第二章 相交线与平行线（5个类型85题）-【常考压轴题】2023-2024学年七年级数学下册压轴题攻略（北师大版）

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\l "一、与余角（补角）有关的压轴题" 一、与余角（补角）有关的压轴题（15题）
\l "二、与三角板旋转有关的压轴题（15题）" 二、与三角板旋转有关的压轴题（15题）
\l "三、平行线的性质与判定（30题）" 三、平行线的性质与判定（29题）
\l "四、平行线的实际应用问题（10题）" 四、平行线的实际应用问题（10题）
\l "五、平行线三角板旋转的综合问题（15题）" 五、平行线+三角板旋转的综合问题（16题）
一、与余角（补角）有关的压轴题
1．已知：如图1，点是直线上一点，过点作射线，使，过点作射线，使．如图2，绕点以每秒9°的速度顺时针旋转得，同时射线绕点以每秒3°的速度顺时针旋转得射线，当射线落在的反向延长线上时，射线和同时停止，在整个运动过程中，当时，的某一边平分（指不大于180°的角）．
2．直观想象，逻辑推理
已知点O为直线AB上一点．
(1)如图，过点O作射线OC，使，求与的度数；
(2)如图，射线OC为内部任意一条射线，射线OD、OE分别是、的角平分线，求的度数，并写出简要的推理过程；
(3)写出上图中所有互余的角和互补的角．
3．已知直线与相交于点O．
（Ⅰ）如图1，若，平分，则_________．
（Ⅱ）如图2，若，，平分，求的大小；
（Ⅲ）如图3，若，，平分，求的大小（用含的式子表示）．
4．如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，是的平分线，求的度数；
(3)在（2）的条件下，是的一条三等分线，若，求的度数．
5．如图①，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，．

(1)若，求和的度数；
(2)试猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)如图②，是两个同样的直角三角尺锐角的顶点重合叠放在一起，，若平分，试判断是否平分，并说明理由；并直接写出与的数量关系．
6．已知：平分，和互为补角．

(1)如图，求的度数；
(2)如图，平分，求证：；
(3)如图，在（）的条件下，连接，，，求的度数．
7．如图1，是直线上的一点，，平分．

(1)若，求的度数；
(2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置．
①探究和的度数之间的关系，并说明理由；
②在的内部有一条射线，内部有一条射线，且，试确定与的度数之间的关系，并说明理由．
8．定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”．
(1)如图1，，，请判断是否为的“分余线”，并说明理由；
(2)若平分，且为的“分余线”，则______；
(3)如图2，，在的内部作射线，，，使为的平分线，为的“分余线”．当为的“分余线”时，请直接写出的度数．
9．点O为直线l上一点，射线均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线和射线，使得，作的平分线．
(1)求与的度数；
(2)作射线，使得，请在图2中画出图形，并求出的度数；
(3)如图3，将射线从图1位置开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，作的平分线当时，求旋转的时间．
10．如图，过点在内部作射线．，分别平分和，与互补，．
(1)如图1，若，则______°，______°，______°；
(2)如图2，若平分．
①当时，求度数；
②试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
11．如图1，OB、OC是∠AOD内部两条射线．
(1)若∠AOD和∠BOC互为补角，且∠AOD＝2∠BOC．求∠AOD及∠BOC的度数；
(2)如图2，若∠AOD＝2∠BOC，在∠AOD的外部分别作∠COD、∠AOB的余角∠DOM及∠AON，请写出∠DOM、∠AON、∠BOC之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，已知∠AOD＝120°，射线OE平分∠AOD，若将OB绕O点从OA出发以每秒6°逆时针旋转，OC绕O点从OD出发以每秒5°顺时针旋转，OB、OC同时运动；当OC运动一周回到OD时，OB、OC同时停止运动．若运动t（t＞0）秒后，OE恰好是∠BOC的四等分线，则此时t的值为 （直接写出答案）．
12．阅读下面材料
小聪遇到这样一个问题：如图1，∠AOB＝α，请画一个∠AOC，使∠AOC与∠BOC互补．
小聪是这样思考的：首先通过分析明确射线OC在∠AOB的外部，画出示意图，如图2所示：然后通过构造平角找到∠AOC的补角∠COD．
如图3所示：进而分析要使∠AOC与∠BOC互补，则需∠BOC＝∠COD．
因此，小聪找到了解决问题的方法：反向延长射线OA得到射线OD，利用量角器画出∠BOD的平分线OC，这样就得到了∠BOC与∠AOC互补．
(1)根据小聪的画法可知，如图3，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．请说明∠AOC与∠BOC互补的理由；
(2)参考小聪的画法，请在图4中画出一个∠AOH，使∠AOH与∠BOH互余（保留画图痕迹）；
(3)已知∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ，若∠EPQ＝β（45°＜β＜90°），直接写出锐角∠MPN的度数是 ．13．已知点A，B，O在一条直线上，以点O为端点在直线AB的同一侧作射线，，使．
（1）如图①，若平分，求的度数；
（2）如图②，将绕点O按逆时针方向转动到某个位置时，使得所在射线把分成两个角．
①若，求的度数；
②若（n为正整数），直接用含n的代数式表示．
14．已知为直线上一点，射线、、位于直线上方，在的左侧，，．
（1）如图1，，当平分时，求的度数．
（2）如图2，若，且，求（用表示）．
（3）若，点在射线上，若射线绕点顺时针旋转（），，平分，当时，求的值．
15．如图（1）所示，线段与线段重合，点是它们的中点，保持不动，将绕点顺时针旋转）；射线从与射线重合开始，绕点逆时针旋转（至多旋转到与射线重合为止）．
在此基础上，我们给出如下定义：比较与的大小，若，则将其中较小角的度数定义为对的“迷你角度”；若，则将或的度数定义为对的“迷你角度”．

(1)当时，
①如图（2）所示，若，求对的“迷你角度”是多少度；
②若对的“迷你角度”为，请借助图（3）和图（4）进行分析，求出的值是多少．
(2)若时，对的“迷你角度”是，请直接写出的值，不用说明理由．
二、与三角板旋转有关的压轴题（15题）
16．一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：

①在图1的情况下，在内作，则平分；
②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次；
④的角度恒为．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
17．如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边在直线上，其中．
(1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，此时三角板旋转的角度为度；
(2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由；
(3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在第二次相遇前，当时，直接写出旋转时间t的值．
18．将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上
(1)当秒时，平分；
(2)①如图2，旋转三角板，使得、同时在直线的异侧，则与数量关系为；
②如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由．
(3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．请直接写出在旋转过程中与的关系．
19．如图，一副三角板的边在直线上，直角顶点C、M分别在直线的上方和下方，．
(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，则；
(2)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转到图2的位置，使在的内部，求的度数；
(3)将图1中的三角板同时绕点O按逆时针方向旋转，速度分别为每秒和每秒，当三角板第一次旋转到起始位置时，一副三角板都停止运动．设运动时间为t秒，当直线恰好平分时，求t的值．
20．点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在O处，射线平分．
(1)如图（1），若，则______；
(2)将图（1）中的直角三角板绕顶点顺时针旋转至图（2）的位置，一边在直线上方，另一边在直线下方．
①试探究的结果是否为定值？若为定值，求出这个值，若不是定值，请说明理由；
②当时，求的度数．
21．点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处．
(1)如图1，将三角板的一边与射线重合时，则________；（答案写在右边一栏答题区域）
(2)如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求旋转角的度数和的度数；
(3)将三角板绕点逆时针旋转过程中，当时，直接写出的度数．
22．一副三角板如图1放置，点A，O，B在直线上，其中，，
(1)如图2，平分，平分，求的度数；
(2)如图3，若三角板绕点O逆时针旋转，平分，平分，求；
(3)若三角板绕点O逆时针旋转（），（2）中其它条件不变，请求出的度数．
23．已知是直线上的一点，射线在直线的上方，，将一个直角三角板的直角顶点放在处，且直角三角板在直线的上方．

(1)如图，若直角三角板的边在的内部，请直接写出与之间的数量关系；
(2)若恰好平分，求和的度数；
(3)将图中的三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，是否存在值，使？若存在，请求出的值，并求出此时的度数．
24．小明利用三角尺进行数学探究活动：

如图，为直线上一点，将一三角尺的直角顶点放在点处，平分．
(1)如图①，若，求的度数；
(2)如图②，若平分，求的度数；
(3)当时，绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转秒，请探究和之间的数量关系．
25．如图1，直线上有一点，过点在直线上方作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕着点按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为秒．

(1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，求此时的度数；
(2)若射线的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线、、中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出的取值，若不存在，请说明理由；
(3)若在三角板开始转动的同时，射线也绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，从旋转开始多长时间，射线平分．直接写出的值．（本题中的角均为大于且小于的角）
26．将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，整个过程时间记为t秒．

(1)从旋转开始至结束，整个过程共持续了 秒；
(2)如图2，旋转三角板，使得、在直线的异侧，请直接写出与数量关系；如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，请问上面的数量关系是否仍然成立？并说明理由．
(3)若在三角板旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当边第一次重合在直线上时两三角板同时停止．
①试用字母t分别表示与；
②在旋转的过程中，当t为何值时平分．
27．如图，O为直线上一点，将一副直角三角尺（分别含和的角）按图中方式放在点O处，使．将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针旋转，旋转后停止设运动时间为t秒．
(1)当时，__________；
(2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．
①在线段与第一次相遇前，t为何值时，平分；
②在旋转过程中，是否存在某一时刻使．若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
28．现有一副三角尺，将和重合于点放置，且，，．将三角尺绕点逆时针旋转一周（旋转过程中和均是指小于的角），分别作出、的平分线、
(1)将三角尺旋转到如图1的位置时，点在上，直接写出图1中______度；
(2)将三角尺旋转到如图2位的置时，点在的延长线上，直接写出图2中______度
(3)将三角尺旋转到图3所示的位置时，若，
①______．（用含的代数式表示）
②请求出的度数．
29．以直线上一点O为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即，直角三角板可绕顶点O转动，在转动的过程中，直角三角板所有部分始终保持在直线上或上方．
(1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则______；
(2)将直角三角板绕点O转动后，使其一边在的内部，如图2所示，
①若恰好平分，求此时的度数；
②若，求此时的度数；
(3)直角三角板在绕点O转动的过程中，与之间存在一定的数量关系，请直接写出来，不必说明理由．
30．如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线、的垂足O处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点O顺时针旋转．
(1)如图2，若，则______，______；
(2)若射线是的角平分线，且．
①旋转到图3的位置，______．（用含的代数式表示）
②在旋转过程中，若，则此时______．
三、平行线的性质与判定（30题）
31．如图，，，点是射线上一点，连接，将沿着翻折得，点的对应点为点，若，那么．

32．已知直线，点、分别在、上，如图所示，射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向每秒旋转至停止．此时射线也停止旋转，若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为秒时，．

33．如图1，，点为直线间一点，点E，F分别是直线上的点，连接.

(1)【证明推断】求证：，请完善下面的证明过程，并在（ ）内填写依据.
证明：过点P作直线，
（已作），
（______），
又，（已知）
______，（______）
，
______.
(2)如图2，若的平分线与的平分线交于点.
①【类比探究】试猜想与之间的关系，并说明理由；
②【结论运用】若，求的度数.
(3)【拓展认知】如图3，直线，点P，H为直线间的点，请直接写出，，，的数量关系：______.
34．已知：直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，
(1)连接，，平分，平分，且，所在直线交于点．
①如图1，若，，则的度数为；
②如图2，设，，则的度数为（用含有α，β的式子表示）．
(2)如图3，平分，平分，，则和的数量关系是．
(3)如图4，若，，且平分，平分，猜想的结果并且证明你的结论；
35．已知：如图，，直线分别交于点G，H，点P为直线上的点，连接．

(1)如图1，点P在线段上时，请你直接写出，，的数量关系；
(2)如图2，点P在的延长线上时，连接交于点Q，连接，若，求证：；
(3)在（2）的条件下，如图3，平分，平分，与交点K，连接，若，，，求的大小．
36．如图，，点，，，不在同一条直线上．
(1)如图，求证：
(2)如图，直线，交于点，且，．
①试探究与的数量关系；
②如图，延长交射线于点，若，，则的度数为用含的式子表示．
37．如图1，，为、之间一点．
(1)若平分，平分．求证：；
(2)如图2，若，，且的延长线交的角平分线于点，的延长线交的角平分线于点，猜想的结果并且证明你的结论；
(3)如图3，若点是射线之间一动点，平分，平分，过点作于点，请猜想与的关系，并证明你的结论．
38．已知．

知识回顾（1）如图，点在两平行线之间，试说明：．
知识应用（2）如图，、分别平分、，利用中的结论，试说明：；
（3）如图，直接写出、、、四个角之间的数量关系．
知识拓展（4）如图，若，，、分别平分、，那么 ______ ；只要直接填上正确结论即可
（5）如图，若、、三个角的和是，、分别平分、，那么 ______ 用含的式子表示
39．如图1，已知两条直线被直线所截，交点分别为交于点，且，．
(1)判断是否平分，并说明理由．
(2)如图2，点是射线上一动点（不与点重合），平分交于点，过点作交于，
①当点在线段上时，若，求的度数；
②当点在运动过程中，设和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
40．【问题解决】
如图①，，点是，内部一点，连接，．若，，求的度数；嘉琪想到了如图②所示的方法，请你帮她将完整的求解过程补充完整；
解：过点作
（________________）
，（已知）
（________________）
（________）（________________________）
又（________________）
（________________）
，（已知）
（等量代换）
【问题迁移】
请参考嘉琪的解题思路，解答下面的问题：

如图③，，射线与直线，分别交于点，，射线与直线，分别交于点，，点在射线上运动，连接，，设，．
（1）如图③，当点在，两点之间运动时（点不与点，重合），写出，和之间满足的数量关系，并说明理由；
（2）当点在，两点外侧运动时（点不与点，重合），请画出图形，并直接写出，和之间满足的数量关系；
41．如图1，，点、分别在、上，点在直线、之间，且．
(1)求的值；
(2)如图2，直线分别交、的角平分线于点、，直接写出的值；
(3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点、，且，直接写出的值．
42．如图，直线，直线与直线，分别交于点，，点在射线上运动（点不与点，重合），是直线上的一个定点，连接，过点作直线，在直线上取一点，使得．

(1)若直线，则的度数是______；
(2)若直线l与a相交于点D，完成以下问题：
①当时，猜想与之间有怎样的数量关系，并写出证明过程；
②当时，判断①中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出它们之间的数量关系．
43．综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，直线直线，直线分别交直线、直线于点H、G，
求证：．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师提出新问题，请你解答．
“如图2，点N在射线上，点M在射线上，点Q在射线上，点P在射线上，连结，且，探究直线与直线之间的位置关系并说明理由；”
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，在（2）的条件下，连接，使平分，，若给出与一定的数量关系，则图3中所有已经用字母标记的角中，有些角是可以求出来的，该小组提出下面的问题，请你解答．
“如图3，若，求∠PMH的度数并说明理由．”

44．如图，，点E在上，点G在上．

(1)如图1，在、上分别取点M、N，连接，点F在上，已知平分，平分，若，，求，的度数．
(2)如图2，平分，平分，反向延长交于K，设，请通过计算，用含x的代数式表示．
(3)如图3，已知，，平分，平分，请直接写出与的数量关系_________________
45．如图，直线，点E、F分别在上，点M为两平行线内部一点．

(1)如图1，探究的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若和的角平分线交于点N，且，直接利用（1）中的结论，求的度数；
(3)如图3，点G为直线CD上一点，连接并延长交直线于点Q，在线段上取一点P，连接，使，在射线取一点H，连接，使，设，求的度数（用含的代数式表示）．
46．如图1，直线，直线分别交于点，，点在线段上（不在端点处），点在直线上，点在直线上，连接．

(1)如图1，点在线段上，若，则的度数为_________；
(2)如图2，点在线段上，点为直线与之间区域的一点，点在线段上（不与端点重合），连．若，求的度数；
(3)如图3，于点，点在射线上运动（不与重合），与的角平分线所在直线交于点与的角平分线所在直线交于点与的角平分线交于点，直接写出与的数量关系．
47．已知，点为平面内的一点，，垂足为．
(1)问题呈现
如图1，，则 ；
(2)问题迁移
如图2，点在的上方，请探究，之间的数量关系，并说明理由；
(3)联想拓展
如图3，在（2）的条件下，已知，，请求出的度数．

48．已知：，EG平分．

(1)如图1，，，，试判断EF与CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，，，当时，的度数为___________；
(3)如图2，试写出、、之间满足什么关系时，，并说明理由．
49．已知，李想同学将放置在这两条平行线上展开探究，其中三边与两条平行线分别交于点、、、．
(1)【特例探究】
如图1，．
①______度；
②若与的角平分线相交于点，则______度；
(2)【一般探索】
如图2，，．
①若，，求与的关系；
②若，（且为整数），直接写出与的关系；
(3)【拓展应用】
如图3，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点；……，以此类推，则的值是多少？（直接写出结果）
50．如图1，已知直线，线段在直线a上运动，C为直线b上一定点，D为直线a，b之间一定点，E为直线b上C点右侧一点．（本题中的角均为小于的角）

(1)当线段运动到图2位置时，若与互余，求的度数；
(2)在线段在直线a上运动过程中，请直接写出，和之间的数量关系；
(3)当线段运动到如图3所示的位置时，的平分线交直线a于点F，G为直线a上点A左侧一点，且，求证：．
51．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图，已知点是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．

解：过点作，所以 ， ，
又因为，
所以．

解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图1，已知，求的度数；
(3)深化拓展：已知直线，点为平面内一点，连接、．
①如图2，已知，，请直接写出的度数；
②如图3，请判断、、之间的数量关系，并说明理由．

52．如图，直线中的边与直线m相交于D、E两点，边与直线n交于F、G两点．
(1)将如图1位置摆放，如果，则______；
(2)将如图2位置摆放，H为上一点，，请写出与之间的数量关系，并说明理由；
(3)将如图3位置摆放，若，延长交直线n于点K，点P是射线上一动点，探究与的数量关系，请直接写出结论（题中的所有角都大于0°小于180°）．
53．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且．

(1)填空：______°；
(2)若灯射线先转动45秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前若射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请求出与的数量关系．
54．(1)如图1，将一副直角三角板按照如图所示的方式放置，其中点，，，在同一条直线上，两条直角边所在的直线分别为，，，，与相交于点，则的度数是______．
(2)将图1中的三角板和三角板分别绕点，按各自的方向旋转至如图2所示的位置，其中平分，求的度数．
(3)将图1位置的三角板绕点顺时针旋转一周，速度为每秒15°，三角板不动，在此过程中，经过______秒边与边互相平行．

55．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见，在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图，灯A射线自开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若转动的速度是/秒，转动的速度是/秒，且、满足，假定主道路是平行的，即，且．

(1)求和的值，并求的度数．
(2)若灯先转动30秒，灯A才开始转动，在灯到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束第一次互相平行？
(3)如图，两灯同时转动，在灯A到达之前，若射出的光束交于点，过作交于点，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
56．如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向）
(1) ， ；
(2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直．
(3)若射线绕点顺时针先转动18秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？
57．如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒2°的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为秒．

(1)______；
(2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H做交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值；如果改变，请说明理由．
58．长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，连结，且．灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒．

(1)若两灯同时转动，在灯射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点．
①如图，当两灯光线同时转动秒时，求的度数．
②如图，当两灯光线同时转动秒时，过作交于点，求与的比值．
(2)若灯射线先转动秒，灯射线才开始转动，在灯射线第一次转到之前，灯转动几秒，两灯的光线互相平行？
59．已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、．
(1)如图，当时，求的度数；
(2)如图，若和的角平分线交于点，求和的数量关系；
(3)如图，在（）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值．
四、平行线的实际应用问题（10题）
60．如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、．，与在直线异侧．若，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，当时间t的值为（ ）时，与平行．（ ）
A．4秒B．10秒C．40秒D．4或40秒
61．如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角，则反射光束GH与天花板所形成的角不可能取到的度数为（ ）
A．129°B．72°C．51°D．18°
62．某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即，且．
(1)填空： ；
(2)如图2，
①若灯B射线先转动，灯A射线才开始转动，灯A射线与交于点，灯B射线与交于点，在灯A射线到达之前，设灯A转动t秒，则 ， ；（用含t的式子表示）
②若灯B射线先转动，灯A射线才开始转动，灯A射线与交于点，灯B射线与交于点，在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒，当，求t的值．
(3)如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前．若射出的光束交于点C，过C作交于点D，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
63．镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是 ．
64．如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆始终和桌面平行，灯脚始终和桌面垂直，

(1)当时，求．
(2)连杆、可以绕着、和进行旋转，灯头始终在左侧，设，，的度数分别为，，，请求出，，之间的数量关系．
65．如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体始终保持平行于，台灯最外侧光线组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且的延长线恰好是的角平分线，则．如图3，调节台灯使光线垂直于点B，此时，则．
66．如图1，一块直尺和一块含30°的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：，，，分别交、于点E、F、的角平分线交于点D，H为线段上一动点（不与A、B重合），连接交于点．
(1)当时，求．
(2)在线段上任意移动时，求，，之间的关系．
(3)在（1）的条件下，将绕着点以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时的值．
67．甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下：
第一步：将一根铁丝在，，处弯折得到如下图①的形状，其中，．
第二步：将绕点D旋转一定角度，再将绕点E旋转一定角度并在上某点处弯折，得到如下图②的形状．
第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成，跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状．
请根据上面的操作步骤，解答下列问题：
(1)如图①，若，求；
(2)如图②，若，请判断，，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，如图③，若，，设，，求．（用含，的式子表示）
68．【学习新知】：
射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则．
（1）【初步应用】：
生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光”射入到平面镜上、被平面镜反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线．回答下列问题：
①当，（即）时，求的度数．
②当时，任何射入平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学过的知识及新知说明．
（提示：三角形的内角和等于）
（2）【拓展探究】：
如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线，已知，，若要使，求的度数．
69．光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用．例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理．
（1）提词器的原理如图①，AB表示平面镜，CP表示入射光线，PD表示反射光线，∠CPD＝90°，求∠APC的度数；
（2）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图②），a表示入射光线，b表示反射光线，a∥b．平面镜AB与BC的夹角∠ABC＝，求．
（3）如图③，若＝108°，设平面镜CD与BC的夹角∠BCD＝（90°＜＜180°），入射光线a与平面镜AB的夹角为x（0°＜x＜90°），已知入射光线a从平面镜AB开始反射，经过2或3次反射，当反射光线b与入射光线a平行时，请直接写出的度数．（可用含x的代数式表示）．
70．（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
（2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线b正好垂直照射到井底?（即求与水平线的夹角）
（3）如图3，直线上有两点A、C，分别引两条射线、．，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
五、平行线+三角板旋转的综合问题（15题）
71．如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过秒边与三角板的一条直角边（边，）平行．

72．如图1，直线上有一点，过点在直线上方作射线，将一直角三角板的直角顶点放在处，，，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕着点按每秒10°的速度逆时针旋转一周停止，设旋转时间为t秒，且．
(1)若射线的位置保持不变，则当旋转时间______秒时，边所在直线与平行；
(2)如图2，在旋转的过程中，若射线的位置保持不变，是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所成夹角的平分线？若存在，求出所有满足题意的的取值，若不存在，请说明理由；
73．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起（其中，，；）．


(1)若，则的度数为__________；
(2)猜想与的数量关系，并说明理由．
(3)当且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请画出相应的图形并直接写出角度所有可能的值；若不存在，请说明理由．
74．如图，直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．
(1)求的度数；
(2)如图②，若将绕B点以每秒的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G）．设旋转时间为t秒；
①在旋转过程中，若边，求t的值；
②若在绕B点旋转的同时，绕E点以每秒的速度按顺时针方向旋转（C、D的对应点分别为K、T），请直接写出与平行时t的值．
75．在一次数学活动课上，同学们用一个含有角的直角三角板和两条平行线展开探究．如图，在中，，，．

(1)如图1，点在上，点在上，与交于点，若，求的度数；
(2)如图2，点在上，点在上方，点在下方，与交于点，作的角平分线并反向延长与的角平分线交于点，求的度数；
(3)如图3，点在上，点在直线，之间（不含在，上），点在下方，，分别与交于点，．设，是否存在正整数和，使得．若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由．
76．如图，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，，，，此时点与点重合，点，，三点共线．
(1)固定的位置不变，将绕点按顺时针方向进行旋转，旋转至与首次平行，如图2所示，此时的度数是_________．
(2)若直线，固定的位置不变，将图1中的沿方向平移，使得点正好落在直线上，再将绕点按顺时针方向进行旋转，如图3所示．
①若边与边交于点，试判断的值是否为定值，若是定值，则求出该定值；若不是定值，请说明理由．
②固定的位置不变，将绕点按顺时针方向以每秒的速度进行旋转，当与直线首次重合时停止运动，当经过秒时，线段与的一条边平行，请直接写出满足条件的的值．
77．问题情境：在数学综合实践活动课上，老师让同学们以“两条平行直线，和一块含的直角三角板（，，，）”为背景，开展数学探究活动．
问题探究：
(1)如图1，将直角三角板的边放置于直线上，则________，________．
(2)把直角三角板绕点B转动，位置如图2所示，点C恰好落在直线上，若，求、的度数．
(3)如图3，把直角三角板绕点B转动，使得点C落在直线，之间，点A落在直线的上方，若，请直接写出的度数．
78．如图，一副三角板，其中．
(1)若这副三角板如图摆放，，求的度数．
(2)将一副三角板如图1所示摆放，直线，保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为秒，且，若边与三角板的一条直角边（边）平行时，求所有满足条件的的值．
(3)将一副三角板如图3所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转．设旋转时何为秒，如图4，，且，若边与三角板的一条直角边（边）平行时，请直接写出满足条件的的值．
79．如图1，直线与直线交于点，（）．小明将一个含，的直角三角板如图1所示放置，使顶点落在直线上，过点作直线交直线于点（点在左侧）．
(1)若，，求的度数．
(2)如图2，若的角平分线交直线于点．
①当，时，求证：．
②小明将三角板保持并向左平移，运动过程中，探究与之间的数量关系，并说明理由．
80．如图，直线，直线与，分别交于点，，．小安将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，．
(1)填空； （填“”“ ”或“” ；
(2)若的平分线交直线于点，如图②．
①当，时，求的度数；
②小安将三角板沿直线左右移动，保持，点、分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）．
81．如图，直线，直线与、分别交于点、，．小安将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，．
(1)填空：（填“”“”或“”）；
(2)若的平分线交直线于点，如图②．
①当，时，求的度数；
②当时，求的度数（用含的式子表示）．
83．请作答：
(1)图，图均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，，，与相交于点，有一动点在边上运动，连接，，记，．
①如图，当点在，两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系；
②如图，当点在，两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请判断并说明理由；
(2)当点在，两点之间运动时，若，的角平分线，相交于点，请直接写出与，之间的数量关系．
84．如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
(1)如图1，∠DPC＝ 度；
(2)我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图2，三角板BPD不动，三角板PAC从图示位置开始以每秒5°绕点P按逆时针方向旋转一周（0°＜旋转角＜360.），问旋转时间t为多少秒时，这两个三角形是“孪生三角形”．
(3)如图3，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速a°秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速b°/秒，且a，b满足|a﹣b﹣2|＝0．
①求a；b的值．
②在两个三角板旋转过程中（PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动），设两个三角板旋转时间为t秒，以下两个结论：（ⅰ）为定值；（ⅱ）∠BPN+∠CPD为定值，请选择你认为对的结论加以证明．
85．将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
(1)若三角板如图1摆放时，则∠α＝ ，∠β＝ ；
(2)现固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，DF与PQ交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线交于点H，求∠FHG的度数；
(3)现固定△DEF，将△ABC绕点A顺时针旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，则∠BAM＝ ．（直接写出答案）