2023-2024学年浙江省嘉兴市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年浙江省嘉兴市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.集合A={x|2≤x<4}，B={x|x≥3}，则A∩B=( )
A. [2,4)B. [3,+∞)C. [3,4)D. [2,3)
2.已知sin(π+α)=35，则sinα=( )
A. 45B. 35C. −45D. −35
3.已知函数f(x)=3x−1,x≤1,12f(x−1),x>1,则f(3)=( )
A. 14B. 12C. 2D. 4
4.已知a，b，m∈(0,+∞)，则“a>b”是“b+ma+m>ba”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知α，β都是锐角，cs(α+β)=2 55,sinα= 1010，则csβ=( )
A. 9 210B. 7 210C. 22D. 210
6.设函数f(x)=x3−3x2，则下列函数是奇函数的是( )
A. f(x+1)+2B. f(x−1)+2C. f(x−1)−2D. f(x+1)−2
7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△ABC是等腰直角三角形，A，B为图象与x轴的交点，C为图象上的最高点，且|OB|=3|OA|，则( )
A. f(6)= 22
B. f(1)+f(9)=0
C. f(x)在(3,5)上单调递减
D. 函数f(x)的图象关于点(−52,0)中心对称
8.已知函数f(x)=ex+x，g(x)=lnx+x，若f(x1)=g(x2)=t，则x1+x2+2−t2的最大值为( )
A. 94B. 2C. 2e−12D. 3e−1e2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(4,2)，则( )
A. α=12B. f(x)的图象经过点(1,1)
C. f(x)在[0,+∞)上单调递增D. 不等式f(x)≥x的解集为{x|x≤1}
10.已知a>0，b>0，且a+b=1，则( )
A. ab≥18B. a2+b2>1
C. (a−12)(b−12)≤0D. ln1a+ln1b>1
11.已知函数fk(x)=sin2kx+cs2kx(k∈N*)，值域为Ak，则( )
A. A2=[12,1]
B. ∀k∈N*，fk(x)的最大值为1
C. ∀k∈N*，Ak+1⊆Ak
D. ∃k∈N*，使得函数fk(x)的最小值为13
12.设定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+2)=0，f(x+1)为奇函数，当x∈[1,2]时，f(x)=a⋅2x+b，若f(0)=−1，则( )
A. f(1)=0B. a+b=−12
C. f(lg224)=−12D. f(x+2)为偶函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一个扇形的弧长和面积都是2π3，则这个扇形的半径为______.
14.函数f(x)=(12)|x|的单调递增区间为______.
15.海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋.已知某港口某天的水深H(t)(单位：m)与时间t(单位：h)之间满足关系式：H(t)=3sinωt+5，且当地潮汐变化的周期为T=12.4h.现有一艘货船的吃水深度(船底与水面的距离)为5m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙(船底与洋底的距离).若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留______h.
16.若函数f(x)=x2−2x−a(11+|x−1|−a)(a>0)有两个零点，则实数a的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|x2−2x−3≥0}，B={x||x|≤2}.
(1)求集合A；
(2)求(∁RA)∪B.
18.(本小题12分)
如图，以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边与单位圆O分别交于P，Q两点，且OP⊥OQ，已知点P的坐标为(−45,35).
(1)求sinα−sinβ的值；
(2)求tan2β的值.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2(x+1)−lg2(1−x).
(1)求函数f(x)的定义域，并根据定义证明函数f(x)是增函数；
(2)若对任意x∈[0,12]，关于x的不等式f(1−t⋅2x)20.(本小题12分)
噪声污染问题越来越受到人们的重视.我们常用声压与声压级来度量声音的强弱，其中声压p(单位：Pa)是指声波通过介质传播时，由振动带来的压强变化；而声压级Lp(单位：dB)是一个相对的物理量，并定义Lp=20×lgpp0，其中常数p0为听觉下限阈值，且p0=2×10−5Pa.
(1)已知某人正常说话时声压p的范围是0.002Pa∼0.02Pa，求声压级Lp的取值范围；
(2)当几个声源同时存在并叠加时，所产生的总声压p为各声源声压pi(i=1,2,3,⋯,n)的平方和的算术平方根，即p= p12+p22+p32+⋯+pn2.现有10辆声压级均为80dB的卡车同时同地启动并原地急速，试问这10辆车产生的噪声声压级Lp是多少？
21.(本小题12分)
设函数f(x)=2cs2ωx−2sinωxcsωx−1(0<ω<4)，若将函数f(x)的图象向右平移π12个单位长度后得到曲线C，则曲线C关于y轴对称.
(1)求ω的值；
(2)若直线y=m与曲线y=f(x)在区间[0,π]上从左往右仅相交于A，B，C三点，且|AB|=2|BC|，求实数m的值.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−4x−acsπ2x.
(1)若a=−1，求函数f(x)在[0,2]上的值域；
(2)若关于x的方程f(x)=a−4恰有三个不等实根x1，x2，x3，且x1答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵A=[2,4),B=[3,+∞),
∴A∩B=[3,4).
故选：C.
由A与B，找出两集合的交集即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：由题意，−sinα=35，即sinα=−35.
故选：D.
根据诱导公式化简即可．
本题考查诱导公式的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=3x−1,x≤1,12f(x−1),x>1,
则f(3)=12f(2)=14f(1)=14(3−1)=12.
故选：B.
由函数的周期性得到f(3)=12f(2)=14f(1)=14(3−1)，由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由题意b+ma+m−ba=a(b+m)−b(a+m)a(a+m)=m(a−b)a(a+m)，
若a>b>0，结合m>0，则b+ma+m−ba=m(a−b)a(a+m)>0，
故“a>b”是“b+ma+m>ba”的充分条件；
若b+ma+m>ba，则b+ma+m−ba=m(a−b)a(a+m)>0，
由于a，b，m∈(0,+∞)则a>b，
故“a>b”是“b+ma+m>ba”的必要条件．
于是“a>b”是“b+ma+m>ba”的充分必要条件，
故选：C.
结合作差法比较代数式的大小关系，判断“a>b>0”和“b+ma+m>ba”之间的逻辑推理关系，可得答案．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了不等式的性质，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：α是锐角，sinα= 1010，则csα= 1−110=3 1010，
∵α，β都是锐角，∴α+β∈(0,π)，又cs(α+β)=2 55，则sin(α+β)= 1−45= 55，
则csβ=cs[(α+β)−α]=cs(α+β)csα+sin(α+β)sinα=2 55×3 1010+ 55× 1010=7 210.
故选：B.
根据同角三角函数的关系以及两角差的余弦公式计算即可．
本题考查三角恒等变换，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：因为函数f(x)的定义域为R，则各选项中函数定义域也为R，
根据奇函数的性质可知，若g(x)为奇函数，则g(0)=0，
因为f(1)=−2，f(−1)=−4，
B：f(−1)+2=−2≠0，即f(x−1)+2不是奇函数；
C：f(−1)−2=−6≠0，即f(x−1)−2不是奇函数；
D：f(1)−2=−4，即f(x+1)−2不是奇函数．
故选：A.
由已知结合奇函数的性质排除选项B，C，D即可求解．
本题主要考查了奇函数性质的应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，
所以f(x)max=1，
因为△ABC是等腰直角三角形，
所以|AB|=2=πω，所以ω=π2，
又因为|OB|=3|OA|，
所以点A(−12,0)，所以−12×π2+φ=0，解得φ=π4，
所以f(x)=sin(π2x+π4)；
对于A，f(6)=sin(π2×6+π4)=− 22，故A错误；
对于B，f(x)的最小正周期是4，所以f(1)+f(9)=2f(1)=2sin(π2+π4)= 2，故B错误；
对于C，因为3所以7π4<π2x+π4<11π4，所以函数f(x)在(3,92)上单调递增，在(92,5)上单调递减，故C错误；
对于D，f(−52)=sin(−52×π2+π4)=sin(−π)=0，
所以函数f(x)的图象关于点(−52,0)中心对称，故D正确．
故选：D.
借助图象求出ω、得出解析式后结合正弦型函数性质逐一判断选项即可．
本题考查三角函数的图象和性质，属中档题．
8.【答案】A
【解析】解：g(x)=x+lnx=elnx+lnx=f(lnx)
因为f(x1)=g(x2)=f(lnx2)=t，其中t∈R，且f(x)在R上单调递增，所以x1=lnx2，
故x1+x2+2−t2=lnx2+x2+2−t2=t+2−t2=−(t−12)2+94≤94，当且仅t=12等号成立．
所以x1+x2+2−t2的最大值为94.
故选：A.
将g(x)变形可得g(x)=f(lnx)，从而可得f(x1)=g(x2)=f(lnx2)=t，由f(x)的单调性可得x1=lnx2，从而将x1+x2+2−t2转化为t的函数，从而可得最大值．
本题主要考查函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：幂函数f(x)=xα的图象经过点(4,2)，
则4α=2，解得α=12，故A正确；
f(x)= x，f(x)的图象经过点(1,1)，故B正确；
f(x)在[0,+∞)上单调递增，故C正确；
f(x)的定义域为[0,+∞),
故不等式f(x)≥x的解集不可能为{x|x≤1}，故D错误．
故选：ABC.
根据已知条件，将点代入幂函数，再结合幂函数的解析式，即可求解．
本题主要考查幂函数的概念与性质，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：对于选项A，因为a>0，b>0，且a+b=1，
所以0所以ab=a(1−a)=−(a−12)2+14∈(0,14],故A不正确；
对于选项B，因为a+b2≤ a2+b22，当且仅当a=b=12时等号成立，
所以a2+b2≥12，当且仅当a=b=12时等号成立，故B不正确；
对于选项C，由选项A的分析可知：ab∈(0,14],
所以(a−12)(b−12)=ab−12(a+b)+14=ab−14≤0，故C正确；
对于选项D，由选项A的分析可知：ab∈(0,14],
所以1ab≥4，所以ln1a+ln1b=ln1ab≥ln4>1，故D正确．
故选：CD.
对于选项A，由题意可知：0本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
11.【答案】AB
【解析】解：对于A，因为sin2x+cs2x=1，所以sin2kx+cs2kx=(1−cs2x)k+cs2kx，
令cs2x=t，则sin2kx+cs2kx=(1−t)k+tk，t∈[0,1].
当k=2时，(1−t)2+t2=2t2−2t+1=2(t−12)2+12，
因为t∈[0,1]，y=2(t−12)2+12在[0,12)上单调递减，在(12,1]上单调递增，
所以函数的最小值为12，最大值为1，故A2=[12,1]，A正确；
对于B，因为t∈[0,1]，0≤t−1≤1，所以(1−t)k≤1−t且tk≤t，
故(1−t)k+tk≤1−t+t=1，当且仅当t=0或t=1时，(1−t)k+tk=1，
所以fk(x)最大值为1，故B正确；
对于C，因为t∈[0,1]，0≤t−1≤1则(1−t)k+1≤(1−t)k，tk+1≤tk，相加得(1−t)k+1+tk+1≤(1−t)k+tk，
所以[fk+1(x)min]≤[fk(x)min]，
由选项B的分析可知fk+1(x)与fk(x)的最大值都为1，故Ak⊆Ak+1，可知C项不正确；
对于D，当k=3时，(1−t)3+t3=3t2−3t+1=3(t−12)2+14，
因为t∈[0,1]，y=3(t−12)2+14在[0,12)上单调递减，在(12,1]上单调递增，
所以A3∈[14,1]，结合[fk+1(x)min]≤[fk(x)min]，可知当k>3时，fk(x)min≤14，
又因为A2∈[12,1]，且A1={1}，所以不可能存在k∈N*，使fk(x)最小值为13，故D项不正确．
故选：AB.
对于A，利用换元法与二次函数的单调性加以判断；对于B，利用指数函数的单调性加以判断；对于C，利用幂函数的单调性加以判断；对于D，结合A、B、C三项的结论，计算出A3，进而作出判断．
本题主要考查二次函数的性质、三角函数的图象与性质、函数的值域与最值等知识，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：选项A：因为f(x+1)为奇函数，
所以f(x+1)+f(−x+1)=0，即f(x)关于(1,0)对称，
又f(x)是定义在R上的函数，则f(1)=0，故A正确；
选项B：由f(0)=−1可得f(2)=1，则2a+b=04a+b=1，解得a=12，b=−1，
所以a+b=−12，故B正确；
选项C：因为f(x+2)=−f(x)，所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，即f(x)的周期为4；
因为4因为f(x)关于(1,0)对称，所以f(x)=−f(2−x)，
则f(lg232)=−f(2−lg232)=−f(lg283)=−13，故C错误；
选项D：由f(x+2)=−f(x)，f(2−x)=−f(x)得f(x+2)=f(2−x)，即f(x+2)为偶函数，D正确．
故选：ABD.
由已知结合函数的奇偶性及周期性，对称性检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数奇偶性及对称性，周期性，单调性的综合应用，属于中档题．
13.【答案】2
【解析】解：设扇形的半径为r，弧长为l，
则扇形的面积为S=12lr=12×2π3r=2π3，解得r=2.
故答案为：2.
设出扇形的半径，弧长，然后根据已知建立方程即可求解．
本题考查了扇形的面积公式，属于基础题．
14.【答案】(−∞,0)
【解析】解：根据题意，设t=|x|，y=(12)t，
t=|x|=x,x≥0−x,x<0，则t=|x|在(−∞,0)为减函数，
y=(12)t在R上为增函数，
故f(x)=(12)|x|的单调递增区间为(−∞,0).
故答案为：(−∞,0).
根据题意，设t=|x|，y=(12)t，由复合函数单调性的判断方法分析可得答案．
本题考查复合函数的单调性，涉及指数函数的性质，属于基础题．
15.【答案】6215
【解析】解：由题意H(t)=3sinωt+5，且当地潮汐变化的周期为T=12.4h，
所以2πω=12.4，可得ω=5π31，
可得H(t)=3sin5π31t+5，
由题意，H(t)=3sin5π31t+5≥5+1.5，解得sin5π31t≥12，
可得π6≤5π31t≤5π6，可得3130≤t≤316，
所以此船最多停留时间为：316−3130=6215.
故答案为：6215.
则题意求得H(t)=3sin5π31t+5，再根据3sin5π31t+5≥5+1.5，求解即可得答案．
本题考查了三角函数的性质，属于基础题．
16.【答案】(0,1+ 52)
【解析】解：函数的定义域为R，令t=|x−1|，则g(t)=t2−1−a(1t+1−a)只有一个零点，
且该零点为正数．令g(t)=0⇔t2=at+1−a2+1，
根据函数h1(t)=t2(t≥0)和h2(t)=at+1−a2+1(t≥0)的图象及凹凸性可知，
只需满足h1(0)即0<−a2+a+1⇒a2−a−1<0⇒1− 52又因为a>0，则0所以实数a的取值范围是(0,1+ 52).
故答案为：(0,1+ 52).
令t=|x−1|，构造两个函数转化为交点问题即可得解．
本题考查函数与零点的关系，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为x2−2x−3≥0，所以x≤−1或x≥3，
所以集合A={x|x≤−1或x≥3}.
(2)由(1)可知：A={x|x≤−1或x≥3}，
所以∁RA={x|−1又因为B={x||x|≤2}={x|−2≤x≤2}，
所以(CRA)∪B={x|−2≤x<3}.
【解析】(1)根据一元二次不等式的解法可得出集合A即可；(2)利用补集和交集的定义直接求解即可．
本题考查集合间的基本运算，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
18.【答案】解：(1)由三角函数的定义可得sinα=35,csα=−45，
因为0<β<α<π，角α与β的终边与单位圆O分别交于P，Q两点，且OP⊥OQ，
所以β=α−π2⇒sinβ=sin(α−π2)=−csα=45，
故sinα−sinβ=sinα+csα=35−45=−15；
(2)由(1)可知sinβ=45，且csβ=cs(α−π2)=sinα=35，
故tanβ=43，根据二倍角公式得tan2β=2tanβ1−tan2β=2×431−(43)2=−247.
【解析】(1)由任意角的三角函数的定义可得sinα，csα，分析可得β=α−π2，利用诱导公式可求得sinβ的值，由此可得出sinα−sinβ的值；
(2)利用诱导公式求出csβ的值，可求得tanβ的值，再利用二倍角的正切公式可求得tan2β的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式以及二倍角的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由x+1>0,1−x>0,可得定义域为(−1,1).
证明单调性：设−1由于−1所以x1−x2<0，(x1+1)(1−x2)>0，(1−x1)(x2+1)>0，
且(x1+1)(1−x2)−(1−x1)(x2+1)=2(x1−x2)<0，
于是0<(x1+1)(1−x2)(1−x1)(x2+1)<1，
则f(x1)−f(x2)=lg2(x1+1)−lg2(1−x1)−[lg2(x2+1)−lg2(1−x2)]=lg2(x1+1)(1−x2)(1−x1)(x2+1)，
所以lg2(x1+1)(1−x2)(1−x1)(x2+1)<0，即f(x1)所以函数f(x)在定义域上单调递增．
(2)由于0<2x−12x+1<1，所以不等式f(1−t⋅2x)等价于22x(2x+1)由x∈[0,12]可得1≤2x≤ 2，所以2− 2≤22x(1+2x)≤1，
于是实数t的取值范围是(1, 2).
【解析】(1)结合函数有意义的条件即可求解函数的定义域；然后结合函数的单调性定义即可证明函数是增函数；
(2)结合函数的单调性对已知不等式进行转化，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解．
本题主要考查了函数定义域的求解，函数单调性的判断，函考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)当p=0.002=2×10−3Pa时，LP=20×lg2×10−32×10−5=40dB，
当p=0.02=2×10−2Pa时，LP=20×lg2×10−22×10−5=60dB，
因为Lp是关于p的增函数，
所以正常说话时声压级LP∈[40,60]dB；
(2)由题意得：80=20×lgpip0⇒pi=p0×104(Pa)(其中i=1，2，3，⋯，10)，
总声压：p= p12+p22+⋯+p102= 10p0×104(Pa)，
LP=20×lgpp0=20×lg 10p0×104p0=20×(4+lg 10)=90(dB)，
故这10辆车产生的噪声声压级Lp=90(dB).
【解析】(1)因为LP是关于p的增函数结合声压p的范围是0.002Pa∼0.02Pa，即可得出答案；
(2)由题意可得出80=20×lgpip0求出pi，代入可求出总声压p，再代入Lp=20×lgpp0，求解即可．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)原函数f(x)=(2cs2ωx−1)−2sinωxcsωx=cs2ωx−sin2ωx= 2cs(2ωx+π4)
由题意可知：函数f(x)关于直线x=−π12对称，
故2ω(−π12)+π4=kπ,k∈Z⇒ω=32−6k,k∈Z
又因为0<ω<4，故ω=32；
(2)方法一：因ω=32，故f(x)= 2cs(3x+π4)
根据五点法作出函数f(x)在[0,π]上的图象，如图所示：
设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)
由题意可知：0由|AB|=2|BC|，得x2−x1=23T=4π9 ①
又因为A，B两点关于直线x=π4对称，则x1+x2=π2 ②
由①②可得x1=136πx2=1736π
于是m=f(x1)= 2cs(3×π36+π4)= 22；
方法二：因ω=32，故f(x)= 2cs(3x+π4)
设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)
由题意可知：m>0,0又由|AB|=2|BC|，得x2−x1=23T=4π9，于是x2=x1+4π9
而f(x1)=f(x2)，即 2cs(3x1+π4)= 2cs(3x2+π4)
⇒cs(3x1+π4)=cs[3(x1+4π9)+π4]=cs[(3x1+π4)+4π3]
令t=3x1+π4∈(π4,π2)，则cst=cs(t+4π3)⇒t+(t+4π3)=2π⇒t=π3
故m=f(x1)= 2cs(3x1+4)= 2cst= 22.
【解析】(1)首先利用三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质求出结果；
(2)利用函数的图象和函数的性质以及三角函数的关系式的变换求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)若a=−1,f(x)=(x−2)2+csπ2x−4，
因为函数y=(x−2)2−4和y=csπ2x均在[0,2]上单调递减，
所以函数f(x)在[0,2]上单调递减，故f(x)min=f(2)=−5，f(x)max=f(0)=1，
所以函数f(x)在[0,2]上的值域为[−5,1].
(2)f(x)=a−4⇔(x−2)2=a(csπ2x+1)，
显然：当x≠2时，(x−2)2>0,0≤csπ2x+1≤2，
由于方程f(x)=a−4有三个不等实根x1，x2，x3，所以必有a>0，
令F(x)=f(x)−a+4，则F(x)=x2−4x−acsπ2x−a+4，显然有F(2)=0，
由F(4−x)=(4−x)2−4(4−x)−acsπ2(4−x)−a+4=x2−4x+4−acsπ2x−a，
得到F(4−x)=F(x)，所以函数F(x)关于直线x=2对称，
由F(x1)=F(x2)=F(x3)=0，可得：x1+x3=2x2=4，
于是f(x3)=f(4−x1)=x12−4x1−acsπ2x1，
f(2x1)=4x12−8x1−acsπx1
f(2x1)−7f(x3)−8x1=4x12−8x1−acsπx1−7(x12−4x1−acsπ2x1)−8x1
=−3(x1−2)2+12−a(2cs2π2x1−1−7csπ2x1)①，
由F(x1)=0可得：(x1−2)2=a(csπ2x1+1)②，
将②代入①式可得：
f(2x1)−7f(x3)−8x1=−3a(csπ2x1+1)+12−a(2cs2π2x1−1−7csπ2x1)
=−2a(csπ2x1−1)2+12≤12，
当且仅当csπ2x1=1，即x1=4k(k∈N)时等号成立，
由于f′(x)=a−4恰有三个不等实根，x2=2且x1所以x1=0，此时x3=4，
由(x1−2)2=a(csπ2x1+1)可得4=a(cs0+1)，
故a=2.
【解析】(1)根据y=(x−2)2−4和y=csπ2x的单调性可得f(x)在[0,2]上单调递减，进而可求解；
(2)构造F(x)=f(x)−a+4，根据F(4−x)=F(x)，可得F(x)关于直线x=2对称，进而可得x1+x3=2x2=4，即可代入化简得f(2x1)−7f(x3)−8x1的表达式，即可结合二倍角公式以及二次函数的性质求解．
本题主要考查函数的零点和方程根的关系，属于中档题．