2023-2024学年河北省石家庄市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年河北省石家庄市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设全集U={0,1,2,3,4,5}，集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5}，则∁U(A∩B)=( )
A. ⌀B. {0}C. {0,2,4}D. {0,2,4,5}
2.函数f(x)=1x+1− x+2的定义域是( )
A. [−2,+∞)B. [−2,−1)∪(−1,+∞)
C. (−1,+∞)D. [−2,−1)
3.已知角α的终边经过点P(4,−3)，则sinα+csα的值是( )
A. 15B. −15C. 75D. −75
4.方程lg2x=−x+2的解所在的区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
5.下列说法正确的是( )
A. 若a>b，则ac2>bc2
B. 若−2C. 若a>b，c>d，则ac>bd
D. 若a>b>0，m>0，则ma6.化简sin200∘sin230∘−cs160∘sin40∘，得( )
A. 32B. sin200∘C. cs200∘D. 12
7.已知命题“∃x∈R，使(m−2)x2+(m−2)x+1≤0”是假命题，则实数m的取值范围为( )
A. m>6B. 28.已知函数f(x)=2+lg13x,127≤x<12x,1≤x≤2，若f(a)=f(b)(aA. (0,43]B. (0,179]C. (0,2827]D. (0,8027]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递增的为( )
A. f(x)=|x|B. f(x)=x3C. f(x)=2|x|D. f(x)=1x2
10.已知函数f(x)=2x−12x+1，下面说法正确的有( )
A. f(x)的图像关于原点对称
B. f(x)的图像关于y轴对称
C. f(x)的值域为(−1,1)
D. ∀x1，x2∈R，且x1≠x2,f(x1)−f(x2)x1−x2>0
11.对于函数f(x)=sinx,sinx≤csxcsx,sinx>csx，下列四个结论正确的是( )
A. f(x)是以π为周期的函数
B. 当且仅当x=π+kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值−1
C. f(x)图象的对称轴为直线x=π4+kπ(k∈Z)
D. 当且仅当2kπ12.已为函数f(x)=−x2−2x,x≤012|lg3x|,x>0，g(x)=x−k，求数g(f(x))有4个不同的零点，x1，x2，x3，x4且x1A. 19B. 7C. 649D. 829
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数f(x)=(a2−2a−2)xa(a∈R)在(0,+∞)上单调递增，则实数a的值为______.
14.已知扇形OAB的圆心角为4rad，其面积是2cm2，则该扇形的周长是______cm.
15.设函数f(x)=10x+x−6的零点为m，函数g(x)=lgx+x−6的零点为n，则m+n=______.
16.设函数的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意的x∈D，都有x+k∈D，且f(x+k)>f(x)恒成立，则称函数f(x)为D上的“k型增函数”．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=|x−a|−2a，若f(x)为R上的“2022型增函数”，则实数a的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算下列各式.
(Ⅰ)lg52+23lg8+ln e−2lg23；
(Ⅱ)(214)12−(34)2+6−2×(827)−23.
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x−ax2+1是定义在[−1,1]上的奇函数.
(1)判断函数f(x)的单调性并用定义加以证明；
(2)求使f(m−1)−f(1−2m)<0成立的实数m的取值范围.
19.(本小题12分)
从①“充分不必要条件”、②“必要不充分条件”两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并解答下列问题：已知集合A={x|14≤2x≤32}，B={x|x2−4x+4−m2≤0,m∈R}.
(1)若m=3，求A∪B；
(2)若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的_____，求正实数m的取值范围.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin2ωx−cs2ωx+m(0<ω<1)的图象关于点(π2,2)对称.
(1)求ω，m的值；
(2)将f(x)的图象向左平移π4个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求g(x)在[0,3π]上的值域.
21.(本小题12分)
2022年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：小时)变化的关系如下：当0≤x≤4时，y=168−x−1；当4(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值.(精确到0.1，参考数据： 2取1.4)
22.(本小题12分)
对于定义域为D的函数y=f(x)，如果存在区间[m,n]⊆D，同时满足：①f(x)在[m,n]内是单调函数；②当定义域是[m,n]时，f(x)的值域也是[m,n]，则称[m,n]是该函数的“优美区间”.
(Ⅰ)求证：[0,2]是函数f(x)=12x2的一个“优美区间”；
(Ⅱ)已知函数y=h(x)=(a2+a)x−1a2x(a∈R,a≠0)有“优美区间”[m,n]，当a变化时，求出n−m的最大值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
由交集运算求得A∩B，再由补集运算得答案．
本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．
【解答】
解：∵A={1,2,3,4}，B={1,3,5}，
∴A∩B={1,3}，
又∵全集U={0,1,2,3,4,5}，
∴∁U(A∩B)={0,2,4,5}.
故选D.
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件建立不等式是解决本题的关键，是基础题．
根据函数成立的条件，建立不等式关系进行求解即可．
【解答】
解：由题意可得x+1≠0x+2≥0，
解得−2≤x<−1或x>−1.
即函数的定义域为[−2,−1)∪(−1,+∞),
故选：B.
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
根据任意角的三角函数的定义求得sinα和csα的值，即可求得sinα+csα的值．
【解答】
解：由题意可得sinα=−35，csα=45，
∴sinα+csα=15.
故选A.
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数零点的判定，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是基础题．
令f(x)=lg2x+x−2，可知该函数是(0,+∞)上的增函数，结合f(1)<0，f(2)>0，即可判断方程lg2x=−x+2的解所在的区间．
【解答】
解：由lg2x=−x+2，得lg2x+x−2=0，
令f(x)=lg2x+x−2，该函数是(0,+∞)上的增函数，
又f(1)=−1<0，f(2)=1>0，
∴函数f(x)=lg2x+x−2的零点所在区间为(1,2)，
即方程lg2x=−x+2的解所在的区间是(1,2).
故选：B.
5.【答案】D
【解析】解：对于A，当c=0时，显然ac2>bc2不成立，因此本选项说法不正确；
对于B，1对于C，当a=−2，b=−3，c=−4，d=−5时，显然满足a>b，c>d，但是ac>bd不成立，因此本选项说法不正确；
对于D，由a>b>0⇒ab>0⇒aab>bab⇒1b>1a，而m>0，所以mb>ma，即ma故选：D.
利用不等式的性质、结合特例法逐一判断即可．
本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：sin200∘sin230∘−cs160∘sin40∘=sin(180∘+20∘)sin(180∘+50∘)−cs(180∘−20∘)sin(90∘−50∘)=sin20∘sin50∘+cs20∘cs50∘=cs30∘= 32.
故选：A.
直接利用三角函数的诱导公式求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的诱导公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由题意知，“∀x∈R，使(m−2)x2+(m−2)x+1>0”是真命题，
当m−2=0，即m=2时，不等式可化为1>0，符合题意；
当m−2≠0，即m≠2时，有m−2>0Δ=(m−2)2−4(m−2)<0，解得2综上，实数m的取值范围为2≤m<6.
故选：C.
易知，“∀x∈R，使(m−2)x2+(m−2)x+1>0”是真命题，再分m=2和m≠2两种情况，根据一元二次不等式与二次函数之间的联系，得解．
本题考查存在命题的否定，不等式恒成立的条件，考查分类讨论思想，逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：因为函数f(x)在[127,1)上递减，在[1,2]上递增，
且f(a)=f(b)(a令2+lg13a=2b=k，则2所以a=(13)k−2，b=lg2k，
所以b−a=lg2k−(13)k−2，
设函数g(x)=lg2x−(13)x−2，x∈(2,4],
因为g(x)在(2,4]上单调递增，
所以g(2)所以b−a的取值范围是(0,179].
故选：B.
根据分段函数的单调性以及f(a)=f(b)(a本题考查了分段函数的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A，函数为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，故选项A正确；
对于B，函数为奇函数，故选项B错误；
对于C，函数为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，故选项C正确；
对于D，函数为偶函数，在区间(0,+∞)上单调递减，故选项D错误．
故选：AC.
利用基本初等函数的性质，依次判断四个选项即可．
本题考查了函数单调性与奇偶性的判断，判断函数奇偶性时要先判断函数的定义域是否关于原点对称，解题的关键是掌握基本初等函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：因为f(x)=2x−12x+1的定义域为R，关于原点对称，
则f(−x)=2−x−12−x+1=(2−x−1)2x(2−x+1)2x=1−2x1+2x=−f(x)，
所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故选项A正确，选项B不正确；
因为f(x)=2x−12x+1=2x+1−22x+1=1−22x+1，
又因为2x>0，所以2x+1>1，所以0<12x+1<1，−2<−22x+1<0，
所以−1<1−22x+1<1，可得f(x)的值域为(−1,1)，故选项C正确；
设任意的x1则f(x1)−f(x2)=1−22x1+1−(1−22x2+1)=22x2+1−22x1+1=2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1)，
因为2x1+1>0，2x2+1>0，2x1−2x2<0，所以2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1)<0，
即f(x1)−f(x2)<0，所以f(x1)−f(x2)x1−x2>0，故选项D正确．
故选：ACD.
判断f(x)的奇偶性即可判断选项AB，求f(x)的值域可判断C，证明f(x)的单调性可判断选项D，即可得正确选项．
本题考查命题真假性的判断，主要涉及函数的相关性质，考查利用定义证明函数单调性的方法，属于中档题．
11.【答案】CD
【解析】解：函数f(x)=sinx,sinx≤csxcsx,sinx>csx，所以函数的图象为：
故：函数的最小正周期为2π，故选项A错误．
对于选项B：当x=2kπ+π，函数取得最小值−1.
对于选项C：根据函数f(x)图象，得到对称轴为直线x=π4+kπ(k∈Z)，故正确．
对于选项D：根据函数f(x)图象，得到当且仅当2kπ故选：CD.
首先利用分段函数的定义域，画出函数的图象，进一步求出函数的周期，对称轴，函数的最值和值域．
本题考查的知识要点：三角函数的图象的应用，利用函数的图象求出函数的对称轴和函数的值域，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
12.【答案】AB
【解析】解：g(f(x))=f(x)−k，令g(f(x))=0，得f(x)=k，
函数g(f(x))有4个不同的零点，即f(x)=k有4个不同的根；
根据题意，作出f(x)的图像，如图：
明显地，根据二次函数和对数函数的性质，有x1+x2=−2，x3x4=1，
因为x4>x3>0，故x3+x4>2 x3⋅x4=2，
令12|lg3x|=1，得x=19或x=9，故x3+x4<9+19，
又因为x1+x2+x3+x4=−2+x3+x4∈(0,−2+9+19)=(0,649)，
故x1+x2+x3+x4的取值范围为：(0,649).
故选：AB.
令g(f(x))=0，得f(x)=k，问题转化为，f(x)=k有4个不同的根，即函数y=f(x)与函数y=k有4个不同的交点，分别作出y=f(x)与y=k的图像，利用二次函数与对数函数的图像性质，计算可得答案．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】3
【解析】解：由题意可知，a2−2a−2=1a>0，
解得a=3.
故答案为：3.
根据幂函数的定义和性质求解．
本题主要考查了幂函数的定义和性质，属于基础题．
14.【答案】6
【解析】解：设扇形的半径为r，弧长为l，
依题意可得，lr=412l⋅r=2，解得l=4r=1，
所以扇形的周长为2r+l=2+4=6cm.
故答案为：6.
设扇形的半径为r，弧长为l，然后根据圆心角和面积列方程组，即可求解．
本题考查了扇形中圆心角的弧度数公式和扇形的面积公式，属于基础题．
15.【答案】6
【解析】解：令f(x)=10x+x−6=0得10x=6−x，则f(x)的零点m为y=10x与y=6−x图象的交点之横坐标，
同理函数g(x)=lgx+x−6的零点n为y=lgx与y=6−x的交点之横坐标，
又y=10x与y=lgx互为反函数，即它们的图象关于y=x对称，且y=6−x与y=x垂直，
所以y=10x和y=lgx与y=6−x的交点也关于y=x对称，
由y=xy=6−x解得交点为(3,3)，
所以m+n=6.
故答案为：6.
根据f(x)的零点即为y=10x与y=6−x的交点之横坐标，g(x)的零点即为y=lgx与y=6−x的交点之横坐标，且y=10x与y=lgx互为反函数，即图象关于y=x对称，且y=6−x与y=x垂直，所以y=10x和y=lgx与y=6−x的交点也关于y=x对称，据此求解．
本题考查函数零点与方程的根以及函数图象交点间的关系，属于中档题．
16.【答案】(−∞,337)
【解析】解：f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=|x−a|−2a，
由a≤0，当x>0时，f(x)=x−3a，由函数为奇函数，则f(x)的图像如图所示：
此时f(x+2022)的图像始终在f(x)图像的上方，故a≤0符合题意；
由a>0，当0a时，f(x)=x−3a，由函数为奇函数，则f(x)的图像如图所示：
要使f(x+2022)>f(x)恒成立，
由图象可得a>06a<2022，解得0综上所述，实数a的取值范围是(−∞,337)，
故答案为：(−∞,337).
由题意，分类讨论a≤0，a>0，根据f(x)是R上的奇函数，作出函数图象，即可得出答案．
本题考查分段函数的性质和奇偶性，考查转化思想和分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)原式=2lg5+23×3lg2+12−3=2(lg5+lg2)+12−3=−12；
(Ⅱ)[(32)2]12−916+136×(32)3×23=32−916+136×94=1.
【解析】本题考查了对数以及有理数指数幂的运算性质，属于基础题．
(Ⅰ)利用对数的运算性质化简即可求解；
(Ⅱ)利用有理数指数幂的运算性质化简即可求解．
18.【答案】解：(1)因为f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，所以f(0)=2×0−a02+1=−a=0，所以a=0，
当a=0时，f(x)=2xx2+1，满足f(−x)=−2x(−x)2+1=−f(x)，故a=0满足题意，
f(x)=2xx2+1在[−1,1]上是增函数，
证明如下：设∀x1，x2∈[−1,1]，且x1则f(x1)−f(x2)=2x1x12+1−2x2x22+1=2x1(x22+1)−2x2(x12+1)(x12+1)(x22+1)=2(x2−x1)(x1x2−1)(x12+1)(x22+1)，
因为∀x1，x2∈[−1,1]且x1所以x2−x1>0，x1x2−1<0，(x12+1)(x22+1)>0，
所以f(x1)−f(x2)<0，
所以f(x1)所以f(x)在[−1,1]上是增函数．
(2)由f(m−1)−f(1−2m)<0，得f(m−1)由(1)知f(x)=2xx2+1，f(x)在[−1,1]上是增函数．
所以−1≤m−1≤1−1≤1−2m≤1m−1<1−2m，解得0≤m<23.
所以实数m的取值范围是[0,23).
【解析】本题主要考查了函数单调性的判断，还考查了单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
(1)由奇函数性质f(0)=0可求a，然后结合单调性定义，取x1(2)结合函数单调性即可求解．
19.【答案】解：(1)依题意，2−2≤2x≤25，解得−2≤x≤5，即A=[−2,5]，
当m=3时，解不等式x2−4x−5≤0得：−1≤x≤5，即B=[−1,5]，
所以A∪B=[−2,5].
(2)选①，由(1)知，A=[−2,5]，m>0，解不等式x2−4x+4−m2≤0得：2−m≤x≤2+m，即B=[2−m,2+m]，
因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则有A⊆B，
于是得2−m<−22+m≥5或2−m≤−22+m>5，解得m>4或m≥4，即有m≥4，
所以正实数m的取值范围是{m|m≥4}.
选②，由(1)知，A=[−2,5]，m>0，解不等式x2−4x+4−m2≤0得：2−m≤x≤2+m，即B=[2−m,2+m]，
因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，则有B⊆A，
于是得−2<2−m<2+m≤5或−2≤2−m<2+m<5，解得0所以正实数m的取值范围是{m|0【解析】本题主要考查了集合的并集运算，还考查了集合的包含关系的应用，属于中档题．
(1)把m=3代入，分别求出集合A，B，再利用并集的定义求解作答．
(2)选①，由A⊆B，列式求解即可；选②，由B⊆A，列式求解作答．
20.【答案】(1)f(x)=1−cs2ωx−cs2ωx+m=m+1−2cs2ωx，
依题意可得m+1=2，2ωπ2=π2+kπ，k∈Z(0<ω<1)，
则m=1，ω=12.
(2)由(1)知f(x)=2−2csx，则g(x)=2−2cs(x3+π4).
当x∈[0,3π]时，x3+π4∈[π4,5π4]，
则cs(x3+π4)∈[−1, 22]，
故g(x)在[0,3π]上的值域为[2− 2,4].
【解析】本题考查余弦函数的性质，考查三角恒等变换，属于基础题．
(1)由二倍角公式降幂后，由余弦函数的对称性可求得ω，m值；
(2)由图象变换得出g(x)的表达式，再由余弦函数值域得结论．
21.【答案】解：(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，
所以其浓度为f(x)=4y=648−x−4,0≤x≤420−2x,4当0≤x≤4时，648−x−4≥4，解得x≥0，此时0≤x≤4，
当4综上0≤x≤8，
所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时；
(2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)小时后，
其浓度为g(x)=2(5−12x)+a(168−(x−6)−1)=10−x+16a14−x−a=14−x+16a14−x−a−4，
因为14−x∈[4,8]，a∈[1,4]，
所以14−x+16a14−x−a−4≥2 (14−x)⋅16a14−x−a−4=8 a−a−4，
当且仅当14−x=16a14−x，即x=14−4 a时，等号成立；
所以其最小值为8 a−a−4，
由8 a−a−4≥4，解得24−16 2≤a≤4，
所以a的最小值为24−16 2≈1.6.
【解析】(1)根据喷洒4个单位的净化剂后浓度为f(x)=648−x−4,0≤x≤420−2x,4(2)得到从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)小时后，浓度为g(x)=2(5−12x)+a(168−(x−6)−1)，化简利用基本不等式求解．
本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)∵y=12x2在区间[0,2]上单调增．
又∵f(0)=0，f(2)=2，∴值域为[0,2]，
∴区间[0,2]是f(x)=x2的一个“优美区间”．
(2)设[m,n]是已知函数定义域的子集．
∵x≠0，[m,n]⊆(−∞,0)或[m,n]⊆(0,+∞)，
∴函数y=(a2+a)x−1a2x=a+1a−1a2x在[m,n]上单调递增．
若[m,n]是已知函数的“优美区间”，则h(m)=mh(n)=n，
∴m、n是方程a+1a−1a2x=x，即a2x2−(a2+a)x+1=0的两个同号且不等的实数根．
∵mn=1a2>0，
∴m，n同号，只须Δ=a2(a+3)(a−1)>0，
即a>1或a<−3，
∵n−m= (n+m)2−4mn
= (a2+aa2)2−4a2
= −3(1a−13)2+43，
∴当a=3时，n−m取最大值2 33.
【解析】本题考查新定义的应用，函数椭圆方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．
(1)通过y=12x2在区间[0,2]上单调增．利用新定义判断即可．
(2)设[m,n]是已知函数定义域的子集，通过[m,n]是已知函数的“优美区间”，则h(m)=mh(n)=n，说明m、n是方程a2x2−(a2+a)x+1=0的两个同号且不等的实数根．转化求解n−m取最大值．