2023-2024学年江苏省盐城市阜宁县高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2023-2024学年江苏省盐城市阜宁县高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x>1}，B={x|−1A. (−1,3)B. (1,3)C. (−1,+∞)D. (1,+∞)
2.已知扇形的半径为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
3.若a，b∈R，则“aA. 充要条件B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件
4.已知角α的终边过点M(x,−1)(x<0)，且csα= 33x，则x=( )
A. − 3B. − 22C. − 2D. − 33
5.函数f(x)=ex+4x−3的零点所在的大致区间是( )
A. (−14,0)B. (0,14)C. (14,12)D. (12,34)
6.已知sin(π3−x)=35，则cs(x+7π6)等于( )
A. 35B. 45C. −35D. −45
7.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x−1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，若a=f(32)，b=f(0.5−3)，c=f(0.76)，则a，b，c的大小关系是( )
A. a>b>cB. a>c>bC. b>a>cD. c>b>a
8.取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n的最大值为( )
(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)
A. 6B. 7C. 8D. 9
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知a>0，b>0，且a+b=4，则下列结论正确的是( )
A. ab≤4B. 1a+1b≥1C. 2a+2b≥16D. a2+b2>8
10.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则结论正确的是( )
A. ω=π
B. f(0)= 22
C. 当x∈[−1,0]时，f(x)的值域为[− 22, 22]
D. f(x)在[74,94]上单调递减
11.有如下命题，其中真命题的选项为( )
A. 若幂函数y=f(x)的图象过点(2,12)，则f(3)>12
B. 函数f(x)=ax−1+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(1,2)
C. 函数f(x)=x2−1−lg12x有两个零点
D. 若函数f(x)=x2−2x+4在区间[0,m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是[1,2]
12.若函数f(x)满足：在定义域D内存在实数x0，使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立，则称函数f(x)为“1阶马格丁香小花花”函数.给出下列4个函数，其中是“1阶马格丁香小花花”函数的有( )
A. f(x)=1xB. f(x)=ex
C. f(x)=lg(x2+2)D. f(x)=csπx
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知sinα+csα=15，若α是第二象限角，则sinα−csα的值为______.
14.已知函数f(x)=ax3+bx−8，若f(−2)=10，则f(2)=______.
15.若sinα=m+1m+2，csα=mm+2，则tanα=______.
16.已知函数f(x)=x2−2+aln(|x|+e)(e是自然对数的底数)有唯一零点，则a=______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知tanα=2，
(1)求值：sin(π2−α)+sin(π+α)cs(−α)+sin(π−α)；
(2)求值：sinαcsα+2sin2α.
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(2x+φ)(−π<φ<0)，直线x=π8是其图象的一条对称轴.
(1)求φ的值；
(2)用五点作图法列表画出函数y=f(x)的草图，并写出函数在[0,π]上的单调减区间.
19.(本小题12分)
某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W(单位：千克)与施用肥料x(单位：千克)满足如下关系：W(x)=5(x2+3),0≤x≤250−50x+1,2(1)求f(x)函数关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin(2x+π6)+a+1，且当x∈[0,π2]时f(x)的最小值为2.
(1)求a的值；
(2)先将函数y=f(x)的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将所得的图象向右平移π12个单位，得到函数y=g(x)的图象，求方程g(x)=4在区间[0,π2]上所有根之和.
21.(本小题12分)
若函数f(x)满足f(lgax)=aa2−1⋅(x−1x)(其中a>0且a≠1).
(1)求函数f(x)的解析式，并判断其奇偶性和单调性；
(2)当x∈(−∞,2)时，f(x)−4的值恒为负数，求a的取值范围.
22.(本小题12分)
对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(−x)=2−f(x)，则称“局部中心函数”．
(1)已知二次函数f(x)=ax2+2x−4a+1(a∈R)，试判断f(x)是否为“局部中心函数”，并说明理由；
(2)若f(x)=4x−m⋅2x+1+m2−3是定义域为R上的“局部中心函数”，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据交集的概念可得，A∩B={x|x>1}∩{x|−1故选：B.
根据交集的概念，求解即可得出答案．
本题考查了交集及其运算，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：由已知可得，扇形的半径R=2，圆心角的弧度数α=2，
所以扇形的弧长为l=αR=4，
扇形的周长为l+2R=αR+2R=8.
故选：D.
先求出扇形的弧长，进而即可得出答案．先求出扇形的弧长，进而即可得出答案．
本题主要考查了扇形的弧长公式的应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：当a当lna所以“a故选：D.
根据对数的性质以及充分，必要条件的定义即可求解．
本题考查了充分，必要条件的定义，考查了学生的运算能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由于角α的终边过点M(x,−1)(x<0)，
所以csα=x x2+1= 3x3，解得x=− 2.
故选：C.
直接利用三角函数的定义建立方程组，进一步求出x的值．
本题考查的知识要点：三角函数的的定义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：∵函数f(x)=ex+4x−3在R上是增函数，
求解：f(0)=1−3=−2<0，f(12)= e−1>0，f(14)=4e−2=4e−416<0，f(1)=e+4−3=e+1>0，
∴根据零点存在定理，可得函数f(x)=2x+3x−4的零点所在的大致区间是(14,12)
故选：C.
确定f(0)=1−3=−2<0，f(12)= e−1>0，f(14)=4e−2=4e−416<0，f(1)=e+4−3=e+1>0，根据零点存在定理，可得结论．
本题考查零点存在定理，考查学生的计算能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的化简和求值，利用换元法进行转化，结合三角函数的诱导公式是解决本题的关键．
利用换元法设π3−x=θ，则x=π3−θ，然后利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可．
【解答】
解：设π3−x=θ，则x=π3−θ，则sinθ=35，
则cs(x+7π6)=cs(π3−θ+7π6)=cs(3π2−θ)=−cs(π2−θ)=−sinθ=−35，
故选：C.
7.【答案】B
【解析】解：函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x−1)，
可得f(x+2)=f(x)，且f(−x)=f(x)，
则f(x)的最小正周期为2，且f(x)的图象关于x=0和x=1对称，
当x∈[0,1]时，f(x)=2x−1为增函数，
可得a=f(32)=f(12)，
b=f(0.5−3)=f(8)=f(0)，
由于0.76=0.493<0.53<0.5，
即有0<0.76<0.5，
可得f(0)则a>c>b，
故选：B.
由偶函数的定义和周期函数的定义可得f(x)的最小正周期为2，且f(x)的图象关于x=0和x=1对称，再由指数函数的单调性，可得所求结论．
本题考查函数的奇偶性和单调性、周期性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：第一次操作去掉的线段长度为13，
第二次操作去掉的线段长度之和为23×13，
第三次操作去掉的线段长度之和为23×23×13，
……，
第n次操作去掉的线段长度之和为(23)n−1⋅13，由题意可知，(23)n−1⋅13≥160，
则(23)n≥130，
则nlg23≥−lg30=−1−lg3，
所以n(lg2−lg3)≥−1−lg3，
即n≤1+lg3lg3−lg2，
又lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，
代入上式，可得n≤8，
故选：C.
可分析得到第n次操作去掉的线段长度之和为(23)n−1⋅13，即(23)n−1⋅13≥160，解指数不等式，利用lg2≈0.3010，lg3≈0.4771估计即可．
本题考查数列的应用、指数不等式的求解，考查学生的归纳推理能力和计算能力，属中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：∵a>0，b>0，且a+b=4，
∴ab≤(a+b2)2=4，(当且仅当a=b=2时，等号成立)，
故A正确；
1a+1b=14(1a+1b)(a+b)
=14(ab+ba+2)≥14×4=1，
(当且仅当ab=ba，即a=b=2时，等号成立)，
故B正确；
2a+2b≥2 2a2b=2 24=8，
(当且仅当2a=2b，即a=b=2时，等号成立)，
故C错误；
a2+b2≥2×(a+b2)2=8，
(当且仅当a=b=2时，等号成立)，
故D错误；
故选：AB.
由基本不等式及其转化可直接判断选项ACD，化简1a+1b=14(1a+1b)(a+b)=14(ab+ba+2)，从而判断选项B.
本题考查了基本不等式及其变形的应用，考查了转化思想与整体思想的应用，是中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由图知12T=πω=54−14=1，
解得ω=π，故A正确；
对于B，由“五点作图法”知14ω+φ=π4+φ=π，故φ=3π4；
所以f(x)=sin(πx+3π4)，
所以f(0)=sin(π×0+3π4)= 22，故B正确；
对于C，当x∈[−1,0]时，πx+3π4∈[−π4,3π4]⇒sin(πx+3π4)∈[− 22,1]，
即f(x)的值域为[− 22,1]，故C错误；
对于D，当x∈[74,94]时，πx+3π4∈[5π2,3π]，则y=sint在[5π2,3π]上单调递减，
所以f(x)在[74,94]上单调递减，故D正确，
故选：ABD.
利用y=Asin(ωx+φ)的部分图象可确定其解析式，继而对ABCD四个选项逐一分析可得答案．
本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的性质及其应用，考查识图能力与运算能力，属于中档题．
11.【答案】BD
【解析】【分析】
根据幂函数的定义判断选项A，由指数函数的性质判断选项B，由函数的单调性以及零点存在性定理的应用判断选项C，由二次函数的图象和性质判断选项D.
本题考查命题的真假判断及其应用，函数的性质等，属于中档题．
【解答】
解：设幂函数y=f(x)=xa，将(2,12)代入，解得a=−1，
则f(x)=x−1，f(3)=13>12不成立，A错误；
函数f(x)=ax−1+1(a>0,且a≠1)中，令x=1，则函数图象恒过定点(1,2)，B正确；
函数f(x)=x2−1−lg12x在(0,+∞)上单调递增，且f(1)=0，故只有一个零点，C错误；
函数f(x)=x2−2x+4的对称轴为x=1，此时取得函数最小值f(1)=3，又f(0)=f(2)=4，故m的取值范围是[1,2]，D正确；
故选：BD.
12.【答案】BD
【解析】【分析】
根据题意，依次分析选项中函数是否为“1阶马格丁香小花花”函数，综合即可得答案．
本题考查函数与方程的关系，涉及函数值的计算，关键是理解“1阶马格丁香小花花”的定义．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，对于f(x)=1x，若f(x)=1x是“1阶马格丁香小花花”函数，
则1x+1=1x+1有解，变形可得x2+x+1=0，
而该方程无实数解，故f(x)不是“1阶马格丁香小花花”函数，
对于B，对于f(x)=ex，其定义域为R，若f(x)是“1阶马格丁香小花花”函数，
则方程ex+1=ex+e有解，
变形可得(e−1)ex=e，解可得x=lnee−1，函数f(x)=ex是“1阶马格丁香小花花”函数；
对于C，f(x)=lg(x2+2)，若存在x，使f(x+1)=f(x)+f(1)，
则lg[(x+1)2+2]=lg(x2+2)+lg3，即2x2−2x+3=0，
而△=4−24=−20<0，故方程无解．
故f(x)=lg(x2+2)不是“1阶马格丁香小花花”函数；
对于D，f(x)=csπx，存在x=13，有f(13+1)=f(13)+f(1)成立，
故f(x)=csπx是“1阶马格丁香小花花”函数，
故选：BD.
13.【答案】75
【解析】解：(sinα+csα)2=sin2α+cs2α+2sinαcsα=1+2sinαcsα=125，
所以2sinαcsα=−2425，
所以(sinα−csα)2=sin2α+cs2α−2sinαcsα=1−2sinαcsα=1+2425=4925，
所以sinα−csα=±75，
又因为α是第二象限角，
所以sinα>0，csα<0，
所以sinα−csα=75.
故答案为：75.
直接利用完全平方和平方关系求解．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的值的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
14.【答案】−26
【解析】解：∵f(x)=ax3+bx−8，
∴f(x)+f(−x)=−16，
又f(−2)=10，
∴f(2)=−26.
故答案为：−26.
由题意可得f(x)+f(−x)=−16，结合已知f(−2)=10，可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】0或43
【解析】解：由已知可得，sin2α+cs2α=1，
所以，(m+1m+2)2+(mm+2)2=2m2+2m+1m2+4m+4=1，
整理可得，m2−2m−3=0，解得m=−1或m=3，
当m=−1时，sinα=0，csα=−1，tanα=sinαcsα=0；
当m=3时，sinα=45，csα=35，tanα=sinαcsα=43，
综上所述，tanα=0或tanα=43.
故答案为：0或43.
根据sin2α+cs2α=1，代入整理求解得出m的值，进而得出sinα，csα的值，即可得出答案．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
16.【答案】2
【解析】解：因为f(−x)=(−x)2−2+aln(|−x|+e)=x2−2+aln(|x|+e)=f(x)，
所以f(x)为偶函数，
又函数f(x)为唯一零点，
所以零点为x=0，
所以02−2+aln(0+e)=0，
所以a=2.
故答案为：2.
根据函数为偶函数，可得零点为x=0，从而可求的a的值．
本题考查函数的零点，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由已知可得sin(π2−α)+sin(π+α)cs(−α)+sin(π−α)=csα−sinαcsα+sinα=1−tanα1+tanα，
因为tanα=2，
所以原式=1−21+2=−13；
(2)由已知可得sinαcsα+2sin2α=sinαcsα+2sin2αsin2α+cs2α=tanα+2tan2αtan2α+1，
因为tanα=2，
所以原式=2+84+1=2.
【解析】(1)先根据诱导公式化简，然后齐次式化简，代入tanα=2，即可得出答案；
(2)根据“1”的代换化简，然后齐次式化简，代入tanα=2，即可得出答案．
本题主要考查了诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18.【答案】解：(1)依题意，由2×π8+φ=π2+kπ，得φ=π4+kπ，k∈Z，
又−π<φ<0，
∴φ=−3π4；
(2)由(1)可得f(x)=sin(2x−3π4)，
列表如下：
描点，连线，可得函数y=f(x)的图象如下：
由函数图像可得函数在[0,π]上的单调减区间为[0,π8]，[5π8,π].
【解析】(1)由2×π8+φ=π2+kπ，结合−π<φ<0，化简即可可到φ的值；
(2)用五点作图法列表即可画出函数y=f(x)的草图，根据函数图象即可写出函数在[0,π]上的单调减区间．
本题考查了正弦型函数的图象与性质，考查了五点法作图，考查分析解决问题的能力和计算能力，作图能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为肥料成本投入为10x元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且W(x)=5(x2+3),0≤x≤250−50x+1,2所以f(x)=15W(x)−20x−10x=15W(x)−30x=15×5(x2+3)−30x,0≤x≤215×(50−50x+1)−30x,2即f(x)函数关系式为f(x)=75x2−30x+225,0≤x≤2750x1+x−30x,2(2)由(1)得f(x)=75x2−30x+225,0≤x≤2,750−7501+x−30x,2当0≤x≤2时，f(x)max=f(2)=465(元)；
当2因为465<480，所以当x=4时，f(x)max=480(元).
所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元
【解析】(1)利用f(x)=15×W(x)−30x，即可求解；
(2)对f(x)进行化简，得到=75(x−15)2+222,0≤x≤2,780−30[251+x+(1+x)],2本题考查了函数模型在实际问题中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由于x∈[0,π2]，所以2x+π6∈[π6,7π6]，
故2sin(2x+π6)∈[−1,2]，
故f(x)的最小值为−1+a+1=2，解得a=2.
(2)由于f(x)=2sin(2x+π6)+3的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将所得的图象向右平移π12个单位，得到函数y=g(x)=2sin(4x−π6)+3的图象，
由g(x)=4，整理得sin(4x−π6)=12，
故4x−π6=2kπ+π6或4x−π6=2kπ+5π6(k∈Z)，
故x=kπ2+π12或x=kπ2+π4，(k∈Z)，
由于x∈[0,π2]，故所有根之和为π12+π4=π3.
【解析】(1)直接利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最小值，最后求出a的值；
(2)利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出函数g(x)的关系式，最后求出函数的所有根的和．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)设t=lgax，则x=at，且t∈R
代入f(lgax)=aa2−1⋅(x−1x)得，
f(t)=aa2−1⋅(at−1at)=aa2−1⋅(at−a−t)，
所以f(x)=aa2−1⋅(ax−a−x)，x∈R，
因为f(−x)=aa2−1⋅(a−x−ax)=−f(x)，
所以函数f(x)是奇函数，
①当a>1时，aa2−1>0，且y=ax−a−x在R上是增函数，
所以函数f(x)在R上是增函数，
②当0所以函数f(x)在R上是增函数，
综上可得，函数f(x)在R上是增函数；
(2)由(1)可得，函数g(x)=f(x)−4在(−∞,2)上是增函数，
所以f(x)−4的值恒为负数，即f(2)−4≤0，
则aa2−1⋅(a2−a−2)≤4，
化简解得，a2−4a+1≤0，
解得2− 3≤a≤2+ 3，
所以a的取值范围是[2− 3,1)∪(1,2+ 3].
【解析】本题考查指数函数的单调性，函数奇偶性、单调性的判断，利用换元法求函数的解析式，以及恒成立问题的转化．
(1)设t=lgax，则x=at，代入解析式化简求出f(x)，由奇函数的定义判断出奇偶性，对a进行分类讨论，根据指数函数的单调性判断出f(x)的单调性；
(2)由判断出函数g(x)=f(x)−4在(−∞,2)上的单调性，由恒成立求出a的取值范围．
22.【答案】解：(1)f(x)+f(−x) =ax2+2x−4a+1+ax2−2x−4a+1
=2ax2−8a+2=2a(x−2)(x+2)+2.
∴当x=±2时，f(x)+f(−x)=2，
∴fx是“局部中心函数”.
(2)∵fx是R上“局部中心函数”，
∴4x−m⋅2x+1+m2−3+4−x−m⋅2−x+1+m2−3=2，
即(2x+2−x)2−2m(2x+2−x)+2m2−10=0有解.
令t=2x+2−x，则t≥2，则t2−2mt+2m2−10=0在t≥2时有解，
∴①当m≥2时，Δ≥0，则− 10≤m≤ 10，∴2≤m≤ 10；
②当m<2时，令g(t)=t2−2mt+2m2−10，
则m<2g2≤0，解得m<2−1≤m≤3，
∴−1≤m<2，
综上可得−1≤m≤ 10.
【解析】本题考查新定义问题，考查函数的对称性，代换法及二次函数的性质.
(1)根据新定义直接代入判断即可；
(2)问题转化为t2−2mt+2m2−10=0在t≥2时有解即可求解.x
0
π8
3π8
5π8
7π8
π
y
− 22
−1
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1
0
− 22