第五章 生活中的轴对称（6个类型51题）-【常考压轴题】2023-2024学年七年级数学下册压轴题攻略（北师大版）（原卷版）

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一、折叠问题
\l "类型一、角的折叠" 类型一、角的折叠
\l "类型二、三角形的折叠" 类型二、三角形的折叠
\l "类型三、长方形的折叠" 类型三、长方形的折叠
二、简单的轴对称图形
\l "类型四、角平分线性质的应用" 类型四、角平分线性质的应用
\l "类型五、线段垂直平分线的应用" 类型五、线段垂直平分线的应用
\l "类型六、等腰三角形的性质" 类型六、等腰三角形的性质
一、折叠问题
类型一、角的折叠
1．如图，把一个角沿过点O的射线对折后得到的图形为，现从点O引一条射线，使，再沿把角剪开．若剪开后再展开，得到的三个角中，有且只有一个角最大，最大角是最小角的三倍，则的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】由题可知，沿过O的射线分为了射线和射线两种情况，分类讨论两种情况，利用建立等量关系即可解决．
【详解】解：①由题意得，三个角分别是、、，
且，，
又
，
，
②三个角分别是、、，
有且只有一个角最大，即为，
且，，
又
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了角的和差倍分，解决本题的关键是读清题意，找到不同情况，利用题目中的等量建立方程解得参数的值．
2．如图1，点是直线上一点，射线从开始以每秒的速度绕点顺时针转动，射线从开始以每秒的速度绕点逆时针转动，当、相遇时，停止运动；将、分别沿、翻折，得到、，设运动的时间为（单位：秒）
(1)如图2，当、重合时，_______；
(2)当时，_______，当时，_______；
(3)如图3，射线在直线的上方，且，在运动过程中，当射线、、其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出的值
【答案】(1)90
(2)20，12
(3)t的值为10或或．
【分析】（1）利用折叠性质得，，再利用邻补角即可求解；
（2）利用折叠性质得求出、、、的度数，即可得解；
（3）根据角平分线的不同，分是的角平分线、是的角平分线、是的角平分线三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵将、分别沿、翻折，得到、，
∴，，
∵，
∴，
故答案为90；
（2）解：当时，，，
∴，
当时，如下图，，，
∴，
故答案为20，12；
（3）解：当是的角平分线时，则，如图，
由折叠可知，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
解得；
当是的角平分线时，则，如下图，
由折叠可知，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
解得；
当是的角平分线时，则，如下图，
由折叠可知，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
解得；
综上，的值为或或．
【点睛】本题主要考查了邻补角的性质、折叠的性质，解一元一次方程，根据题意正确分类讨论是解题的关键．
3．如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点、点，交于点，，且．

(1)当时，______．
(2)证明：平分．
(3)如图2，点是射线上一动点（不与点重合），平分交于点，过点做于点．在点的运动过程中，、、之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
【答案】(1)32.5
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据可得，进而得出的度数；
（2）由（1）得，根据角平分线的定义即可得出结论；
（3）根据平行线的性质可得，根据角平分线的性质可得，再根据，即可得到，再由即可得到结论．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
故答案为：32.5；
（2）证明：由（1）得：，
平分；
（3）解：，
证明：，
，
平分，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
在中，，
，
，即，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义、垂线的定义，熟练掌握以上知识点，利用角的和差关系进行推算，是解题的关键．
4．如图1，直线，的平分线交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，过点作于点，交于点，探究与之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，的平分线交延长线于点，为延长线上一点，，将沿直线翻折，所得直线交于，交于，若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）根据平行线的性质定理得到内错角相等,再根据角平分线的性质,即可得到等角.
（2）根据平行与垂直的性质,可得,而为的外角,根据三角形的外角定理即可解答.
（3）根据题目中已给的数量关系, 求的度数可转化为先求的度数,根据折叠的性质和平行线的性质,可将多个角的复杂数量关系转移到中,结果证明它是个等腰直角三角形,如此可解.
【详解】（1）证明: ,
,
又评分,
,
.
（2）为的外角,
,
又
,
即.
（3）如图,
根据折叠的性质,
,
,
,
,
,
,,
,
在中, ,
为等腰直角三角形, ,
,
,
.
【点睛】本题综合考查了角平分线的性质,平行线的性质以及折叠的性质等,仔细观察图形,熟练掌握相应知识是解答关键.
5．已知，射线、在的内部（OC与OD不重合），且．将射线沿直线翻折，得到射线；将射线沿直线翻折，得到射线（与不重合）．
(1)如图①，若，则______°，______°；
(2)若，请画出不同情形的示意图，并分别求出和的度数；
(3)设，请直接写出与之间的数量关系及相应的的取值范围．
【答案】(1)10；70
(2)和的度数分别为和或和；
(3)当时，；当时，．
【分析】（1）由可求得的度数；由折叠的性质得，，先求得和的度数，再利用即可求解；
（2）分两种情况，画出图形，同（1）的方法即可求解；
（3）分当和两种情况讨论，画出图形，同（1）的方法即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
由折叠的性质得，，
∴，，
∴，
故答案为：10；70；
（2）解：如图，，，
∴，，
∴，
如图，，，
∴，，
∴，
综上，和的度数分别为和或和；
（3）解：当，设，如图，
∴，
∴，，
∴，即，
∴；
当，设，如图，
∴，
∴，，
∴，即，
∴；
综上，当时，；当时，．
【点睛】本题考查了折叠的性质，角度的和差计算，正确的识别图形、分类讨论是解题的关键．
类型二、三角形的折叠
6．如图，等腰中，，于D，的平分线分别交，于E，F两点，M为的中点，延长交于点N，连接．则下列结论：①，②，③，④；其中正确的是（ ）
A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④
【答案】B
【分析】对于①，证明，即可得到；
对于②，先利用角边角定理，证明，得到，再利用直角三角形斜边上的中线性质，即可得到；
对于③，先利用角边角定理，证明，即可得到；
对于④，连接，先证明，得到，，因此，又，所以可得．
【详解】对于①，平分，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
所以①正确；
对于②，，M为的中点，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
所以②正确；
对于③，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
所以③正确；
对于④，连接，
由②知，
，
，，
，
，，
，
，
又由①知，
，
所以④不正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形两底角的性质，等腰三角形的三线合一性质，直角三角形两锐角的性质，直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握以上知识是解答本题的关键．
7．如图，和均为等腰直角三角形，且，点A、D、E在同一条直线上，平分，连接．以下结论：①；②；③；④，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，证明是解答本题的关键．
对于①，利用全等三角形的判定，可证，即可判断结果；对于②，利用等腰三角形的三线合一性质，即可判断结果；对于③，利用等腰三角形的三线合一性质和直角三角形的性质，可得，进一步推理即可判断结果；对于④，先证明，然后利用同底等高的两个三角形的面积相等，可知，进一步推理可知判断结果．
【详解】和均为等腰直角三角形，
，，，
，
，，
所以①错误，
为等腰直角三角形，平分，
，
所以②正确，
，，
，
，
，
，
所以③正确，
点A、D、E在同一条直线上，和均为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
所以④正确，
故选：C．
8．如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边AB上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论是（填写序号）．

【答案】①③④
【分析】由折叠的性质可得，，则，，，由，可得，，则，由，可得，则，进而可判断①的正误；由题意知，无法判断与的关系，进而可判断②的正误；由，则，，可得，即，进而可判断③的正误；根据，可得，整理得，即，则，进而可判断④的正误；
【详解】解：由折叠的性质可得，，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，①正确，故符合要求；
∵，无法判断与的关系，②错误，故不符合要求；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，③正确，故符合要求；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，④正确，故符合要求；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，全等的性质，三角形内角和、三角形外角的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
9．在直角三角形ABC中，，点D，E分别在上，将沿翻折，得到．
(1)如图①，若，则______；

(2)如图②，的平分线交线段于点G.若，求证．

(3)已知，的平分线交直线于点G.当的其中一条边与平行时，直接写出的度数（可用含的式表示）．

【答案】(1)40；
(2)见解析；
(3)或或或
【分析】（1）先求出，再利用翻折即可得出答案；
（2）根据角平分线的定义得出，设，
则，根据翻折得出，再求出，即可得出结论；
（3）分情况：①当，②当，③当，④当时，在的下方，⑤当时，在的下方，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵翻折，
∴，
∴，
故答案为：40；
（2）解：∵的平分线交线段于点G，
∴，
∵，
设，
∴，
∵翻折，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；

（3）解：
①当，如图①所示：

∴，
∵，
∴，
∵翻折，
∴，
∴，
∵的平分线交线段于点G，
∴，
∵，
∴；
②当，如图②所示：

∴，
∴，
∴，
∵的平分线交线段于点G，
∴，
∵，
∴；
③当，如图③所示：

∴，
∵翻折，，
∴，
∴，
∵的平分线交线段于点G，
∴，
∵，
∴；
④当时，在的下方，如图④所示：

∴，
∵的平分线交线段于点G，
∴，
∴；
⑤当时，在的下方，如图⑤所示：

∴，
∵翻折，，
∴，
∵的平分线交线段于点G，
∴，
∴；
综上所述，或或或．
【点睛】本题考查平行线的性质，翻折，三角形内角和定理，角的平分线的定义，注意分情况讨论是解（3）题的关键．
10．如图，在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．

(1)如图1，射线，都在的内部．
①设，则（用含有的式子表示）；
②作点关于直线的对称点，则线段与图1中已有线段的长度相等；
(2)如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)①；②
(2)，证明见详解
【分析】（1）①根据，即可获得答案；
②连接，证明，即可获得答案；
（2）作点关于直线的对称点，连接，设，证明，由全等三角形的性质可得，即可获得结论．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∵，
∴；
②如下图，连接，

由对称的性质可得，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：①；②；
（2），证明如下：
作点关于直线的对称点，连接，如下图，

由对称的性质可得，，，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
11．阅读理解
如图1，中，沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；……；将余下部分沿的平分线折叠，点与点重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称是的好角．

情形一：如图2，沿等腰三角形顶角的平分线折叠，点与点重合；

情形二：如图3，沿的的平分线折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿的平分线折叠，此时点与点重合．

探究发现
（1）中，，经过两次折叠，问的好角（填写“是”或“不是”）；
（2）若经过三次折叠发现是的好角，请探究与（假设）之间的等量关系；
根据以上内容猜想：若经过次折叠是的好角，则与（假设）之间的等量关系为；
应用提升：
（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为，，，发现是此三角形的好角；
（4）如果一个三角形的最小角是，且满足该三角形的三个角均是此三角形的好角；
则此三角形另外两个角的度数．
【答案】（1）是；（2）；；（3）和；（4）另外两个角的度数分别为和
【分析】（1）由沿的平分线折叠，得，且，沿的平分线折叠，此时点与重合，可得，即可证.
（2）由沿的平分线折叠，得，由将余下部分沿的平分线折叠，得，最后沿的平分线折叠,点与点重合，得，由，可证；由小丽展示的情形一当时；由探究（1）当时；由探究（2）当时，它们的均是的好角；可推经过次折叠，是的好角，则与的等量关系为.
（3）由（2）得，可计算是的好角.
（4）由（2）知，是的好角，已知中一个三角形的最小角是，且这个三角形三个角均是的好角，可设另外两个角为、，（其中都是正整数），依题意列式，可求解得.
【详解】（1）中，，经过两次折叠，是的好角；
理由如下：沿的平分线折叠，
；
将余下部分沿的平分线折叠，此时点与重合，
；
；
，
故答案是：是；
（2）在中,沿的平分线折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿的平分线折叠,剪掉重复部分,将余下部分沿的平分线折叠,点与点重合,则是的好角.
证明：，，
，
，
，
，
由小丽展示的情形一知，当时，是的好角；
由探究（1）知，当时，是的好角；
由探究（2）知，当时，是的好角；
故若经过次折叠，是的好角，则与的等量关系为.
故答案为：.
（3）由（2）知，，
，
，
是的好角.
故答案为：.
（4）由（2）知，是的好角，一个三角形的最小角是，且这个三角形三个角均是的好角，可设另外两个角为、，（其中都是正整数）.
依题意得，
化简得，
都是正整数，
都是17的整数因子，
，，
，，
，，
即该三角形的另外两个角是：和.
故答案为：.
【点睛】本题考查的是折叠的性质应用、三角形的外角等不相邻的两个内角之和，并涉及一些数学归纳法思想来推导结论，一道比较综合知识点的新颖考题，在第（4）小题中不需要去解出根，而是根据这种限定条件来确定解，这是一种不同于以往的解题思路.
类型三、长方形的折叠
12．如图1所示为一条足够长的长方形纸带，其中PN∥QM，点A、B分别在PN、QM上，记∠ABM＝α（0＜α＜90°）；如图2，将纸带第一次沿BR1折叠成图2，使BM与BA重合；如图3，将纸条展开后第二次再折叠，使BM与BR1重合，第三次沿AR2折叠成图4，第四次沿BR2折叠成图5，按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠AR2B，整个过程共折叠了9次，则α＝°．
【答案】80°/80度
【分析】根据题意，可知第9次折叠时，刚好与重合，根据折叠的性质，则有平角被平分成了9个角，则，再根据折叠的性质，即可求解．
【详解】根据题意，可知第9次折叠时，刚好与重合，作图如下：
根据折叠的性质，则有平角被平分成了（9-1+1）个角，
∴，
∵，
∴，
∵根据折叠的性质有，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：80°．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，理解最后一次折叠后恰好完全盖住即是指刚好与重合，是解答本题的关键．
13．有一长方形纸带，E、F分别是边，上一点，度（），将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2．
(1)如图1，当度时，度；
(2)如图2，若，求α的值；
(3)作平分交直线与点P，请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)120
(2)
(3)或
【分析】（1）由长方形的对边是平行的，得到，根据三角形外角的性质得到，由对顶角的性质得到，即可得到；
（2）由折叠可得，，由长方形的对边是平行的，得，由此可以求得，，由可以求出，即可以得到α的值；
（3）①如图3中，结论：．利用翻折不变性以及三角形的内角和定理解决问题即可；
②如图4中，结论：．利用翻折不变性以及三角形的内角和定理解决问题即可．
【详解】（1）解：由折叠可得，
∵长方形的对边是平行的，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴当度时，的度数是．
故答案为：120；
（2）解：由折叠可得，，
∵长方形的对边是平行的，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴α的值是30；
（3）解：①如图3中，结论：．
理由：∵，
又平分，
∴，
∴；
②如图4中，结论：．
理由：∵，
，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，利用邻补角求角度，解题的关键是作出图形，数形结合，注意分类讨论．
14．如图1，将一条两边互相平行的纸袋折叠．
（1）若图中，则；
（2）在图1的基础上继续折叠，使得图1中的边与边重合（如图2），若继续沿边折叠，边恰好平分，则此时的度数为度．
【答案】 55 45
【分析】（1）根据平行线和折叠的性质即可求解；
（2）根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的都相等，而这四个角的和为，故每个角为，从而可知，再由（1）的思路可得的值．
【详解】（1）根据上下边互相平行可知，．
由折叠的性质可知，
∴．
故答案为：55；
（2）根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角都相等，
根据题意可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的都相等，而这四个角的和为，故每个角为，
∴，即，
由（1）同理可得：．
故答案为：45．
【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质，角平分线的有关计算．利用数形结合的思想是解题关键．
15．已知，直线、被直线所截（、、不交于同一点），若直线、所成的四个角中有一个角与直线、所成的四个角中的一个角相等，则称直线是直线、的等角线．如图1，直线、被直线所截，若，则直线是直线、的等角线．
(1)如图2中，直线是直线、的等角线的是______；（填序号）
(2)如图3，点、分别为长方形的边、的点，且点不与点、重合，点不与点、重合，将长方形沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线交直线于点．
①直线中，直线是直线与直线的等角线，并请说明理由；
②直线与直线交于点，当直线、、中，其中一条直线是另两条直线的等角线，请直接写出的度数．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析；，，．
【分析】（1）根据题中与的夹角与的夹角度数，结合所给的定义逐一判断即可；
（2）由折叠性质可知，再根据平行线的性质求出角度相等，判断即可；
分情况讨论，当直线是直线、的等角线；当直线是直线、的等角线时，然后画出图形即可求解．
【详解】（1）图中，与所成的角为：，，，，与所成的角为，，，，则或，
∴直线是直线、的等角线，
图中，与所成的角为：，，，，与所成的角为，，，，没有角相等，
∴直线不是直线、的等角线，
图中，与所成的角为：，，，，与所成的角为，，，，，则或，
∴直线是直线、的等角线，
故答案为：；
（2）①，理由：
由折叠性质可知：，
∵四边形是长方形，
∴，
∴
∴
∴直线是直线与的等角线，
②如图，设直线与直线得交点为，
当直线是直线、的等角线时，
由折叠性质可知：，
∵四边形是长方形，
∴，，
∴，
∵直线是直线、的等角线，
∴，
∴，

如图，当直线是直线、的等角线时，

∵四边形是长方形，
∴，
∵直线是直线、的等角线，
∴，
∴，
如图，直线是直线、的等角线时，
由折叠性质可知：，
∵四边形是长方形，
∴，，
∴，
∵直线是直线、的等角线，
∴，
∴，

∴的度数为：，，．
【点睛】此题考查了平行线和折叠的性质，解题的关键是熟练掌握平行线和折叠的性质及其应用．
16．综合与实践
问题情境：
数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，将纸片沿折痕折叠，点，分别为点，，线段与交于点（说明：折叠后纸带的边始终成立）

操作探究：
(1)如图，若，则的度数为______°．
(2)如图，改变折痕的位置，其余条件不变，小彬发现图中始终成立，请说明理由；
(3)改变折痕的位置，使点恰好落在线段上，然后继续沿折痕折叠纸带，点，分别在线段和上．
①如图，点的对应点与点重合，点的对应点为点若，直接写出的度数．
②如图，点，的对应点分别为点，，点，均在上方，若，，当时，直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)45
(2)说明理由见解析
(3)①；②
【分析】（1）由，证明，由折叠知，，可得，结合，从而可得答案；
（2）由，可得，由，可得，从而可得答案；
（3）①：由折叠得出，同理得出，即可得出结论；②：同①的方法得，，，由平行得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：在长方形中，，
，
由折叠知，，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：∵，
，
∵，
，
；
（3）解：①：由折叠知，，
，
，
同理：，
；
②：同①的方法得，，，
∴，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，掌握折叠的性质是解本题的关键．
17．如果两个角之差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“互优角”，即若|∠α﹣∠β|＝60°，则称∠α和∠β互为“互优角”．（本题中所有角都是大于0°且小于180°的角）
(1)若∠1和∠2互为“互优角”，当∠1＝90°时，则∠2＝；
(2)如图1，将一长方形纸片沿着EP对折，（点P在线段BC上，点E在线段AB上），使点B落在B′若∠EPB′与∠CPB′互为“互优角”，则∠BPE的度数为；
(3)再将纸片沿着PF对折（点F在线段CD或AD上），使点C落在C′．
①如图2，若点E，C′，P在同一直线上，且∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”，求∠EPF的度数（对折时，线段PB′落在∠EPF内部）；
②若∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”，则∠BPE与∠CPF应满足什么样的数量关系（直接写出结果即可）．
【答案】(1)30°或150°
(2)40°或80°
(3)①80°②∠BPE与∠CPF的和为60°或100°或140°时，∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”．
【分析】（1）按照“互优角的定义，求出∠2即可；
（2）根据∠EPB'+∠EPB'+∠EPB'+60°=180°解答即可；
（3）①由∠BPE+∠EPB'+∠B'PF+∠FPC=180°解答即可；②∠B'PC'=∠FPC，∠EPB=∠EPF，∠EPB+∠EPF+∠FPC=180°解答即可．
【详解】（1）解：∵∠1和∠2互为“互优角”，∠1＝90°，
∴|∠1﹣∠2|＝60°，
∴90°﹣∠2＝60°或90°﹣∠2＝﹣60°，
解得：∠2＝30°或150°，
故答案为：30°或150°；
（2）解：∵∠EPB′与∠B′PC互为“互优角”，
当∠EPB′＜∠B′PC时，∠B′PC﹣∠EPB′＝60°，
∴∠B′PC＝∠EPB′+60°，
∵△BEP翻折得△B'EP，
∴∠EPB＝∠EPB'，
∵∠EPB+∠EPB'+∠B′PC＝180°，
∴∠EPB'+∠EPB'+∠EPB′+60°＝180°，
解得：∠EPB′＝40°，
当∠EPB′＞∠B′PC时，∠B′PC﹣∠EPB′＝60°，可得∠EPB′＝80°．
综上所述，∠EPB的值为40°或80°．
（3）解：①∵点E、C′、P在同一直线上，且∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”，
∴∠B′PC＜∠EPF，∠EPF﹣∠B′PC＝60°＝∠B′PF，
∵∠BPE＝∠B′PE＝∠EPF﹣60°，∠FPC＝∠EPF，
∴∠BPE+∠EPB′+∠B′PF+∠FPC＝180°，
∴∠EPF﹣60°+∠EPF+∠EPF＝180°，得∠EPF＝80°，
②按照①的证明方法即可，∠BPE与∠CPF的和为60°或100°或140°时，若∠B'PC'与∠EPF互为“互优角”．
【点睛】本题主要考查了新定义、折叠以及角的运算等知识点，掌握折叠计算角的度数的方法是解答本题的关键．
18．如图1所示，有一条足够长的纸条，满足，，点E是边上的点．将沿着折痕折叠，使得射线与射线重合，折痕交于点F；将沿着折痕折叠，使得射线与射线重合，折痕交于点G．
（1）求的度数；
（2）若左右平移点E，那么的比值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个比值．
（3）如图2，若，点P是边上的动点，连结，将三角形沿着折痕折叠，得到三角形，折痕交于点P，在点P的移动过程中，当平行于三角形的其中一边时，求的度数．
【答案】（1）40°；（2）2；（3）40°或90°或20°或110°
【分析】（1）由平行线的性质得到∠ABC，再由折叠的性质可得结果；
（2）由平行线的性质得到∠FBE=∠EBC，再由折叠的性质得到∠EBG=∠CBG，从而可得∠FEB和∠EGB的关系；
（3）分AB∥PE，AB∥B′P，AB∥B′E，三种情况分别求解即可．
【详解】解：（1）∵AD∥BC，∠A=100°，
∴∠ABC=180°-100°=80°，
由折叠可知：
∠ABF=∠EBF，∠EBG=∠CBG，
∴∠FBG=∠EBF+∠EBG=80÷2=40°；
（2）不变，理由是：
∵AD∥BC，
∴∠FBE=∠EBC，∠EGB=∠CBG，
∵∠EBG=∠CBG，
∴∠EBC=2∠CBG=2∠EGB，
∴∠FBE=2∠EGB，
即∠FBE和∠EGB的比值为2；
（3）若AB∥PE，如图，
此时∠BEP=∠ABE=40°；
若AB∥B′P，如图，过点E作EF∥AB，交BC于F，
∴∠ABE=∠BEF=40°，B′P∥EF，又AD∥BC，
∴∠DEP=∠BPE，∠FEP=∠B′PE，
∵折叠，
∴∠BPE =∠B′PE，
∴∠DEP=∠BPE=∠FEP=∠B′PE，
∵∠A=100°，
∴∠EBP=180-100-40=40°，
∴∠EFP=40+40=80°，
∴∠FEP=∠FPE=50°，
∴∠BEP=90°；
若AB∥B′E，如图，
当B′在BC下方时，
∴∠BEF=∠ABE=40°，
∵折叠，
∴∠BEP=∠FEP=∠BEF=20°；
当B′在BC上方时，
则∠ABE+∠BEB′=180°，
∴∠BEB′=140°，
由于折叠，
∴∠BEP=∠B′EP=（360-140）÷2=110°．
综上：∠BEP的度数为40°或90°或20°或110°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是要学会根据题意分类讨论，利用折叠的性质得到相等的角与边．
19．（1）填空
①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，，为折痕，折叠后的点落在或的延长线上，那么的度数是________；
②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，点与点重合，，为折痕，折叠后的点落在或的延长线上，那么的度数是_______．
（2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，，为折痕，折叠后的点落在或的延长线上左侧，且，求的度数；
②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，点与点重合，，为折痕，折叠后的点落在或的延长线右侧，且，求的度数．
（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，，为折痕，设，，，求，，之间的数量关系．
【答案】，；，；，.
【分析】（1）①如图①知，得
可求出解.
②由图②知得可求出解.
（2）①由图③折叠知，可推出，即可求出解.
②由图④中折叠知，可推出，即可求出解.
（3）如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知，、，即可求得
、.
【详解】解：（1）①如图①中，
，，
，
故答案为.
②如图②中，，
，
故答案为.
（2）①如图③中由折叠可知，
，
，
，
，
；
②如图④中根据折叠可知，
，
，
，
，
，
；
（3）如图⑤-1中，由折叠可知，，
；
如图⑤-2中，由折叠可知，，
.

【点睛】本题考查了图形的变换中折叠属全等变换，图形的角度及边长不变及一些角度的计算问题，突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力，本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.
类型四、角平分线性质的应用
20．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝5，BC－AB＝2，则△ADC面积的最大值为（ ）
A．2B．2.5C．4D．5
【答案】B
【分析】延长CD、BA，两者交于点G，过G点作GH⊥AC，交于AC（或AC的延长线）于点H，证明△BDG≌△BDC，即有BC=BG，CD=DG，进而有AG=BC-AB=2，根据GH⊥AC，有△AGC的面积为，当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG，此时GH达到最大，则△AGC的最大面积为：；根据CD=DG，可得，则△ACD的最大面积可求．
【详解】延长CD、BA，两者交于点G，过G点作GH⊥AC，交于AC（或AC的延长线）于点H，如图，
∵BD平分∠ABC，BD⊥CD，
∴∠DBG=∠DBC，∠BDG=∠BDC=90°，
∵BD=BD，
∴△BDG≌△BDC，
∴BC=BG，CD=DG，
∵BC-AB=2，
∴AG=BC-AB=2，
∵在△AGC中，GH⊥AC，
∴△AGC的面积，
∵AC=5，
∴，
∵在△AGH中，GH⊥AH，
∴即∠GHA=90°，△AHG是直角三角形，斜边为AG，
∴GH＜AG，
∵AG=2，
∴GH＜2，
当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG，
此时GH达到最大，
∴则GH的最大值为2，
∴△AGC的最大面积为：，
∵CD=DG，
∴D点为CG中点，
∴，
∴△ACD的最大面积为：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的性质以及三角形的面积公式等知识，构造辅助线AG、DG，并判断出当G点与H点重合时GH达到最大，是解答本题的关键．
21．如图，在中，和的平分线，交于点，交于点，交于点，连接．过点作于点，若，，，，现给出以下结论：①；②；③；④当时，；⑤当时，；其中，正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】作于点，于点，由角平分线的性质得到，则平分，即，可判断①正确；由角平分线的性质和三角形内角和定理，推出，可判断②错误；由，，，得：，则，可判断③错误；在上截取，连接，当时，可推出，则，可证明，则，进而得到，再证明，得到，则，可判断④正确；当时，四边形是正方形，得到，可证明，得到，再证明，得到，推出，得到，可判断⑤正确，即可求解．
【详解】解：如图1，作于点，于点，
平分交于点，
，
平分交于点，于点，
，
，
点在的平分线上，
平分，
，故正确①；
，，
，
，
，故②错误；
，，，，
，
，故③错误；
如图2，在上截取，连接，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，故④正确；
如图3，，作于点，于点，
则，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，，
，
，故⑤正确，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，正方形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
22．如图所示，直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，且，是轴负半轴上一点，连接．
(1)如图1，若于点，且交于点，求证：；
(2)如图2，在（1）的基础上，连接，求证：；
(3)若，点为的中点，点为轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴上运动的过程中，，，之间有何数量关系？为什么？
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)当M在y轴正半轴上时，；当M在线段OB上时，；当M在射线BO的反向延长线上时，．理由见解析
【分析】（1）根据题意得到，然后再，，依据即可求解；
（2）要证，只需证明平分，只需证到，只需证明即可；
（3）根据题意，分三种情况讨论求解，当在轴正半轴上时，；当在线段上时，；当在射线的反向延长线上时，．
【详解】（1）证明：点，交轴负半轴于点，且，
则．
即，
，
．
在与中，
，
；
（2）证明：过分别作于点，作于点．
在四边形中，，
．
在与中，
，
，
，
，，
平分，
；
（3）解：当在轴正半轴上时，；当在线段上时，；当在射线的反向延长线上时，．
理由如下：
∵，即，
∴，即，
①当在轴正半轴上时，连接，如图所示：
∵，是中点，，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
②当在线段上时，如图所示：
同理可得；
③当在射线的反向延长线上时，如图所示：
同理可得．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形面积等知识，在解决第（3）小题的过程中还用到了等积变换，而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键．
23．如图1，在平面直角坐标系中，点点P为x轴正半轴上一点，直线直线，垂足为C，直线与y轴交于点E，设P点的横坐标为m．
(1)求证：；
(2)求E点坐标 (用含m的代数式表示)；
(3)如图2，连接，作点O关于的对称点D，连接与轴交于点F．
①求证：当时，平分；
②试探索三条线段长度之间的数量关系，直接写出结论．
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求解；
（2）证，即可求解；
（3）①作，由，可得，进而可证；②作，则，证，即可求解；
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴．
（2）在和中，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）①作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，平分．
②，理由如下：
作，则，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形的全等证明及性质、角平分线的性质，能够真确做出辅助线是解题的关键．
24．如图1，在中，牛分平分与交于点．

图1 图2
(1)如图1，若．
①求的度数；
②作于点，探究之间的数量关系并说明理由；
(2)如图2，若，则的值为________________．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】①利用三角形内角和及角平分线的定义求出即可；
②过点O作于点M，于点N，连接，证明，得到．再证明，得到，即可得到结论；
（2）在取点G、F，使，，过F作于M，于N，先证明，得出，，，同理，，由，得出，设，则，仿照（1）①求出，进而求出，，由角平分线的性质得出，可求出，然后利用即可求解．
【详解】（1）解：①在中，．
∵平分，平分，
∴．
∴．
在中，；
②过点O作于点M，于点N，连接．

∵平分，，，
∴，．
∵平分，，
∴，．
∴，．
由（1）得：．
∴．
在四边形中，．
∵，
∴．
在和中，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴．
∴．
（2）解：在取点G、F，使，，过F作于M，于N，

∵平分，
∴，
又，，
∴，
∴，，，
同理，，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
在中，．
∵平分，平分，
∴．
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分的性质，全等三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
25．如图，已知点P在的平分线上，点分别在射线、上，连接，
(1)当，时，与的数量关系；
(2)当，且时，（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由；
(3)在（2）条件下，若，则．
【答案】(1)
(2)成立，理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，四边形的面积的转化，掌握由角平分线联想到对应辅助线，进而作出合适的辅助线是解题的关键．
（1）根据角平分线性质可知；
（2）过点P点作于E，于F，根据垂直的定义得到，由是的平分线，根据角平分线的性质得到，利用四边形内角和定理可得到，而，则，然后根据“”可判断，根据全等的性质即可得到；
（3）根据全等三角形的性质推出四边形是正方形，由．即可得出结论．
【详解】（1）解：∵是的平分线，，，
∴(角平分线上点到角两边的距离相等)，
故答案为：；
（2）成立，理由如下：
过点P点作于E，于F，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）由（2）可知，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴．
故答案为：9．
26．【母体呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，，，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为．求的周长．
解：是由折叠而得到
，

的周长为：
【知识应用】在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接．
（1）如图1，若，，求的面积；
（2）如图2，求证平分；
【拓展应用】如图3，在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接，过点作．
（3）若，，，直接写出长；
（4）若，求证．
【答案】（1）（2）证明过程见解析（3）（4）证明过程见解析
【分析】（1）根据已知条件可得，从而可以计算得解；
（2）过点分别作、、边的垂线，垂足分别为点、、，利用全等性质，通过等量代换即可得到，通过角平分线性质即可得证；
（3）过点分别作、边的垂线，垂足分别为点、，连接，通过条件可证得，利用关系即可得解；
（4）过点分别作、边的垂线，垂足分别为点、，连接，通过条件可证得，然后将整理化简，最后等量代换即可得证．
【详解】（1）解：由题可知，，，，
；
（2）证明：如图，过点分别作、、边的垂线垂足分别为点、、，
由题可知，，，
，
平分，
，
，
，
则平分；
（3）解：如图，过点分别作、边的垂线，垂足分别为点、，连接，
由题可知，，，
,
由（2）可知，
，
，
,
即，
解得；
（4）证明：如图，过点分别作、边的垂线，垂足分别为点、，连接，
由（2）可知，，
，，，
，，，四边形是正方形，
，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
【点睛】本题考查了图形折叠、全等三角形、角平分线性质，适当添加辅助线，采用等量代换的方法是解题关键．
类型五、线段垂直平分线的应用
27．如图，在四边形中，点E，F分别在，边上，将沿折叠，使点落在点处，连接，．有下面四个结论：
①；②直线是线段的垂直平分线；③；④．
所有正确结论的序号为( )
A．①③B．①②③C．②③④D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查翻折变换，线段垂直平分线的判定，多边形内角和公式，三角形外角性质，掌握翻折不变性，以及相关性质是解题的关键．
由翻折不变性，可判断①正确；由翻折不变性，可得，，可判断②正确；由多边形内角和公式和翻折不变性，可判断③正确；由三角形外角性质和翻折不变性，可判断④正确；即可解答．
【详解】解：是由翻折得到的，
，
故①正确；
是由翻折得到的，是由翻折得到的，
，，
点E，点F都在的垂直平分线上，
直线是线段的垂直平分线，
故②正确；
是由翻折得到的，
故③正确；
设与交于点H，
是由翻折得到的，
故④正确；
综上，正确的有：①②③④，
故选：D．
28．在和中，，，．
(1)如图，当点、、在同一条直线上时，求证：；
(2)如图，当点，、不在同一条直线上时，与交于点，交于点，求证：；
(3)如图，在（）的条件下，连接并延长交于点，是一个固定的值吗？，若是，求出的度数；若不是，请说明理由，
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)是一个固定的值，
【分析】（1）证，即可得证；
（2）证，得，再利用三角形的外角性质得，从而得，即可得证；
（3）过点作于，于．由（）得：，进而得，利用角平分线的判定可得平分，再根据垂线定义即可得解．
【详解】（1）证明：在和中，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过点作于，于．
由（）得：，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
，
又，，
平分，
，
．
，
．
【点睛】本题考查了垂线定义，全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定及性质以及角平分线的判定是解题的关键．
29．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，平分与y轴交于D点，．
(1)求证：；
(2)在（1）中点C的坐标为，点E为上一点，且，如图2，求的长；
(3)在（1）中，过D作于点，点H为上一动点，点G为上一动点，（如图3），当点H在上移动、点G在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)8
(3)，证明见解析
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定理，等腰三角形的性质；
（1）根据角平分线得出，进而判断出，即可得出结论；
（2）过点作于，根据角平分线得出，进而判断出，得出，进而判断出，得出，再判断出，即可得出结论；
（3）在的延长线上取一点，使，再判断出，进而判断出，得出，，进而判断出，进而判断出，得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：平分，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图2，过点作于，
平分，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：；
证明：如图3，在的延长线上取一点，使，
平分，，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
30．如图，为的外角平分线上一点并且在的垂直平分线上，过作于，交的延长线于，则下列结论：；；；．其中正确的结论是（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【详解】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出；根据全等三角形对应角相等可得，利用三角形内角和定理可得；利用三角形的外角性质得到．
【分析】解：∵平分，，，
∴，
∵在的垂直平分线上，
∴，
在和中，
，
∴，故正确；
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，故正确；
在中，，故错误；
综上，正确，共个．
故选：．
【点睛】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．
31．如图，中，，是边的垂直平分线，交于G，过点F作于点E，平分交于F，连接，．下列结论：①②③④．其中正确的结论是（ ）

A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质，得到；过点F作于点H，证明，得到，结合平分，得到，继而，可证明；利用斜边大于直角边，证明；利用等腰三角形的性质，全等三角形的性质，结合三角形内角和定理证明．
【详解】∵是边的垂直平分线，
∴；
故①正确；
过点F作于点H，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，

故③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵，，
∴，
∴，
故④正确；
故选D．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形中，斜边大于任意直角边，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，直角三角形中，斜边大于任意直角边，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
32．如图，直线与直线相交于点，并且互相垂直，点和点分别是直线和上的两个动点，且线段长度不变，点是关于直线的对称点，连接，若，则的度数是．
【答案】或
【分析】分两种情况：当时，取的中点，连接、，当时，取的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线的性质、等边三角形的判定得出是等边三角形，进而依据轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义及性质以及三角形内角和定理进行计算即可得出答案．
【详解】解：如图，当时，取的中点，连接、，
，为的中点，
，
点是关于直线的对称点，
垂直平分，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
；
当时，取的中点，连接、，
同理可得，，
，
，
，
，
综上所述，的度数是或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、轴对称的性质等知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
33．阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
(1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：；
(2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长；
(3)拓展延伸：在平面直角坐标系中，，点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，为等腰直角三角形；
①如图3，当时，求点C的坐标；
②直接写出其他符合条件的C点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①；②，，
【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答．
（2）因为，，得，因为，即可通过证明，再运用全等三角形的性质，即可作答．
（3）①过点B作轴，过点A作的延长线，易得，通过证明，再设点B的坐标为，，根据，进行列式作答即可；②分类讨论，当，，和分别作图，接着证明相应三角形全等，根据全等三角形的对应边相等，列式作答即可．
【详解】（1）解：∵于D，，
∴
即，
∵
∴
∵
∴
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∵
∴
则
∵
∴
即；
（3）解：①过点B作轴，过点A作的延长线，如图：
因为过点A作的延长线
∴
∵过点B作轴，
∴
∵
∴
∴
∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，
∴设点B的坐标为，
∵，
∴，
解得，
故点C的坐标为；
②，，过点B作轴，过点A作射线轴，且过点B作，如图：
易知
因为
∴
∵过点B作轴，过点B作
∴
∵
∴
∴
∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，
∴设点B的坐标为，
∵，
∴，
此时无解，
当，，过点A作直线轴，与轴交于点D，过点B作于点E，如图：
∵，
∴
即
∵
∴
∴
∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，
∴设点B的坐标为，
∵，
∴，
解得
故点C的坐标为；
当，，过点A作直线轴，过点B作于点E，过点C作于点D，如图：
∵，
∴
即
∵
∴
∴
∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，
∴设点B的坐标为，
∵，
∴，
解得
故点C的坐标为；
当时，，过点C作直线轴，过点B作于点E，过点A作于点D，如图：
∵，
∴
即
∵
∴
∴
∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，
∴设点B的坐标为，
∵，
∴，
解得
故点C的坐标为；
综上，其他符合条件的C点的坐标为，，
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平角的定义，直角三角形的两个锐角互余，“一线三直角”的模型，综合性较强，难度较大，灵活使用分类讨论思想以及正确掌握作辅助线是解题的关键．
34．八年级的同学在一次探究试验活动中发现，解决几何问题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线（延长的线段等于中线长）或延长过中点的线段，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中，进而使得问题得以解决．
(1)如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围；
(2)如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若．
求证：；
(3)如图3，和均为等腰直角三角形，且，连接，，点D为边的中点，连接．请直接写出与的数量关系和位置关系．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，
【分析】（1）延长至，使，连接，由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；
（2）延长至点，使，连接、，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；
（3）延长至，使，连接，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，，则．延长交于，证出，得出，即可．
【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1，
是边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
，即，
；
（2）证明：延长至点，使，连接、，如图2：
同（1）得：，
，
，，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
；
（3）解：，，理由如下：
延长至，使，连接，如图3，
同（1）得：，
，，
，
，
即，
，
，
和是等腰直角三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
．
延长交于，
，
，
，
，
，
即，．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线—倍长中线，构造三角形全等是解决问题的关键．
35．在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．
(1)如图1，射线，都在内部．
①若，，则 ；
②作点关于直线的对称点，在图1中找出与线段相等的线段，并证明．
(2)如图2，射线在的内部，射线在的外部，其它条件不变，探究线段之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)①20；②，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）①先根据角的运算得出的度数，根据三角形内角和求出的度数；再根据直角三角形两锐角互余可得出的度数，作差可得结论；
②连接，可得出，再根据，，可得出，，所以；进而可得，再由全等三角形的性质可得结论；
（2）在延长线上取点，使．连接．由垂直平分线的性质可得，；设，，所以，由此表达，由，可得，所以，即；由此可得，所以，由此可得结论．
【详解】（1）解：①，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：20；
②，理由如下：
证明：如图1，连接，
，
∵点与点关于直线对称，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：，
证明：如图2，在延长线上取点，使，连接，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题在三角形背景下考查旋转的相关知识，属于三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称的性质是解题的关键．
36．已知在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点P是第一象限内一动点．

(1)①如图1．若动点满足，求点P的坐标．
②如图2，在第（1）问的条件下，且，将逆时针旋转至如图所示位置，求的值．
(2)如图3，若点A与点关于x轴对称，且，若动点P满足，
问：的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变化．请求出其值．
【答案】(1)①；②6
(2)不变化，
【分析】（1）①利用非负数的性质可得，即可求出点P的坐标；
②如图①中，作于E，于F，证明四边形是正方形，可得，，再证明得，，从而可求．证明，可得，进而可求的值．
（2）如图3中，作交的延长线于E，交于N．证明，可得，，证明，推出，由此即可解决问题．
【详解】（1）①∵，
又∵，，
∴，，
∴，
∴．
②如图①中，作于E，于F．

∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，,
∵，
∴，
∴，
∴．
如图②中，

∵,
∴.
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）如图3中，作交的延长线于E，交于N．

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，构造辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
37．如图，在△ABC中，CA＝CB，过点A作射线AP∥BC，点M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合），且BM＝AN，连结BN并延长交射线AP于点D，连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E，连结ED．
【猜想】如图①，当∠C＝30°时，可证△BCN≌△ACM，从而得出∠CBN＝∠CAM，进而得出∠BDE的大小为______度．
【探究】如图②，若∠C＝β．
（1）求证：△BCN≌△ACM．
（2）∠BDE的大小为______度（用含β的代数式表示）．
【应用】如图③，当∠C＝120°时，AM平分∠BAC，若AM、BN交于点F，DE＝DF，DE＝1，则△DEF的面积为______．
【答案】【猜想】150；【探究】（1）见解析；（2）(180﹣β)；【应用】1
【分析】猜想：延长ED交BC于点F，交AC于点O．证明∠BNC＝∠BFE，再利用三角形的外角的性质即可解决问题；
探究：（1）同理根据SAS证明：△BCN≌△ACM；（2）延长ED交BC于点F，方法同（1）证出∠ACB＝∠BDF＝β，则可得出答案；
应用：证明∠E＝90°，求出DF＝2，根据三角形的面积公式可得结论．
【详解】证明：如图，延长ED交BC于点F，交AC于点O，
∵CB＝CA，
∴∠ABM＝∠BAN，
∵CA＝CB，BM＝AN，
∴CM＝CN，
∵∠C＝∠C，
∴△BCN≌△ACM（SAS），
∴∠CBN＝∠CAM，
∵E是AD的垂直平分线上的点，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠EMF，∠EDA＝∠EFM，
∴∠BNC＝∠BFE，
∴∠NOD+∠BDF＝∠C+∠FOC，
∵∠C＝30°，∠FOC＝∠NOD，
∴∠NDO＝30°，
∴∠BDE＝150°，
故答案为：150°；
探究：
（1）证明：∵CA＝CB，BM＝AN，
∴CA﹣AN＝CB﹣BM，
∴MC＝NC，
在△BCN和△ACM中，，
∴△BCN≌△ACM（SAS）；
（2）如图，延长ED交BC于点F，
同理得△BCN≌△ACM（SAS），
∴∠CBN＝∠CAM，
同理得：∠BNC＝∠AMC＝∠BFE，
∴∠BNC+∠NBC＝∠NBC+∠BFE，
∴∠ACB＝∠BDF＝β，
∴∠BDE＝180°﹣β．
故答案为：（180﹣β）；
应用：
∵∠C＝120°，CA＝CB，
∴∠BAC＝30°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠MAC＝∠BAC＝15°，
∵AP∥BC，
∴∠C＝∠CAD＝120°，
∴∠EAD＝180°﹣∠MAC﹣∠CAD＝45°，
由（2）可知，∠BDE＝180°﹣120°＝60°，∠CBN＝∠CAM＝∠ADB＝15°，
∴∠ADE＝45°，
∴∠E＝90°，
∵DE＝DF，DE＝1，
∴DF＝2，
∴△DEF的面积为．
故答案为：1．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
类型六、等腰三角形的性质
38．如图所示，已知，，，…，以此规律操作下去，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角，图形规律，解题关键是“三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和”据此可求得，，……，将图形规律转化为数字规律即可求解．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵，是的外角，
∴，
同理可得，，
，
∴，
故选：B．
39．如图，是一个钢架结构，在角内部最多只能构造5根等长的钢条，且满足，设，则x的取值范围是．

【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，以及不等式的应用，利用等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，依次求得，，，，，再根据角内部最多只能构造5根等长的钢条，得出最多只能取到点，从而列出不等式求解即可，正确列出不等式是解题的关键．
【详解】∵，，
∴，，
又∵，
∴，，
又∵，
∴，，
又∵，
∴，，
又∵，
∴，，
∵角内部最多只能构造5根等长的钢条，
∴最多只能取到点，
∵存在点，
∴，
解得：，
∵最多只能取到点，
∴，
解得：，
∴x的取值范围是：．
故答案是：．
40．如图1，在平面直角坐标系中，点，分别在y轴和x轴上，点C为第二象限内一点，且，，a，b满足．
(1)求点A，B的坐标；
(2)如图2，若点F在x轴的正半轴上，且满足，轴于点D，交的延长线于点E，求证：；
(3)在（2）的条件下，请探究线段，，之间的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为；
(2)见解析；
(3)，证明见解析．
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
（1）由，可得，求得，，从而求得点A，B的坐标；
（2）连接，证明，再证明，再根据全等三角形的性质即可求证；
（3）由（2）可知，，由全等三角形的性质可得，，从而得出，可得，可得结论．
【详解】（1）解：，
，
，．
点A的坐标为，点B的坐标为．
（2）证明：如图，连接．
，，
．
，
．
，
，
．
在和中，
，
，．
轴，
轴，，
，
，
．
，
．
，，
．
在和中，
，
，
．
（3）解：线段，，之间的数量关系为．
证明如下：由（2）可知，，
，
．
由（2）知，
，
．
41．问题背景：如图，在中，．在的延长线上取点E，C，作，使．
(1)探究一：当时．
①若，求的度数；
②若，则的度数用含α的式子表示为______°，的度数为_____°．
(2)探究二：若，直接写出的度数．
【答案】(1)①；②；
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角和定理，熟记“三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”是解题关键．
（1）由，可得，，结合，，（三角形外角和定理）即可求解；
（2）由，可得，，设，，（三角形外角和定理）即可求解
【详解】（1）解：①
；
②
（2），
，
，
，
，
当时
设，
，
，
，
由①可得：，
，
42．已知在中，，且，作等腰，使得．

(1)如图1，若与互余，则___________；（用含的代数式表示）
(2)如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：；
(3)若与的面积相等，请直接写出的度数．（用含的式子表示）
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）根据与互余得，根据等腰三角形两底角相等得，即可求出的度数；
（2）作，根据AAS证明，则，由等腰三角形三线合一可得，因此，问题得证；
（3）由与的面积相等得高相等.情况①：作于，于,根据可得，则可得；情况②:是钝角三角形，作于，作垂直于的延长线于，根据可得，则可得，由于与互补，因此与互补，即可得出结果．
【详解】（1）解：中，，且=,
，，
，
，
，

；
故答案为：；
（2）证明：如图，过A点作于E点，

中，，，
，
中，，
，
，
,=，
，
，
，
，
．
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①如图，作于，于，

∵与的面积相等，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
，
；
②如图，作于，作垂直于的延长线于，

则，
∵，，
∴，
∵与的面积相等，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
，
，
综上，或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的两个三角形面积相等，.熟练掌握以上知识是解题的关键．
43．以的、为边作和，且，，与相交于M，．
(1)如图1，求证：；
(2)在图1中，连接，则________， ________；（都用含的代数式表示）
(3)如图2，若，G、H分别是、的中点，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)，．
(3)
【分析】（1）根据可得，再结合，即可证明；
（2）连接，作于点J，于点I，根据题（1）可得，，再利用三角形的外角定理可得，根据可得，从而得证平分，最后根据角平分线的定义即可求解；
（3）连接，根据中点可得，进而证明，可得，，从而求得，最后根据等腰三角形的性质即可求得的度数．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）解：如图1，连接，设交于点L，
，
，，
；
作于点J，于点I，
，
，
，
点A在的平分线上，
平分，
，
，
故答案为：，；
（3）如图2，连接，
G、H分别是、的中点，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
的度数是．
【点睛】本题考查线段的中点，角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角定理；相等线段共顶点可证全等；全等三角形可利用等面积法证明线段相等；遇中点可尝试连接证明线段相等是解决本题的关键．
44．已知在中，，，分别过A、B向过点C的直线做垂线，垂足分别是D、E．
(1)如图1，若，直接写出、、之间的等量关系_______．
(2)如图2，若，的延长线交于点F，交于G，若F是中点，求证：
(3)在（2）的条件下，若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)15
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）只需要利用证明得到，即可根据线段之间的关系得到；
（2）如图所示，过B作于B，延长交于H，设，则，再证明，即可证明，得到，，进一步证明，得到，即可证明
（3）由（2）得：，，，，证明，得到，延长至M，使，连接、，证明，得到，，则，进一步证明，得到，则．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图所示，过B作于B，延长交于H，
F为中点，
，
，
，
设，
在中，，
，
过A、B向过C的直线作垂线，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
在中，，，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：由（2）得：，，，，
在和中，
，
，
，
延长至M，使，连接、，
、相交于F，
，
在和中，
，
，
，，
，
∵，
∴，
∴
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
45．在和中，，，．
(1)如图1，将，延长，延长线相交于点O．
①求证：；
②用含的式子表示的度数（直接写出结果）；
(2)如图2，当时，连接，，N是的中点，连接并延长与交于点M，求证：
【答案】(1)①见解析；②
(2)见解析
【分析】（1）①根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②根据全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）延长，截取，连接，证明，得出，，证明，得出，证明，得出，即可得出，根据三角形内角和定理得出，即可证明结论．
【详解】（1）证明：①∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：延长，截取，连接，如图所示：
∵点N是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，三角形外角的性质，补角的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．
46．在中，，，点D为边的中点，动点P以2个单位的速度从点B出发在射线上运动，点Q在边上，设点P运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示线段的长．
(2)当，点P在线段上．若和全等，求t的值；
(3)当，为等腰三角形时，请直接写出的度数．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或或或．
【分析】本题考查了三角形全等的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想是解题关键．
（1）由图可知，求出线段即可；
（2）由和全等，可得或两种情况，列出关于t的方程即可求解；
（3）由为等腰三角形，利用等腰三角形性质分点P在点A左右两边讨论即可求解．
【详解】（1）解：设点运动时间为秒，
，
当时，；
当时，；
（2）∵，
由题意得，
当时，，
可得∶，
解得∶，
当时，，
可得∶，
解得∶
综上所述，若和全等，则的值为或；
（3），为等腰三角形时，
当时，点P在点A左侧时，
，
当，点P在点A右侧时，
，
当时，
，
当时，
的度数为或或或．
47．已知，在中，，．
(1)如图1，点D、点E分别是线段上两点，连接、，若，且，求的度数；
(2)如图2，点D、点E分别是线段上两点，连接、，过点B作交延长线于F，连接，若，求证：；
(3)如图3，M为射线上一点，N为射线上一点，且始终满足，过点C作的垂线交的延长线于点P，连接，猜想：之间的数量关系并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质，
（1）根据等边对等角得出，再由全等三角形的判定和性质得出，利用三角形内角和定理求解即可；
（2）延长至点，使，连接，根据等边对等角及全等三角形的判定得出，，再由全等三角形的性质即可证明；
（3）过点A作交的延长线于Q．根据全等三角形的判定得出，，再由其性质求解即可．
【详解】（1）解：，
．
在和中，
．
，
又∵，，
．
（2）延长至点，使，连接．
∵，
，
∵，
，
，
．
在和中，
∴，
，．
∵，
，
，
，
即．
在和中，
，
，
．
（3）数量关系为：，理由如下：
过点A作交的延长线于Q．
∵，
，
．
在和中，
，．
∵，
．
又，
，
．
在和中，
，
．
48．（1）发现问题：如图1，在和中，，连接，延长交于点．则与的数量关系：___________，___________，
（2）类比探究：如图2，在和中，，连接，延长交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，且点在一条直线上，过点作，垂足为点．连接的面积为1，，求的面积．
【答案】（1）；（2），详见解析；（3）3
【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键；
（1）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论；
（3）结合等腰直角三角形的性质利用证明，根据全等三角形的性质求出，进而求出，根据等腰直角三角形的性质求出，根据三角形面积公式求出，再根据四边形的面积，的面积=四边形的面积求解即可．
【详解】（1）解：，
理由如下：如图1所示，设与交于点，
即，
在和中，
故答案为：；
（2）；
理由如下：，
，
即，
又，
，
，
，
，
；
（3）解：与是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
或（舍去），
，
，
，
49．已知如图，是的角平分线，且于点．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，，点在上，连接并延长交于点，交的延长线于点，，连接，，的面积是的面积的，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）证明（）即可得到结论；
（2）过作于，求出，证明，得到，得出，证明，得到，从而得到，即可求解.
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴（），
∴；
（2）过作于，
∵，，，
∴
∴，
在和中，
∴（），
∴．
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和以及三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.
50．如图1，在△ABC中，延长AC到D，使CD＝AB，E是AD上方一点，且∠A＝∠BCE＝∠D，连接BE．
（1）若∠CBE＝72°，则∠A＝ ；
（2）如图2，若∠ACB＝90°，将DE沿直线CD翻折得到DE′，连接BE′交CE于F，若BE′∥ED，求证：F是BE'的中点；
（3）在如图3，若∠ACB＝90°，AC＝BC，将DE沿直线CD翻折得到DE'，连接BE′交CE于F，交CD于G，若AC＝a，AB＝b（b＞a＞0）求线段CG的长度．
【答案】（1）36°；（2）见解析；（3）CG=b-a．
【分析】（1）由∠ABC+∠A=∠BCD，∠BCE+∠ECD=∠BCD，∠A=∠BCE，得∠ABC=∠ECD，证出△ABC≌△DCE，得BC=CE，由∠CBE=∠CEB=72°，结合三角形内角和为180°，求出∠A即可；
（2）同（1）证出△ABC≌△DCE，由翻折得CE'=CB，由BE'∥ED得∠CFE'=∠DEC=90°，即CF⊥BE'，由三线合一得F是BE'的中点；
（3）先由折叠的性质，推出∠BGC=∠CGM，再证明△BGC≌△MGC，得CE=CB=CM，由三角形内角和为180°得∠BEM=90°，得∠BEM=∠CED，再导角得∠BEC=∠GED，最后证明△BCE≌△GDE，得BC=GD=AC=a，再由CD=AB=b，可求CG=CD-GD=b-a．
【详解】解：（1）∵∠ABC+∠A=∠BCD，∠BCE+∠ECD=∠BCD，∠A=∠BCE，
∴∠ABC=∠ECD，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（ASA），
∴BC=CE，
∴∠CBE=∠CEB=72°，
∵∠CBE+∠CEB+∠BCE=180°，
∴∠BCE=36°，
∴∠A=36°，
故答案为：36°；
（2）证明：∵∠ABC+∠A=∠BCD，∠BCE+∠ECD=∠BCD，∠A=∠BCE，
∴∠ABC=∠ECD，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（ASA），
∴BC=CE，∠ACB=∠DEC=90°，
如图，连接CE'，
∵将DE沿直线CD翻折得到DE′，
∴CE=CE'=CB，
∵BE'∥ED，
∴∠CFE'=∠DEC=90°，
即CF⊥BE'，
由三线合一，
得：F是BE'的中点；
（3）如图，连EG，延长EG、BC交于M，
∵折叠的性质，
∴∠DGE=∠DGE'，
∵∠DGE=∠CGM，∠DGE'=∠BGC，
∴∠BGC=∠CGM，
在△BGC与△CGM中，
，
∴△BGC≌△MGC（ASA），
∴BC=CM，
由（2）知，△ABC≌△DCE，
∴BC=CE，∠ACB=∠DEC=90°，
∴CE=CB=CM，
∴∠CBE=∠CEB，∠CEM=∠CME，
∴∠BEM=∠CEB+∠CEM=×180°=90°，
∴∠BEM=∠CED，
∴∠BEM-∠CEM=∠CED-∠CEM，
∴∠BEC=∠GED，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠EDC=∠A=45°，
∴∠ECD=∠EDC，CE=DE，
在△BCE与△GDE中，
，
∴△BCE≌△GDE（ASA），
∴BC=GD=AC=a，
∵CD=AB=b，
∴CG=CD-GD=b-a．
【点睛】本题是三角形翻折变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，平行线的性质，等腰三角形三线合一，全等三角形的性质与翻折性质得到的边、角相等之间的等量代换是关键．
51．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，是的“双等腰线”，是的“三等腰线”．

(1)请在下面三个图中，分别作出的“双等腰线”，并做必要的标注或说明．
①；②；

(2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是．
(3)如图3，中，．画出所有可能的“三等腰线”，使得对取值范围的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充）

【答案】(1)见解析
(2)或或或
(3)见解析
【分析】本题考查新定义下的三角形的应用，理解概念和掌握分类讨论的解题方法是关键．
（1）根据双等腰线的定义可得：①取的中点D，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明；②当时；
（2）分四种情况讨论；
（3）要画出使得对取值范围内的任意值都成立的“三等腰线”，所以不能使等于具体的数值，因此只需要使分割后的三个等腰三角形的底角成比例即可．
【详解】（1）解：①如图，取的中点D，连接，

∵，
∴是直角三角形，
∴，
∴，，
∴是的“双等腰线”；
②当时，，如图，

∴，
∴，
∴是的“双等腰线”；
（2）解：①设是以为腰的锐角三角形，为“双等腰线”，
当时，如图，

设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
②设是以为腰的钝角三角形，为“双等腰线”，
当时，

设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
③设是以为腰的直角三角形，为“双等腰线”，如图，
当，时，为的垂直平分线，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴；
④设顶角为x，
可得，，
解得：，
∴，
故答案为：或或或；
（3）解：要画出使得对取值范围内的任意值都成立的“三等腰线”，
所以不能使等于具体的数值，因此只需要使分割后的三个等腰三角形的底角成比例即可；
第一种画法：

∵，
设，
当将分成，三个等腰三角形时，
则有，，
∵，
∴，
∴，
因此，“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为，即可使得对取值范围内的任意值都成立；
第二种画法：

∵，
设，
当将分成，三个等腰三角形时，
则有，，
∵，
∴，
因此，“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为，即可使得对取值范围内的任意值都成立；