2023-2024学年河北省唐山市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年河北省唐山市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={0,1}，则A的子集的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.已知函数f(x)=lg3(−x),x<0,f(x−2),x≥0,则f(1)=( )
A. −1B. 0C. −2D. 1
3.设命题p：∀x∈(0,+∞)，lnx≤x−1，则¬p为( )
A. ∀x∈(0,+∞)，lnx>x−1B. ∃x0∈(0,+∞)，lnx0≤x0−1
C. ∀x∉(0,+∞)，lnx>x−1D. ∃x0∈(0,+∞)，lnx0>x0−1
4.已知α=944∘，则α是( )
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
5.设x∈R，则“csx=1”是“sinx=0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
6.已知a=lg20.3，b=0.213，c=312，则( )
A. b>a>cB. b>c>aC. c>a>bD. c>b>a
7.若函数f(x)= 3csx−sinx，则f(x)可以化简为( )
A. 2cs(x+π3)B. 2cs(x−π3)C. 2cs(x+π6)D. 2cs(x−π6)
8.若函数f(x)=(12)x−x，g(x)=lg13x−x，h(x)= x+0.1−x的零点分别为a，b，c，则( )
A. a>b>cB. c>a>bC. a>c>bD. c>b>a
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.非空集合M，N，P均为R的真子集，且M⫋N⫋P，则( )
A. M∪P=PB. N⫋(P∩M)C. ∁RP⫋∁RND. N∩∁RM=⌀
10.已知a>b>0，cA. 1a<1bB. 1c<1dC. b2>ab>a2D. c311.要得到y=cs(2x−π4)的图象，可以( )
A. 将曲线y=cs2x上所有的点向右平移π4个单位长度
B. 将曲线y=cs2x上所有的点向右平移π8个单位长度
C. 将曲线y=cs(x−π8)上所有的点横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变
D. 将曲线y=cs(x−π4)上所有的点横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变
12.已知定义在R上的函数f(x)同时满足以下三个条件：
①f(x)+f(−x)=0；②f(x)+f(1x)=0(x≠0)；③f(x)在区间(0,1]上单调递增，则下列关于f(x)的表述中，正确的是( )
A. f(1)=0B. f(x)恰有三个零点
C. f(x)在(−∞,−1]上单调递增D. f(x)存在最大值和最小值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.cs2π12−sin2π12=______.
14.若θ是钝角，tanθ=−2，则sinθ−csθ=______.
15.在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量v(单位：cm3/s)与管道半径r(单位：cm)的四次方成正比.已知气体在半径为3cm的管道中，流量为400cm3/s，则气体在半径为32cm的管道中，流量为______cm3/s.
16.在△ABC中，tanA=2tanB，AB边上的高等于13AB，则tanC=______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|2x>1}，B={x|x2<1}.
(1)求集合A∩B；
(2)若a∈A∩B，函数f(x)= lga(4x−3)，求函数f(x)的定义域.
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin(πx+φ)(0<φ<π2)的最小正周期为T，且f(2)= 3.
(1)求T及φ的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间.
19.(本小题12分)
已知定义在R上的函数f(x)为偶函数.当x≥0时，f(x)=−lg2(x+1).
(1)求f(−3)；
(2)求函数f(x)的解析式；
(3)若x∈[−3,1]，求函数f(x)的值域.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−(3a−1)x−a.
(1)若a=12，求不等式f(x)>0的解集；
(2)若函数f(x)的图象与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，求|x1−x2|的最小值.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex+1e2x+k.
(1)若k=−1，根据函数单调性的定义证明f(x)在(0,+∞)上单调递减；
(2)由奇函数的图象关于原点对称可以推广得到：函数f(x)的图象关于点P(a,b)中心对称的充要条件是f(x+a)+f(−x+a)=2b.据此证明：当k=−4时，函数f(x)的图象关于点P(ln2,−18)中心对称.
22.(本小题12分)
如图，已知直线l1//l2，A，C分别在直线l1，l2上，B是l1，l2之间的定点，点B到l1，l2的距离分别为1，2，AB⊥BC.设∠BAM=θ.
(1)用θ表示边AB，BC的长度；
(2)若△ABC为等腰三角形，求△ABC的面积；
(3)设l=AB+BC，问：是否存在θ，使得l=4？若存在，请求出tanθ的值；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵A有2个元素，
∴A的子集的个数为22=4.
故选：D.
根据子集个数的计算公式即可得出答案．
本题考查了子集个数的计算公式，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：f(1)=f(−1)=lg31=0.
故选：B.
将x的值依次代入解析式，即可求解．
本题主要考查函数值的求解，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查含有一个量词的命题的否定．是基本知识的考查．
全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【解答】
解：由全称命题的否定是特称命题．可知命题p：∀x∈(0,+∞)，lnx≤x−1，则¬p是：¬p：∃x0∈(0,+∞)，lnx0>x0−1.
故选：D.
4.【答案】C
【解析】解：α=944∘=360∘×2+224∘，则944∘与224∘终边相同，
180∘<224∘<270∘，224∘是第三象限角，
则944∘是第三象限角．
故选：C.
944∘=360∘×2+224∘，由此即可判断．
本题考查象限角的概念，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由csx=1，
又sin2x+cs2x=sin2x+1=1，
解得sinx=0，充分性成立，
若sinx=0，
又sin2x+cs2x=0+cs2x=1，
解得csx=±1，必要性不成立，
故“csx=1”是“sinx=0”的充分不必要条件．
故选：A.
由题意根据充分条件、必要条件的定义即可判断．
本题考查的知识点是充要条件，熟练掌握充要条件的定义是解答的关键，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：a=lg20.30c=312>30=1，
∴c>b>a.
故选：D.
利用指数函数、对数函数的单调性求解．
本题考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：已知函数f(x)= 3csx−sinx，
则f(x)=2cs(x+π6).
故选：C.
结合两角和与差的三角函数求解．
本题考查了两角和与差的三角函数，属基础题．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意，f(a)=(12)a−a=0，即(12)a=a，可得0g(b)=lg13b−b=0，即lg13b=b，等价于(13)b=b，可得0h(c)= c+0.1−c=0，即( c)2− c−0.1=0，
解得 c=1± 12−4×1×(−0.1)2(舍负)，所以 c=1+ 1.42>1，可知c>1.
在同一坐标系内作出函数y=(12)x,y=(13)x与y=x的图象，观察y=(12)x,y=(13)x的图象与直线y=x交点，
因为y=(13)x的图象比y=(12)x的图象陡峭，所以点(a,(12)a)的位置比点(b,(13)b)的位置要高，故0综上所述，c>a0>b，B项符合题意．
故选：B.
根据指数函数的图象与性质，判断出01，进而可得a、b、c的大小关系．
本题考查一元二次方程的解法、指数函数的图象与性质、函数的零点及其应用，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A，∵M⫋N⫋P，∴M∪P=P，故A正确；
对于B，∵M⫋N⫋P，∴P∩M=M，∴(P∩M)⫋N，故B错误；
对于C，∵N⫋P，∴∁RP⫋∁RN，故C正确；
对于D，∵M⫋N，∴N∩∁RM≠⌀，故D错误．
故选：AC.
根据集合间的包含关系逐项判断即可．
本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，1a−1b=b−aab，由于a>b>0，则b−a<0，ab>0，故有1a−1b=b−aab<0，即1a<1b，A正确；
对于B，当c=−2，d=−1时，1c>1d，B错误；
对于A，当a=2，b=1时，a2>ab>b2，C错误；
对于D，c3−cd2=c(c+d)(c−d)，由于ccd2−d3=d2(c−d)，由于c综合可得：c3故选：AD.
根据题意，用作差法证明A和D正确，举出反例可得B和C错误，综合可得答案．
本题考查不等式的性质以及应用，涉及不等式的证明，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：将曲线y=cs2x上所有的点向右平移π4个单位长度，可得y=cs(2x−π2)=sin2x的图象，故A错误．
将曲线y=cs2x上所有的点向右平移π8个单位长度，可得y=cs(2x−π4)的图象，故B正确．
将曲线y=cs(x−π8)上所有的点横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变可得y=cs(2x−π8)的图象，故C错误．
将曲线y=cs(x−π4)上所有的点横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y=cs(2x−π4)的图象，故D正确．
故选：BD.
由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
12.【答案】ABC
【解析】解：对于选项A，因为f(x)+f(1x)=0(x≠0)，取x=1，得到f(1)+f(11)=2f(1)=0，即f(1)=0，所以选项A正确；
对于选项C，任取x11x2，
则f(x1)−f(x2)=−f(1x1)+f(1x2)=−[f(1x1)−f(1x2)]，
又f(x)在区间(0,1]上单调递增，且f(x)为奇函数，
所以f(x)在区间[−1,0)上也单调递增，
所以f(1x1)−f(1x2)>0，得到f(x1)−f(x2)<0.
即f(x1)所以f(x)在(−∞,−1]上单调递增，故选项C正确；
对于选项B，因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)=0，又f(1)=0，
所以f(−1)=0，
故x=−1或0或1是f(x)=0的根，
结合选项C，由奇函数的性质及条件知，函数f(x)在区间(−∞,0)上单调递增，在区间(0,+∞)上单调递增，故选项 B正确；
对于选项D，因为函数f(x)在区间(−∞,0)上单调递增，在区间(0,+∞)上单调递增，
故函数不存在最大值和最小值，所以选项D错误．
故选：ABC.
选项A，利用条件f(x)+f(1x)=0(x≠0)，赋值即可得出结果；
利用定义法证明f(x)在(−∞,−1]上单调递增，即可判断出选项C的正误；
结合条件及奇函数的性质得出函数f(x)在区间(−∞,0)上单调递增，在区间(0,+∞)上单调递增，即可判断出选项 D的正误；
再根据条件得到f(0)=0，f(−1)=0，f(1)=0，结合函数f(x)的单调性，即可判断出选项B的正误．
本题主要考查了赋值法的应用，还考查了函数的单调性，奇偶性的综合应用，属于中档题．
13.【答案】 32
【解析】解：由二倍角的余弦公式可得，cs2π12−sin2π12=csπ6= 32，
故答案为： 32.
利用二倍角的余弦公式即可求得．
该题考查二倍角的余弦公式，属基础题，准确记忆公式内容是解题关键．
14.【答案】3 55
【解析】解：∵tanθ=−2，
∴sinθ=−2csθ，
∴4cs2θ+cs2θ=1，且θ为钝角，csθ<0，
∴csθ=− 55，sinθ=2 55，
∴sinθ−csθ=3 55.
故答案为：3 55.
根据同角三角函数的基本关系及θ为钝角即可求出csθ和sinθ，然后得出答案即可．
本题考查了同角三角函数的基本关系，是基础题．
15.【答案】25
【解析】解：设比例系数为k，根据题意得：v=kr4，
把v=400，r=3代入得，k=40034=40081，
所以v=40081r4，
当r=32时，v=40081×(32)4=25，
即气体在半径为32cm的管道中，流量为25cm3/s.
故答案为：25.
先计算出比例系数，再根据比例系数算出流量．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了学生的计算能力，属于基础题．
16.【答案】−3
【解析】解：在△ABC中，tanA=2tanB，
则tanA=2tanB>0，
即A、B为锐角，
作CD⊥AB交AB于点D，
则tanA=CDAD，tanB=CDBD，
设CD=t，
又AB边上的高等于13AB，
则BD=2t，CD=t，
则tanA=1，tanB=12，
即tanC=−tan(A+B)=tanA+tanBtanAtanB−1=1+121×12−1=−3.
故答案为：−3.
由三角函数的定义，结合两角和的正切公式求解．
本题考查了三角函数的定义，重点考查了两角和的正切公式，属中档题．
17.【答案】解：(1)A={x|2x>1}={x|x>0}，B={x|x2<1}={x|−1故A∩B={x|0(2)因为a∈A∩B，所以00，
因为y=lgax在(0,+∞)上单调递减，所以0<4x−3≤1，
解得34【解析】(1)解不等式得到A，B，进而利用交集概念求出答案；(2)得到0本题考查集合的运算，函数的定义域，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由题意函数的最小正周期为T=2ππ=2，
因为f(2)=2sin(2π+φ)= 3，则sinφ= 32，且0<φ<π2，解得φ=π3；
(2)由(1)得函数的解析式为f(x)=2sin(πx+π3)，
令πx+π3∈[−π2+2kπ,π2+2kπ],k∈Z，
解得x∈[−56+2k,16+2k]，k∈Z，
则函数的单调递增区间为[−56+2k,16+2k]，k∈Z.
【解析】(1)利用周期的定义即可求出函数的最小正周期，再根据f(2)的值以及正弦函数的性质化简即可求解；(2)利用整体代换思想以及正弦函数的单调性化简即可求解．
本题考查了正弦函数的性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为f(x)是R上的函数偶函数，
当x≥0时，f(x)=−lg2(x+1).
所以f(−3)=−f(3)=−lg24=−2；
(2)设x<0，则−x>0，
所以f(−x)=−lg2(−x+1)，
又因为f(−x)=f(x)，
所以f(x)=−lg2(−x+1)，
综上，f(x)=−lg2(x+1)x≥0−lg2(−x+1)x<0；
(3)因为x∈[−3,1]，
当x∈[−3,0)时，f(x)=−lg2(−x+1)，
此时−x+1∈(1,4],
所以lg2(−x+1)∈(0,2],
所以f(x)∈[−2,0)；
当x∈[0,1]时，f(x)=−lg2(x+1)，
此时x+1∈[1,2]，
所以lg2(x+1)∈[0,1]，
所以f(x)∈[−1,0]，
综上，当x∈[−3,1]时，f(x)∈[−2,0].
【解析】(1)利用f(−3)=−f(3)代入解析式即可求值；
(2)设x<0，则−x>0，得到f(−x)=−lg2(−x+1)，利用奇偶性即可求解；
(3)当x∈[−3,0)时，f(x)=−lg2(−x+1)；当x∈[0,1]时，f(x)=−lg2(x+1)，分别利用函数单调性求值域即可．
本题考查函数性质的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)当a=12时，f(x)=x2−12x−12，方程f(x)=0的根为x1=−12，x2=1，
所以不等式f(x)>0即(x+12)(x−1)>0，解得x<−12或x>1，解集为(−∞,−12)∪(1,+∞).
(2)根据题意，可得f(x)=0有两个不相等的实数根，
所以Δ=(−3a+1)2+4a>0，即9a2−2a+1>0，此不等式恒成立．
由韦达定理，得x1+x2=3a−1，x1x2=−a，故|x1−x2|2=(x1+x2)2−4x1x2=(3a−1)2+4a=9a2−2a+1，
当a=19时，|x1−x2|2=9×(19)2−2×19+1=89，达到最小值，故|x1−x2|的最小值为 89=2 23.
【解析】(1)当a=12时，f(x)=x2−12x−12，求出f(x)=0的根，进而得出不等式f(x)>0的解集；
(2)利用韦达定理算出x1+x2=3a−1，x1x2=−a，从而将|x1−x2|2表示成关于a的函数，利用二次函数的性质算出|x1−x2|2的最小值，继而可得答案．
本题主要考查一元二次不等式的性质、二次函数的最值求法等知识，考查了计算能力，属于基础题．
21.【答案】证明：(1)根据题意，当k=−1时，f(x)=ex+1e2x−1=1ex−1，
设0由于00，ex1−1>0，ex2−ex1>0，
故f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
则f(x)在(0,+∞)上单调递减；
(2)根据题意，当k=−4时，f(x)=ex+1e2x−4，
f(x+ln2)+f(−x+ln2)=ex+ln2+1e2x+2ln2−4+e−x+ln2+1e−2x+2ln2−4=2ex+14(e2x−1)+2e−x+14(e−2x−1)=14(2ex+1e2x−1+2e−x+1e−2x−1)
14(2ex+1e2x−1+2ex+e2x1−e2x)=−14；
故当k=−4时，函数f(x)的图象关于点P(ln2,−18)中心对称．
【解析】(1)利用作差法证明可得结论；
(2)根据题意，由函数的解析式证明f(x+ln2)+f(−x+ln2)=−14，即可得结论．
本题考查函数与方程的关系，涉及函数单调性的证明，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为直线l1//l2，MN⊥l1，∠BAM=θ，B到l1，l2的距离分别为1，2，
即BM=1，BN=2，
又因为AB⊥BC，
所以∠CBN=θ，
所以AB=BMsinθ=1sinθ，BC=BNcsθ=2csθ；
(2)由(1)可得1sinθ=2csθ，则tanθ=12，
可得csθ=2 5，sinθ=1 5，
所以S△ABC=12AB⋅BC=12⋅1sinθ⋅2csθ=12⋅ 5⋅2⋅ 52=52，
即△ABC的面积为52；
(3)由(1)可得4=1sinθ+2csθ≥2 1sinθ⋅2csθ，
当且仅当1sinθ=2csθ，tanθ=12时取等号，
则sinθcsθ=sinθcsθsin2θ+cs2θ=tanθ1+tan2θ=121+14=25，
此时4<2 225=2 5，所以不存在θ满足条件．
【解析】(1)由题意可得∠CBN=θ，进而可得AB，BC的表达式；
(2)由(1)可得tanθ=12，进而可得csθ，sinθ的值，求出三角形的面积；
(3)由(1)可得l的表达式，由基本不等式可得tanθ的值，再代入不等式，可知不等式不成立，所以不存在这样的θ满足条件．
本题考查直角三角形的性质的应用及基本不等式的应用，属于中档题．