专题2.9线段垂直平分线的性质与判定大题专练（重难点培优）-【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】

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【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题2.9线段垂直平分线的性质与判定大题专练（重难点培优）【知识点1】利用线段垂直平分线的性质进行计算与证明1．（2021·江苏淮安·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以点A、B为圆心，大于12的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，求CD的长．【答案】85【解析】【分析】连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题．【详解】解：连接AD．∵PQ垂直平分线段AB，∴DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，∴x2=32+（5-x）2，解得x=175，∴CD=BC-DB=5-175=85，故答案为85．【点睛】本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．2．（2021·江苏盐城·八年级期中）如图，在△ABC中，BC＝10 cm， AB的垂直平分线交AB于点D、交AC于点E，△BCE的周长等于22 cm．(1)证明：BE+EC=AC；(2)求AC的长．【答案】(1)证明见解析(2)AC的长为12【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质定理可得AE=BE，等量代换可证结论；（2）由题意知BC+CE+BE=22cm，可求BE+CE的值，进而可得AC的值．(1)证明：∵ DE是线段AB的垂直平分线∴AE=BE∵AE+EC=AC∴BE+EC=AC．(2)解：∵△BCE的周长为22cm，∴BC+CE+BE=22cm∵BC=10cm∴BE+CE=12cm∴AC=BE+CE=12cm∴AC的长为12cm．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质定理．解题的关键在于熟练掌握垂直平分线的性质定理．3．（2022·江苏·九年级期中）如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于12BC长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连接CD．(1)则MN是BC的 　 　线．(2)若AB＝8，AC＝4，求△ACD的周长．【答案】(1)垂直平分；(2)△ACD的周长＝12【解析】【分析】（1）先证明△BMN≌△CMN，得出∠BMN=∠CMN，再利用等腰三角形的“三线合一”即可得出答案；（2）利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．(1)解：如图1，连接BM、CM、BN、CN，令MN与BC相交于点O，∵在△BMN和△CMN中，BM=BNCM=CNMN=MN ,∴△BMN≌△CMN，∴∠BMN=∠CMN，∵BM=CM，∴直线MN是线段BC的垂直平分线，故答案为：垂直平分；(2)解：∵MN垂直平分线段BC，∴DC＝DB，∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+BD+AD＝AC+AB＝8+4＝12【点睛】本题考查尺规作图——作线段垂直平分线以及线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质定理．4．（2021·江苏镇江·八年级期中）使用直尺与圆规完成下面作图，（不写作法，保留作图痕迹，用水笔描黑）(1)在AB上找一点P使得P到AC和BC的距离相等；(2)在射线CP上找一点Q，使得QB＝QC；(3)若BC＝10，则点Q到边AC的距离为 ．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)5【解析】【分析】（1）作出∠C的角平分线交AC于P，点P即为所求；(2)作线段BC的垂直平分线，交CP于点Q，点Q即为所求；（3）如图：BC的垂直平分线交BC于E，过Q作QF⊥AC于F点，根据CP为∠ACB的平分线，得到QF=QE，根据垂直平分线的性质得到∠QEC=90°，也可以证∠QCE=∠CQE，所以得到CE=QE=5，再根据角平分线的性质得到QF=QE=5，即可求解；(1)作出∠C的角平分线，标出点P(2)作出BC的垂直平分线标出点Q(3)如图：BC的垂直平分线交BC于E，过Q作QF⊥AC于F点，∵QE为BC的垂直平分线，∴QE⊥BC，∠QEC=90°∵CP为∠ACB的平分线，∴QF=QE∴∠PCE=∠ACP=12∠ACB=45°，∵∠QEC=90°∴∠CQE=90°-∠QCE=90°-45°=45°，所以∠QCE=∠CQE所以CE=QE∵QE为BC的垂直平分线，∴BE=CE=12BC=12×10=5 ∴CE=QE=5所以QF=QE=5∴点Q到边AC的距离为5，故答案为：5【点睛】本题考查作图，应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质．5．（2021·江苏镇江·八年级期中）已知，如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，DE为边BC的垂直平分线，与边BC、AB分别交于D、E两点．求AC和AE的长．【答案】AC＝6，AE＝74【解析】【分析】在Rt△ABC中根据勾股定理直接求得AC的长，连接AE，根据垂直平分线的性质得到BE=CE，设AE＝x，则BE＝8-x，在Rt△ACE中根据AE2＋AC2＝CE2列出等式解得即可．【详解】在Rt△ABC中，∵AB2＋AC2＝BC2，∴82＋AC2＝102，∴AC＝6；连接CE，设AE＝x，则BE＝8-x，∵DE为边BC的垂直平分线，∴CE＝BE＝8-x，在Rt△ACE中，∠A＝90°∴AE2＋AC2＝CE2，x2＋36＝（8－x）2，解得x＝74，∴AE＝74．【点睛】本题考查了勾股定理和垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上的一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．6．（2021·江苏盐城·八年级期中）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．（1）求证：∠A＝90°；（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．【答案】（1）见解析；（2）AC=4【解析】【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，然后利用勾股定理逆定理可得结论；（2）首先确定BD的长，进而可得CD的长，再利用勾股定理进行计算即可．【详解】（1）证明：连接CD，∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，∴CD＝DB，∵BD2﹣DA2＝AC2，∴CD2﹣DA2＝AC2，∴CD2＝AD2+AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；（2）解：∵AB＝8，AD：BD＝3：5，∴AD＝3，BD＝5，∴DC＝5，∴AC＝CD2−AD2=4．【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．7．（2021·江苏无锡·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，AC的垂直平分线交AC、AD、AB于点E、F、G，连接CF，BF．（1）点F到△ABC的边_______和_______的距离相等．（2）若AF＝3，∠BAC＝45°，求∠BFC的度数和BC的长．【答案】（1）AB，AC（或AC，AB）；（2）∠BFC＝90°，BC＝32．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到∠CAD＝∠BAD，然后根据角平分线的性质定理可得点F到△ABC的边AB和AC的距离相等；（2）首先根据等腰三角形三线合一的性质得到AD垂直平分BC，然后根据垂直平分线的性质得到CF＝BF，然后由EG垂直平分AC，得到AF＝CF，进而得到AF＝CF＝BF＝3，根据等腰三角形等边对等角以及外角的性质得到∠CFD＝2∠CAD，∠BFD＝2∠BAD，即可求出∠BFC＝90°；在Rt△BFC中，根据勾股定理即可求出BC的长．【详解】解：（1）∵AB＝AC，D是BC中点，∴∠CAD＝∠BAD，∴点F到△ABC的边AB和AC的距离相等；故答案为：AB和AC（或AC和AB）；（2）∵AB＝AC，D是BC中点，∴AD垂直平分BC，∴CF＝BF，∵EG垂直平分AC，∴AF＝CF，∴AF＝CF＝BF＝3，∵AF＝CF，∴∠FAC＝∠FCA，∴∠CFD＝∠FAC+∠FCA＝2∠CAD，同理可得：∠BFD＝2∠BAD，∴∠BFC＝2∠CAD+2∠BAD＝2∠BAC＝90°，在Rt△BFC中，∠BFC＝90°，∴BC＝BF2+CF2=32+32＝18＝32．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线性质定理和垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线性质定理和垂直平分线的性质以及勾股定理．8．（2021·江苏·无锡市江南中学八年级期中）如图，△ABC中，∠BAC＝105°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）求∠DAF的度数；（2）如果BC=8，求△DAF的周长．【答案】（1）30°；（2）8【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理可求∠B+∠C；根据垂直平分线性质，DA=BD，FA=FC，则∠EAD=∠B，∠FAC=∠C，得出∠DAF=∠BAC-∠EAD-∠FAC=110°-（∠B+∠C）求出即可．（2）由（1）中得出，AD=BD，AF=FC，即可得出△DAF的周长为BD+FC+DF=BC，即可得出答案．【详解】解：（1）设∠B=x，∠C=y．∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴105°+∠B+∠C=180°，∴x+y=75°．∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，∴DA=BD，FA=FC，∴∠EAD=∠B，∠FAC=∠C．∴∠DAF=∠BAC-（x+y）=105°-75°=30°．（2）∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，∴DA=BD，FA=FC，∴△DAF的周长=AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=8．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质．注意掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等定理的应用，注意数形结合思想与整体思想的应用．9．（2021·江苏南通·八年级期中）如图，已知点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）求证：BD＝CE；（2）若点D在线段AB的垂直平分线上，BD＝DE，求∠B的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠B＝30°．【解析】【分析】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF＝CF，DF＝EF，相减后即可得到正确的结论．（2）证明DA＝DE＝AE，得出△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠ADE＝60°，由三角形外角的性质则可得出答案．【详解】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．（2）解：∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴DA＝DB，∵DB＝DE，∴DA＝DE，∵AD＝EA，   ∴DA＝DE＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝60°，∵∠ADE是△ADB的外角，∴∠ADE＝∠B+∠BAD，∵DA＝DB，∴∠B＝∠BAD＝30°．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，垂直平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．10．（2021·江苏·盐城市大丰区实验初级中学八年级期中）如图，△ABC中，∠B＝90°，BC上一点D，BD=6，CD＝10（1）若AD平分∠BAC，求点D到AC边的距离；（2）若点D恰好在AC边的垂直平分线上，求AB的长．【答案】（1）6；（2）8【解析】【分析】（1）过点D作DH⊥AC于点H，根据角平分线的性质可得出结论；（2）根据D恰好在AC边的垂直平分线上得出AD=CD=10，在Rt△ABD中根据勾股定理即可得出AB的长．【详解】（1）过点D作DH⊥AC于点H，∵AD平分∠BAC，∠B=90°，∴DH=BD=6，即点D到AC边的距离是3；（2）∵点D恰好在AC边的垂直平分线上，∴AD=CD=10，在Rt△ABD中，∵AD=10，BD=6，∴AB=AD2−BD2=8．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．11．（2019·江苏·南京市第一中学八年级期中）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：AD垂直平分EF．【答案】见解析【解析】【分析】证明△AED≌△AFD，可得AE=AF,DE=EF，进而可得AD垂直平分EF．【详解】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴∠EAD=∠FAD,DE=EF又AD=AD∴ △AED≌△AFD∴ AE=AF∴ A,D在EF的垂直平分线上即AD垂直平分EF．【点睛】本题考查了角平分线的性质与定义，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，掌握垂直平分线的判定是解题的关键．12．（2021·江苏宿迁·八年级期中）已知：如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）AB=6，AC=8，求四边形AEDF的周长；（2）求证：EF⊥AD．【答案】（1）14；（2）见详解【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=AE=12AB，DF=AF=12AC，再根据四边形的周长的定义计算即可得解；（2）根据到到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上证明即可．【详解】（1）解：∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE=AE=12AB=12×6=3，DF=AF=12AC=12×8=4，∴四边形AEDF的周长=AE+DE+DF+AF=3+3+4+4=14；（2）证明：∵DE=AE，DF=AF，∴EF垂直平分AD，即：EF⊥AD．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，熟记性质与线段垂直平分线的判定方法是解题得解．13．（2021·江苏扬州·八年级期中）如图，AB=AC，DB=DC，点E在AD上，判断EB与EC数量关系，并说明理由．【答案】EB=EC，理由见解析．【解析】【分析】根据垂直平分线的判定和性质解答即可．【详解】解：连接BC， ∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上， 又∵DB=DC，∴点D在BC的垂直平分线上， ∵两点确定一点直线，∴点AD是BC的垂直平分线， ∵点E在直线AD上， ∴EB=EC．【点睛】本题考查了垂直平分线的判定和性质，熟知垂直平分线上任意一点到两顶点的距离相等是解本题的关键．14．（2020·江苏南通·八年级期中）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，使点B和点E在CD的同侧，CE与BD交于点F，连接BE．（1）根据题中给定的条件，补全图形；（2）求证：△ACD≌△BCD；（3）求证：BD垂直平分CE．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的定义作图连线即可；（2）根据等边三角形及等腰直角三角形的定义，利用SSS证明；（3）证明△BED≌△ACD，推出BE=BC，得到点B在CE的垂直平分线上，根据ED=CD，得到点D在CE的垂直平分线上，即可得到结论．【详解】（1）解：补图如下：（2）证明：∵△ABD和△DCE是等边三角形，∴BD=AD，ED=CD，∠ADF=∠CDE=60°．∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC．在△ACD和△BCD中，AC=BC,AD=BD,CD=CD,∴△ACD≌△BCD（SSS）．（3）解：由（2）得△ACD≌△BCD，∴∠ADC=∠BDC=30°，∴∠BDE=60°-30°=30°．在△BED和△ACD中，BD=AD,∠BDE=∠ADC,ED=CD,∴△BED≌△ACD（SAS）．∴BE=AC．∴BE=BC．∴点B在CE的垂直平分线上．又ED=CD，∴点D在CE的垂直平分线上．∴BD垂直平分CE．【点睛】此题考查等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定定理，作图能力，掌握各知识点、逻辑推理能力是解题的关键．15．（2021·江苏常州·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．【答案】（1）△DEF是等边三角形，见解析；（2）CF=4【解析】【分析】（1）证明△ABD是等边三角形，可得∠ADB=60°，再由平行线的性质可得∠CED=∠EDF=∠DFE=60°，则结论得证；（2）连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，由△ABD是等边三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=12，由（1）中△EDF是等边三角形，可得EF=DE=4，可得CF的长．【详解】解：（1）△DEF是等边三角形．理由是：∵AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形．∴∠ABD=∠ADB=60°．∵CE∥AB，∴∠CED=∠A=60°，∠DFE=∠ABD=60°，∴∠CED=∠ADB=∠DFE，∴△DEF是等边三角形；（2）连接AC交BD于点O，∵AB=AD，CB=CD，∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD．∵AB=AD，∠BAD=60°，∴∠BAC=∠DAC=30°．∵CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE=∠CAD=30°，∴AE=CE=8，∴DE=AD-AE=12-8=4．∵△DEF是等边三角形，∴EF=DE=4，∴CF=CE-EF=8-4=4．【点睛】本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的逆定理，等边三角形的性质和判定等知识，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．16．（2021·江苏南京·八年级期中）如图，∠ADB＝∠ADC，∠B＝∠C．（1）求证：AB＝AC；（2）连接BC，求证：AD⊥BC．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意证明△ADB≌△ADC即可证明AB＝AC；（2）连接BC，由中垂线的逆定理证明即可．【详解】证明：（1）∵在△ADB和△ADC中，∠ADB=ADC∠B=∠CAD=AD，∴△ADB≌△ADC（AAS），∴AB＝AC；（2）连接BC，∵△ADB≌△ADC，∴AB＝AC，BD＝CD，∴A和D都在线段BC的垂直平分线上，∴AD是线段BC的垂直平分线，即AD⊥BC．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质以及中垂线的逆定理，熟记相关定理是解题关键．17．（2019·江苏苏州·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，点D为△ABC内一点，∠ABD＝∠ACD＝20°，E为BD延长线上的一点，且AB＝AE．（1）求∠BAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）请判断AD，BD，DE之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）40°；（2）见解析；（3）DE＝AD＋BD，理由见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理和垂直平分线的判定可得∠ABC=∠ACB=50°，点A在线段BC的中垂线上，从而证出∠DBC=∠DCB，根据等角对等边可得DB=DC，得出AD垂直平分BC，再根据三线合一即可求出结论；（2）利用三角形内角和定理和外角的性质分别求出∠ADC和∠ADE，即可证出结论；（3）在DE上截取点F，使DF=AD，根据等边三角形的判定证出△ADF为等边三角形，从而得出∠AFD=60°，AD=AF，然后利用AAS证出△ABD≌△AEF，从而得出BD=EF，从而证出结论．【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝80°，∴∠ABC=∠ACB=12（180°－∠BAC）=50°，点A在线段BC的中垂线上∵∠ABD＝∠ACD＝20°，∴∠DBC=∠ABC－∠ABD=∠ACB－∠ACD=∠DCB∴DB=DC∴点D在线段BC的中垂线上∴AD垂直平分BC∵AB=AC∴AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC＝40°；（2）∵∠BAD=∠CAD=40°，∠ABD＝∠ACD＝20°∴∠ADC=180°－∠CAD－∠ACD=120°，∠ADE=∠BAD＋∠ABD=60°∴∠ADC=2∠ADE∴DE平分∠ADC；（3）DE＝AD＋BD，理由如下：在DE上截取点F，使DF=AD∵∠ADE=60°∴△ADF为等边三角形∴∠AFD=60°，AD=AF∴∠ADB=180°－∠ADE=120°，∠AFE=180°－∠AFD=120°∴∠ADB=∠AFE∵AB＝AE∴∠ABE=∠E∴△ABD≌△AEF∴BD=EF∴DE=DF＋EF=AD＋BD【点睛】此题考查的是等腰三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、垂直平分线的判定和全等三角形的判定及性质，掌握等腰三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、垂直平分线的判定和全等三角形的判定及性质是解题关键．18．（2019·江苏徐州·八年级期中）如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）AB=6，AC=4，求四边形AEDF的周长；（2）EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论．【答案】（1）10；（2）EF垂直平分AD.【解析】【分析】（1）根据线段中点的性质、直角三角形的性质计算；（2）根据线段垂直平分线的判定定理得到E、F在线段AD的垂直平分线上，得到答案．【详解】解：（1）∵E、F分别是AB、AC的中点，∴AE=12AB=3，AF=12AC=2，∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE=12AB=3，DF=12AC=2，∴四边形AEDF的周长=AE+ED+DF+FA=10；（2）EF垂直平分AD． 证明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵E是AB的中点，∴DE=AE， 同理：DF=AF，∴E、F在线段AD的垂直平分线上，∴EF垂直平分AD.【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．【知识点3】有关线段垂直平分线的作图问题19．（2021·江苏淮安·八年级期中）如图，有点A、B、C、D，请用无刻度直尺和圆规画出一点P，使PA＝PB且PC＝PD（不写作法，请把作图痕迹用黑水笔描清楚）．【答案】作图见解析【解析】【分析】利用线段垂直平分线的性质结合尺规作图分别作出线段AB，CD的垂直平分线，进而得出答案．【详解】解：如图所示，点P即为所求：【点睛】此题主要考查了复杂作图，正确掌握线段垂直平分线的性质及尺规作图方法是解题关键．20．（2021·江苏·常州市清潭中学九年级期中）如图，A，B，C三点表示三个工厂，要建立一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置（不写作法，尺规作图）．【答案】见解析【解析】【分析】要使得供水站到三个厂的距离相等，即供水站要在线段AB、BC、AC的垂直平分线上，因此作出AB、BC、AC的垂直平分线，三者的交点P即为所求．【详解】解：如图所示：连接AB，AC，BC，以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两者分别交于M、N，连接M、N，则MN为线段AB的垂直平分线，同理作出线段AC，BC的线段垂直平分线，三者交点P即为所求．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握线段垂直平分线的性质．21．（2021·江苏扬州·八年级期中）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1．（1）如图1，画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；（2）如图2，在直线l上找一点P，使PB＝PC；（要求：用圆规和直尺作图）（3）如图2，连接PA、PC，计算四边形PABC的面积．（4）如图3，已知直线m是一条小河，有一牧马人准备从A处牵马去河边饮水，然后返回B处，马在何处饮水才能使所走的总路程最短，请在图中作出该点Q的位置．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形PABC的面积为152；（4）见解析．【解析】【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，过BC中点D作DP⊥BC交直线l于点P，点P即为所求；（3）根据S四边形PABC＝S△ABC＋S△APC列式计算即可得解；（4）过直线m作A点的对称点A'，连接BA',与m的交点即可点Q的位置．【详解】解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）如图所示，作BC的垂直平分线交直线l于点P，此时PB＝PC；（3）如图：S四边形PABC＝S△ABC＋S△APC＝12×5×2＋12×5×1＝152；（4）过直线m作A点的对称点A'，连接BA',与m的交点即可点Q的位置，如图所示：；【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．22．（2020·江苏·宜兴市实验中学八年级期中）请利用直尺完成下列问题（1）如图（1）示，利用网格画图：①在BC上找一点P，使得P到AB和AC的距离相等；②在射线AP上找一点Q，使QB＝QC．（2）如图（2）已知在△ABC中，AB＜AC＜BC，D是AC中点，在BC上一点E，利用尺规作图作出直线DE，使直线DE平分△ABC周长（保留作图痕迹）．【答案】（1）①见解析，②见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）①P到AB和AC的距离相等，即点P在∠BAC的角平分线上，据此解题； ②射线AP上一点Q，使QB＝QC，即点Q在线段BC的垂直平分线上，根据中位线性质，可得线段BC的中点O，再将线段OC（也可视为斜边为OC，直角边分别为2，3的小直角三角形）绕点O顺时针旋转90°，其所在的射线与射线AP的交点即是点Q；（2）作AC的垂直平分线，取线段AC的中点D，延长CB到F,使得BF=AB，作CF的中垂线，交BC于E，画直线DE即可解题．【详解】（1）①如图（1）所示，点P即为所求作的点；②如图（1）所示，点Q即为所求作的点；（2）如图所示：直线DE即为所作的直线．【点睛】本题考查尺规作图，涉及直线、射线、线段，角平分线、线段垂直平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．23．（2020·江苏·南京市第一中学八年级期中）如图，在ΔABC中，AB>AC．   （1）用尺规作图法在AB上找一点P，使得PB=PC．（保留作图痕迹，不用写作法）；（2）在（1）的条件下，连接PC，若AB=6，AC=4，求ΔAPC的周长．【答案】（1）见解析；（2）10．【解析】【分析】（1）作线段BC的垂直平分线，交AB于点P,点P即为所求；（2）利用线段垂直平分线的性质得出△APC的周长为=AP+PB+AC= AB+AC，进而得出答案．【详解】解：（1）如下图所示：（2）连接PC如下图所示：由题易知CΔAPC=AP+PC+AC，并且由（1）知PB=PC所以CΔAPC=AP+PB+AC=AB+AC=6+4=10【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．（2020·江苏镇江·八年级期中）（1）请在下图中画出两个以AB为腰的等腰△ABC．（要求：1.锐角三角形，直角三角形各画一个；2.点C在格点上．）（2）如图所示，OD和EF是两条互相垂直的道路，A、B是某公司的两个销售点，公司要在C处修建一个货运站，使C到两条道路的距离相等，且到A．B两个销售点的距离相等，请作出点C的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形、直角三角形、锐角三角形的特点和网格特点，再根据勾股定理画出即可．（2）作∠DOE和∠DOF的角平分线，然后作线段AB的垂直平分线，与角平分线的交点为点C的位置，即可得到图形.【详解】（1）解：如图所示即为所求，          （2）解：如图，C1、C2点即为所求：【点睛】本题考查了复杂作图，作垂直平分线，作角平分线，以及在网格中作等腰三角形等知识，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确的作出图形.