
1．（2022·江苏·景山中学七年级阶段练习）如图，在方格纸上，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，请按要求完成下列操作：
(1)将△ABC先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，画出平移后的△A1B1C1；
(2)若△ABC与△ABD全等，则图中与点C不重合的点D共有______个；
(3)画出△ABC的AB边上的中线CD以及BC边上的高AE．
【答案】(1)见解析
(2)3
(3)见解析
【分析】（1）根据平移的方法，现将点进行平移，然后顺次连接即可；
（2）根据全等三角形的性质在方格中找出相等的线段即可得出结果；
（3）根据中线及高线的作法进行作图即可．
(1)解：平移后的即为所求；
(2)解：如图所示：由对应边相等，可得：或或，
∴与C不重合的点有三个，
故答案为：3；
(3)如图所示，为等腰直角三角形，理解两个格点与AB交于点D，连接CD即为中线，过点A作AE⊥CB，
∴CD、AE即为所求．
【点睛】题目主要考查图形的平移，全等三角形的基本性质，三角形高线、中线的作法等，理解题意，掌握基本图形的作法是解题关键．
2．（2022·上海·七年级专题练习）如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求
(1)DE的长；
(2)∠BAC的度数．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠D＝90°，求得∠DBA+∠BAD＝90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA＝∠CAE等量代换即可得到结论．
(1)解：∵△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，
∴AE＝BD＝4cm，
∴DE＝AD+AE＝6cm．
(2)∵BD⊥DE，
∴∠D＝90°，
∴∠DBA+∠BAD＝90°，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠DBA＝∠CAE
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠BAC＝90°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
3．（2021·河南商丘·八年级期末）如图，D、A、E三点在同一条直线上，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，且△ABD≌△CAE，AC=4．
(1)求∠BAC的度数；
(2)求△ABC的面积．
【答案】(1)90°
(2)8
【分析】(1)根据垂直的定义得到∠D=90°，求得∠DBA+∠BAD=90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA=∠CAE，等量代换即可得到结论；
(2)根据全等三角形的性质得AC=AB=4，再根据三角形的面积求出答案．
(1)解：∵BD⊥DE，
∴∠D=90°，
∴∠DBA+∠BAD=90°，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠DBA=∠CAE
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠BAC=90°；
(2)解：∵△ABD≌△CAE，
∴AC=AB=4，
又∵∠BAC=90°
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积=4×4÷2=8．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形的面积公式，证得△ABC是直角三角形是解决本题的关键．
4．（2022·安徽·安庆市石化第一中学八年级期末）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．
（1）求AE的长度；
（2）求∠AED的度数．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先根据全等三角形的性质可得，再根据线段的和差即可得；
（2）先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的对应角和对应边相等是解题关键．
5．（2021·安徽·蚌埠第一实验学校八年级期中）我国古代数学家刘微将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．如图，在△ABC中，∠C＝90°，四边形CDEF为正方形，△ADE≌△AGE，△BGE≌△BFE．
（1）求∠AEB的度数；
（2）设BC＝a，AC＝b，AB＝c，求正方形CDEF的边长．（用含a，b，c的式子表示）
【答案】（1）∠AEB=135°；（2）正方形CDEF的边长为．
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及全等三角形的性质推出∠GBE+∠GAE=45°，再利用三角形内角和定理即可求解；
（2）设正方形CDEF的边长为x，利用全等三角形的性质推出AD=AG=b-x，BF=BG=a-x，再由AG+ BG=c，即可求解．
【详解】解：（1）∵△ADE≌△AGE，△BGE≌△BFE，
∴∠GBE=∠FBE，∠GAE=∠DAE，
∵∠C=90°，
∴∠CBA+∠CAB=90°，即∠GBE+∠GAE=45°，
∴∠AEB=180°-(∠GBE+∠GAE)=135°；
（2）∵△ADE≌△AGE，△BGE≌△BFE，
∴BF=BG，AD=AG，
设正方形CDEF的边长为x，
∴AD=AG=b-x，BF=BG=a-x，
∵AG+ BG=c，
∴b-x+ a-x=c，
∴x=，
即正方形CDEF的边长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
考点6：与全等三角形性质有关的动点问题
方法点拨：点运动的过程中会发生哪些变化?线段长的变化和线段长的表示.经过转折点后,图形会发生什么变化?线段长的表示是否发生变化,能否用代数式表示出来等;动点问题到最后都是等量关系建立起来解答,如全等三角形对应边相等的讨论时,建立的就是线段长方程.
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为______时，△ABP与△PCQ全等．
【答案】2或
【详解】可分两种情况：①△ABP≌△PCQ得到BP＝CQ，AB＝PC，②△ABP≌△QCP得到BA＝CQ，PB＝PC，然后分别计算出t的值，进而得到v的值．
【解答】解：①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，
∵AB＝8cm，
∴PC＝8cm，
∴BP＝12﹣8＝4（cm），
∴2t＝4，解得：t＝2，
∴CQ＝BP＝4cm，
∴v×2＝4，
解得：v＝2；
②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，
∵PB＝PC，
∴BP＝PC＝6cm，
∴2t＝6，解得：t＝3，
∵CQ＝AB＝8cm，
∴v×3＝8，
解得：v＝，
综上所述，当v＝2或时，△ABP与△PQC全等，
故答案为：2或．
【点睛】此题考查了动点问题，全等三角形的性质的应用，解一元一次方程，正确理解全等三角形的性质得到相等的对应边求出t是解题的关键．
2．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，在△ABC中，，AC＝8cm，BC＝10cm．点C在直线l上，动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P和Q作PM⊥直线l于M，QN⊥直线l于N．则点P运动时间为____秒时，△PMC与△QNC全等．
【答案】2或6##6或2
【分析】设点P运动时间为t秒，根据题意化成两种情况，由全等三角形的性质得出，列出关于t的方程，求解即可．
【详解】解：设运动时间为t秒时，△PMC≌△CNQ，
∴斜边，
分两种情况：
①如图1，点P在AC上，点Q在BC上，
图1
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
②如图2，点P、Q都在AC上，此时点P、Q重合，
图2
∵，，
∴，
∴；
综上所述，点P运动时间为2或6秒时，△PMC与△QNC全等，
故答案为：2或6．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，根据题意判断两三角形全等的条件是解题关键，同时要注意分情况讨论，解题时避免遗漏答案．
3．（2021·河南濮阳·七年级期中）如图，已知四边形ABCD中，AB＝BC＝8cm，CD＝6cm，∠B＝∠C，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，点Q运动的速度是每秒2cm，点P运动的速度是每秒acm（a≤2），当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒，
（1）BQ＝ ；BP＝ ；（用含a或t的代数式表示）
（2）运动过程中，连接PQ、DQ，△BPQ与△CDQ是否全等？若能，请求出相应的t和a的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）2tcm，（8﹣at）cm；（2）a＝2，t＝3或a＝1，t＝2
【分析】（1）根据路程=速度×时间求解；
（2）分2种情况，根据全等三角形的性质列方程求解；
【详解】解：（1）由题意得，AP＝atcm，BP＝(8﹣at)cm，BQ＝2tcm，
故答案为：2tcm，(8﹣at)cm；
（2）△BPQ与△CDQ能全等；
∵∠B＝∠C，
∴△BPQ与△CDQ全等存在两种情况：
①当△PBQ≌△QCD时，PB＝CQ，BQ＝CD，
∴2t＝6，8﹣at＝8﹣2t，
∴a＝2，t＝3；
②当△PBQ≌△DCQ时，PB＝DC，BQ＝CQ，
∴8﹣at＝6，2t＝8﹣2t，
∴a＝1，t＝2；
综上，△BPQ与△CDQ能全等，此时a＝2，t＝3或a＝1，t＝2．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，分类讨论是解答本题的关键．
4．（2021·浙江·八年级期末）如图，已知正方形边长为，动点M从点C出发，沿着射线的方向运动，动点P从点B出发，沿着射线的方向运动，连结，
（1）若动点M和P都以每秒的速度运动，问t为何值时和全等？
（2）若动点P的速度是每秒，动点M的速度是每秒问t为何值时和全等？
【答案】（1）t=1；（2）t=或t=
【分析】（1）根据△DCP与△BCM全等，列出关于t的方程，解之即可；
（2）分当点P在点C左侧和当点P在点C右侧，两种情况，根据PC=CM，列方程求解即可．
【详解】解：（1）要使△DCP与△BCM全等，
则PC=CM，
由题意得：2t=4-2t，
解得：t=1；
（2）当点P在点C左侧时，
则△DCP≌△BCM，
∴PC=CM，
∴4-3t=1.5t，
解得：t=；
当点P在点C右侧时，
则△DCP≌△BCM，∴CP=CM，
∴3t-4=1.5t，解得：t=，
综上：当t=或t=时，△DCP与△BCM全等．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是抓住全等三角形的条件，得到相等线段，列出方程，注意分类讨论．