专题1.10利用全等证明线段和差模型大题专练（重难点培优）-【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】

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【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题1.10利用全等证明线段和差模型大题专练（重难点培优）【典例剖析】【例1】（2022·全国·八年级）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．       （1）求证：AD为∠BDC的平分线；（2）若∠DAE=12∠BAC，且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系_______．【变式1】（2020·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°，O为AB的中点，D，E分别在AC,BC上，且OD⊥OE．求证：CE+CD=AC．【例2】（2022·全国·八年级专题练习）(1)问题背景：如图 1，在四边形 ABCD 中，AB = AD，∠BAD= 120°，∠B =∠ADC= 90°，E，F 分别是 BC, CD 上的点，且∠EAF = 60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG=BE， 连结AG，先证明ΔABE≅ΔADG，再证明ΔAEF≌ΔAGF，可得出结论，他的结论应是 ．(2)探索延伸：如图 2，在四边形ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF=12∠BAD，上述结论是否依然成立？并说明理由．【变式2】（2022·全国·八年级课时练习）如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．（1）延长CB到点G，使BG＝ ，连接AG；（2）证明：EF＝BE＋DF【满分训练】一、解答题1．（2022·吉林长春·八年级期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；(2)当直线MN烧点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD−BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．2．（2022·全国·八年级专题练习）（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A,BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D,E．求证：DE=BD+CE．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．请写出DE,BD,CE三条线段的数量关系，并说明理由．3．（2021·湖南株洲·八年级期末）如图1，已知AB＝AC，AB⊥AC．直线m经过点A，过点B作BD⊥m于D， CE⊥m于E．我们把这种常见图形称为“K”字图．（1）悟空同学对图1进行一番探究后，得出结论：DE＝BD＋CE，现请你替悟空同学完成证明过程．（2）悟空同学进一步对类似图形进行探究，在图2中，若AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC，则结论DE＝BD＋CE，还成立吗？如果成立，请证明之．4．（2021·四川遂宁·八年级期末）在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．（1）当点C在线段BD上时，①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为　 　；②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF＋CD；（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．5．（2022·山东聊城·八年级期末）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点（点D不与B，C重合），连接CE．（1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC=CE+CD；（2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC=CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC，CE， CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC，CE， CD之间存在的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系．      6．（2020·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C．求证：AB+BD=AC．李老师给出了如下简要分析：“要证AB+BD=AC就是要证线段的和差问题，所以有两个方法，方法一：‘截长法’如图2，在AC上截取AE=AB，连接DE，只要证BD=__________即可，这就将证明线段和差问题__________为证明线段相等问题，只要证出△__________≌△__________，得出∠B=∠AED及BD=_________，再证出∠__________=∠___________，进而得出ED=EC，则结论成立．此种证法的基础是‘已知AD平分∠BAC，将△ABD沿直线AD对折，使点B落在AC边上的点E处’成为可能．方法二：“补短法”如图3，延长AB至点F，使BF=BD．只要证AF=AC即可．此时先证∠__________=∠C，再证出△_________≌△_________，则结论成立．”“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．7．（2020·辽宁大连·八年级期末）如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC边上，点E在AD上，AD=BD，∠ABE=∠CAD+∠CBE．（1）求证∠BAC=2∠ABE；（2）作EF⊥AB，垂足为F（如图2），探究线段CD，DE，EF的数量关系并证明．8．（2021·山东滨州·八年级期中）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，l是过A的一条直线，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E． （1）填空，当直线l绕点A旋转到如图1位置时，BD与DE，CE具有怎样的等量关系？______．（2）若直线l绕点A旋转到如图2位置时，试说明：DE=BD−CE．9．（2022·全国·八年级）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：△ABE≌△CBF．（2）当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，如图2，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．（3）当∠MBN绕点B旋转到图3这种情况下，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．10．（2021·广东惠州·八年级期中）如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：CO平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）直接写出AB，CD与AC的关系　 　．11．（2020·河南·濮阳市油田第六中学八年级期中）问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由．问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由．问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．12．（2020·江苏徐州·八年级期中）已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，l是过点A的一条直线，BD⊥l，CE⊥l，垂足分别为D、E．(1) 如图(1)，求证：DE＝BD＋CE；(2) 若直线l绕A点旋转到图(2)位置时，其余条件不变，请把图形补充完整，写出BD、CE与DE之间的数量关系，并证明你的结论．13．（2020·湖北·恩施市龙凤镇民族初级中学八年级阶段练习）已知，如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且点D在AC上．（1）求证：△DBC≌△EBA；（2）写出AE，AD和AB之间的关系，并证明．14．（2020·河北石家庄·八年级期中）已知：如图，等腰三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直线l经过点C（点A、B都在直线l的同侧），AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）请判断DE、BE、AD三条线段之间有怎样的数量关系，并证明．15．（2020·湖北·黄石八中八年级期中）如图，△ABC中，AB=AC，点D为△ABC外一点，且∠BDC=∠BAC，AM⊥CD于M，求证：BD+DM=CM．16．（2020·广东·肇庆市地质中学八年级阶段练习）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．（1）如图1，若过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N．求证：MN=AM+BN．（2）如图2，若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N，则AM,BN与MN之间有什么关系？请说明理由．