2023-2024学年天津市河东区高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年天津市河东区高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若角θ的终边上有一点(0,−1)，则tanθ的值是( )
A. −1B. 0C. 1D. 不存在
2.已知sinα−2csα3sinα+5csα=−5，那么tanα的值为( )
A. −2B. 2C. 2316D. −2316
3.f(x)=−sinx−xcsx+x2在[−π,π]的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.函数f(x)=lnx+2x−6的零点所在的区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
5.已知函数f(x)=x−e−x的部分函数值如表所示：
那么函数f(x)的一个零点的近似值(精确度为0.1)为( )
A. 0.55B. 0.57C. 0.65D. 0.7
6.将函数y=sin(x−π3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是( )
A. y=sin12xB. y=sin(12x−π2)C. y=sin(12x−π6)D. y=sin(2x−π6)
7.某市共享电动车2017年投放量为400万辆，根据前期市场调研，为满足市场需求，以后每一年的投放量都比上一年提高20%，那么该市到哪一年共享电动车的投放量才能达到1200万辆(参考数据：lg1.2≈0.08，lg3≈0.48)( )
A. 2022年B. 2023年C. 2024年D. 2025年
8.已知函数f(x)=|ax−1|,x≤1(a−2)(x−1),x>1，其中a>0且a≠1.若关于x的方程f(x)=a−2的解集有3个元素，则a的取值范围为( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (2,+∞)
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
9.cs120∘=______.
10.函数f(x)= 4−x+lg(x−1)+(x−3)0的定义域为______.
11.已知tan(α+β)=25，tan(β−π4)=14，那么tan(α+π4)的值是______.
12.已知函数f(x)=lgax+b(a>0,a≠1)的定义域、值域都是[1,2]，则a+b=______.
13.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，y=f(x)的部分图象如图，则f(π24)=______.
14.已知函数f(x)=sin(π2x)−1,x < 0lgax(a > 0,a≠1),x > 0的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是__________.
三、解答题：本题共5小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
已知sinθ=35，θ是第二象限角，求：
(1)csθ的值；
(2)cs(2θ−π3)的值
16.(本小题8分)
(1)若lg513⋅lg36⋅lg6x=2，求x的值；
(2)计算：0.2512×(−1 2)4+12lg25+lg2−lg29×lg32.
17.(本小题8分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若x∈(−π18,5π18)，求f(x)的取值范围.
18.(本小题10分)
设函数f(x)=4csxsin(x−π3)+ 3，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调增区间；
(2)已知函数y=f(x)的图象与直线y=1有交点，求相邻两个交点间的最短距离.
19.(本小题10分)
函数f(x)=|1−lgx|−c，其中c∈R.
(Ⅰ)若c=0，求f(x)的零点；
(Ⅱ)若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：若角θ的终边上有一点(0,−1)，则tanθ的值不存在．
故选：D.
由已知结合三角函数定义即可判断．
本题主要考查了三角函数定义的应用，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系.
已知条件给的是三角分式形式，且分子和分母都含正弦和余弦的一次式，因此，分子和分母都除以角的余弦，变为含正切的等式，解方程求出正切值．
【解答】
解：由题意可知：csα≠0，分子分母同除以csα，
得tanα−23tanα+5=−5，
∴tanα=−2316.
故选：D.
3.【答案】C
【解析】解：由f(−x)=−sin(−x)+xcsx+x2=−−sinx−xcsx+x2=−f(x)，
所以f(x)为奇函数，故排除选项A.
又f(π)=−sinπ−πcsπ+π2=−ππ2−1<0，则排除选项B，D.
故选：C.
先由函数为奇函数可排除A，再通过特殊值排除B、D即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性，对称性以及取特殊值进行排除即可，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=lnx+2x−6在(0,+∞)上单调递增，
∵f(2)=ln2−2<0，f(3)=ln3>0，
∴函数f(x)=lnx+2x−6的零点所在的区间是(2,3).
故选：C.
判断函数的单调性，由f(2)<0，f(3)>0，结合函数零点判定定理得答案．
本题考查函数零点判定定理的应用，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：根据题干所给数据可知，函数f(x)的零点在区间(0.5625,0.625)内，
结合选项可知，其近似值为0.57.
故选：B.
结合题干数据以及零点存在性定理即可得解．
本题考查零点存在性定理的运用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．
【解答】
解：将函数y=sin(x−π3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得y=sin(x2−π3)的图象；
再将所得的图象向右平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为y=sin(x2−π6−π3)=sin(12x−π2)，
故选：B.
7.【答案】B
【解析】解：设产量首次超过800万辆的年份为x，则400×(1+20%)x−2017>1200，
即lg400+(x−2017)lg1.2>lg1200，
x−2017>lg1200400lg1.2=lg3lg1.2≈，
所以x=2023.
故选：B.
由题意确定函数模型，再根据指数与对数运算解不等式．
本题主要考查函数的实际应用，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：当a=2时，，则f(x)=0有无数解，不合题意；
当0当a>2时，作出函数的大致图象，
要使关于x的方程f(x)=a−2的解集有3个元素，
则0所以a的取值范围为(2,3).
故选：C.
由题可得当a=2，02时，利用数形结合可得，进而即得．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，分段函数的应用，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】−12
【解析】解：cs120∘=−cs60∘=−12.
故答案为：−12.
直接利用有时间的三角函数求解即可．
本题考查三角函数的值的求法，诱导公式的应用，是基础题．
10.【答案】(1,3)∪(3,4]
【解析】解：对于函数f(x)= 4−x+lg(x−1)+(x−3)0，
应有4−x≥0x−1>0x−3≠0，求得1故函数的定义域为(1,3)∪(3,4].
故答案为：(1,3)∪(3,4].
由题意，利用偶次根式、对数、幂的性质，求出函数的定义域．
本题主要考查偶次根式、对数、幂的性质，求函数的定义域，属于基础题．
11.【答案】322
【解析】解：∵tan(α+β)=25，tan(β−π4)=14，
∴tan(α+π4)=tan[(α+β)−(β−π4)]=tan(α+β)−tan(β−π4)1+tan(α+β)tan(β−π4)
=25−141+25×14=322.
故答案为：322.
变形α+π4=(α+β)−(β−π4)，利用两角和差的正切公式即可得出．
本题考查了拆分角、两角和差的正切公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.【答案】52或3
【解析】【分析】
本题考查对数函数的性质以及分类讨论的思想方法．分类讨论函数的单调性是正确解决本题关键．属于易错题．
分类讨论a的取值范围，得到函数单调性，代入数据即可求解．
【解答】
解：当0由题意有f(1)=b=2f(2)=lga2+b=1解得：a=12，b=2，符合题意，此时a+b=52；
当a>1时，易知函数为增函数，由题意有f(1)=b=1f(2)=lga2+b=2，
解得：a=2，b=1，符合题意，此时a+b=3.
综上可得：a+b的值为52或3.
故答案为52或3.
13.【答案】 3
【解析】解：由题意可知T=π2，所以ω=2，
函数的解析式为：f(x)=Atan(ωx+φ)，因为函数过(3π8,0)所以0=Atan(3π4+φ)所以φ=π4，
图象经过(0,1)，所以，1=Atanπ4，所以A=1，所以f(x)=tan(2x+π4)则f(π24)=tan(π12+π4)= 3
故答案为： 3
根据函数的图象，求出函数的周期，然后求出ω，确定A的值，根据(3π8,0)求出φ的值，图象经过(0.1)确定A的值，求出函数的解析式，然后求出f(π24)即可．
本题是基础题，考查正切函数的图象的求法，确定函数的解析式的方法，求出函数值，考查计算能力．
14.【答案】0【解析】【分析】
本题主要考查分段函数的应用，作出函数关于y对称的图象，利用数形结合的思想是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
求出函数f(x)=sin(π2x)−1，(x<0)关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论．
【解答】
解：若x>0，则−x<0，
∵x<0时，f(x)=sin(π2x)−1，
∴f(−x)=sin(−π2x)−1=−sin(π2x)−1，
则若f(x)=sin(π2x)−1，(x<0)关于y轴对称，
即y=−sin(π2x)−1，x>0，
设g(x)=−sin(π2x)−1，x>0，
作出函数g(x)的图象，要使y=−sin(π2x)−1，x>0与f(x)=lgax，x>0的图象至少有3个交点，
则0即−2即lga5>lgaa−2，
则5<1a2，
解得0故答案为：015.【答案】解：(1)∵sinθ=35，且θ是第二象限角，
∴csθ=− 1−sin2θ=− 1−(35)2=−45，
(2)sin2θ=2sinθcsθ=2×35×(−45)=−2425，
cs2θ=2cs2θ−1=2×1625−1=725，
∴cs(2θ−π3)=cs2θcsπ3+sin2θsinπ3=7−24 350.
【解析】(1)依题意，利用同角三角函数间的关系式可求得csθ的值；
(2)由(1)中sinθ=35，csθ=−45可求得sin2θ与cs2θ的值，再利用两角差的余弦计算可得cs(2θ−π3)的值．
本题考查同角三角函数间的关系式及两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
16.【答案】解：(1)lg513⋅lg36⋅lg6x=2，
则−lg53⋅lg36⋅lg6x=2，即−lg3lg5×lg6lg3×lgxlg6=2，即−lg5x=2，解得x=125；
(2)原式=0.5×14+lg5+lg2−2lg23×lg32=18+lg10−2=18+1−2=−78.
【解析】(1)根据已知条件，结合对数的运算法则，即可求解；
(2)根据已知条件，结合对数、指数的运算法则，即可求解．
本题主要考查对数的运算法则，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象知，
T2=5π9−2π9=π3，所以T=2π3，所以ω=2πT=3，
又因为f(2π9)=Asin(3×2π9+φ)=Asin(2π3+φ)=0，
所以2π3+φ=π+2kπ，k∈Z，解得φ=π3+2kπ，k∈Z，
又因为|φ|<π2，所以φ=π3，
所以f(π6)=Asin(π2+π3)=12A=2，解得A=4，
所以f(x)=4sin(3x+π3)；
(2)因为x∈(−π18,5π18)，所以3x+π3∈(π6,7π6)，
所以sin(3x+π3)∈(−12,1],
所以f(x)=4sin(3x+π3)∈(−2,4],
即f(x)的取值范围是(−2,4].
【解析】(1)由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象求出T和ω、φ与A的值，即可写出f(x)的解析式；
(2)求出x∈(−π18,5π18)时sin(3x+π3)的取值范围，即可得出f(x)的取值范围．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题．
18.【答案】解：(1)由题意得f(x)=4csxsin(x−π3)+ 3=4csx(sinxcsπ3−csxsinπ3)+ 3
=2sinxcsx−2 3cs2x+ 3=sin2x− 3cs2x
=2sin(2x−π3)，
令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ,k∈Z，
即得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z，
故函数f(x)的单调增区间为[−π12+kπ,5π12+kπ],k∈Z；
(2)由题意得2sin(2x−π3)=1，即得sin(2x−π3)=12，
故2x−π3=π6+2kπ，k∈Z或2x−π3=5π6+2kπ，k∈Z，
则x=π4+kπ，k∈Z或x=7π12+kπ，k∈Z，
故相邻两个交点间的最短距离为7π12−π4=π3.
【解析】(1)利用两角和的正弦公式以及二倍角公式以及辅助角公式化简f(x)，再结合正弦函数的单调性，解不等式，即可求得答案；
(2)由题意可得2sin(2x−π2)=1，解三角方程，即可求得答案．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)当c=0时，令f(x)=|1−lgx|=0，解得x=10，
所以函数f(x)的零点为x=10；
(Ⅱ)结合已知条件得，f(x)=1−lgx−c,010，
当c>0时，f(x)有两个零点x1，x2(x1则1−lgx1=lgx2−1=c，所以x1=101−c，x2=101+c，
所以4x1+x2=4×101−c+101+c=4010c+10×10c≥2 4010c×10×10c=40，(当且仅当4010c=10×10c，即c=lg2时取等号)，
所以4x1+x2∈[40,+∞).
【解析】本题考查函数零点的概念以及基本不等式在求函数值域中的应用，属于综合题．
(Ⅰ)利用对数的运算性质和绝对值的概念，直接解方程即可；
(Ⅱ)将两个零点都用c来表示，然后进一步化简即可．x
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
f(x)
0.6321
−0.1065
0.2776
0.0897
−0.007