北师大版七年级下学期期中考试模拟卷（范围：整式的乘法、相交线与平行线、变量之间的关系）-【学霸满分】2023-2024学年七年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．球的体积是，球的半径为，则，其中变量和常量分别是（ ）
A．变量是，；常量是B．变量是，；常量是
C．变量是，：常量是3，4D．变量是，常量是
【答案】A
【分析】根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，根据常量和变量的概念解答即可．
【详解】解：中变量是，；常量是；
故选A．
2．如图，与互为对顶角的图形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】本题考查对顶角，理解对顶角的意义是正确判断的前提．根据对顶角的意义结合具体图形进行判断即可．
【详解】解：根据对顶角的意义，一个角的两条边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角是对顶角，
只有图③中的∠1和∠2是对顶角，
故选：A．
3．下列计算中正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，单项式除以单项式，合并同类项，完全平方公式的应用，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．分别按照同底数幂的乘法、完全平方公式、整式的加法、积的乘方及单项式除以单项式来验证即可．
【详解】解：①，故①错误；
②，故②错误；
③与不是同类项，不能合并，故③错误；
④，故④错误；
⑤，⑤正确．
综上，正确的只有⑤1个．
故选：A．
4．石墨烯是一种纳米材料，它的理论厚度仅为0.00000000034米，数据0.00000000034用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选：D．
5．如图，现要从村庄A修建一条连接公路的小路，为使小路最短，则过点A作于点H，沿修小路即可．这样做的理由是（ ）
A．两点之间线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【分析】
本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是熟练掌握垂线段的性质．
【详解】解：∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
∴过点A作于点H，这样做的理由是垂线段最短．
故选：B．
6．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下：
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数
B．温度越低，声速越慢
C．当温度每升高时，声速增加
D．当空气温度为时，声音可以传播
【答案】D
【分析】本题考查函数的表示方法、常量与变量，根据自变量与函数的定义判断A即可；通过观察数据即可得出结论BC；根据C计算出空气温度为的声速，即此时每秒传播的距离即可判断D．
【详解】解：∵声速随温度的变化而变化，
∴自变量是温度，声速是温度的函数，
∴A正确，不符合题意；
从而表格数据可知，随着温度的降低，声速变慢，
∴B正确，不符合题意；
从数据可知，温度每升高时，声速增加，
∴C正确，不符合题意；
由C可知，当空气温度为时，声速为，即当空气温度为时，声音每秒可以传播，
∴D错误，符合题意．
故选：D．
7．已知，那么的大小关系（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查有理数的大小比较，零指数幂和负整数指数幂．利用零指数幂和负整数指数幂分别计算后，即可比较大小．
【详解】解：∵，，，
∴．
故选：A．
8．如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学问题，已知，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，延长 到点C，如图，先由两直线平行，同旁内角互补求出，则，再由两直线平行，内错角线段即可得到．
【详解】解：延长 到点C，如图：

，
，
，
∵，
∴
，
，
故选：B．
9．图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则（ ）
A．12B．14C．16D．22
【答案】C
【分析】
本题考查了完全平方式，正方形的面积和整式的混合运算等知识点，先求出，，然后计算出，再根据，求出，最后整体代入计算即可．
【详解】解：根据题意，得，，
∴
，
∵，，
∴，
∴（负值舍去），
∴．
故选：C．
10．下列各情景分别可以用图中的哪一幅图来近似地刻画？正确的顺序是（ ）
①汽车紧急刹车（速度与时间的关系）；
②人的身高变化（身高与年龄的关系）；
③跳高运动员跳跃横杆（高度与时间的关系）；
④一面冉冉上升的红旗（高度与时间的关系）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
本题考查用函数图象表示变量之间的关系，根据描述，确定相应的函数图象，进行判断即可．
【详解】①汽车紧急刹车时速度随时间的增大而减小，最后速度为0，与d符合；
②人的身高随着年龄的增加而增高，到一定年龄就不再变化，与b符合；
③运动员在跳跃横杆的过程中上升到最大高度之后高度减小，与c符合；
④红旗升高的高度随着时间的增加而匀速增大，到一定时间就不再变化，与a符合．
故选C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．化简：（1）（2）．
【答案】
【分析】
本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法，掌握幂的运算法则是解题的关键．
（1）直接用幂的乘方法则计算即可；
（2）直接用同底数幂的除法法则计算后化简即可．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：．
12．小邢到单位附近的加油站加油，下图所示是他所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是．

【答案】金额与数量
【分析】根据常量与变量的定义即可判断．
【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
∴变量是：金额与数量．
故答案为：金额与数量．
【点睛】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．
13．如图，直线被直线所截，，当时，．
【答案】80
【分析】
本题主要考查了平行线的性质，先由平角的定义得到，再由两直线平行，同位角相等即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴当时，．
故答案为：80．
14．若，则的值为．
【答案】10
【分析】
本题考查了多项式乘以多形式及代数式求值，先根据多项式与多项式的乘法法则计算，再把代入求解即可．
【详解】∵，
∴，
∴
．
故答案为：10．
15．张大爷要围成一个长方形花园，花园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为26米，要围成的菜园是如图所示的长方形，设边的长为米，边的长为米，则与的关系式是．（不需要写自变量取值范围）

【答案】
【分析】根据“用篱笆围成的另外三边总长应恰好为26米”可以得出与的关系式．
【详解】解：用篱笆围成的另外三边总长应恰好为26米，
，
，
与的关系式是：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，读懂题意，正确列出关系式是解题的关键．
16．如图，已知中，，，，点是上一点，点是上一点，以为圆心，为半径作圆，圆上一点，从点位置绕着周圆逆时针旋转一周，速度为每秒．若平行于的一边，则点所用的时间为秒．

【答案】7或25或或
【分析】
本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．分四种情况：当，点P在上方时，当，点P在下方时，当，点P在上方时，当，点P在下方时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：当，点P在上方时，如图所示：

∵，，
∴，
∴（秒）；
当，点P在下方时，如图所示：

∵，，
∴，
∴（秒）；
当，点P在上方时，如图所示：

∵，，
∴，
∴（秒）；
当，点P在下方时，如图所示：

∵，，
∴，
∴（秒）；
综上分析可知：平行于的一边，则点所用的时间为7秒或25秒或秒或秒．
故答案为：7秒或25秒或秒或秒．
三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分.
17．(1)计算：；
(2)先化简，再求值：，其中．
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）解：
；
（2）原式
．
，
，，
解得 ，．
当 ，时，原式 ．
18．如图，直线相交于点．
(1)若，判断和的关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)．
【分析】
本题考查的是垂直的含义，互余的含义，角的和差运算，对顶角的性质，熟练的利用角的和差关系进行计算是解本题的关键．
（1）由垂直定义可得，，从而可得结论；
（2）由垂直定义，，由，则，可求，进而．
【详解】（1）；
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
19．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用了新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料的导热率与温度的关系如下表：
(1)补全表格；
(2)在这个过程中，哪个是自变量，哪个是因变量？
(3)当该材料导热率为时，温度为多少？
【答案】(1)见解析
(2)温度是自变量，导热率是因变量
(3)
【分析】
本题考查了函数的表示法，观察表格得出温度每增加，导热率增加是解答本题的关键．
（1）根据导热率变化规律计算即可；
（2）根据导热率随着温度的变化而变化即可解答；
（3）根据度每增加，导热率增加求解即可．
【详解】（1）
观察表格可知温度每增加，导热率增加，
，
，
（2）∵导热率随着温度的变化而变化，
∴温度是自变量，导热率是因变量；
（3）．
20．若的积中不含项与项，
(1)求、的值；
(2)求代数式的值．
【答案】(1)，
(2)33
【分析】本题考查了多项式乘多项式，代数式求值，熟练掌握多项式乘多项式运算法则是解题的关键．
（1）利用条件中积不含项与项，将积算出来后，令相应的项系数为0即可求解；
（2）利用第（1）问中的结果，代入求值．
【详解】（1）解：
，
积中不含项与项，
，
．
（2）解：由（1）知：，，
∴原式．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
21．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，已知四边形的四个顶点在格点上，利用格点和直尺按下列要求画图：
(1)连接，作射线；
(2)过点B画的垂线，垂足为E；
(3)过点A作交于点F；
(4)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)3
【分析】本题考查了画射线，线段，垂线，平行线，三角形的面积公式，平行线间的距离相等：
（1）根据题意，连接，作射线画出图形即可；
（2）根据垂线的定义画出图形即可；
（3）根据平行线之间的距离相等，过点A作交于点F，则点F即为所求；
（4）根据边上的高相等，可得．
【详解】（1）解：如图所示，线段，射线即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，点F即为所求，
（4）解：∵边上的高相等，
∴．
22．规定，如：．
(1)若，求x的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
本题考查的是新定义运算的含义，同底数幂的含义，积的乘方的含义，理解新定义运算的含义是解本题的关键；
（1）由新定义运算可得，再建立方程求解即可；
（2）由新定义运算可得计算化为，再求解即可；
【详解】（1）
解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
解得：；
（2）
∵，
∴
．
23．通过市场调查，一段时间内某地区某种商品的需求量千克与市场价格元/千克（）之间存在下列关系：
又假设该地区该商品在这段时间内的生产量千克与市场价格元/千克成正比例关系：，其中满足，现在不计其他因素影响，如果需求量等于生产量，那么此时市场处于平衡状态．
(1)试通过找点画图探究与之间的函数关系，并求出函数关系式；
(2)根据以上市场调查，请你分析；当市场处于平衡状态时，该地区这种商品的市场价格与这段时间内的总销售收入各是多少？
【答案】(1)画图见解析，
(2)该地区这种商品的市场价格与这段时间内的总销售收入各是10元/千克，40000元
【分析】（1）先再坐标系中描点，再结合表格中的数据进行求解即可；
（2）根据题意可建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：由表格中的数据结合函数图象可知市场价格每千克增加5元，则需求量降低500千克，
∴；
（2）解：由题意得，，
解得，
∴，
∴这段时间内的总销售收入是元，
答：该地区这种商品的市场价格与这段时间内的总销售收入各是10元/千克，40000元．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，一元一次方程的实际应用，正确根据表格和函数图象求出对应的函数关系式是解题的关键．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
24．若满足，求的值．
解：设，，则，，
∴．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若x满足，求的值；
(2)，求；
(3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式的变形求值，平方差公式；
（1）设，，根据题意可得，即可得出，则可得出，代入计算即可得出答案；
（2）设，，根据完全平方公式变形，即可求解．
（3）根据题意可得，，，长方形的面积，设，，可得，则，即代入计算即可．
【详解】（1）解：设，，
则，，
；
（2）设，，
则，，
；
（3）根据题意可得，
，，
设，
则，
，
．
阴影部分的面积为．
25．如图，已知，O为直线上一点，动点E，F在直线上（F在E的右侧）且满足在外部且平分交于点N．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，若射线上有一点满足，请探究与之间的数量关系并说明理由；
(3)如图3，若，射线从与射线重合的位置出发，绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从与射线重合的位置出发，绕点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，当射线和射线平行时，求出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了平行线的性质，角的平分线的定义，余角的计算，一元一次方程的应用，分类计算
（1）根据，，得到，结合平分，得到，根据，得到，利用平行线的性质计算的度数即可．
（2）设，则，根据，，得到，结合平分，得到，根据，得到，利用平行线的性质得，
，根据．消去x即可得到与之间的数量关系．
（3）根据，，得到，，然后分解析中四种情况，根据平行线的判定，分类计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：与之间的数量关系为：．理由如下：
设，则，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴．
（3）解：∵，，，
∴，，
∴，
当时，，，
如图，当时，，
∴，
解得；
如图，当时，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
当时，
如图，当时，，
∵，，
∴，
∴，
解得；
如图，当时，，
∵，，
∴，
∴，
解得，舍去；
综上所述，当或或时，射线和射线平行．
温度（℃）
0
10
20
30
声速（m/s）
318
324
330
336
342
348
T
100
150
200
250
300
350
K
0.15
0.20
0.25
0.35
T
100
150
200
250
300
350
K
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
（元/千克）
5
10
15
20
（千克）
4500
4000
3500
3000