期中压轴题专练40题（整式乘除、相交线与平行线、变量之间的关系）-【常考压轴题】2023-2024学年七年级数学下册压轴题攻略（北师大版）

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1．（23-24七年级上·福建泉州·期中）某网店实行优惠购物，优惠规定如下：如果一次性购物在元以内，按标价给予九折优惠；如果一次性购物超过元的，可以先享受“天猫”每满元减元的优惠政策（满元减元，以此类推，不设上限）进行减扣，然后再给予八折优惠．某顾客在该网店两次购物的商品标价共计元，若第一次购物商品标价为元，且少于第二次购物商品的标价，则该顾客两次购物的实际付款总额不可能为（ ）元
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了列代数式，整式的运算，根据题意先求出的范围，再分类讨论即可，解题的关键是读懂题意，理解优惠方案及分类讨论思想的应用．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
当时，则，
两次购物的实际付款共为：元；
当时，则，
两次购物的实际付款共为：元；
当时，则，
两次购物的实际付款共为：（元）；
∴可能，不可能，
故选：．
2．（23-24八年级上·重庆渝中·阶段练习）若有两个整式，．下列结论中，正确的有（ ）
①当为关于的三次三项式时，则；
②当多项式乘积不含时，则；
③；
④当能被整除时，；
⑤若或时，无论和取何值，值总相等，则．
A．①②④B．①③④C．③④⑤D．①③④⑤
【答案】C
【分析】求出，可得当时，为关于的三次三项式，此时，故说法①错误；求出，再由多项式乘积不含，可得，解得：，故说法②错误；当时，可得，当时，可得，故③说法正确；设，可得，从而得到，故④说法正确；根据当或时，无论和取何值，值总相等，可得且，故⑤说法正确，即可．
【详解】解：∵，，
∴，
当时，为关于的三次三项式，此时，故说法①错误；
∵多项式乘积不含，
∴，解得：，故说法②错误；
当时，，
即，
当时，，
即，
∴，故③说法正确；
∵能被整除，
∴可设，
∵
∴，
即，
∴，
∴，故④说法正确；
当时，，
当时，，
∵当或时，无论和取何值，值总相等，
∴且，
解得：，故⑤说法正确；
故选：C
【点睛】本题考查了整式的加减与乘法，熟练掌握整式混合运算法则是解题关键．
3．（22-23七年级下·重庆北碚·期中）给定一个正整数m，任意两个整数a与b分别除以m所得的余数相同，我们就说a，b对m同余，记作．例如：，，记作．
①
②若，则
③若，则
④若（，a，b，c，d为整数），则
以上说法正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】按照新定义分别对各说法进行判断即可．
【详解】解：∵，，二者余数不同，
∴①错误，故不符合要求；
∵，
∴记，，其中均为正整数，则，，
∴，，
∴整数与分别除以3所得的余数和分别除以3所得的余数相同，
∴，
∴②正确，故符合要求；
∵，
记，，，，其中均为正整数，则，，，，
∴，，
∴整数、分别除以7所得的余数和除以7所得的余数相同，
∴，
∴③正确，故符合要求；
∵，
∴整数与分别除以9所得的余数相同，
∴，
∴④正确，故符合要求；
综上，②③④正确，共3个；
故选C．
【点睛】本题考查了新定义的运算，多项式乘多项式等知识．解题的关键在于理解题意．
4．（23-24七年级上·福建厦门·期中）如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形C，其较短的边长为，下列说法中正确的有．（填写序号）

①小长方形C的较长边为；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
【答案】①③④
【分析】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合x为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，代入可得出说法④符合题意．
【详解】解：∵大长方形的长为y，小长方形的宽为4cm，
∴小长方形的长为，说法①符合题意；
∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm，
∴阴影A的较短边为，
阴影B的较短边为，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的周长为，
阴影B的周长为，
∴阴影A和阴影B的周长之和为，
∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的面积为，
阴影B的面积为，
∴阴影A和阴影B的面积之和为
，
当时，，说法④符合题意，
综上所述，正确的说法有①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键．
5．（22-23七年级上·江苏连云港·期中）矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知，，设，则．

【答案】7
【分析】利用面积的和差表示出，根据图①与图②分别表示出矩形的面积，进而得到，从而求解．
【详解】解：由，
可得：，
由图①得：，
由图②得：，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
6．（22-23七年级下·山东菏泽·阶段练习）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2.已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为．
【答案】19
【分析】设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，根据题意可得：，根据完全平方和公式得到，即两个正方形的面积和，结合图形用正方形的面积和减去和的面积，即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，
根据题意可得：，
，
，
，
是得中点，
，
，，
．
故答案为：19．
【点睛】本题考查完全平方和公式的运用，正确对完全平方和公式进行变形时解题的关键．
7．（23-24八年级上·四川内江·期中）数学活动课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系
(2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片1张，号卡片2张，号卡片张．
(3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，求的值；
②已知：，求的值．
【答案】(1)
(2)3；
(3)①；②．
【分析】（1）根据图形得出答案即可；
（2）根据多项式乘多项式法则进行计算即可；
（3）①先根据完全平方公式进行变形，再代入求出答案即可；
②先根据完全平方公式进行变形，再代入求出答案即可．
本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式等知识点，能熟记完全平方公式是解此题的关键，，．
【详解】（1）解：．
故答案为：；
（2），
要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片1张，号卡片2张，号卡片3张．
故答案为：3；
（3）①，
又，
，
解得：；
②，
，
，
解得：．
8．（23-24八年级上·广东珠海·期中）结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式．

(1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；
(2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足，可设，，则，．则______．
(3)若x满足，则的值为______；
(4)小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为的大长方形，则______；
(5)如图3，已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）方法一是直接将两个正方形的面积相加，方法二是用大的正方形面积减去两个长方形的面积，即可得到等式；
（2）根据（1）中得到的关系式直接代入即可得到结果；
（3）根据（2）中的方法可得到结果；
（4）根据得到的大长方形的面积展开，可以得到一个关系式，由关系式中可知道用的纸张分别是多少，计算其和即可；
（5）先根据阴影部分构造出来等式，然后根据两次完全平方公式得到结果．
【详解】（1）解：方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即；
方法二：阴影部分也可以看作边长为的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，即，
两种方法可得出：；
（2）解：由（1）可得，
∵，，
∴；
（3）解：设，，
∵x满足，
∴，
∵，
∴，
∴的值为；
（4）解：，
A纸片的面积为，B纸片面积为，C纸片面积为，
根据可知要拼出一个面积为的大长方形，需要3张A纸片，1张B纸片，4张C纸片，
则；
（5）解：由图知，，
∴，
∵长方形的面积是24，
∴，
设，，
则，，
由，得，
∴，
∴，
即，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用、多项式乘多项式、完全平方公式的变形适用，熟练掌握完全平方公式以及能够用换元法解题是解题的关键．
9．（23-24八年级上·四川内江·期中）阅读下列解答过程：已知：，且满足．求：的值．
解：，
，即．
．
请通过阅读以上内容，解答下列问题：
已知，且满足，求：
(1)的值；
(2)的值．
【答案】(1)6
(2)
【分析】本题主要考查完全平方公式的运用．
（1）先将整理得，再仿照阅读内容求出的值，最后再根据完全平方公式求出的值即可；
（2）先求出的倒数得，再将（1）中所求得的的值整体代入即可．
熟练掌握完全平方公式，会根据完全平方公式进行变形是解题的关键．
【详解】（1）
，
整理得：，
，
；
（2）的倒数为，
，
．
10．（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如．
(1)填空：当，时，__________；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)3
(2)81
【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可；
（2）根据条件结合新定义的运算方法判断出，，可得结论．
【详解】（1）解：
，
故答案为：3；
（2），，
，，
整理得：，，解得：，
．
【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题．
11．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）阅读下面问题：你能化简吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．
(1)先填空：①．
②．：
③．
④由此猜想．
(2)利用得出的结论计算：
【答案】(1)，，，．
(2)
【分析】（1）根据平方差公式可得①，根据多项式乘多项式可求②、③，根据①、②、③规律可求④；
（2）根据（1）中规律可将式子变形为进而即可求解；
【详解】（1）解：①根据平方差公式，
②，
③，
④由①、②、③规律可得．
故答案为：，，，．
（2）
【点睛】本题主要考查平方差公式的应用，多项式乘法中规律性问题，掌握题中规律并正确计算是解题的关键．
12．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）阅读以下材料：
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如，所以和与和都是“幸福数对”.
解决如下问题：
(1)请判断与是否是“幸福数对”？并说明理由：
(2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，试说明，，，之间满足怎样的数量关系，并写出证明过程；
(3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为．若这两个数为“幸福数对”，求出这两个两位数．
【答案】(1)与是“幸福数对”，理由见解析
(2)；证明见解析
(3)和
【分析】本题考查了多项式乘以多项式和新定义“幸福数对”，根据多项式乘以多项式进行计算即可求解．
（1）根据定义即可得到答案；
（2）根据定义得：，化简得；
（3）根据定义列等式，化简解方程可得的值，从而得出答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴与是“幸福数对”
（2）解：
理由如下，依题意，，
，
，
，，
∴．
即
（3）解：由（2）可得
即
∴
解得：，
则，；
，
∴这两个两位数分别为：和．
13．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为．
(1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是（填序号）；
与；与；与
(2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”；
(3)关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值．
【答案】(1)；
(2)它们的“对消值”为；
(3)代数式的最小值是．
【分析】此题考查了求代数式值的能力，
()运用题目中的定义进行逐一计算、辨别；
()先运用题目中的定义求得，的值，再代入求解；
()先求得，再将原式进行配方变形进行求解；解题的关键是能准确运用题目的新定义进行求解．
【详解】（1）∵，
,
，
∴组多项式不是互为“对消多项式”，组多项式是互为“对消多项式”，
故答案为：；
（2），，
∵与互为“对消多项式”，
，，
，，
∴它们的“对消值”为；
（3），，
，
∵与互为“对消多项式”且“对消值”为，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
∴代数式的最小值是．
14．（23-24八年级上·广东广州·期末）阅读理解：
条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；
条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；
我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界．
例如：
，
，
（满足条件①）
当时，（满足条件②）
是的下确界．
又例如：
，
由于，所以，（不满足条件②）
故4不是的下确界．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)求的下确界．
(2)若代数式的下确界是1，求m的值．
(3)求代数式的下确界．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了根据完全平方公式进行多项式变型、运算，
（1）根据题干示例的方法计算即可作答；
（2）根据题意设，根据可得，解方程即可求解；
（3）将x看作常数进行配方，可将变型为，问题随之得解．
【详解】（1），
，
（满足条件①）
当时，（满足条件②）
是的下确界．
（2）∵代数式的下确界是1，
∴设，
∵，
∴，
∴，
解得：，
即：；
（3）
，
，，
（满足条件①）
当，，即，时，（满足条件②）
是的下确界．
15．（23-24七年级上·北京西城·期中）阅读理解：
我们通常学习的数都是十进制数，使用的数码共有10个：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，表示具体数时采用“逢十进一”的原则，比如：，（这里我们规定：a≠0时，），又如：．而现代的计算机和依赖计算机的设备都使用二进制数，用到的数码只有两个：0和1，表示具体数时“逢二进一”．二进制数和十进制数可以互相转化，二进制数的运算也和十进制数的运算类似．
①我们可以把十进制整数转化成二进制整数．比如：，所以103用二进制数码表示是1100111，记为；
②也可以把十进制分数或者小数转化为二进制小数，比如：，所以可以表示成二进制小数，记为．
这里还可以把分子1和分母8都转化为二进制数，在二进制下用分了除以分母得到的二进制小数表示：
由于，，所以，而可以类比十进制数一样做除法，只是商和余数都只能是0或1：，所以；
③与十进制数类似，二进制也有循环小数，比如：
，由，可知．
问题解决：
(1)将十进制数35化成二进制数为：（______）．二进制小数化为十进制分数是______．
(2)将十进制分数化成二进制小数：；．
(3)在十进制中，循环小数都可以化为分数，比如：将化为分数形式．
设（A） 则（B）．
得：即，于是得到．
同样，二进制中的循环小数也可以用类似的方法化为十进制分数．
请二进制循环小数化成十进制分数，保留计算过程．
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)．
【分析】（1）根据十进制与二进制间的关系求解即可；
（2）根据十进制与二进制间的关系求解即可；
（3），进而得，根据二进制与十进制间的关系解方程即可．
【详解】（1）解：，
∴，
，
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
（3）解：设，则
，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查了乘方，二进制与十进制间的转化，一元一次方程的应用，有理数的混合运算，熟练掌握二进制与十进制的转化方法是解题的关键．
第二章相交线与平行线
16．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，点为长方形边上的一点，连接，，与分别交于点和点，四边形的面积为，的面积为，的面积为，图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线间距问题，三角形的面积等，根据平行线间间距处处相等结合三角形面积公式证明是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
故选：．
17．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点，，作的平行线，容易得出，和是角平分线，所以，进一步求即可．
【详解】解：如图所示，过点，，作，，，
．
，
．
，
，
，
，
，
，，
，
和是角平分线，
，
，
，
，
，，
，
即．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质以及平角的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，正确做出辅助线是解题的关键．
18．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）如图，，平分，平分，则与的数量关系为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先过点E作，过点F作，由，即可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补，解答即可．
【详解】解：如图，过点E作，过点F作，

∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质及角平分线的性质，用到的知识点为：两直线平行内错角相等，角平分线的性质．
19．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，平分，，已知，则度．
【答案】115
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，．如图所示，连接，过点C作，先根据角平分线的定义和平行线的性质证明，再由平行线的性质证明，同理可得，，由此推出，再由，推出，根据，推出，再由，推出，即．
【详解】解：如图所示，连接，过点C作，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理可得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为：．
20．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，点是上方一点，点分别在直线、上，连结、，平分，交的反向延长线于点，若，且，则度数为．

【答案】/52度
【分析】本题考查了平行线的性质与判定的综合运用，过点作，过作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义即可得出结论，解题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．
【详解】如图，过点作，过作，

设，，
∵，交于，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
21．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则．
【答案】/88度
【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过“拐点”作平行线），一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题；过点、、分别作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解；
【详解】过点、、分别作，
∵
，
，
平分，平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
22．如图，已知，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠ABC的补角，则∠BAH的度数是．
【答案】/度
【分析】首先设，，过点作，过点作，根据平行线的性质，可得，，又由的余角等于的补角，可得方程：，继而求得答案．
【详解】解：如图，

设，，
，与的平分线交于点，
，，，，
过点作，过点作，
，
，
，，，，
，，
的余角等于的补角，
，
解得：，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行线的性质与判定以及余角、补角的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
23．已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点， P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从A点出发，沿运动，到达点E.若点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为函数y，则当y＝时，x的值等于．
【答案】或
【分析】根据点的运动轨迹，分析出当在或上均有可能，再根据的面积为分类讨论计算即可．
【详解】（1）当在上时，如图：
∴
（2）当在上时，如图：
∴
故答案为：或
【点睛】本题考查动点问题与三角形面积求算，不规则图形面积求算通常采用割补法，同时注意分类讨论．
24．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图（1）所示，线段与线段重合，点是它们的中点，保持不动，将绕点顺时针旋转）；射线从与射线重合开始，绕点逆时针旋转（至多旋转到与射线重合为止）．
在此基础上，我们给出如下定义：比较与的大小，若，则将其中较小角的度数定义为对的“迷你角度”；若，则将或的度数定义为对的“迷你角度”．

(1)当时，
①如图（2）所示，若，求对的“迷你角度”是多少度；
②若对的“迷你角度”为，请借助图（3）和图（4）进行分析，求出的值是多少．
(2)若时，对的“迷你角度”是，请直接写出的值，不用说明理由．
【答案】(1)①②；
(2)或
【分析】（1）①根据“迷你角度”的定义计算即可；②分为当是对的“迷你角度”时和当是对的“迷你角度”时，分别画图计算即可；
（2）分为当是对的“迷你角度”和当是对的“迷你角度”，当时，分别计算即可；
【详解】（1），
①如图（2）所示，若，
则
，
对的“迷你角度”是；
②若对的“迷你角度”为，
则或，
当是对的“迷你角度”时，如图，
，；

当是对的“迷你角度”时，如图，
，；

综上，或；
（2）
设
则
对的“迷你角度”是，
①当是对的“迷你角度”，在之间时，
如图，，
，，
则，
，符合要求；

当是对的“迷你角度”，在之间时，
如图，，
，，
则，
，不符合要求；

②当是对的“迷你角度”，在之间时，如图，
，
，；
则，，故符合题意；

当是对的“迷你角度”，在之间时，
如图，，
；
则，，故不符合题意；

③当时，对的“迷你角度”是，
此时，不符合题意；
综上，或．
【点睛】该题主要考查了角度计算的动点问题以及一元一次方程的应用，解题的关键是进行分类讨论解题思想解答．
25．（22-23七年级下·重庆江津·期中）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、．
(1)当，平分，平分时：
①如图1，若，求的度数；
②如图2，在的下方有一点，平分，平分，求的度数；
(2)如图3，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系．（用含的式子表示）
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，
（1）①②根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可求解；
（2）过点作，则，设，，，根据平行线的性质求得，从而求解．
掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：①如图，分别过点，作，，
，
，
，
，
，
同理可得，
，
，
平分，平分，
，，
，
故答案为：；
②如图，过点作，
，
恰好平分，恰好平分，
，，
设，
，，
，
，
，
，
，
，
由①可知，
；
（2）结论：；
理由：在的上方有一点，若平分，线段的延长线平分，设为线段的延长线上一点，
，，
设，，
如图，过点作，则，
，，
，
，，
由（1）可知，
，
，
，
，
．
26．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）已知，定点E，F分别在直线，上，在平行线，之间有一动点P，满足．
(1)如图1，当P点在的左侧时，若，，则；
(2)如图2，当P点在的右侧时，猜想，满足的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，点P在左侧，且，和的角平分线，交于点Q，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；以此类推，请直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，理解题意，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解决问题的关键．
（1）过点作，证，则，，从而得，再根据，可得的度数；
（2）过点作，证，则，，从而得，由此可得，，满足的数量关系；
（3）由（2）可知，由得，由角平分线定义得，由（1）得，再由角平分线定义得，则，同理：，…，以此类推：，据此可得的度数．
【详解】（1）过点P作，如图1所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，，
∴，
故答案为：．
（2），，满足的数量关系是：，理由如下：
过点P作，如图2所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
（3）由（2）可知：，
∵，
∴，
∵，分别平分，，
∴，
由（1）可知：，
∵，分别平分，，
∴，
∴，
同理：，
…，以此类推：，
∴．
27．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）如图，，点E在上，点G在上．

(1)如图1，在、上分别取点M、N，连接，点F在上，已知平分，平分，若，，求，的度数．
(2)如图2，平分，平分，反向延长交于K，设，请通过计算，用含x的代数式表示．
(3)如图3，已知，，平分，平分，请直接写出与的数量关系_________________
【答案】(1)；
(2)
(3)（或）
【分析】（1）作，可得，再利用角平分线求出结果；
（2）设，求出，再利用角平分线及平行的性质求得，最后根据即可求解；
（3）过点作，由角平分线求得、，最后利用整理式子即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，作，
，
，
，
，
，
平分，
，
平分，
，
；

（2）如图，设交于点M，
平分，
设，则，
由（1）得，，
，
平分，
，
，
，
，
在中，；

（3）如图，过点作，
，
，
，，
，，
，
平分，平分，
，
，
，
，
，
．

【点睛】本题考查平行线的性质，平行线的拐角问题，角平分线的性质，掌握辅助线的作法是解决本题的关键．
28．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，直线，直线分别交于点，，点在线段上（不在端点处），点在直线上，点在直线上，连接．

(1)如图1，点在线段上，若，则的度数为_________；
(2)如图2，点在线段上，点为直线与之间区域的一点，点在线段上（不与端点重合），连．若，求的度数；
(3)如图3，于点，点在射线上运动（不与重合），与的角平分线所在直线交于点与的角平分线所在直线交于点与的角平分线交于点，直接写出与的数量关系．
【答案】(1)；
(2)；
(3)，证明见解析
【分析】（1）设延长线交于点S，根据平行线的性质得出，再根据余角得出的度数即可；
（2）过点K作，交于点W，设，，根据平行线的性质得出，根据四边形内角和为求出的值即可；
（3）过点C作交于点O，根据角平分线的性质和平行线的性质得出角的关系即可．
【详解】（1）解：设延长线交于点S，

∵，，
∴，
∵，
∴是直角三角形，
∴，
故答案为：；
（2）过点K作，交于点W，

∴，，
设，，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，
即，
∴的度数为；
（3）过点C作交于点O，

在四边形中，，
∵与的角平分线所在直线交于点G，与的角平分线所在直线交于点F，与的角平分线交于点T，
∴，，
∵，
∴，
在四边形中，，
∴，
即，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，垂线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质和垂线的性质是解得关键．
29．已知

(1)如图1，若，可得=；
(2)如图2，若，平分，则=；
(3)如图3，在（2）的条件下，如果，则=；
(4)尝试解决下面问题：如图4，，是的平分线，，求的度数．
(5)拓展延伸：如图2，已知，，平分，，则=；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】本题主要利用平行线的性质，垂直的定义和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）与是两平行直线、被所截得到的内错角，所以根据两直线平行，内错角相等即可求解；
（2）根据角平分线的定义求解即可；
（3）根据互余的两个角的和等于，计算即可；
（4）先根据两直线平行，同旁内角互补和角平分线的定义求出的度数，再利用互余的两个角的和等于即可求出．
（5）先根据两直线平行，内错角相等和角平分线的定义求出的度数，再利用互余的两个角的和等于即可求出．
【详解】（1）∵，
故答案为：；
（2）
平分
故答案为：；
（3）∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（4）∵，
∴，
∵，
∴，
又∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴．
（5）∵，
∴，
又∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴．
30．如图，，点，，，不在同一条直线上．
(1)如图，求证：
(2)如图，直线，交于点，且，．
①试探究与的数量关系；
②如图，延长交射线于点，若，，则的度数为用含的式子表示．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）过E作，根据平行线的性质即可得到结论；
（2）①设，由（1）知，，过P作，根据平行线的性质即可得到结论；
②过P作，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图1，过E作，
，
，
，，
∴，即；
（2）解：∵，，
∴设，由（1）知，
，
如图2，过P作，
，
，
，，
，即；
②如图3，过P作，
，
，
，
，由①知，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角的计算，三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
31．汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，且a、b满足，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且．

(1)，；
(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，求A灯转动几秒时，两灯的光束第一次互相平行？
(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，

①用含t的代数式表示
②过C作交PQ于点D，则在转动过程中，探究与有怎样的数量关系．
【答案】(1)3，1
(2)A灯转动15秒时，两灯的光束第一次互相平行；
(3)①；②，见解析
【分析】（1）根据，可得，进而得出a、b的值；
（2）由（1）可知，灯A转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，设灯A转动秒时，两灯光第一次互相平行，由平行线性质可知，解方程求得x的值即可；
（3）①过点C作，则由得到，则可得，经过秒，，得到；
②由题意可知，，即，得到，再得到，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴；
故答案为：3，1；
（2）解：由（1）可知，灯A转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，
设灯A转动秒时，两灯光第一次互相平行，由平行线性质，
可知，
解得；
∴A灯转动15秒时，两灯的光束第一次互相平行；
（3）解：①过点C作，

则
∵，
∴，
∴
∴，
即，
经过秒，，
故答案为：；
②，理由如下：
由题意可知，点一定在的右侧，，即，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是熟练掌握平行线的性质和数形结合．
32．已知．

知识回顾（1）如图，点在两平行线之间，试说明：．
知识应用（2）如图，、分别平分、，利用中的结论，试说明：；
（3）如图，直接写出、、、四个角之间的数量关系．
知识拓展（4）如图，若，，、分别平分、，那么 ______ ；只要直接填上正确结论即可
（5）如图，若、、三个角的和是，、分别平分、，那么 ______ 用含的式子表示
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4）
【分析】过点作，利用猪脚模型进行计算，即可解答；
利用的结论可得得：，，再利用角平分线的定义可得，，然后进行计算即可解答；
根据角平分线的定义可得，，再利用的结论，从而进行计算可得，再利用的结论可得，然后进行计算即可解答；
过点作，过点作，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，再利用平行线的性质可得，，从而可得，最后利用角平分线的定义可得，，从而利用的结论可得，进行计算即可解答；
过点作，过点作，过点作，利用的解题思路进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，

，
，
，
，
，
；
由得：，
，
、分别平分、，
，，
，
即；
，
理由：、分别平分、，
，，
，
由得：，
，
即；
过点作，过点作，

，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
、分别平分、，
，，
，
故答案为：；
过点作，过点作，过点作，

，
，
，，
，，
，
，
、分别平分、，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
33．（22-23七年级下·山东潍坊·期中）现有一块含角的直角三角尺，是直角，其顶点在直线上，请你解决下列问题：

(1)如图1，请直接写出、的数量关系；
(2)如图2，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，请写出图中分别与、相等的角，并说明理由；
(3)如图3，平分，将直角三角尺绕着点旋转，当时，请直接写出与直线所成锐角的度数．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)，理由见解析；
(3)，理由见解析．
【分析】（1）由平角的定义可得、和的和为，可求得与的关系，
（2）由直角三角形的两锐角互余，再由（1）和结论可得出结论，
（3）由平行线的性质可得，再利用（1）中的关系可求出的大小即可，
【详解】（1），理由如下：
点在直线上，
，，
，
故答案为：．
（2），，理由如下：
由（1）得，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3），理由如下：
如图，

平分，，
，
，
，
由（1）可知，．
故答案为：
【点睛】本题考查了平角的定义及直角三角形的两锐角互余，以及平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
34．（22-23七年级下·辽宁大连·期中）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，直线直线，直线分别交直线、直线于点H、G，
求证：．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师提出新问题，请你解答．
“如图2，点N在射线上，点M在射线上，点Q在射线上，点P在射线上，连结，且，探究直线与直线之间的位置关系并说明理由；”
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，在（2）的条件下，连接，使平分，，若给出与一定的数量关系，则图3中所有已经用字母标记的角中，有些角是可以求出来的，该小组提出下面的问题，请你解答．
“如图3，若，求∠PMH的度数并说明理由．”

【答案】（1）见解析
（2）见解析
（3），理由见解析
【分析】（1）根据等角代换即可证明；
（2）延长，交于点K，由题意得，又，可得，又，结合三角形外角的性质可得，即可求解；
（3）分别作，，再由平行公理的推论得，又由结合平分求得，再由已知，借助方程的思想，再通过角之间的转换，由即可求解．
【详解】解：（1）如图1，

∵，
∴．
又∵，
∴．
（2）如图2，

延长，交于点K，
∵，
∴．
又，
∴．
又∵，
，
又，
∴．
∴．
∴．
（3）解：如图3，

过M作，过K作，
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴可设．
又，
∴．
∴平分．
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
即．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定和平行公理的推论，需要熟练掌握角之间的转化是关键．
35．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分．

(1)求的度数．
(2)如图②，若将三角形绕点以每秒度的速度逆时针方向旋转（的对应点分别为，），设旋转时间为（s）（）；
①在旋转过程中，若边，求的值；
②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒度的速度顺时针方向旋转（的对应点为，）请求出当边时的值．
【答案】(1)；
(2)①；②或．
【分析】利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题．
首先证明，由此构建方程即可解决问题．
分两种情形：如图中，当时，延长交于根据构建方程即可解决问题．如图中，当时，延长交于根据构建方程即可解决问题．
【详解】（1）解：如图中，

，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）解：如图中，

，
，
，
，
，
，
在旋转过程中，若边，的值为；
如图中，当时，延长交于，

，
，
，
，
，
；
如图中，当时，延长交于，

，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义是解题的关键．
36．（22-23七年级下·四川成都·期中）如图，直线，点E、F分别在上，点M为两平行线内部一点．

(1)如图1，探究的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若和的角平分线交于点N，且，直接利用（1）中的结论，求的度数；
(3)如图3，点G为直线CD上一点，连接并延长交直线于点Q，在线段上取一点P，连接，使，在射线取一点H，连接，使，设，求的度数（用含的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点作，利用平行线的性质可得，，由，等量代换可得结论；
（2）利用（1）中的结论以及角平分线的定义解答即可；
（3）设，，则，，设交于．证明，求出即可解决问题．
【详解】（1），理由如下：
过点作，如图：

，，
，
，，
，
；
（2）由（1）中的结论可得：
，，
，
，
，分别平分和，
，，
，
，
即；
（3）设，，则，，设交于，如图：

，
，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质．解题的关键是作出适当的辅助线，学会利用参数解决问题．
37．（22-23七年级下·广东深圳·期中）如图1，，的平分线交于点，．

(1)试说明；
(2)如图2，若，的平分线交于点、交射线于点．求的度数；
(3)如图3，线段上有一点，满足，过点作．若在直线上取一点，使，请直接写出的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)的值是7或
【分析】（1）由，得，又平分，有，故；
（2）平分，，知，而，有，根据，得，又平分，得，即得；
（3）根据题意，分两种情况：①当在的下方时，设，由，知，，可得，从而，即得，，故；②当在的上方时，同理得：，，故．
【详解】（1）证明：，
，
平分，
；
（2）解：平分，，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
；
（3）解：根据题意，分两种情况：
①当在的下方时，如图所示：

，设，
，，
，
，
，
，，
的平分线交于点，
，
，
，
，
，，
；
②当在的上方时，如图所示：

，设，
，，
，
，
，
，，
的平分线交于点，
，
，
，
，
，，
；
综上所述，的值是7或．
【点睛】本题考查平行线的性质及应用，涉及角平分线、垂直等定义，解题的关键是分类讨论思想的应用．
38．（22-23七年级下·陕西西安·期中）已知：直线分别交直线，于点G，H，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点M，N分别在射线，上，点P，Q分别在射线，上，连接，，且，分别延长，交于点K，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若平分，且平分，若，请直接写出的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）对顶角相等，得到，进而得到，即可得证；
（2）过K作，则，推出，即，即可得证；
（3）过M作，过K作，易得，设，，推出，求出x的值，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图，由（1）知，，

过K作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
即．
（3）如图，过M作，过K作，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴设，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵．
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理的应用，角平分线的定义，垂直的定义，解决本题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质进行导角．
第三章变量之间的关系
39．（22-23七年级下·河南郑州·期中）如图1，在直角中，，点是的中点，动点从点沿出发沿运动到点，设点的运动路程为，的面积为，与的图象如图2所示，则的面积为（ ）

A．9B．12C．16D．32
【答案】C
【分析】由图象可知：当时，等于3，由此可得出的长，进而得出的长；当时，面积最大，且面积发生转折，此时点和点重合，可得，由直角三角形的面积公式求出面积即可．
【详解】解：由图象可知：当时，，
，即，
解得，
点是的中点，
，
当时，面积发生转折，此时点和点重合，
，
在中，，，，
．
故选：C
【点睛】本题考查了与动点问题有关的两个变量间的图象关系：图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出和的长．
40．用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形.设格点多边形的面积为，它各边上格点的个数之和为.
探究一：图中①—④的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数之和的对应关系如表：
与之间的关系式为：________.
探究二：图中⑤—⑧的格点多边形内部都只有2个格点，请你先完善下表格的空格部分（即分别计算出对应格点多边形的面积）：
与之间的关系式为：________.
猜想：当格点多边形内部有且只有个格点时，与之间的关系式为：_______.
【答案】探究一：；探究二：完整的表格信息见详解，；猜想：.
【分析】探究一：通过观察可以看出多边形的面积等于各边上格点个数的一半，即；
探究二：用“切割法”将⑤—⑧中图形分割成几个三角形或者矩形即可求出其面积，
通过观察可以发现多边形的面积等于各边上格点的个数和的一半加1，即，
猜想：观察可发现⑤—⑧多边形内部都有2个格点，面积在探究一的基础上加1，结合探究一、二可得出解析式
【详解】探究一：当S=2时，x=4；当S=2.5时，x=5；…..通过观察多边形的面积等于各边上格点个数的一半，即；
探究二：表格填写如下
通过观察可以发现多边形的面积等于各边上格点个数的一半再加1，即；
猜想：比较探究二与探究一，图形面积加1，图形内部格点个数加2，也就是多边形内部格点数每增加n个，面积就比原来多了n-1，故S与x的关系式为.
【点睛】本题主要考查变量之间的关系中的用表格表示变量之间的关系和用关系式表示变量之间的关系，解答本题的关键是要理解原图（表格）的变化规律，然后将它用关系式表示出来.
多边形的序号
①
②
③
④
…
多边形的面积
2
2.5
3
4
…
各边上格点的个数和
4
5
6
8
…
多边形的序号
⑤
⑥
⑦
⑧
…
多边形的面积
…
各边上格点的个数和
4
5
6
8
…
多边形的序号
⑤
⑥
⑦
⑧
…
多边形的面积
3
3.5
4
5
…
各边上格点的个数和
4
5
6
8
…