专题1.1 同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方之八大考点-【学霸满分】2023-2024学年七年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18266" 【典型例题】 PAGEREF _Tc18266 \h 1
\l "_Tc24742" 【考点一同底数幂相乘】 PAGEREF _Tc24742 \h 1
\l "_Tc7719" 【考点二同底数幂乘法的逆用】 PAGEREF _Tc7719 \h 3
\l "_Tc24289" 【考点三幂的乘方运算】 PAGEREF _Tc24289 \h 4
\l "_Tc12464" 【考点四幂的乘方的逆用】 PAGEREF _Tc12464 \h 5
\l "_Tc16448" 【考点五利用幂的乘方比较大小】 PAGEREF _Tc16448 \h 6
\l "_Tc32711" 【考点六积的乘方运算】 PAGEREF _Tc32711 \h 8
\l "_Tc16124" 【考点七积的乘方的逆用】 PAGEREF _Tc16124 \h 9
\l "_Tc28337" 【考点八新定义有关幂的运算】 PAGEREF _Tc28337 \h 12
\l "_Tc9098" 【过关检测】 PAGEREF _Tc9098 \h 16
【考点一同底数幂相乘】
例题：（2024下·全国·七年级假期作业）计算：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由同底数幂的乘法法则计算即可；
（2）由同底数幂的乘法法则计算即可；
（3）由同底数幂的乘法法则计算即可；
（4）参照同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2024下·全国·七年级假期作业）计算：
(1)；(2)；
(3)（为大于1的整数）；(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先确定符号，再根据同底数幂乘法法则进行计算；
（2）根据同底数幂乘法法则进行计算；
（3）根据同底数幂乘法法则进行计算；
（4）先变形为同底数幂，再根据同底数幂乘法法则进行计算．
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键．
2．（2024下·全国·七年级假期作业）计算：
(1)；
(2)；
(3) ；
(4)；
(5)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则计算即可；
（2）利用同底数幂的乘法法则计算即可；
（3）利用同底数幂的乘法法则计算即可；
（4）利用同底数幂的乘法法则计算即可；
（5）利用同底数幂的乘法法则计算即可；
【详解】（1）解：原式
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式；
（5）原式．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
【考点二同底数幂乘法的逆用】
例题：（2024下·全国·七年级假期作业）已知，，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，熟知是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴．
【变式训练】
1．（2024下·全国·七年级假期作业）（1）已知，，求的值．
（2）已知，求．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法运算的逆用求解即可．
【详解】（1）因为，，
．
（2）因为，
所以，
所以，
解得．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算及其逆运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
2．（2023上·全国·八年级课堂例题）已知，求的值．
【答案】
【分析】根据同底数幂的法则进行运算即可．
【详解】解：∵，
∴．
【点睛】本题主要考查的是同底数幂的乘法的应用，逆用公式是解题的关键．
【考点三幂的乘方运算】
例题：（2023下·广东茂名·七年级统考期末）计算：______．
【答案】
【分析】直接运用幂的乘方法则进行运算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是幂的乘方法则知识内容，幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
【变式训练】
1．（2023上·湖南长沙·七年级校考期中）计算．
【答案】
【分析】本题考查的是幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，本题根据两种幂的运算法则，先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可.
【详解】解：，
故答案为：
2．（2023上·全国·八年级专题练习）计算：．
【答案】
【分析】先算乘方、再运用同底数幂乘法法则计算即可；灵活运用相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：．
故答案为：．
【考点四幂的乘方的逆用】
例题：（2023上·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）已知，用含a，b的式子表示下列代数式：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法法则以及幂的乘方法则，熟练掌握上述法则及其逆运用，是解题的关键．
（1）根据同底数幂的乘法法则即可求解；
（2）根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）．
【变式训练】
1．（2023上·山东德州·八年级校考期中）已知为正整数，且，求的值．
【答案】368
【分析】本题主要考查幂的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方是解题的关键；由题意易得原式可变形为，然后代值求解即可
【详解】解：，
，
，
，
．
2．（2023上·福建福州·八年级统考期中）计算：
(1)已知，求n的值．
(2)已知，求m的值．
【答案】(1)2
(2)3
【分析】（1）利用幂的乘方法则变形得到，即可求解；
（2）运用幂的乘方，把底数都化为3的形式，结合同底数幂的乘法，列出关于的方程求解．
【详解】（1）解：，
∴，
解得：；
（2），
，
即，
，
解得．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方等知识．熟练掌握运算法则的逆用是解题的关键．
【考点五利用幂的乘方比较大小】
例题：（2023上·八年级课时练习）已知，，试比较a，b的大小．
【答案】
【分析】根据幂的乘方运算法则把它们化为指数相同的幂，再比较大小即可．
【详解】解：∵，，，
∴．
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方以及有理数大小比较，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）比较，，这三个数的大小，并用“”将它们连接起来．
【答案】
【分析】把它们化为指数相同的幂，再比较大小即可．
【详解】解：，
，
∵，
∴
【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆用：，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
2．（2023上·八年级课时练习）【阅读理解】特殊数大小的比较
问题：比较，，的大小．
解：，，，．
【问题解决】
学习以上解题思路和方法，然后完成下题：
比较，，的大小．
【答案】
【分析】根据幂的乘方逆运算法则解答．
【详解】，，，且，
．
【点睛】本题考查了幂的乘方，正确理解题意、熟练掌握幂的乘方法则是解题关键．
【考点六积的乘方运算】
例题：（2023上·新疆直辖县级单位·八年级校考阶段练习）计算：（1）；（2）=；（3）=．
【答案】//
【分析】（）利用积的乘法运算法则即可求解；
（）利用积的乘法运算法则和幂的乘方运算法则即可求解；
（）利用积的乘法运算法则即可求解；
本题考查了积的乘法运算和幂的乘方运算，掌握积的乘法运算法则和幂的乘方运算法则是解题的关键．
【详解】解：（），
故答案为：；
（），
故答案为：；
（），
故答案为：．
【变式训练】
1．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）计算：；；．
【答案】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方以及积的乘方运算，根据相应的运算法则计算即可．
【详解】；；，
故答案为：，，．
2．（2023下·辽宁朝阳·七年级校考期中）计算；；．
【答案】
【分析】根据同底数幂相乘、积的乘方与幂的乘方、负整指数幂的运算法则计算即可．
【详解】解：；
；
．
故答案为：；；．
【点睛】本题考查同底数幂相乘、积的乘方与幂的乘方、负整指数幂，熟练掌握同底数幂相乘、积的乘方与幂的乘方、负整指数幂的运算法则是解题的关键．
【考点七积的乘方的逆用】
例题：（2023上·福建泉州·七年级校联考期中）计算并认真观察：
(1)计算：
①___________；___________；②___________；___________．
(2)根据以上两组计算结果的规律，猜想：___________（是正整数）；
(3)根据你发现的规律与猜想，简便计算：．
【答案】(1)①；；②；
(2)
(3)
【分析】本题考查数与式的变化规律，
（1）①通过计算得出结论；②通过计算得出结论；
（2）根据（1）计算结果的规律猜想得出结论；
（3）根据发现的规律与猜想进行计算；
根据算式中数的变化找出变化规律是解题的关键．
【详解】（1）解：①；，
故答案为：；；
②；，
故答案为：；；
（2）根据以上两组计算结果的规律，猜想：，
故答案为：；
（3）
．
【变式训练】
1．（2023上·广东深圳·七年级校考期中）阅读下列各式：．
解答下列问题：
(1)猜想：．
(2)计算：；
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查积的乘方，根据题干所给信息，得到，是关键．
（1）由题干例题即可求得答案；
（2）利用积的乘方法则计算即可；
（3）利用积的乘方法则计算即可．
【详解】（1）解：∵
∴；
故答案为：；
（2）；
（3）．
2．（2023上·河南周口·八年级统考阶段练习）下图是小李同学完成的一道作业题，请你参考小李的方法解答下列问题．

(1)计算：
①；
②；
(2)若，请求出的值．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①根据积的乘方的逆运算进行计算；②将代数式变形为指数相同，再根据积的乘方的逆运算即可求解；
（2）将代数式变形为底数相同，再根据同底数幂的运算即可求解．
【详解】（1）解：①
；
②
．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查幂的运算，掌握其运算法则是解题的关键．
【考点八新定义有关幂的运算】
例题：（2023下·全国·七年级专题练习）如果，那么我们规定，例如：因为，所以
(1)根据上述规定，填空：
， ；
(2)记，，．求证：．
【答案】(1)3，0，
(2)见解析
【分析】（1）根据示例要求，直接可求解；
（2）根据同底数幂相乘的逆用可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
故答案为：3，0；
（2）证明：∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘的逆应用，解答本题的关键是正确的找到题目给出的规律．
【变式训练】
1．（2023下·江西抚州·七年级统考期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：
∵，∴
(1)根据上述规定，填空： ______， ______，________；
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的理由：
设，则，即，
∴，即，
∴．
请你尝试运用这种方法判断是否成立，若成立，请说明理由．
【答案】(1)4；0；
(2)成立，见解析
【分析】（1）根据题目中给出的信息进行解答即可；
（2）设，，则，，根据，得出即可证明结论．
【详解】（1）解：∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴．
故答案为：4；0；．
（2）解：成立，理由如下：
设，，
则，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了幂的运算，新定义运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握同底数幂乘法，负整数指数幂运算法则和零指数幂运算法则，准确计算．
2．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）阅读理解：我们知道一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子可以变形为，也可以变形为．在式子中，3叫做以2为底8的对数，记为．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为，即．
根据上面的规定，请解决下列问题：
(1)计算：____________，_____________；
(2)小明在计算的时候，采用了以下方法：
设，

通过以上计算，我们猜想____________．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根据新定义运算，结合乘方运算，求解即可；
（2）理解题中的运算步骤，设，，对式子进行变形，求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴
故答案为：，
（2）设，，则，
∴
∴
即
故答案为：
【点睛】此题考查了同底数幂乘法的逆运算，乘方的逆运算，解题的关键是理解新定义运算，熟练幂的有关运算．
、
一、单选题
1．（2023上·吉林松原·八年级统考期末）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加，可得答案．
【详解】解：
．
故选：B．
2．（2023上·吉林·八年级统考期末）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项，分别依据同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项的法则进行求解，然后判断正误即可．
【详解】解：A、，该选项错误；
B、，该选项正确；
C、，该选项错误；
D、和不是同类项，不能合并，该选项错误.
故选：B.
3．（2023上·上海闵行·七年级校考阶段练习）已知算式：①；②；③；④；其中正确的算式是（ ）
A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④
【答案】A
【分析】同底数幂相乘：底数不变，指数相加；，据此即可求解．
【详解】解：①；①正确；
②；②正确；
③；③错误；
④；④错误；
故选：A．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法．熟记相关运算法则即可．
4．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】先根据已知求出，再整体代入计算可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方逆运算，熟练掌握运算公式是解答本题的关键．
5．（2023上·河南洛阳·八年级校考期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了幂的乘方，变形为同底数幂的形式，再比较大小是解题关键．先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘．然后根据指数的大小即可比较大小．
【详解】解：∵；
；
．
则．
故选：C．
二、填空题
6．（2023下·广东揭阳·七年级统考阶段练习）计算，．
【答案】/
【分析】利用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则分别进行计算即可．此题考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
，
故答案为：，
7．（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级呼市四中校考期中）若，，则；当时，则．
【答案】68
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握相应的运算法则和逆运算是解题的关键．
【详解】解：由，可得，
由，可得，
故答案为：6，．
8．（2023上·上海青浦·七年级校考期中）已知，，则．
【答案】/
【分析】此题考查了幂的乘方，根据幂的乘方的逆运算即可求解，解题的关键是熟练掌握幂的乘方运算法则．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
9．（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）已知，则．
【答案】16
【分析】直接根据同底数幂的乘法以及幂的乘方运算法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
10．（2023上·福建福州·八年级校考阶段练习）若，，则．
【答案】
【分析】根据，，得出，变形为，得出，整体代入求值即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，代数式求值，解题的关键是根据，，求出．
三、解答题
11．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）计算．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，
（1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方的运算法则计算即可；
（2）根据积的乘方的运算法则计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
12．（2023上·全国·八年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)0
(4)
【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法运算．熟练掌握积的乘方，同底数幂的乘法运算是解题的关键．
（1）先计算积的乘方，然后根据同底数幂的乘法运算即可；
（2）先计算积的乘方，然后根据同底数幂的乘法运算即可；
（3）先计算积的乘方，然后根据同底数幂的乘法运算，最后合并同类项即可；
（4）先计算积的乘方，然后根据同底数幂的乘法运算，最后合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
13．（2023下·江苏无锡·七年级校联考阶段练习）（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据同底数幂的运算法则，底数不变，指数相加（减）即可求解；
（2）将底数化成同底数，根据同底数幂的运算即可求解．
【详解】解：（1）∵，，
∴；
（2），
∴，解得，．
【点睛】本题主要考查同底数幂的运算法则，同底数幂乘法的逆运算，掌握同底数幂相关的运算法则是解题的关键．
14．（2023上·广东惠州·八年级校考期中）（1）若，，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查的是同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用．
（1）先根据同底数幂的除法以及幂的乘方进行变形，再代入求出即可；
（2）原式变形为，再代入数据求出即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴；
（2）∵，
∴
．
15．（2023下·江苏无锡·七年级宜兴市实验中学校考期中）如果，则，例如，则．
(1)根据上述规定，若，则______；
(2)记，，，求、、之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据新定义列式，再根据乘方的逆运算即可得答案；
（2）根据新定义列式，再根据同底数幂乘法逆运算即可得答案．
【详解】（1）解：∵如果，则，，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）∵，，，
∴
，
，
，
．
【点睛】本题考查乘方及同底数幂乘法逆运算，正确理解新定义，熟练掌握运算法则是解题关键．
16．（2023上·山西晋城·八年级统考期中）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以．
(1)若，，请你也利用逆向思考的方法求出的值．
(2)下面是小宇用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小宇的方法解答下面的问题：
小宇的作业
计算：．
解：．
①小宇的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式：________．
②计算：
【答案】(1)4
(2)①；②0.25
【分析】此题考查了积的乘方、同底数幂的乘法、幂的乘方等运算法则，熟练掌握公式的逆用是解题的关键．
（1）运用逆用同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式进行计算即可；
（2）①根据题意得到是逆用积的乘方，写出公式即可；②逆用积的乘方进行计算即可．
【详解】（1）∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）①．
②
．