专题1.2 同底数幂的除法之六大考点-【学霸满分】2023-2024学年七年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc31766" 【典型例题】 PAGEREF _Tc31766 \h 1
\l "_Tc10673" 【考点一 同底数幂的除法】 PAGEREF _Tc10673 \h 1
\l "_Tc32138" 【考点二 同底数幂除法的逆用】 PAGEREF _Tc32138 \h 3
\l "_Tc16496" 【考点三 幂的混合运算】 PAGEREF _Tc16496 \h 4
\l "_Tc32541" 【考点四 零指数幂】 PAGEREF _Tc32541 \h 5
\l "_Tc9454" 【考点五 负整数指数幂】 PAGEREF _Tc9454 \h 6
\l "_Tc26146" 【考点六 用科学计数法表示绝对值小于1的数】 PAGEREF _Tc26146 \h 7
\l "_Tc16896" 【过关检测】 PAGEREF _Tc16896 \h 8
【典型例题】
【考点一 同底数幂的除法】
例题：（2023下·浙江·七年级专题练习）计算：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】直接运用同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，计算时要注意符号．
【变式训练】
1．（2023下·浙江·七年级专题练习）计算下列各题．
(1)(2)(3)(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据，即可；
（2）根据，先计算小括号，再根据，计算；
（3）把看成一个整体，根据，计算；
（4）根据，先计算小括号，然后根据，计算．
【详解】（1）．
（2）．
（3）令
∴．
（4）．
【点睛】本题主要考查幂的有关计算，解题的关键是熟练掌握，．
2．（2023下·浙江·七年级专题练习）计算
(1)(2)(3)
(4)(5)(6)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）根据同底数幂的除法计算即可；
（2）根据同底数幂的除法和积的乘方计算即可；
（3）根据同底数幂的除法和积的乘方计算即可；
（4）根据同底数幂的除法计算即可；
（5）根据同底数幂的除法计算即可；
（6）根据同底数幂的除法和同底数幂的乘法计算即可；
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式；
（5）原式；
（6）原式；
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方，准确计算是解题的关键．
【考点二 同底数幂除法的逆用】
例题：（2023上·贵州铜仁·八年级校考阶段练习）若，，求的值．
【答案】
【分析】此题主要考查同底数幂除法的逆运算和幂的乘方的逆运算，把转化为，再将，代入求值即可．
【详解】解：∵，，
∴．
【变式训练】
1．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）已知，．求：
(1)；
(2)的值．
【答案】(1)5400
(2)
【分析】（1）逆向运用同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则计算即可；
（2）逆向运用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．
【详解】（1）解：，，
；
（2）解：，，
．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方的逆运算，掌握幂的运算性质是解答本题的关键．
2．（2023上·八年级课时练习）已知，，，求的值．
【答案】
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法和除法进行计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴
．
【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法和除法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
【考点三 幂的混合运算】
例题：（2023下·七年级课时练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)0
(2)
(3)
【分析】（1）根据同底数幂的乘法和幂的乘方以及合并同类项的计算法则求解即可；
（2）根据幂的乘方和同底数幂的除法计算法则求解即可；
（3）根据同底数幂的乘除法计算法则求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2024下·全国·七年级假期作业）计算：
【答案】
【分析】根据积的乘方，幂的乘方和同底数幂除法运算法则进行计算即可．
【详解】解：．
【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方，幂的乘方和同底数幂除法运算法则，准确计算．
2．（2023上·广东广州·八年级校考期中）计算：．
【答案】0
【分析】本题考查了幂的混合运算，利用同底数幂的除法运算法则及积的乘方即可求解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式．
【考点四 零指数幂】
例题：（2023上·吉林·八年级统考期末）计算．
【答案】
【分析】本题考查了零指数幂的定义：，熟知定义是解决本题的关键；
【详解】解：
故答案为：
【变式训练】
1．（2023上·广东韶关·八年级统考阶段练习）若，则．
【答案】1
【分析】本题考查了零指数幂的意义，根据非零数的零次幂等于1解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：1．
2．（2023上·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）已知则a的值为．
【答案】或0/0或
【分析】分和，以及，三种情况进行讨论．
【详解】解：∵，非零数的0次幂为1，1的任何次幂均为1，的偶次幂为1，
∴分三种情况讨论：
①，解得：；
②，解得：；
③，解得，此时，不满足题意；
故答案为：或0．
【点睛】本题考查指数幂．熟练掌握非零数的0次幂为1，1的任何次幂均为1，的偶次幂为1，是解题的关键．
【考点五 负整数指数幂】
例题：（2023上·辽宁营口·八年级统考期末）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算减法即可，注意任何非零底数的零指数幂结果都为1．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式训练】
1．（2023上·西藏林芝·八年级统考期末）计算．
【答案】
【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，熟知零指数幂和负整数指数幂的计算法则是解题的关键，注意任何非零底数的零指数幂结果都为1．
【详解】解；，
故答案为：．
2．（2023上·甘肃武威·八年级校联考期末）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地化简各数是解题的关键．
先化简各数，然后再进行计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
【考点六 用科学计数法表示绝对值小于1的数】
例题：（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期末）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的质量其实很轻，只有左右，数据用科学记数法可表示为．
【答案】
【分析】本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数．根据用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可得到答案．
【详解】解：数据用科学记数法可表示为：，
故答案为：．
【变式训练】
1．（2023上·吉林四平·八年级统考期末）扫描隧道显微镜是一种利用量子理论中的隧道效应探测物质表面结构的仪器。扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”。已知52个纳米长度为，那么用科学记数法表示.
【答案】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式，与较大数的科学记数法不同的是其使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：用科学记数法表示为，
故答案为：．
2．（2023上·吉林·八年级统考期末）人体中成熟的红细胞的平均直径为0.0000077m，0.0000077m用科学记数法可表示为m．
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：．
故答案为：．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023上·河南许昌·八年级校联考阶段练习）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是同底数幂的除法运算，根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，计算即可．
【详解】解：，
故选：B．
2．（2023上·辽宁大连·八年级统考期末）随着科技的不断发展，我国北斗芯片研发技术达到国际领先水平，目前，国产北斗芯片尺寸已可达12纳米（即1纳米＝0.000000001米），则数据12纳米用科学记数法表示为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】D
【分析】本题考查科学记数法，按照定义，确定与的值是解决问题的关键．用科学记数法表示较小的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可．
【详解】解：1纳米米，
根据科学记数法要求的小数点从原位置移动到1后面，动了有9位，从而用科学记数法12纳米表示为米，
故选：D．
3．（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）下列计算中，正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查整式的除法运算，负整数幂，零指数幂，熟练掌握整式的除法法则运算是解答本题的关键；
根据整式除法，负整数幂，零指数幂，的运算法则逐项进行判断即可；
【详解】A、，计算错误；
B、，计算错误；
C、，计算错误；
D、，计算正确，
故选：D．
4．（2023上·山东临沂·八年级校考阶段练习）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂除法的逆运算，先根据幂的乘方计算法则求出，再根据同底数幂除法的逆运算法则得到，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，
∴，
故选A．
5．（2023上·贵州铜仁·八年级校考期中）若，则正确的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了乘方运算、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质以及有理数大小比较等知识，正确化简各数是解题关键．
【详解】解：∵，，，，
∴．
故选：D．
二、填空题
6．（2023上·辽宁大连·八年级校联考阶段练习）计算的结果为．
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂，单项式的乘法的运算，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．
【详解】解：
7．（2023上·上海奉贤·七年级统考期末）水滴不断地滴落在一块石头上，经过若干年，石头上形成了一个深为厘米的小洞．数字用科学记数法表示为．
【答案】
【分析】本题主要考查科学记数法表示较小的数，形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：．
故答案为：．
8．（2023上·全国·八年级期末）已知，则=．
【答案】
【分析】本题主要考查同底数幂的除法及幂的乘方，利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
【详解】解：当时，
，
故答案为：．
9．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）若，，则．
【答案】6
【分析】本题主要考查了有理数的除法和同底数幂除法，根据运算法则分别相除即可求得答案．
【详解】解：，
故答案为：6．
10．（2023上·福建厦门·八年级校考期中）若，，则．
【答案】1
【分析】利用同底数幂的乘除法则求出，可得结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法，解题的关键是逆用运算法则求出．
三、解答题
11．（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期末）计算：.
【答案】1
【分析】本题考查实数的混合运算，分别计算负整数次幂、零次幂、有理数的乘方，再进行加减运算．
【详解】解：
．
12．（2023上·上海青浦·七年级统考期末）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查零次幂及负指数幂，熟练掌握零次幂及负指数幂是解题的关键；因此此题可根据零次幂及负指数幂可进行求解．
【详解】解：原式
．
13．（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】题目主要考查同底数幂的乘法及合并同类项，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先计算同底数幂的乘法运算，然后合并同类项计算即可；
（2）先计算同底数幂的乘法及积的乘方运算，同底数幂的除法运算，然后合并同类项计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
14．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）已知，则和的值．
【答案】6；
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，分别计算即可．
【详解】解： ，，
；
．
15．（2023上·河南驻马店·八年级校考阶段练习）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)4
(2)9
【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法和除法．
（1）先进行幂的乘方运算，再进行同底数幂的除法运算，再代值计算即可；
（2）先逆用幂的乘方运算，再进行同底数幂的乘法运算，再代值计算即可；
掌握相关运算法则，是解题的关键．
【详解】（1）解：；
（2）．
16．（2023上·福建莆田·八年级校考期中）（1）已知、为正整数，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）逆向运用同底数幂的乘除法法则以及利用幂的乘方运算法则计算即可；
（2）逆向运用同底数幂的乘除法法则以及利用幂的乘方运算法则计算即可；
【详解】（1）解：∵、为正整数，
（2）∵，
；
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
17．（2023上·福建泉州·七年级统考期中）数学的魅力，就在于探索与发现！小新同学对数学有着独有的兴趣，在学习了有理数的乘方后，知道，，他又有了新发现，有没有，，，？如果有，该怎么计算？老师给了他提示：，，即；，，即．同学们，你有什么发现吗？
请认真阅读材料，解答下列问题．
(1)计算，的值．
(2)根据上述方法，比较与的大小关系，写出计算过程．
【答案】(1)，
(2)，过程见解析
【分析】本题考查零指数幂公式，负整数指数幂公式，同底数幂的除法，有理数的大小比较，审清题意利用老师所给的例子总结规律是解题的关键．
（1）利用老师所给的例子，总结规律从而得到和，继而得解；
（2）先分别求出与，再比较大小即可．
【详解】（1）解：根据题中例子总结规律得：，为正整数
∴，即
所以
因为，即
所以；
（2）因为，
，
所以．
18．（2023上·江西赣州·七年级统考期中）定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．
一般地，把记作：，读作“的圈次方”，特别地，规定：．
另外我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算也可以转化为乘方运算．
(1)直接写出计算结果：，；
(2)请把有理数的圈次方写成幂的形式：；
(3)计算：．
【答案】(1)1，
(2)
(3)
【分析】本题考查了有理数的乘除法运算，同底数幂的除法，
（1）根据题意转化为有理数的除法运算即可；
（2）先化为除法，然后根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，乘以一个数等于除以这个数的倒数转化为乘方运算，再根据“同底数幂相除，底数不变指数相减”化简即可；
（3）利用（2）题结论先求出和的值，再代入求值即可；
【详解】（1）解：，
，
（2）解：
（3）解：，
，
原式