2023-2024学年吉林省通化市梅河口五中高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年吉林省通化市梅河口五中高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|lg2x<1}，B={y|y=2x}，则( )
A. A∩B=⌀B. A∩B=AC. A∪B=RD. A∪B=A
2.若命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,−2)∪(2,+∞)B. (−∞,−2]
C. [2,+∞)D. (−∞,−2]∪[2,+∞)
3.“x<1”是“x2−4x+3>0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知θ为第二或第四象限角，则下列正确的是( )
A. sinθtanθ<0B. csθtanθ<0C. sinθtanθ>0D. sinθcsθ<0
5.已知函数y=ax+4+2(a>0,且a>1)的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则sinα=( )
A. 35B. −35C. 45D. −45
6.若角α的终边经过点P(1, 3)，则cs(−α)的值为( )
A. 32B. 12C. − 32D. −12
7.函数y=1lg2(x−2)的定义域为( )
A. (−∞,2)B. (2,+∞)C. (2,3)∪(3,+∞)D. (2,4)∪(4,+∞)
8.已知函数f(x)=3−x,x≤03x,x>0，则f(f(−1))=( )
A. 4B. 13C. 81D. 83
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知sinα−csα=15，且α为锐角，则下列选项中正确的是
A. sinαcsα=1225B. sinα+csα=75
C. α∈0,π4D. tanα=43
10.已知定义域为I的偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且∃x0∈I，使f(x0)<0，则下列函数中符合上述条件的是( )
A. f(x)=x2+|x|−3B. f(x)=2x−2−x
C. f(x)=lg2|x|D. f(x)=x23
11.已知 3sin(π+θ)=sin(2021π2−θ)，θ∈(0,2π)，则θ可能等于( )
A. 2π3B. 5π6C. 5π3D. 11π6
12.如图，某池塘里浮萍的面积y(单位m2)与时间t(单位：月)的关系为y=at，下列说法正确的是( )
A. 浮萍每月的增长率均相等
B. 第5个月时，浮萍面积就会超过30m2
C. 浮萍从4m2蔓延到12m2需经过1.5个月
D. 若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1+t2=t3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.cs5π6=______.
14.计算9lg642+(1681)−14−eln2=______.
15.建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的种艺术形式传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知AD=1m，弧AB=π3m，弧CD=2π3m，则此扇环形砖雕的面积为______m2.
16.由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主、自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是______年.参考数据：lg1.09≈0.0374，lg2≈0.3010，lg3≈0.4771.
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
求值：
(1)532+823+(12)0+(49)−12；
(2)lg354−lg32+lg23⋅lg34.
18.(本小题12分)
已知不等式ax2−3x+b>4的解集为{x|x<1或x>2}.
(1)求a、b的值；
(2)解不等式ax2−(ac+2)x+2c<0.
19.(本小题12分)
已知sinα+csα=−15.
(1)求sin(π2+α)⋅cs(π2−α)的值；
(2)若π2<α<π，且角β终边经过点P(−3, 7)，求1sin(π−α)+1cs(π+α)+2cs(−β−2π)的值．
20.(本小题12分)
已知e是自然对数的底数，f(x)=ex+1ex.
(1)判断函数f(x)在[0,+∞)上的单调性并证明；
(2)解不等式f(2x)≥f(x+1).
21.(本小题12分)
某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：小时)变化的关系如下：当0≤x≤4时，y=168−x−1；当4(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据： 2取1.4)
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg(100x+1)−kx是偶函数．
(1)求实数k的值；
(2)当x≥0时，函数g(x)=f(x)−x−a存在零点，求实数a的取值范围；
(3)设函数h(x)=lg(m⋅10x+2m)(m>0且m≠1)，若函数f(x)与h(x)的图像只有一个公共点，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意可得：A={x|lg2x<1}={x|00}，
可知A⊆B，所以A∩B=A，A∪B=B.
故选：B.
根据指、对数函数求集合A，B，可知A⊆B，进而逐项分析判断．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题的定义，以及一元二次不等式的恒成立问题，属于基础题．
根据题意可得Δ>0，即可求出a的取值范围．
【解答】
解：∵∀x∈R，x2+ax+1≥0是假命题，
∴Δ=a2−4>0
∴a>2或a<−2，
∴实数a的取值范围为(−∞,−2)∪(2,+∞)，
故选：A.
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
先解一元二次不等式，然后根据集合的包含关系可得．
【解答】
解：解不等式x2−4x+3>0得x>3或x<1，
记A=(−∞,1)∪(3,+∞)，B=(−∞,1)，
因为B⫋A，
所以“x<1”是“x2−4x+3>0”的充分不必要条件．
故选：A.
4.【答案】D
【解析】解：A 选项，sinθtanθ=sin2θcsθ，
因在第二象限sinθ>0，csθ<0，第四象限csθ>0，故A错误；
B选项，csθtanθ=sinθ，
因在第二象限sinθ>0，第四象限sinθ<0，故B错误；
C选项，sinθtanθ=csθ，
因在第二象限csθ<0，第四象限csθ>0，故C错误；
D选项，注意到第二象限csθ<0，sinθ>0，第四象限csθ>0，sinθ<0，
则sinθcsθ<0，故D正确．
故选：D.
由同角三角函数关系结合第二，第四象限三角函数符号可得答案．
本题主要考查了三角函数定义在三角函数值符号判断中的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由x+4=0得x=−4，此时y=a0+2=1+2=3，即定点P(−4,3)，
则|OP|=5，则sinα=35，
故选：A.
根据指数函数的性质求出定点坐标，利用三角函数的定义进行计算即可．
本题主要考查三角函数定义的应用，根据指数函数过定点的性质求出定点坐标是解决本题的关键，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：∵α终边过点P(1, 3)，
∴csα=1 1+3=12，
∴cs(−α)=csα=12.
故选：B.
根据任意角三角函数定义可求得csα，结合诱导公式可求得结果．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：要使原函数有意义，则x−2>0lg2(x−2)≠0，
解得：23
所以原函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞).
故选：C.
根据“让解析式有意义”的原则，对数的真数大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可．
本题主要考查了函数的定义域及其求法，求定义域常用的方法就是根据“让解析式有意义”的原则，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=3−x,x≤03x,x>0，
则f(−1)=3−(−1)=4，f(f(−1))=f(4)=34=81.
故选：C.
根据函数解析式求得正确答案．
本题主要考查函数值的求解，属于基础题．
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
根据(sinα±csα)2=1±2sinαcsα，并结合α为锐角求解即可．
【解答】
解：因为sinα−csα=15，
所以2sinαcsα=2425，即sinαcsα=1225，故A正确，
所以(sinα+csα)2=1+2sinαcsα=4925，
因为a为锐角，所以sinα+csα=75，故B正确，
所以sinα=45，csα=35，
所以tanα=43>1，故D正确，
所以α∈(π4,π2)，故C错误．
故选：ABD.
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
由函数的奇偶性和单调性的定义、特殊值的符号可得结论．
【解答】
解：f(x)=x2+|x|−3为偶函数，
在x∈(0,+∞)时，f(x)=x2+x−3单调递增，f(1)=1+1−3=−1<0，故A符合题意；
f(x)=2x−2−x为奇函数，故B不符合题意；
f(x)=lg2|x|为偶函数，在(0,+∞)上单调递增，且f(12)=−1<0，故C符合题意；
f(x)=x 23即f(x)=3x2∈[0,+∞),故D不符合题意．
故选：AC.
11.【答案】BD
【解析】【分析】
本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．
由题意，利用诱导公式，求得tanθ，可得θ的值．
【解答】
解：∵ 3sin(π+θ)=sin(2021π2−θ)，θ∈(0,2π)，
∴− 3sinθ=csθ，即tanθ=− 33，∴θ=5π6，或θ=11π6，
故选：BD.
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查了指数函数的图象和性质，考查学生的读图视图能力，考查运算求解能力，是基础题．
先利用特殊点求出函数解析式为y=2t，再利用指数函数的性质即可判断出正误．
【解答】
解：由图象可知，函数过点(1,2)，
∴2=a1，即a=2，
∴函数解析式为y=2t，
∴浮萍每月的增长率为：2t+1−2t2t=1，故选项A正确；
当t=5时，y=25=32>30，故选项B正确；
当y=4时，t=2，当y=12时，由2t=12，得t=lg212=2+lg23，
∵2+lg23−2=lg23=lg2 9>lg2 8=lg2232，故C错误；
由2=2t1，3=2t2，6=2t3，
得t1=1，t2=lg23，t3=lg26，
又∵1+lg23=lg22+lg23=lg22×3=lg26，
∴若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1+t2=t3成立，故D正确．
故选：ABD.
13.【答案】− 32
【解析】解：cs5π6=cs(π−π6)=−csπ6=− 32，
故答案为：− 32.
由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．
本题主要考查应用诱导公式进行化简和求值，属于基础题．
14.【答案】1
【解析】解：9lg642+(1681)−14−eln2=96lg22+(23)4×(−14)−2=32+(23)−1−2=3−2=1.
故答案为：1.
应用指对数运算性质化简求值即可．
本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题．
15.【答案】π2
【解析】解：弧CD是弧AB的2倍，则OD=2OA，即OA=1m，OD=2m，∠AOB=π3，
此扇环形砖雕的面积为S=12×π3×(22−12)=π2m2.
由两个弧长，求半径和圆心角，再利用扇形面积公式求解．
本题考查了扇形的面积公式，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】2026
【解析】解：设还需要n年，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，
根据题意可得120(1+9%)n>200，
故nlg1.09>lg53，所以n>lg5−lg3lg1.09，解得n>5.9，
所以还需要6年，即2026年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元．
故答案为：2026.
根据题意列不等式，即可根据对数的性质求解．
本题考查了函数的实际应用，属于基础题．
17.【答案】解：(1)原式=2+4+1+32=172，
(2)原式=lg3542+lg24=5
【解析】由已知结合指数与对数的运算性质进行求解即可．
本题主要考查了指数与对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．
18.【答案】解：(1)因为不等式ax2−3x+b>4的解集为{x|x<1或x>2}，
所以x=1或x=2是方程ax2−3x+b−4=0的根，
根据韦达定理有1+2=3a，1×2=b−4a，解得a=1，b=6.
(2)由(1)可知不等式化为x2−(c+2)x+2c<0，即(x−c)(x−2)<0，
当c>2时，不等式的解集为{x|2当c=2时，不等式的解集为⌀，
当c<2时，不等式的解集为{x|c【解析】(1)不等式ax2−3x+b>4的解集为{x|x<1或x>2}，则x=1或x=2是方程ax2−3x+b−4=0的根，由此可得a、b的值；(2)分类讨论即可．
本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为sinα+csα=−15，①两边平方，可得1+2sinαcsα=125，可得sinαcsα=−1225，
所以sin(π2+α)⋅cs(π2−α)=csαsinα=−1225.
(2)若π2<α<π，可得csα<0，sinα>0，
可得sinα−csα= 1−2sinαcsα= 1−(−2425)=75，②
所以由①②可得csα=−45，sinα=35，
又角β终边经过点P(−3, 7)，可得csβ=−3 (−3)2+( 7)2=−34，
1sin(π−α)+1cs(π+α)+2cs(−β−2π)=1sinα−1csα+2csβ=14.
【解析】(1)将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式即可求sinαcsα的值，进而利用诱导公式化简所求即可得解．
(2)结合范围π2<α<π，由已知可求sinα−csα=75，解得csα，sinα的值，利用任意角的三角函数的定义可求csβ，进而根据诱导公式化简所求即可得解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，任意角的三角函数的定义在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
20.【答案】解：(1)函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，
证明如下：
任取x1，x2∈[0,+∞),且x1则f(x1)−f(x2)=(ex1+1ex1)−(ex2+1ex2)
=(ex1−ex2)+(1ex1−1ex2)
=(ex1−ex2)(1−1ex1ex2)，
因为x1，x2∈[0,+∞),且x1所以ex2>ex1≥1，
所以ex1−ex2<0，ex1ex2>1，1−1ex1ex2>0，
故f(x1)−f(x2)<0，
即f(x1)所以f(x)在[0,+∞)上单调递增．
(2)函数f(x)=ex+1ex的定义域为R，且f(−x)=e−x+1e−x=ex+1ex=f(x)，
所以f(x)是偶函数，
又由(1)知f(x)在[0,+∞)上单调递增，
则f(x)在(−∞,0)上单调递减，
所以f(2x)≥f(x+1)⇔f(|2x|)≥f(|x+1|)⇔|2x|≥|x+1|，
两边平方可得3x2−2x−1≥0，
解得x≥1或x≤−13，
故不等式f(2x)≥f(x+1)的解集为{x|x⩾1或x⩽−13}.
【解析】(1)利用函数单调性的定义证明；
(2)首先证明函数是偶函数，将不等式转化为f(|2x|)≥f(|x+1|)，再结合函数的单调性解不等式．
本题考查了函数的性质，重点考查了导数的应用，属中档题．
21.【答案】解：(1)∵一次喷洒4个单位的净化剂，
∴浓度f(x)=4y=648−x−1,0≤x≤420−2x,4则当0≤x≤4时，由648−x−4≥4，
解得x≥0，此时0≤x≤4，
当4解得4综合得0≤x≤8，
∴若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时．
(2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x<10)时，
浓度g(x)=2(5−12x)+a[108−(x−6)−1]=(14−x)+16a14−x−a−4，
∵14−x∈(4,8],而1≤a≤4，
∴4 a∈[4,8]，
故当且仅当14−x=4 a时，g(x)有最小值为8 a−a−4，
令8 a−a−4≥4，
解得24−16 2≤a≤4，
∴a的最小值为24−16 2≈1.6.
【解析】(1)将给定的数值代入相应的公式即可；
(2)列出方程后，利用基本不等式求最小值即可．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)=lg(100x+1)−kx是R上的偶函数，
所以f(1)=f(−1)，即lg(100+1)−k=lg(100−1+1)+k
解得k=1，经检验：当k=1时，满足题意．
(2)因为k=1，所以f(x)=lg(100x+1)−x
因为x≥0时，g(x)=lg(100x+1)−2x−a存在零点，
即关于x的方程a=lg(100x+1)−2x有解，
令φ(x)=lg(100x+1)−2x，则φ(x)=lg100x+1100x=lg(1+1100x)
因为x≥0，所以1+1100x∈(1,2],所以φ(x)∈(0,lg2],
所以，实数a的取值范围是(0,lg2].
(3)因为函数f(x)与h(x)的图像只有一个公共点，
所以关于x的方程lg(m⋅10x+2m)=lg(100x+1)−x有且只有一个解，
所以m⋅10x+2m=10x+10−x
令t=10x(t>0)，得(m−1)t2+2mt−1=0…(*)，
记p(t)=(m−1)t2+2mt−1，
①当m>1时，函数p(t)图像开口向上，又因为图像恒过点(0,−1)，方程(*)有一正一负两实根，所以m>1符合题意；
②当00，所以只需Δ=(−2m)2+4(m−1)=0，
解得m=−1+ 52，
方程(*)有两个相等的正实根，所以m=−1+ 52满足题意．
综上，m的取值范围是{m|m>1}∪{−1+ 52}.
【解析】本题考查了函数的奇偶性、函数的零点与方程的根、函数图象的交点与方程的根的相互转化，属难度较大的题型．
(1)由函数的奇偶性得：f(x)=f(−x)恒成立，即可求解k值；
(2)由函数的零点与方程的根得：当x≥0时，g(x)=f(x)−x−a存在零点，即a=lg(100x+1)−2x在x∈[0,+∞)有解，构造函数求值域即可；
(3)函数图象的交点与方程的根的相互转化得：函数f(x)与h(x)的图象只有一个公共点，等价于关于x的方程lg(m⋅10x+2m)=lg(100x+1)−x只有一个解，讨论(m−1)t2+2mt−1=0的正根即可．