2023-2024学年河北省承德市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年河北省承德市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.命题“∃α<0，α是第一象限角”的否定是( )
A. ∃α≥0，α是第一象限角B. ∃α<0，α不是第一象限角
C. ∀α<0，α是第一象限角D. ∀α<0，α不是第一象限角
2.cs(−660∘)=( )
A. 12B. −12C. 32D. − 32
3.已知a>b>0>c，则( )
A. bc>c2B. a2>acC. a2>c2D. 1a>1b
4.函数y=(2x+2−x)sinx在区间[−π,π]上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知角θ的终边落在阴影区域内(不含边界)，角α的终边和θ相同，则角α的集合为( )
A. {α|π6+2kπ<α<π3+2kπ,k∈Z}
B. {α|π6+kπ2<α<π3+kπ2,k∈Z}
C. {α|π6+kπ<α<π3+kπ,k∈Z}
D. {α|π6+3kπ2≤α≤π3+3kπ2,k∈Z}
6.大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为v=klg3O100，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为0.5m/s时耗氧量的单位数为300，则一条鲑鱼游速为2m/s时耗氧量的单位数为( )
A. 100B. 900C. 1200D. 8100
7.若α∈[0,π]，则“α=π9”是“sin2α=cs(α+π6)”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
8.对于函数f(x)，g(x)，设x1∈{x|f(x)=0}，x2∈{x|g(x)=0}，若存在x1，x2，使得|x1−x2|≤1，则称f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”.若函数f(x)=lg2x−a与g(x)=x2−3x互为“零点相邻函数”，则a的取值范围是( )
A. [0,2]B. (−∞,2]C. [1,2]D. (−∞,0]∪[1,2]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知a>0，b>0且a≠1，b≠1，函数y=ax与y=lgbx的图象的交点坐标不可能为( )
A. (2,2)B. (2,1)C. (1,1)D. (1,2)
10.已知函数f(x)=(x−a)2,x<0,−x,x≥0,下列命题正确的是( )
A. ∃a∈R，f(x)的值域为R
B. ∀a∈R，f(x)的值域为R
C. 若函数y=(x−a)2在(−∞,0)上单调递减，则a的取值范围为[0,+∞)
D. 若f(x)在R上单调递减，则a的取值范围为[0,+∞)
11.已知函数f(x)=ax2+a(a>0且a≠1)，下列结论正确的是( )
A. f(x)是偶函数
B. f(x)的图象与直线y=1一定没有交点
C. 若f(x)的图象与直线y=a有2个交点，则a的取值范围是(0,1)
D. 若f(x)的图象与直线y=a交于A，B两点，则线段AB长度的取值范围是(0,1)
12.已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,4]上单调递增，且f(2x−4)也是偶函数，则( )
A. f(−5)>f(2)
B. f(8)>f(1)
C. 函数f(2x+2)的图象关于直线x=−3对称
D. 函数y=f(2x+2)+f(4−2x)的图象关于直线x=12对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知弧长为π的弧所对的圆心角为20∘，则这条弧所在圆的半径为______.
14.已知幂函数f(x)的图象过点( 2,8)，则f(34)=______.
15.若不等式kx2+2kx−2<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为______.
16.已知a，b，c均为正实数，若1a+1b+2+1c+1=1，则a+b+c的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x∈Z||x|≤2}，B={0,1,2}，C={1,2}.
(1)求A∩(B∩C)；
(2)求∁A(B∪C).
18.(本小题12分)
已知角α的终边经过点P(m, 5),csα= 66.
(1)求tanα的值；
(2)若tanβ=−12，求cs(π+α)cs(−β)−sin(π2−α)sinβcs(3π2+α)sinβ的值.
19.(本小题12分)
已知奇函数f(x)=bx+cx2+1的图象过点(1,12).
(1)判断f(x)在(1,+∞)上的单调性，并用定义证明；
(2)求f(x)在(−2,−1)上的值域.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=9−x−a⋅31−x+3.
(1)若a=43，解不等式f(x)<0；
(2)若关于x的方程f(x)=0有解，求a的取值范围.
21.(本小题12分)
某果园占地约200公顷，拟种植某种果树，在相同种植条件下，该种果树每公顷最多可种植600棵，种植成本y(单位：万元)与果树数量x(单位：百棵)之间的关系如表所示.
为了描述种植成本y(单位：万元)与果树数量x(单位：百棵)之间的关系，现有以下三种模型供选择：①y=bx+c；②y=b x+c；③y=blgax+c.
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式.
(2)已知该果园的年利润z(单位：万元)与x，y的关系式为z=3y−0.1x−20，则果树数量x(单位：百棵)为多少时年利润最大？并求出年利润的最大值.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2lga(x+a)，g(x)=lga(3x+a)，a>0且a≠1.
(1)若a=3，函数F(x)=f(x)−g(x)，求F(x)的最小值；
(2)若∀x∈(1,+∞)，f(x)>g(x)，求a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：存在量词命题的否定为全称量词命题，
则命题“∃α<0，α是第一象限角”的否定是∀α<0，α不是第一象限角．
故选：D.
存在量词命题的否定为全称量词命题．
本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：cs(−660∘)=cs(−660∘+720∘)=cs60∘=12.
故选：A.
根据诱导公式化简，结合特殊角的三角函数值，即得答案．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由于a>b>0>c，故bcac，A错误，B正确；
由a>b>0>c，不能确定a2与c2的大小关系，比如取a=2，b=1，c=−3，a2由a>b>0，可得1a<1b，D错误，
故选：B.
根据不等式的性质一一判断各选项中的不等式是否成立，即得答案．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意，设f(x)=(2x+2−x)sinx，x∈[−π,π]，
则f(−x)=(2−x+2x)sin(−x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数，排除B，D.
令x=1，则f(1)=(2+2−1)sin1>0，排除C.
故选：A.
根据题意，首先判断函数的奇偶性，排除选项，再代入特殊值，排除选项C，即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：终边落在y= 33x上的角为π6+kπ(k∈Z)，终边落在y= 3x上的角为π3+kπ(k∈Z)，
故角α的集合为{α|π6+kπ<α<π3+kπ,k∈Z}.
故选：C.
首先求阴影的边界表示的角的集合，再用不等式表示集合．
本题主要考查了象限角的表示，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由题意可得12=klg3300100，解得k=12，
所以v=12lg3O100.
令2=12lg3O100，解得O=8100，
所以游速为2m/s时耗氧量的单位数为8100.
故选：D.
根据条件求出k的值，再代入速度公式列方程求出O的值．
本题考查了对数函数模型应用问题，是基础题．
7.【答案】B
【解析】【分析】
结合三角函数的诱导公式，判断“α=π9”和“sin2α=cs(α+π6)”之间的逻辑推理关系，即可得答案．
本题考查充分不必要条件的应用，属于中档题．
【解答】
解：当α=π9时，sin2α=sin2π9,cs(α+π6)=cs5π18=sin(π2−5π18)=sin2π9，
即sin2α=cs(α+π6)成立；
又因为sin2α=cs(α+π6)=sin(π2−α−π6)=sin(π3−α)，
所以2α=π3−α+2kπ,k∈Z或2α+π3−α=π+2kπ,k∈Z，
结合α∈[0,π]，解得α=π9或α=2π3或α=7π9，
即sin2α=cs(α+π6)成立，推不出α=π9，
故“α=π9”是“sin2α=cs(α+π6)”的充分不必要条件．
故选：B.
8.【答案】D
【解析】解：∵f(x))=lg2x−a的零点为2a，g(x)=x2−3x的零点为0，3.
f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”，
∴|2a−0|≤1或|2a−3|≤1，
⇒−1≤2a≤1或2≤2a≤4，
⇒a≤0或1≤a≤2.
故选：D.
求出f(x)的零点为2a，g(x)的零点为0，3，再由题意求解．
本题考查了函数的零点，对数函数的单调性，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：由指数、对数运算可知：a2≠1，a≠1，lgb1=0≠2，
所以函数y=ax的图象不可能经过点(2,1)，(1,1)，
函数y=lgbx的图象不可能经过点(1,2)，
函数y=( 2)x与y=lg 2x的图象交于点(2,2).
故选：BCD.
由指数、对数运算可知a2≠1，a≠1，lgb1=0≠2，从而可解．
本题主要考查对数函数的性质，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：当a≤0时，f(x)的值域为R.当a>0时，f(x)的值域不为R，A正确，B错误．
若函数y=(x−a)2在(−∞,0)上单调递减，则a的取值范围为[0,+∞),C正确．
若f(x)在R上单调递减，根据二次函数和一次函数单调性知a的取值范围为[0,+∞),D正确．
故选：ACD.
结合分段函数的单调性，依次判断即可．
本题主要考查分段函数的应用，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：定义域为R，f(−x)=a(−x)2+a=aa+x2=f(x)，所以f(x)是偶函数，A正确；
当a>1时，f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，f(x)≥f(0)=aa>a>1，此时f(x)的图象与直线y=1没有交点．
当0令f(x)=ax2+a=a，则x2+a=1，即x2=1−a.若f(x)的图象与直线y=a有2个交点，则1−a>0，解得a<1，
所以a的取值范围是(0,1)，C正确．
由x2=1−a，解得x=± 1−a，
所以|AB|=2 1−a∈(0,2)，D错误．
故选：ABC.
由已知结合函数的奇偶性及单调性检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，还考查了函数的单调性在函数零点个数判断中的应用，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：因为f(2x−4)是偶函数，所以f(2x−4)=f(−2x−4)，即f(x−4)=f(−x−4)，
所以f(x)的图象关于直线x=−4对称．
因为f(x)是偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称，
所以f(8)=f(−8)=f(0)，f(−5)=f(−3)=f(3)，
因为f(x)在[0,4]上单调递增，所以f(3)>f(2)>f(1)>f(0)，
即f(−5)>f(2)>f(1)>f(8)，A正确，B错误；
因为f(2x−4)是偶函数，所以f(2x−4)的图象关于y轴对称，
将f(2x−4)的图象向左平移3个单位长度可得f(2x+2)的图象，
所以f(2x+2)的图象关于直线x=−3对称，C正确．
令g(x)=f(2x+2)+f(4−2x)，
则g(1−x)=f(4−2x)+f(2x+2)，即g(x)=g(1−x)，函数g(x)的图象关于x=12对称，
所以函数y=f(2x+2)+f(4−2x)的图象关于直线x=12对称．D正确．
故选：ACD.
利用函数奇偶性，对称性和单调性逐项判断即可
本题主要考查了函数的奇偶性，单调性及对称性的应用，属于中档题．
13.【答案】9
【解析】解：由于20∘=π9，这条弧所在圆的半径为ππ9=9.
故答案为：9.
根据弧长公式，把相应的值代入即可求出结果．
本题主要考查弧长公式，属于基础题．
14.【答案】16
【解析】解：设f(x)=xα，
因为幂函数f(x)的图象过点( 2,8)，
故( 2)α=8，
所以α=6，f(x)=x6，
则f(34)=(223)6=24=16.
故答案为：16.
由题意可求出幂函数的解析式，再代入求值，即可求得答案
本题主要考查了幂函数解析式的求解，属于基础题．
15.【答案】(−2,0].
【解析】解：∵kx2+2kx−2<0对一切实数x都成立，
∴当k=0时，−2<0，不等式成立．
当k>0时，二次函数y=kx2+2kx−2的图象开口向上，
不等式kx2+2kx−2<0不可能恒成立．
当k<0时，二次函数y=kx2+2kx−2的图象开口向下，
若不等式kx2+2kx−2<0对一切实数x都成立，
则Δ=4k2+8k<0，解得−2∴综上，k的取值范围为(−2,0].
故答案为：(−2,0].
分k=0，k>0和k<0三种情况讨论不等式，列式求解．
本题考查一元二次不等式恒成立问题的解题思路，属于中档题．
16.【答案】6
【解析】解：因为a+b+c=[a+(b+2)+(c+1)](1a+1b+2+1c+1)−3
=(3+ab+2+b+2a+ac+1+c+1a+b+2c+1+c+1b+2)−3≥3+2 ab+2⋅b+2a+2 ac+1⋅c+1a+2 b+2c+1⋅c+1b+2−3=6，
当且仅当a=b+2=c+1=3，即a=3，b=1，c=2时，等号成立，
故a+b+c的最小值为6.
故答案为：6.
由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求最小值．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为A={−2,−1,0,1,2}，B={0,1,2}，C={1,2}，
故B∩C={1,2}，
所以A∩(B∩C)={1,2}；
(2)易知B∪C={0,1,2}，
故∁A(B∪C)={−2,−1}.
【解析】(1)利用交集的定义即可求解．
(2)利用并集和补集的定义求解即可．
本题主要考查了集合的交集，并集及补集运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由三角函数的定义可知csα=m m2+5= 66，解得m=1，
所以tanα= 5m= 5.
(2)若tanβ=−12，
原式=−csαcsβ−csαsinβsinαsinβ
=−1−tanβtanαtanβ
=−1−(−12) 5×(−12)= 55.
【解析】(1)根据三角函数的定义，即可求解；
(2)首先利用诱导公式化简，再转化为正切表示的式子，即可求解．
本题主要考查了三角函数定义，诱导公式的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由题意可得，f(1)=b+c2=12f(0)=c=0，
解得b=1，c=0，
当b=1，c=0时，函数f(x)是奇函数，所以f(x)=xx2+1.
f(x)在(1,+∞)上单调递减，证明如下：
∀x1，x2∈(1,+∞)，x1因为11，
所以(x1−x2)(1−x1x2)(x12+1)(x22+1)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(1,+∞)上单调递减．
(2)由(1)得f(x)在(1,+∞)上单调递减，
因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(−∞,−1)上单调递减，
所以f(x)在(−2,−1)上单调递减．
因为f(−2)=−25,f(−1)=−12，
故f(x)在(−2,−1)上的值域为(−12,−25).
【解析】(1)利用定义法证明单调性即可．
(2)利用单调性求解值域即可．
(1)单调递减，详见解答过程；
(2)(−12,−25).
20.【答案】解：(1)当a=43时，f(x)<0，即9−x−43⋅31−x+3<0，
则3×(3x)2−4×3x+1<0，
(3×3x−1)(3x−1)<0，
13<3x<1，
−1故不等式f(x)<0的解集为{x|−1(2)f(x)=0即9−x−a⋅31−x+3=0.
a=9−x+331−x=1+3×32x31+x
=131+x+3x≥2 131+x⋅3x=2 33，
当且仅当131+x=3x，即x=−12时，等号成立．
故a的取值范围是[2 33,+∞).
【解析】(1)由一元二次不等式解法得13<3x<1，再由指数函数单调性求解；
(2)分离参数，得a=9−x+331−x，利用基本不等式求最值，即可．
本题主要考查指数不等式的解法，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为模型③在x=0处无意义，所以不符合题意，
若选择①作为y与x的函数模型，将(0,3)，(4,7)代入，得3=c7=4b+c，
解得b=1c=3，则y=x+3，
则当x=9时，y=12，当x=16时，y=19，当x=36时，y=39，
与表格中的实际值相差较大，所以①不适合作为y与x的函数模型，
若选择②作为y与x的函数模型，将(0,3)，(4,7)代入，得3=c7=2b+c，
解得b=2c=3，则y=2 x+3，
当x=9时，y=9，当x=16时，y=11，当x=36时，y=15，
与表格中的实际值相同，所以②更适合作为y与x的函数模型，
且相应的函数解析式为y=2 x+3(100x∈N)；
(2)由题可知，该果园最多可种120000棵该种果树，所以x∈[0,1200]且100x∈N.
z=3y−0.1x−20=6 x+9−0.1x−20=−0.1x+6 x−11，
令 x=t(0≤t≤20 3)，则z=−0.1(t−30)2+79，
当t=30，即x=900时，z取得最大值，
最大值为79万元．
【解析】(1)利用待定系数法计算验证即可；
(2)利用二次函数的性质计算即可．
本题考查了函数在解决实际问题上的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)F(x)=f(x)−g(x)=2lga(x+3)−lga(3x+3)
=lg3(x+3)23x+3=lg3[13(x+1+4x+1+4)]，定义域为(−1,+∞)，
因为x+1+4x+1+4≥2 (x+1)⋅4x+1+4=8，当且仅当x=1时，等号成立，
又函数y=lg3x是增函数，
所以F(x)=lg3[13(x+1+4x+1+4)]≥lg3(13×8)=3lg32−1，
故F(x)的最小值为3lg32−1；
(2)因为f(x)=lga(x+a)2，a>0且a≠1，x∈(1,+∞)，
若a>1，则函数y=lgax是增函数，
因为f(x)>g(x)，所以(x+a)2>3x+a，即x2+(2a−3)x+a2−a>0，
设h(x)=x2+(2a−3)x+a2−a，要使x∈(1,+∞)时，h(x)>0恒成立，
只需−2a−32>1Δ=(2a−3)2−4(a2−a)<0或−2a−32≤1h(1)=1+2a−3+a2−a≥0，
解得a≥1，此时a>1，
若0因为f(x)>g(x)，所以(x+a)2<3x+a，即x2+(2a−3)x+a2−a<0，
结合二次函数的性质可得，当x∈(1,+∞)时，不等式不可能恒成立，
故0综上，a的取值范围为(1,+∞).
【解析】(1)把a=3代入已知函数解析式，结合基本不等式及函数单调性即可求解函数的最小值；
(2)由已知结合对数函数单调性及二次函数的性质即可求解．
本题综合考查了对数函数及二次函数性质的综合应用，属于中档题．x
0
4
9
16
36
y
3
7
9
11
15