期末全真押题卷（培优压轴卷，八上苏科）-【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】

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姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，试题共28题．选择8道、填空10道、解答10道.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣4，﹣3）B．（﹣3，﹣4）C．（3，4）D．（3，﹣4）
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），即关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数，这样就可以求出对称点的坐标．
【解答】解：点A（﹣3，4）关于x轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣4），
故选：B．
2．在下列图形中，轴对称图形是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
3．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AC＝BDB．BC＝ADC．∠C＝∠DD．∠CAB＝∠DBA
【分析】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案．
【解答】解：A、当添加AC＝BD时，且∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，由“SSA”不能证得△ABC≌△BAD，故本选项符合题意；
B、当添加BC＝AD时，且∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，由“SAS”能证得△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；
C、当添加∠C＝∠D时，且∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，由“AAS”能证得△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；
D、当添加∠CAB＝∠DBA时，且∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，由“ASA”能证得△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；
故选：A．
4．估计+1的值在（ ）
A．6到7之间B．7到8之间C．8到9之间D．9到10之间
【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：∵72＝49，82＝64，而49＜56＜64，
∴7＜＜8，
∴8＜+1＜9，
故选：C．
5．如图，在方格纸中，假设每个小正方形的面积为1，则图中的四条线段中长度是有理数的有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【分析】先根据勾股定理得出各条线段的长度，进而解答即可．
【解答】解：EF＝，是无理数；
AB＝2，是有理数；
CD＝，是无理数；
GH＝，是无理数；
故选：A．
6．如图，直线y＝kx+b与x轴交于点（﹣1，0），与y轴交于点（0，﹣2），则关于x的不等式kx+b＜0的解集为（ ）
A．x＞﹣1B．x＞﹣2C．x＜﹣1D．x＜﹣2
【分析】kx+b＜0可看作是函数y＝kx+b的函数值小于0，然后观察图象得到图象在x轴下方，对应的自变量的取值范围为x＞﹣1，这样即可得到不等式kx+b＜0的解集．
【解答】解：根据题意，kx+b＜0，
即函数y＝kx+b的函数值下于0，图象在x轴下方，对应的自变量的取值范围为x＞﹣1，
故不等式kx+b＜0的解集是：x＞﹣1．
故选：A．
7．如图，等边△ABC的顶点A（1，1），B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，△ABC顶点C的坐标为（ ）
A．（﹣2020，1+）B．（﹣2020，﹣1﹣）
C．（﹣2019，1+）D．（﹣2019，﹣1﹣）
【分析】据轴对称判断出点A变换后在x轴下方，然后求出点A纵坐标，再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标，最后写出即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形AB＝3﹣1＝2，
∴点C到x轴的距离为1+2×＝+1，
横坐标为2，
∴C（2，+1），
∵第2021次变换后的三角形在x轴下方，
∴点C的纵坐标为﹣﹣1，
∵横坐标为2﹣2021×1＝﹣2019，
所以，点C的对应点C′的坐标是（﹣2019，﹣1﹣），
故选：D．
8．如图，Rt△ABC≌Rt△BAD，BC、AD交于点E，M为斜边AB的中点，若∠CMD＝α，∠AEB＝β．则α和β之间的数量关系为（ ）
A．2β﹣α＝180°B．β﹣α＝60°C．α+β＝180°D．β＝2α
【分析】根据全等三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠CAB＝∠ABD，∠ABC＝∠BAD，
∵M为斜边AB的中点，
∴AM＝CM，BM＝DM，
∴∠AMC＝∠BMD＝180°﹣2∠CAM，
∴α＝180°﹣∠AMC﹣∠BMD＝180°﹣2（180°﹣2∠CAM），
∵∠ABC＝∠BAD＝90°﹣∠CAM，β＝180°﹣∠BAD﹣∠ABC，
∴β＝180°﹣（90°﹣∠CAM）﹣（90°﹣∠CAM）＝2∠CAM，
∴α＝180°﹣2（180°﹣β），
∴2β﹣α＝180°，
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请把答案直接填写在横线上
9．近似数2.8×104精确到 百 位．
【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
【解答】解：近似数2.8×104精确到百位，
故答案为：百．
10．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≠﹣2 ．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x+2≠0，解得答案．
【解答】解：根据题意得：x+2≠0，
解可得：x≠﹣2．
11．△ABC是等腰三角形，∠A＝56°，那么∠B的度数是 62°或68° 或56°． ．
【分析】等腰三角形△ABC可能有三种情况，①当∠A为顶角时，②当∠B为顶角时，③当∠C为顶角时，根据各种情况求对应度数即可．
【解答】解：根据题意，
当∠A为顶角时，∠B＝∠C＝62°；
当∠B为顶角时，∠A＝∠C＝56°，∠B＝68°；
当∠C为顶角时，∠A＝∠B＝56°．
∴∠B的度数可能是62°或68° 或56°．
故答案为：62°或68° 或56°．
12．将直线y＝2x﹣1向上平移4个单位，平移后所得直线的解析式为 y＝2x+3 ．
【分析】直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，直线y＝2x﹣1向上平移4个单位，所得直线解析式是：y＝2x﹣1+4，即y＝2x+3，
故答案为：y＝2x+3．
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝16，BC＝20，AD⊥BC，垂足为D，则AD的长为 ．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再利用三角形面积公式得出AB•AC＝BC•AD，即可求出AD．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AC＝16，BC＝20，
∴AB＝＝12，
∵S△ABC＝AB•AC＝BC•AD，
∴×12×16＝×20AD，
∴AD＝．
故答案为：．
14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是 2.5 ．
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理可得BC，根据角平分线性质可得DE＝DC，根据三角形面积公式求出CD，即可求出BD．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴BC＝＝＝4，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DC，
∵AC•BC＝AC•CD+AB•DE，即×3×4＝×3CD+×5CD，
解得CD＝1.5，
∴BD＝4﹣CD＝4﹣1.5＝2.5．
故答案为：2.5．
15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，则丁的面积为 29 ．
【分析】连接AC，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积＝丙的面积+丁的面积，依此即可求解．
【解答】解：连接AC，
由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，AD2+CD2＝AC2，
∴甲的面积+乙的面积＝丙的面积+丁的面积，
∵甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，
∴丁的面积为30+16﹣17＝29．
故答案为：29．
16．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠AOC＝90°，∠A＝13°，则∠C＝ 32 °．
【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，连接OB，
∵OD垂直平分AB，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠A＝13°，
∴∠AOB＝180°﹣13°﹣13°＝154°，
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC＝360°，
∴∠BOC＝360°﹣90°﹣154°＝116°，
∵OE垂直平分BC，
∴∠C＝∠OBC＝（180°﹣116°）＝32°．
故答案为：32．
17．中国古代数学专著《九章算术》“方程”一章记载用算筹（方阵）表示二元一次方程组的方法，发展到现代就是用矩阵式＝来表示二元一次方程组，而该方程组的解就是对应两直线（不平行）a1x+b1y＝c1与a2x+b2y＝c2的交点坐标P（x，y）．据此，则矩阵式＝所对应两直线交点坐标是 （2，5） ．
【分析】根据题意得出方程组，求出方程组的解，再得出答案即可．
【解答】解：根据题意得：
，
①+②，得x＝2，
把x＝2代入①，得8﹣y＝3，
解得：y＝5，
所以方程组的解为，
∴两直线交点坐标是（2，5），
故答案为：（2，5）．
18．如图，四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC，将边DA绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，过点E作EF⊥BC，垂足为F，若EF＝2，BF＝3，则线段CD的长是 ．
【分析】由勾股定理可求BE的长，由“SAS”可证△ABE≌△ACD，可得BE＝CD＝．
【解答】解：如图，连接AC，AE，BE，
∵EF＝2，BF＝3，
∴BE＝＝＝，
∵∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵将边DA绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，
∴AD＝AE，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD，∠DAE＝60°，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAE＝∠DAC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：+++．
【分析】先计算绝对值和开方，再计算加减即可．
【解答】解：+++
＝﹣2+5+2﹣3
＝+2．
20．求下列各式中的x：
（1）4x2﹣81＝0；
（2）（x﹣1）3+4＝．
【分析】（1）直接利用平方根的定义计算得出答案；
（2）直接利用立方根的定义计算得出答案．
【解答】解：（1）4x2﹣81＝0，
则x2＝，
故x＝±；
（2）（x﹣1）3+4＝
（x﹣1）3＝﹣4，
则（x﹣1）3＝﹣，
故x﹣1＝﹣，
解得：x＝﹣．
21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点都在格点上（网格线的交点叫做格点），现将△ABC先向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到△A1B1C1．
（1）在图中画出△A1B1C1，点C1的坐标是 （5，3） ；
（2）如果将△A1B1C1看成由△ABC经过一次平移得到的，那么一次平移的距离是 5 ．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）求出AA1的长，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作，点C1的坐标是（5，3）．
故答案为：（5，3）．
（2）如果将△A1B1C1看成由△ABC经过一次平移得到的，那么一次平移的距离是AA1的长＝＝5，
故答案为：5．
22．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F．
（1）求证：BF＝AC；
（2）若BF＝3，求CE的长度．
【分析】（1）由三角形的内角和定理，对顶角的性质计算出∠1＝∠2，等腰直角三角形的性质得BD＝AD，角边角（或角角边）证明△BDF≌△ADC，其性质得BF＝AC；
（2）等腰三角形的性质“三线合一”证明CE＝，计算出CE的长度为．
【解答】解：如图所示：
（1）∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠FDB＝∠FEA＝∠ADC＝90°，
又∵∠FDB+∠1+∠BFD＝180°，
∠FEA+∠2+AFE＝180°，
∠BFD＝∠AFE，
∴∠1＝∠2，
又∠ABC＝45°，
∴BD＝AD，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（ASA）
∴BF＝AC；
（2）∵BF＝3，
∴AC＝3，
又∵BE⊥AC，
∴CE＝AE＝＝．
23．已知y＝y1+y2，且y1﹣3与x成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝2时，y＝7，当x＝1时，y＝0．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）计算x＝4时，y的值．
【分析】（1）设y1﹣3＝k1x，y2＝k2（x﹣2），可得y＝k1x+3+k2（x﹣2），把x＝2，y＝7和x＝1，y＝0代入求解即可．
（2）由（1）可直接把x＝4代入求解．
【解答】解：（1）设y1﹣3＝k1x，y2＝k2（x﹣2），
∵y＝y1+y2，
∴y＝k1x+3+k2（x﹣2），
把x＝2，y＝7和x＝1，y＝0代入得，
∴，
解得，
∴y＝2x+3+5（x﹣2）＝7x﹣7，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝7x﹣7．
（2）把x＝4代入y＝7x﹣7得：
y＝7×4﹣7＝21．
24．请你用学习一次函数时积累的经验和方法研究函数y＝|x﹣1|的图象和性质，并解决问题．
（1）根据函数表达式，填写下表：
（2）利用（1）中表格画出函数y＝|x﹣1|的图象；
（3）观察图象，当x ＜1 时，y随x的增大而减小；
（4）利用图象，直接写出不等式|x﹣1|＜x+1的解集．
【分析】（1）根据函数y＝|x﹣1|，可以计算出当x＝﹣1和x＝1对应的函数值，从而可以将表格补充完整；
（2）根据（1）中表格的数据，可以画出相应的函数图象；
（3）根据函数图象，可以直接写出y随x的增大而减小时x的取值范围；
（4）根据函数图象，可以直接写出不等式|x﹣1|＜x+1的解集．
【解答】解：（1）∵y＝|x﹣1|，
∴当x＝﹣1时，y＝2，当x＝1时，y＝0，
故答案为：2，0；
（2）函数图象如右图所示；
（3）由图象可得，
当x＜1时，y随x的增大而减小，
故答案为：＜1；
（4）由图象可得，
不等式|x﹣1|＜x+1的解集是0＜x＜4．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6．
（1）作图：作BC边的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，求EF的长．
【分析】（1）根据题意作出图形结论；
（2）连接EC，根据线段垂直平分线的性质得到∠EFB＝90°，BF＝CF＝3，BE＝CE，求得∠B＝∠ECB，推出AE＝CE，得到AE＝BE＝5，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；
（2）连接EC，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴∠EFB＝90°，BF＝CF＝3，BE＝CE，
∴∠B＝∠ECB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠ACE+∠ECB＝90°，
∴∠A＝∠ACE，
∴AE＝CE，
∴AE＝BE，
∵AB＝AE+BE＝10，
∴AE＝BE＝5，
在Rt△EFB中，∠EFB＝90°，BE＝5，BF＝3，
∴EF2＝BE2﹣BF2＝52﹣32＝16，
∴EF＝4．
26．“戴口罩、勤洗手、常通风”已成为当下人们的生活习惯，某校为做好校园防护工作．计划采购一批洗手液，已知某超市推出以下两种优惠方案：
方案一：一律打八折．
方案二：购买量不超过200瓶时，按原价销售；超过200瓶时，超过的部分打六折．
设学校计划从该超市购买x瓶洗手液，方案一的费用为y1元．方案二的费用为y2元，y1，y2关于x的函数图象如图所示．
（1）该洗手液的标价为 15 元/瓶；
（2）分别求出y1，y2关于x的函数解析式；
（3）若该校计划购买420瓶洗手液．则选择哪种方案更省钱？请说明理由．
【分析】（1）根据图象可得洗手液的单价；
（2）根据题意，可以分别写出两种优惠活动y与x的函数关系式；
（3）把x＝420代入由（2）得到的解析式解答即可．
【解答】解：（1）由图象可得，200瓶洗手液的打八折后的价格是2400元，
∴洗手液的单价为2400÷200÷80%＝15（元/瓶），
故答案为：15；
（2）方案一：y1与x的函数关系式为y1＝0.8×15x＝12x；
方案二：当0＜x≤200时，y2＝15x，
当x＞200时，y2＝15×200+（x﹣200）×15×0.6＝9x+1200．
∴y1＝12x，y2＝；
（3）当x＝420时，
12x＝12×420＝5040（元），
9x+1200＝9×420+1200＝4980（元），
4980＜5040，
答：方案二更省钱．
27．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）BP＝ （16﹣t）cm （用t的代数式表示）
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，出发 11秒或12 秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
【分析】（1）根据题意即可用t可分别表示出BP；
（2）结合（1），根据题意再表示出BQ，然后根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，
故答案为：（16﹣t）cm；
（2）当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，解得t＝，
∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形；
（3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10（cm），
∴BC+CQ＝22（cm），
∴t＝22÷2＝11；
②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，
则BC+CQ＝24（cm），
∴t＝24÷2＝12，
综上所述：当t为11或12时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．
故答案为：11秒或12．
28．【基础模型】
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E．求证：△ACD≌△ABE．
【模型拓展】
（2）在平面直角坐标系中，两条互相垂直的直线l1与l2都经过点M（4，3），直线l1与x轴的正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点D．
①如图2，点M是线段AB的中点，求线段AC的长度；
②连接AD，如果△ABD是等腰三角形，直接写出点B的坐标．
【分析】（1）由“AAS”可证△ACD≌△ABE；
（2）①由中点坐标和直角三角形的性质可求OB＝6，OA＝8，由线段垂直平分线的性质可求AC＝BC，由勾股定理可求解；
②分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和全等三角形可求解．
【解答】证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
在△ACD与△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（AAS）；
（2）①如图2，连接OM、BC，
∵M为AB中点，∠AOB＝90°，M为（4，3），
∴OM＝AM＝BM＝5，
∴OB＝6，OA＝8，
又AB⊥CM，AM＝BM，
∴AC＝BC，
设AC＝BC＝x，
则OC＝8﹣x，
在Rt△OBC中，OC2+OB2＝BC2，
∴36+（8﹣x）2＝x2，
∴，
即AC的长为；
②如图3，连接AD，OM，
Ⅰ、当AD＝BD时，
∵DM⊥AB，
则M是AB中点，
由①知OB＝6，
∴B为（0，6），
Ⅱ、当AB＝BD时，
由（1）知，△BMD≌△BOA，
∴BM＝BO，
设BN＝x，
在Rt△BMN中，BN＝x，MN＝4，BM＝OB＝3+x，
由勾股定理可知（x+3）2＝x2+16，
∴，即，
∴B为，
Ⅲ、当AB＝AD时，
∵AO⊥BD，
∴O为BD中点，
∵DM⊥AB，
∴∠BMD＝90°，
在Rt△DMB中，OM＝OB＝OD＝5，
∴B为（0，5），
综上所述：B点坐标为（0，5）或（0，6）或．x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
3
2
1
0
1
2
3
…