数学八年级上册4.1 平方根精练

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【名师点睛】
1.平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，记作“±√a”．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“√a”，负的平方根表示为“-√a”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作√a．零的算术平方根仍旧是零．
【典例剖析】
【考点1】求一个数的平方根
【例1】（2022·江苏淮安·八年级期末）4的平方根是（ ）
A．2B．±2C．2D．±2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平方根的定义解答即可．
【详解】
解：∵（±2）2=4，
∴4的平方根是±2，
故选：B．
【点睛】
此题考查了平方根的定义：若一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根．
【变式1】（2011·江苏·八年级单元测试）81的平方根是（ ）
A．±3B．3C．±9D．9
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出81的值，再求平方根即可．
【详解】
解：∵81=9，
9的平方根是±3，
∴81的平方根是±3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【考点2】平方根概念的理解
【例2】（2022·江苏·苏州市振华中学校模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．212是414的平方根B．0.2是0.4的平方根
C．－2是－4的平方根D．2是4的平方根
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平方根的定义求解即可，平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根．
【详解】
解：A.∵ 212=52，414=174，522=254≠174，故该选项不正确，不符合题意；
B. ∵ 0.22=0.04，故0.2不是0.4的平方根，故该选项不正确，不符合题意；
C.－4没有平方根，故该选项不正确，不符合题意；
D. ∵ 22 =2，4 =2，故2是4的平方根，故该选项正确，符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查了平方根的定义，理解平方根的定义是解题的关键．
【变式2】（2021·江苏常州·八年级期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．5是25的平方根B．25的平方根是5C．9=±3D．-22=-2
【答案】A
【解析】
【分析】
分别根据平方根的定义和算术平方根的定义逐一判断即可得出正确选项．
【详解】
解：A、5是25的平方根，正确，故本选项符合题意；
B、25的平方根是±5，原说法错误，故本选项不符合题意；
C、9=3，原说法错误，故本选项不符合题意；
D、(−2)2没有意义，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了平方根与算术平方根，注意：一个正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根．
【考点3】已知一个数的平方根的代数式，求这个数
【例3】（2021·江苏·滨海县滨淮初级中学八年级阶段练习）已知正数a的两个不同的平方根是2x+1和x−7．
(1)求x和a的值．
(2)求2−5x的立方根．
【答案】(1)x=2，a=25
(2)−2
【解析】
【分析】
（1）根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数解答即可；
（2）把x的值代入2-5x求出其值，再根据立方根的意义解答即可．
（1）解：由题意得：2x+1+x-7=0，解得：x=2，a=（2x+1）2=25，答：x的值为2，a的值为25；
（2）当x=2时，2-5x=-8，∵-8的立方根是-2，∴2-5x的立方根是-2，答：2-5x的立方根是-2．
【点睛】
本题考查了平方根与立方根，熟练掌握它们的意义是解题的关键．
【变式3】（2022·江苏·八年级）已知某正数的两个不同的平方根是3a−14和a+2；b+4的立方根为−2；c是5的整数部分．
(1)求a+b+c的值；
(2)求3a−b+2c的平方根．
【答案】(1)−7
(2)±5
【解析】
【分析】
（1）由平方根的含义列方程3a−14+a+2=0，解方程求解a的值，利用立方根的含义求解b，由无理数的整数部分的含义求解c，从而可得答案；
（2）把（1）中的a，b，c的值代入3a−b+2c，再求解平方根即可．
(1)
解：∵某正数的两个不同的平方根是3a−14和a+2
∴3a−14+a+2=0，
∴a=3，
∵b+4的立方根为−2
∴b+4=(−2)3=−8，
∴b=−12，
∵c是5的整数部分，
∴c=2，
∴a+b+c=3+(−12)+2=−7；
(2)
∵3a−b+2c=3×3−(−12)+2×2=25，
∴ 3a−b+2c的平方根为±5．
【点睛】
本题考查平方根、立方根的含义、估算无理数大小，熟悉平方根与立方根的含义，理解无理数的整数部分是解本题的关键．
【考点4】利用平方根解方程
【例4】（2022·江苏南京·八年级期末）求下列各式中的x的值．
(1)4x2＝1；
(2)(x－1)3＋27＝0．
【答案】(1)x=±12
(2)x=−2
【解析】
【分析】
（1）可用直接开平方法进行解答；
（2）可用直接开立方法进行解答．
（1）原等式可化为x2=14，开平方，得x=±12．
（2）原等式可化为(x−1)3=−27，开立方，得x−1=−3．移项，得x=−2．
【点睛】
本题主要考查立方根和平方根的知识点，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0．
【变式4】．（2022·江苏·八年级）求出下列x的值．
(1)4x2＝9；
(2)（x+1）2﹣25＝0．
【答案】(1)x=±32
(2)x＝4或﹣6
【解析】
【分析】
根据平方根的定义解方程即可求解．平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根．
(1)
解：∵4x2＝9，
∴x2=94．
∴x＝±32．
(2)
∵（x+1）2﹣25＝0，
∴（x+1）2＝25．
∴x+1＝±5．
∴x＝4或﹣6．
【点睛】
本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的定义是解决本题的关键．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2022•鼓楼区一模）下列说法正确的是（ ）
A．212是414的平方根B．0.2是0.4的平方根
C．﹣2是﹣4的平方根D．2是4的平方根
【分析】根据平方根与立方根的定义即可求出答案．
【解析】A、214的平方根是±172，故A不符合题意．
B、0.4的平方根是±21010，故B不符合题意．
C、﹣4没有平方根，故C不符合题意．
D、2是4的平方根，故D符合题意．
故选：D．
2．（2022•长沙模拟）25的平方根是（ ）
A．±5B．5C．±5D．5
【分析】先求出25=5，再根据平方根定义求出即可．
【解析】∵25=5，
∴25的平方根是±5，
故选：C．
3．（2022春•镜湖区校级期末）在下列结论中，正确的是（ ）
A．(−54)2=±54B．x2的算术平方根是x
C．﹣x2一定没有平方根D．9的平方根是±3
【分析】根据平方根的意义逐项判断．
【解析】A.(−54)2=54，故错误；
B．x2的算术平方根是|x|，故错误；
C．﹣x2，当x＝0时，平方根为0，故错误；
D.9的平方根为±3，正确．
故选：D．
4．（2022春•赵县期末）某整数的两个不同平方根是2a﹣1与﹣a+2，则这个数是（ ）
A．1B．3C．﹣3D．9
【分析】直接利用平方根的定义得出a的值，进而得出答案．
【解析】由题意可得：2a﹣1﹣a+2＝0，
解得：a＝﹣1，
故2a﹣1＝﹣3，
则这个数是：（﹣3）2＝9．
故选：D．
5．（2018秋•亭湖区校级月考）16平方根是（ ）
A．4B．﹣4C．±4D．±8
【分析】依据平方根的定义和性质求解即可．
【解析】16平方根是±4．
故选：C．
6．（2022•灌南县二模）81的平方根是（ ）
A．9B．±9C．±3D．3
【分析】依据平方根的定义求解即可．
【解析】∵（±9）2＝81，
∴81的平方根是±9．
故选：B．
7．（2017秋•张家港市校级期中）（﹣6）2的平方根是（ ）
A．﹣6B．36C．±6D．±6
【分析】首先根据平方的定义求出（﹣6）2的结果，然后利用平方根的定义即可解决问题．
【解析】∵（﹣6）2＝36，
∴±36=±6，
∴（﹣6）2的平方根是±6．
故选：C．
8．（2021秋•吴江区月考）已知一个数的平方根是±3，这个数是（ ）
A．﹣9B．9C．81D．±3
【分析】根据平方根的定义解决此题．
【解析】∵（±3）2＝9，
∴这个数是9．
故选：B．
9．（2021秋•海陵区校级月考）有理数a的平方根为（ ）
A．aB．±aC．±aD．±|a|
【分析】根据平方根的定义解决此题．
【解析】根据平方根的定义，a的平方根为±a．
故选：C．
10．（2021•建邺区一模）若a2＝（﹣2）2，则a是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣2或2D．4
【分析】先求出（﹣2）2＝4，再开平方求出a的值．
【解析】∵（﹣2）2＝4，
∴a2＝4，
解得：a＝±2．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．（2022春•崇川区期末）已知（x﹣1）2＝9，则x的值等于 4或﹣2 ．
【分析】根据平方根的定义进行计算即可．
【解析】（x﹣1）2＝9，
x﹣1＝±3，
解得x＝4或x＝﹣2，
故答案为：4或﹣2．
12．（2021秋•丰泽区校级期末）一个正数a的平方根分别是2m和﹣3m+1，则这个正数a为 4 ．
【分析】根据平方根的定义与性质解决此题．
【解析】由题意得，2m+（﹣3m+1）＝0．
∴m＝1．
∴2m＝2．
∴a＝4．
故答案为：4．
13．（2022春•工业园区校级月考）代数式2020−x+2y的最大值是 2020 ．
【分析】根据算术平方根的非负数性质解答即可．
【解析】∵x+2y≥0，
∴2020−x+2y≤2020，
∴代数式2020−x+2y的最大值是2020．
故答案为：2020．
14．（2021秋•江都区月考）36的平方根是 ±6 ．
【分析】根据平方根的定义求解即可．
【解析】36的平方根是±6，
故答案为：±6．
15．（2022•秦淮区一模）5的平方根是 ±5 ．
【分析】直接根据平方根的定义解答即可．
【解析】∵（±5）2＝5，
∴5的平方根是±5．
故答案为：±5．
16．（2022春•海门市月考）若一个正数的两个平方根分别为1+a与2a﹣7，则a的值是 2 ．
【分析】由平方根的定义可得出关于a的一元一次方程1+a＝﹣（2a﹣7），解出方程即可．
【解析】∵一个正数的两个平方根分别为1+a与2a﹣7，
∴有1+a＝﹣（2a﹣7），解得a＝2．
故答案为：2．
17．（2018秋•江阴市校级期中）4的平方根是 ±2 ．
【分析】4的平方根就是2的平方根，只需求出2的平方根即可．
【解析】∵4=2，2的平方根是±2，
∴4的平方根是±2．
故答案为是±2．
18．（2018秋•建湖县期中）（﹣5）2的平方根是 ±5 ．
【分析】先求得（﹣5）2的值，然后依据平方根的性质求解即可．
【解析】（﹣5）2＝25，25的平方根是±5．
故答案为：±5．
三．解答题（共5小题）
19．（2022春•港闸区校级月考）求下列各式中x的值：
（1）3x2﹣12＝0；
（2）（x+1）3＝﹣8．
【分析】（1）首先表示出把等号左边化为x2，再利用平方根可得答案；
（2）直接利用立方根的性质计算得出答案．
【解析】（1）3x2﹣12＝0，
3x2＝12，
x2＝4，
解得：x＝±2；
（2）（x+1）3＝﹣8，
x+1＝﹣2，
解得：x＝﹣3．
20．（2022春•工业园区校级月考）已知a﹣1和5﹣2a都是非负数m的平方根，求m的值．
佳佳的解题过程如下：
解：∵a﹣1和5﹣2a都是非负数m的平方根，
∴a﹣1+5﹣2a＝0，
解得a＝4，
∴a﹣1＝3，
∴m的值为9．
请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请说明理由．
【分析】利用平方根的意义得出关于a的等式，进而求出m的值．
【解析】佳佳的解题过程不正确，理由如下：
∵a﹣1和5﹣2a是非负数m的平方根，
∴当a﹣1+5﹣2a＝0时，
解得：a＝4，
∴a﹣1＝3，
∴m的值为：9，
当a﹣1＝5﹣2a，
解得：a＝2，
故m的值为：1，
综上所述：m的值为：1或9．
21．（2021秋•江阴市期中）求出下列x的值．
（1）4x2＝9；
（2）（x+1）2﹣25＝0．
【分析】（1）根据平方根解决此题．
（2）根据平方根解决此题．
【解析】（1）∵4x2＝9，
∴x2=94．
∴x＝±32．
（2）∵（x+1）2﹣25＝0，
∴（x+1）2＝25．
∴x+1＝±5．
∴x＝4或﹣6．
22．（2011秋•苏州校级月考）若m是169的正的平方根，n是121的负的平方根，求：
（1）m+n的值；
（2）（m+n）2的平方根．
【分析】（1）根据平方根的定义求出m、n的值，然后代入计算即可求解；
（2）先求出（m+n）2的值，然后再根据平方根的定义进行求解．
【解析】（1）∵132＝169，
∴m＝13，
∵（﹣11）2＝121，
∴n＝﹣11，
∴m+n＝13+（﹣11）＝2；
（2）（m+n）2＝4＝（±2）2，
∴（m+n）2的平方根是±2．
故答案为：（1）2，（2）±2．
23．（2020秋•泰兴市期中）已知一个正数m的两个不同的平方根是a﹣1与5﹣2a，求a和m的值．
【分析】直接利用平方根的定义得出a的值，进而得出答案．
【解析】∵一个正数m的两个不同的平方根是a﹣1与5﹣2a，
∴a﹣1+5﹣2a＝0，
解得：a＝4，
则a﹣1＝3，
故m＝32＝9．