2023-2024学年浙江省丽水市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年浙江省丽水市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={1,3,a}，B={3,5,7}，若A∩B={3,5}，则a的值是( )
A. 1B. 3C. 5D. 7
2.命题“∀x∈(0,1)，x+sinx<2”的否定为( )
A. ∀x∈(0,1)，x+sinx≥2B. ∃x∈(0,1)，x+sinx≥2
C. ∀x∉(0,1)，x+sinx<2D. ∃x∉(0,1)，x+sinx<2
3.设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.函数f(x)= 2x−1x−2+lg(x−1)的定义域是( )
A. {x|x≥12}B. {x|x>1}
C. {x|x≥12且x≠2}D. {x|x>1且x≠2}
5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20mg的驾驶员即为酒后驾车，达到80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.8mg/mL.如果在此刻停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？(参考数据：lg2≈0.30)( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
6.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数y=2sin(2x+π3)的图象，则φ的一个可能值是( )
A. 0B. π12C. π6D. π3
7.已知增函数y=f(x)的图象在[a,b]上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[a,b]，[a,a+b2]，[a+13,b3]，则b−a的值是( )
A. 1B. 43C. −23D. 23
8.已知a=lg0.5a，ab=lg0.5b，0.5c=lgac，则( )
A. b二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.如果a>b>0，c>d>0，那么下面结论一定成立的是( )
A. a+d>b+cB. ac>bdC. ac2>bc2D. ac>bd
10.已知函数f(x)=tan(2x−π6)，则( )
A. f(x)的最小正周期是π2
B. f(x)的定义域是{x|x≠π3+kπ,k∈Z}
C. f(x)的图象关于点(π12,0)对称
D. f(x)在(π3,π2)上单调递增
11.下列是真命题的是( )
A. 函数f(x)=ax−1+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1,2)
B. 函数f(x)=21csx的值域是[12,2]
C. 函数f(x)=12x+1−12为奇函数
D. 函数f(x)=2|2x−1|+1的图象的对称轴是x=1
12.已知函数f(x)=csπxx2−x+1，则下列判断正确的是( )
A. f(x)<43B. |f(x)|≤1|x|
C. 函数y=f(x)的图象存在对称轴D. 函数y=f(x)的图象存在对称中心
三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.若扇形的半径为2，弧长为3，则扇形的面积为______.
14.若函数f(x)=(m2−m−1)xm是幂函数，且图像不过原点，则实数m=______.
15.化简sin(3π2−α)tan(α−3π)cs(α+π2)=______.
16.若正数x，y满足x+4y−xy=0，则3x+y的最大值为______.
17.若函数f(x)=lg2(x2−ax+3a)在区间[1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是______.
18.若函数f(x)=m2x2−4mx− x−8m+4在区间[0,16]内有两个不同的零点，则实数m的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
已知α为锐角，csα=35.
(1)求tanα的值；
(2)若sin(α+β)=− 55，求sinβ的值.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=cs2x+2sinxcsx.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若方程f(x)=−1在区间[0,m]上恰有一个解，求m的取值范围.
21.(本小题12分)
丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”.该地区某水果树的单株年产量φ(x)(单位：千克)与单株施肥量x(单位：千克)之间的关系为φ(x)=x2+32,0≤x≤345−4x−2,3若这种水果的市场售价为10元/千克，且水果销路畅通.记该水果树的单株年利润为f(x)(单位：元).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax(a>1)，且f(1)+f(−1)=52.
(1)求f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)=f(2x)+kf(x)，若方程g(x)+g(−x)+10=0有4个不相等的实数解x1，x2，x3，x4，求f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)的取值范围.
23.(本小题12分)
函数f(x)=[x]，[x]表示不超过x的最大整数，例如：[−3.5]=−4，[2.1]=2.
(1)当x∈(0,3)时，求满足f(x)=lg 2x的实数x的值；
(2)函数g(x)=3+1lg 2( x+1)+1，求满足f(4x2−10x+f(x+8))=f(g(x))的实数x的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合A={1,3,a}，B={3,5,7}，A∩B={3,5}，
则a=5.
故选：C.
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：根据全称量词命题：∀x∈M，p(x)的否定是特称量词命题：∃x∈M，¬p(x)，
可知命题“∀x∈(0,1)，x+sinx<2”的否定为“∃x∈(0,1)，x+sinx≥2”．
故选：B.
根据全称量词命题：∀x∈M，p(x)的否定是特称量词命题：∃x∈M，¬p(x)，即可判断．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，属于基础题．
解得a的范围，即可判断出结论．
【解答】
解：由a2>a，解得a<0或a>1，
故a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，
故选：A.
4.【答案】D
【解析】解：f(x)= 2x−1x−2+lg(x−1)，
则2x−1≥0x−2≠0x−1>0，解得x>1且x≠2，
故函数f(x)的定义域为{x>1且x≠2}.
故选：D.
根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．
5.【答案】D
【解析】解：设至少经过t个小时才能驾驶，
则80(1−0.2)t<20，
即0.8t<14，
所以tlg0.8所以t>lg14lg0.8=−lg4lg4−lg5=2lg2lg5−2lg2=2lg21−3lg2≈6，
即至少经过6个小时才能驾驶．
故选：D.
设至少经过t个小时才能驾驶，则80(1−0.2)t<20，所以t>lg14lg0.8，再结合对数的运算性质求解．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：因为函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数y=2sin(2x+π3)的图象，
即y=sin(ωx+φ+ωπ6)与y=2sin(2x+π3)为同一个函数，
所以ω=2，即y=sin(2x+φ+π3)与y=2sin(2x+π3)为同一个函数，
结合选项可知，当φ=0，即选项A符合题意．
故选：A.
由已知结合三角函数图象的变换，结合选项即可判断．
本题主要考查了三角函数图象的变换，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[a,b]，[a,a+b2]，[a+13,b3]，
由于a=a+13不成立，
则必有a+a+b2=2(a+13)a+b2=b3，解可得a=−13b=1，故b−a=1+13=43.
故选：B.
根据题意，由二分法的步骤可得a+a+b2=2(a+13)a+b2=b3，解可得a、b的值，进而计算可得答案．
本题考查二分法的应用，涉及函数零点判定定理，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：因为a=lg0.5a，所以a>0，且0.5a=a，
而0<0.5a=a<0.50=1，即0令f(x)=0.5x−x，0且f(1)=0.5−1=−0.5<0，f(12)= 22−12<0，
所以函数f(x)在(12,1)上存在唯一的零点，故12又因为ab=lg0.5b，所以b>0，
所以0所以ab>a，即lg0.5b>lg0.5a，所以12因为0.5c=lgac，所以c>0，所以0.5c<0.50=1，
即lgac<1=lgaa，所以c>a，
综上可得：b故选：A.
根据对数的运算性质可知：0a，即可判断b与a的大小关系；根据对数的运算性质可判断c与a的大小关系即可．
本题考查指、对数值的比较大小，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：因为a>b>0，c>d>0，
当a=2，b=1，c=3，d=2时，A显然错误；
由不等式的性质可知，ac>bd，B正确；
由不等式的性质可知，ac2>bc2，C正确；
当a=2，b=1，c=2，d=1时，D显然错误．
故选：BC.
由已知结合不等式性质检验选项B，C，举出反例检验选项A，D.
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：函数f(x)=tan(2x−π6)中，最小正周期是T=πω=π2，选项A正确；
令2x−π6≠π2+kπ，k∈Z，解得x≠π3+12kπ，k∈Z，所以f(x)的定义域为{x|x≠π3+12kπ,k∈Z}，选项B错误；
因为f(π12)=2×π12−π6=0，所以f(x)的图象关于点(π12,0)对称，选项C正确；
x∈(π3,π2)时，2x−π6∈(π2,5π6)，所以f(x)在(π3,π2)上单调递增，选项D正确．
故选：ACD.
根据正切函数的图象与性质，判断选项中的命题是否正确即可．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：令x=1，可得f(1)=2，即函数f(x)恒过(1,2)，A正确；
因为−1≤csx≤1且csx≠0，
所以1csx≥1或1csx≤−1，
故f(x)=21csx≥2或f(x)=21csx∈(0,12],B错误；
因为f(x)=12x+1−12，定义域为R，
则f(−x)+f(x)=11+2−x−12+11+2x−12=2x1+2x+11+2x−1=0，即f(−x)=−f(x)，
所以f(x)为奇函数，C正确；
因为f(2)=23+1=9，f(0)=2+1=3，即f(0)≠f(2)，
所以f(x)的图象不是关于x=1对称，D错误．
故选：AC.
结合指数函数性质检验选项A；
结合指数函数及余弦函数性质检验选项B；
结合奇函数定义检验选项C；
举出反例检验选项D.
本题主要考查了指数函数的性质，函数奇偶性及对称性的判断，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于选项A：因为csπx≤1，当x=2kπ，k∈Z时等号成立，
x2−x+1=(x−12)2+34≥34，当x=12时等号成立，
则两个式子中等号不会同时成立，
所以由不等式性质可得f(x)=csπxx2−x+1<43，故选项A正确；
对于选项B：显然x≠0，
因为当x>0时，x+1x≥2，当且仅当x=1时等号成立，此时x+1x−1≥1，
当x<0时，x+1x≤−2，当且仅当x=−1时等号成立，此时x+1x−1≤−3，
所以|x+1x−1|≥1，则|x2−x+1x|=|x+1x−1|≥1，
又因为|csπx|≤1，
所以|csπx|≤|x2−x+1x|，即|csπxx2−x+1|≤|1x|，故选项B正确；
对于选项C：因为f(x)=csπxx2−x+1，
f(2a−x)=csπ(2a−x)(2a−x)2−(2a−x)+1=csπ(2a−x)x2−(4a−1)x+4a2−2a+1，a∈R，
显然f(x)≠f(2a−x)，
所以函数y=f(x)的图象不存在对称轴，故选项C错误；
对于选项D：因为f(x)+f(1−x)=csπxx2−x+1+csπ(1−x)(1−x)2−(1−x)+1=0，
所以函数y=f(x)的图象关于点(12,0)对称，故选项D正确．
故选：ABD.
分别求出分子和分母的取值范围，利用不等式的性质即可判断选项A；判断|csπx|,|x2−x+1x|的取值范围，得出|csπx|≤|x2−x+1x|，进而可判断选项B；根据轴对称的定义可判断选项C；根据f(x)+f(1−x)=0可判断选项D.
本题考查了函数与方程的综合应用，属于难题．
13.【答案】3
【解析】解：由题意可得：扇形的面积为12×3×2=3.
故答案为：3.
根据扇形的面积公式直接运算求解．
本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题．
14.【答案】−1
【解析】解：∵函数f(x)=(m2−m−1)xm是幂函数，且图像不过原点，
∴m2−m−1=1m<0，
解得m=−1，
故答案为：−1.
根据幂函数的图象和性质即可得到结论．
本题主要考查幂函数的定义和性质，根据幂函数的定义和性质建立条件关系是解决本题的关键，比较基础．
15.【答案】1
【解析】解：sin(3π2−α)tan(α−3π)cs(α+π2)=−csα⋅tanα−sinα=sinαsinα=1.
故答案为：1.
由已知结合诱导公式及同角基本关系进行化简即可求解．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
16.【答案】13
【解析】解：因为正数x，y满足x+4y−xy=0，所以x+4y=xy，即1y+4x=1，
则x+y=(x+y)(1y+4x)=5+xy+4yx≥5+2 xy⋅4yx=5+4=9，
当且仅当xy=4yx且1y+4x=1，即x=6，y=3时取等号，
此时x+y取得最小值9，则3x+y的最大值为13.
故答案为：13.
先利用基本不等式中“1”的妙用求得x+y的取值范围，从而求得3x+y的最大值．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
17.【答案】(−12,2]
【解析】解：f(x)=lg2(x2−ax+3a)在区间[1,+∞)上单调递增，
所以x2−ax+3a在区间[1,+∞)上单调递增，
所以对称轴x=a2≤1，解得a≤2，
当x=1时，x2−ax+3a>0，解得a>−12，
即a的取值范围是(−12,2].
故答案为：(−12,2].
根据复合函数单调性即可求得a的取值范围．
本题主要考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】[932,12]
【解析】解：根据题意，函数f(x)=m2x2−4mx− x−8m+4在区间[0,16]内有两个不同的零点，
则方程m2x2−4mx− x−8m+4=0，即(mx−2)2= x+8m在区间[0,16]上有两个不等的实根，
设g(x)=(mx−2)2，h(x)= x+8m，
函数g(x)与h(x)在区间[0,16]上有两个交点，
g(x)=(mx−2)2为二次函数，对称轴为x=2m，开口向上，与x轴有且只有一个交点，
则有0≤2m≤16 2m+8m>0(m×0−2)2≥8m(16m−2)2≥4+8m，解可得932≤m≤12，即m的取值范围为[932,12].
故答案为：[932,12].
根据题意，分析可得方程m2x2−4mx− x−8m+4=0，即(mx−2)2= x+8m在区间[0,16]上有两个不等的实根，设g(x)=(mx−2)2，h(x)= x+8m，函数g(x)与h(x)在区间[0,16]上有两个交点，结合二次函数、幂函数的性质分析可得关于m的不等式组，解可得答案．
本题考查函数零点与方程根的关系，涉及函数图象的性质，属于中档题．
19.【答案】解：(1)∵α为锐角，csα=35，
∴sinα= 1−cs2α=45，
∴tanα=sinαcsα=43；
(2)∵sin(α+β)=− 55，
∴cs(α+β)=±2 55，
当cs(α+β)=2 55时，
∴sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)csα−cs(α+β)sinα
=− 55×35−2 55×45=−11 525，
当cs(α+β)=−2 55时，
∴sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)csα−cs(α+β)sinα
=− 55×35+2 55×45= 55.
【解析】(1)由已知结合同角基本关系即可求解；
(2)由已知结合和差角公式即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)f(x)=cs2x+sin2x= 2sin(2x+π4)，
令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，解得kπ−3π8≤x≤kπ+π8，
∴故所求的单调递增区间是[kπ−3π8,kπ+π8](k∈Z)；
(2)由 2sin(2x+π4)=−1，得sin(2x+π4)=− 22，
∴2x+π4=5π4+2kπ或7π4+2kπ(k∈Z)，
∴x=π2+kπ或3π4+kπ(k∈Z)，
方程f(x)=−1在区间[0,m]上恰有一个解，
则π2≤m<3π4，
故m的取值范围为[π2,3π4).
【解析】(1)先对f(x)变形，再结合正弦函数的性质，即可求解；
(2)根据已知条件，推得sin(2x+π4)=− 22，再分类讨论，即可求解．
本题主要考查三角函数的恒等变换，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题，f(x)=10φ(x)−10x，
所以f(x)=10x2−10x+320,0≤x≤3450−40x−2−10x,3(2)当0≤x≤3时，f(x)的对称轴为x=12，最大值为f(3)=380，
当3 当且仅当40x−2=10(x−2)即x=4时，等号成立，
因390>380，
所以当施肥量为4kg时，单株年利润最大为390元．
【解析】(1)由f(x)=10φ(x)−10x即可求解；
(2)利用分段函数的最值即可求解．
本题考查了函数在解决实际问题上的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为函数f(x)=ax(a>1)，且f(1)+f(−1)=52，
所以a+1a=52，解得a=2，
所以f(x)=2x.
(2)函数g(x)=f(2x)+kf(x)=22x+k⋅2x，
令h(x)=g(x)+g(−x)+10，则h(x)为偶函数，
因为方程g(x)+g(−x)+10=0有4个不相等的实数解x1，x2，x3，x4，
所以函数h(x)有4个零点x1，x2，x3，x4，
所以x1+x2+x3+x4=0，不妨设x1f(x1)+f(x4)=2x1+2x4>2 2x1⋅2x4=2 2x1+x4=2，
同理f(x2)+f(x3)=2x2+2x3>2，
所以f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)>4.
所以f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)的取值范围为(4,+∞).
【解析】(1)根据已知条件f(1)+f(−1)=52，代入函数f(x)=ax，解方程即可求出a，从而求出函数的解析式；
(2)令h(x)=g(x)+g(−x)+10，易得h(x)为偶函数，把方程g(x)+g(−x)+10=0有4个不相等的实数解，转化为函数h(x)有4个零点，x1，x2，x3，x4，易得x1+x2+x3+x4=0，然后利用基本不等式即可求出结果．
本题考查待定系数法求函数解析式，函数的奇偶性判断，函数零点与方程根的关系，属中档题．
23.【答案】解：(1)当x∈(0,1)时，即lg 2x=0，得x=1(舍去)；
当x∈[1,2)时，即lg 2x=1，得x= 2；
当x∈[2,3)时，即lg 2x=2，得x=2；
综上所述：x= 2或2.
(2)由题可得g(x)的定义域为x∈[0,+∞),
又∵lg 2( x+1)+1≥1，
∴1lg 2( x+1)+1∈(0,1],∴
3当x=0时，g(x)=4，方程左边=f(f(8))=8，右边=f(4)=4，左边≠右边，
当x>0时，3∴f(4x2−10x+f(x+8))=f(4x2−10x+8+f(x))=3，
∴3≤4x2−10x+8+f(x)<4，
又∵x>0，
∴f(x)≥0，可得4x2−10x+8<4，
解得12当125+ 5412∴12当1≤x<2时，f(x)=1，即3≤4x2−10x+9<4，解得{x⩾32或x⩽15− 54∴32⩽x<5+ 54或x=1，
综上所述：x∈(12,5− 54)∪{1}∪[32,5+ 54).
【解析】(1)直接利用对数的运算求出结果；
(2)利用关系式的变换和不等式的解法求出结果．
本题考查的知识要点：对数的运算，不等式的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．