2023-2024学年浙江省金华市十校高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年浙江省金华市十校高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.sinπ3的值等于( )
A. 12B. −12C. 32D. − 32
2.已知集合A={1,2,3}，B={2,a,4}，若A∩B={2}，则实数a可以为( )
A. 1B. 3C. 4D. 7
3.若对于任意x∈[1,2]，不等式m+2−x2≤0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. m≤−1B. m≤0C. m≤1D. m≤2 2
4.哥哥和弟弟一起拎一重量为G的重物(哥哥的手和弟弟的手放在一起)，哥哥用力为F1，弟弟用力为F2，若|F1|=|F2|，且F1，F2的夹角为120∘时，保持平衡状态，则此时F1与重物重力G之间的夹角为( )
A. 60∘B. 90∘C. 120∘D. 150∘
5.“−4≤a≤4”是“函数f(x)=lg2(x2−ax+4)的定义域为R”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数f(x)=x2−(a+b)x+16，a，b是正实数.若存在唯一的实数x，满足f(x)≤0，则a2+3b2的最小值为( )
A. 46B. 48C. 52D. 64
7.某种废气需要经过严格的过滤程序，使污染物含量不超过20%后才能排放.过滤过程中废弃的污染物含量Q(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为Q=Q0e−kt，其中Q0是原有废气的污染物含量(单位：mg/L)，k是正常数.若在前4h消除了20%的污染物，那么要达到排放标准至少经过(答案取整数)( )
参考数据：ln0.2≈−1.609，ln0.8≈−0.223，0.84=0.4096，0.86≈0.26
A. 19hB. 29hC. 39hD. 49h
8.若实数x，y∈(−π4,π4)，满足xsinx=x2+2ysin2y，则( )
A. x≥2yB. x≤2yC. |x|≥|2y|D. |x|≤|2y|
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在△ABC中，( )
A. 若A≥B，则csA≤csBB. 若A≥B，则tanA≥tanB
C. sin(A+B)=sinCD. sinA+B2=csC2
10.已知f(x)=xα(α∈R)( )
A. 当α=−1时，f(x)的值域为RB. 当α=3时，f(π)>f(3)
C. 当α=12时，f(x2)是偶函数D. 当α=12时，f2(x)是奇函数
11.已知函数f(x)=2cs2ωx+ 3sin2ωx−1(ω>0)的最小正周期为π，则( )
A. ω=2B. 函数f(x)在(0,π6)上为增函数
C. (−π3,0)是f(x)的一个对称中心D. 函数f(x+π6)的图像关于y轴对称
12.已知函数f(x)=cs[π(x−12)](2|x|+1)(2|x−1|+1)，则( )
A. 函数f(x)是周期函数B. 函数f(x)有最大值和最小值
C. 函数f(x)有对称轴D. 对于x∈[−1,12]，函数f(x)单调递增
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.sin2______0(填>或0,则方程f(f(x))=2的所有根之积为______.
16.若函数f(x)=(x+2+kx+2+k)⋅ln(x+1)的值域为(0,+∞)，则实数k的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算下列各式的值：
(Ⅰ)lg32+lg35−2lg3 10+2lg23；
(Ⅱ)1−64−x1+8−x+(1−2x)(1+2x+4x)+(8x2+8−x2)2.
18.(本小题12分)
已知向量a=(1,2)，|b|=2 5.
(Ⅰ)若a//b，求b的坐标；
(Ⅱ)若(−5a+2b)⊥(a+b)，求a与b的夹角.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=cs2x2−sin2x2+sinx.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期与对称轴方程；
(Ⅱ)当x0∈(0,π)且f(x0)=3 25时，求f(x0+π6)的值.
20.(本小题12分)
如图，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角∠POQ=π3，A是扇形弧上的动点，过A作OP的平行线交OQ于B.记∠AOP=α.
(Ⅰ)求AB的长(用α表示)；
(Ⅱ)求△OAB面积的最大值，并求此时角α的大小.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=a(ex−1)+e−x.
(Ⅰ)当a=−1时，讨论f(x)的单调性(不必给出证明)；
(Ⅱ)当a=1时，求f(x)的值域；
(Ⅲ)若存在x1，x2∈(−∞,0)，使得f(x1)=f(x2)=0，求e2x1+e2x2的取值范围.
22.(本小题12分)
二次函数f(x)的最大值为34，且满足f(2−x)=f(x−2)，f(1)=−14，函数g(x)=kx(k≠0).
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；
(Ⅱ)若存在x0∈[−1,1]，使得f(x0)=g(x0)，且f(x)−g(x)的所有零点构成的集合为M，证明：M⊆[−1,1].
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：sinπ3= 32.
故选：C.
利用特殊角的三角函数值即可得解．
此题考查了特殊角的三角函数值的应用，熟练掌握相关特殊角的三角函数值是解本题的关键，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：集合A={1,2,3}，B={2,a,4}，A∩B={2}，
∴由交集定义得a的值不能取1，3，
由集合中元素的互异性得a的值不能是2，4，
则实数a可以为7.
故选：D.
由交集定义和集合中元素的互异性能求出结果．
本题考查由交集定义和集合中元素的互异性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：任意x∈[1,2]，不等式m+2−x2≤0恒成立，即m≤x2−2对任意x∈[1,2]恒成立，
令y=x2−2，x∈[1,2]，
∴y=x2−2在[1,2]上单调递增，
∴当x=1时，ymin=−1，
∴m≤−1.
故选：A.
题意转化为m≤x2−2对任意x∈[1,2]恒成立，构造函数y=x2−2，x∈[1,2]，利用二次函数的性质求出最小值，即可得出答案．
本题考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】解：根据力的平衡，F1，F2的合力为CA，如图所示：
由于|F1|=|F2|，且F1，F2的夹角为120∘，
则△ACB为等边三角形，则∠ACB=60∘，
则F1与重物重力G之间的夹角为180∘−60∘=120∘.
故选：C.
根据力的平衡，平行四边形法则即可求夹角．
本题考查向量的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】由函数f(x)的定义域为R，则x2−ax+4>0恒成立，
所以Δ=(−a)2−16A≥B>0，得csA≤csB；
对于B，举反例判断；
对于C，利用诱导公式判断；
对于D，利用诱导公式判断．
【解答】
解：对于A，∵π>A≥B>0，∴csA≤csB，故A正确；
对于B，当B=π6，A=2π3时，tanB>0>tanA，故B错误；
对于C，∵A+B=π−C，∴sin(A+B)=sinC，故C正确；
对于D，A+B2=π2−C2，∴sinA+B2=csC2，故D正确．
故选：ACD.
10.【答案】BC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，当α=−1时，f(x)=x−1=1x，其值域为{y|y≠0}，A错误；
对于B，当α=3时，f(x)=x3，在R上为增函数，则有f(π)>f(3)，B正确；
对于C，当α=12时，f(x2)= x2=|x|，易得f(x)为偶函数，C正确；
对于D，当α=12时，f2(x)=( x)2=x，其定义域为[0,+∞),既不是奇函数也不是偶函数，D错误．
故选：BC.
由幂函数的性质分析A和B，由函数奇偶性的定义分析C、D，综合可得答案．
本题考查幂函数的性质，涉及函数奇偶性的判断，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：由于函数f(x)=2cs2ωx+ 3sin2ωx−1=cs2ωx+ 3sin2ωx=2cs(2ωx−π3)(ω>0)的最小正周期为2π2ω=π，
∴ω=1，可得y=2cs(2x−π3)，故A错误．
在(0,π6)上，2x−π3∈(−π3,0)，函数f(x)单调递增，故B正确．
令x=−π3，求得f(x)=−2，为最大值，可得x=−π3是f(x)的图象的一条对称轴，故C错误．
由于函数f(x+π6)=2cs2x，故f(x+π6)为偶函数，它的图像关于y轴对称，故D正确．
故选：BD.
由题意，利用三角恒等变换，化简f(x)的解析式，再根据余弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的图象和性质，属于中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：f(x)=cs[π(x−12)](2|x|+1)(2|x−1|+1)=sinπx(2|x|+1)(2|x−1|+1)，
对于C选项，因为f(1−x)=sin[π(1−x)](2|1−x|+1)(21−x−1|+1)=sinπx(2|x|+1)(2|x−1|+1)=f(x)，
所以函数f(x)的图象关于直线x=12对称，C对；
对于D选项，因为f(−1)=0，f(0)=0，故函数f(x)在[−1,12]上不单调，D错；
对于B选项，因为函数f(x)的图象关于直线x=12对称，要求函数f(x)的最大值和最小值，
所以只需求出函数f(x)在[12,+∞)上的最大值和最小值即可，
设g(x)=(2|x|+1)(2|x−1|+1)，
当12≤x≤1时，g(x)=(2x+1)(21−x+1)=3+2x+22x，令t=2x∈[ 2,1]，
因为函数t=2x在[12,1]上单调递增，函数y=3+t+2t在[ 2,1]上单调递增，
所以函数g(x)在[12,1]上单调递增，
当x≥1时，g(x)=(2x+1)(2x−1+1)=22x−1+32⋅2x+1在[1,+∞)上为增函数，
所以函数g(x)=(2|x|+1)(2|x−1|+1)在[12,+∞)上为增函数，
故函数g(x)在x=12处取得最大值，且g(x)max=g(12)=( 2+1)2，
故函数1g(x)在x=12处取得最小值，且最小值为1( 2+1)2=( 2−1)2，
当12≤x≤32时，则π2≤πx≤3π2，则函数h(x)=siπx在[12,32]上为减函数，
对任意的x1x2∈[12,32]，且x1h(x2)，g(x2)>g(x1)>0，1g(x1)>1g(x2)>0，
由不等式的基本性质可得h(x1)g(x1)>h(x1)g(x2)>h(x2)g(x2)，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在[12,32]上单调递减，
又因为当x=12时，函数h(x)=sinπx取得最大值，
故函数f(x)仅在x=12处取得最大值，
对任意的x∈[32,+∞),h(x)≥h(32),1g(x)≤1g(32),
若h(x)≥0，则h(x)g(x)≥0>h(32)g(32)，
若h(x)0)为周期的周期函数，
则f(T+12)=f(12)，与题意矛盾，故函数f(x)不可能是周期函数，A错．
故选：BC.
利用函数对称性的定义可判断C选项；判断函数f(x)在[12,32]上的单调性，结合函数最值的定义可判断B选项；利用特殊值法可判断D选项；利用反证法结合B选项中的结论可判断A选项．
本题考查了函数的性质，属于难题．
13.【答案】>
【解析】解：∵2是第二象限角，
∴sin2>0.
故答案为：>.
由2是第二象限角，得到sin2>0.
本题考查三角函数的定义和符号等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】8
【解析】解：令πn6+2π3=2π，则n=8.
故答案为：8.
由已知结合余弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了余弦函数最值取得条件的应用，属于基础题．
15.【答案】14
【解析】解：画出函数f(x)的图象，如图所示：
由图象可知，f(x)=2有2个根，且两个根都大于0，
所以令|lg2x|=2，得x=4或14，
因为f(f(x))=2所以f(x)=4或f(x)=14，
由图象可知，方程f(x)=4有2个根，且两个根都大于0，设为x1，x2，
由|lg2x|=4，可得x1x2=1，
方程f(x)=14有4个根，且有2个根大于0，设为x3，x4，有2个根小于0，设为x5，x6，
由|lg2x|=14，可得x3x4=1，
由−x2−2x=14，可得x2+2x+14=0，
所以x5x6=14，
所以方程f(f(x))=2的所有根之积为x1x2x3x4x5x6=1×1×14.
故答案为：14.
画出函数f(x)的图象，由f(f(x))=2可得f(x)=4或f(x)=14，数形结合求解即可．
本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
16.【答案】−2
【解析】解：根据题意，函数f(x)=(x+2+kx+2+k)⋅ln(x+1)，其定义域为(−1,0)∪(0,+∞)，
若f(x)的值域为(0,+∞)，则f(x)=(x+2+kx+2+k)⋅ln(x+1)>0在区间(−1,0)∪(0,+∞)上恒成立，
当−1−x2x+1，
综合可得：k+2>−x2x+1在(−1,0)∪(0,+∞)上恒成立，
设g(x)=x2x+1，x∈(−1,0)∪(0,+∞)，
则g(x)=x2−1+1x+1=x−1+1x+1=(x+1)+1x+1−2，
又由x∈(−1,0)∪(0,+∞)，则x+1>0且x+1≠1，
由基本不等式的性质，(x+1)+1x+1−2>2−2=0，
则有g(x)>0，
故−x2x+1=−g(x)−x2x+1在(−1,0)∪(0,+∞)上恒成立，必有k+2≥0，解可得k≥−2，
实数k的最小值为−2.
故答案为：−2.
根据题意，分析f(x)的定义域可得f(x)>0在区间(−1,0)∪(0,+∞)上恒成立，分−1−x2x+1在(−1,0)∪(0,+∞)上恒成立，设g(x)=x2x+1，x∈(−1,0)∪(0,+∞)，分析g(x)的最小值，可得关于k的不等式，解可得答案．
本题考查函数的值域，涉及基本不等式的性质，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)原式=lg3(2×5)−lg310+3=0+3=3；
(Ⅱ)原式=1−8−x+1−8x+8x+2+8−x=4.
【解析】(Ⅰ)利用对数的运算性质化简即可求解；(Ⅱ)利用有理数指数幂的运算性质化简即可求解．
本题考查了对数以及有理数指数幂的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)由题意，因为a//b，所以设b=λa=(λ,2λ).
因为|b|=2 5，所以 λ2+(2λ)2=2 5，解得λ=±2，
所以b=(2,4)或b=(−2,−4)；
(Ⅱ)因为(−5a+2b)⊥(a+b)，
所以(−5a+2b)⋅(a+b)=0，
所以−5a2−3a⋅b+2b2=0，
因为a=(1,2)，|b|=2 5，所以|a|= 12+22= 5，
所以−5×5−3a⋅b+2×20=0，解得a⋅b=5.
设a与b的夹角为θ，
则csθ=a⋅b|a||b|=5 5×2 5=12，
又因为θ∈[0,π]，所以θ=π3，
所以a与b的夹角为π3.
【解析】(Ⅰ)设b=λa=(λ,2λ)，由题建立关于λ的方程，求解即可；
(Ⅱ)由平面向量的数量积运算计算可得a⋅b=5，再由向量的夹角公式计算即可．
本题考查平面向量的数量积与夹角，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)由题设有f(x)=csx+sinx= 2sin(x+π4).
函数f(x)=cs2x2−sin2x2+sinx=csx+sinx= 2sin(x+π4)的最小正周期是T=2π.
由x+π4=kπ+π2，k∈Z，求得函数的对称轴为x=kπ+π4，k∈Z.
(Ⅱ)由f(x0)=3 25得， 2sin(x0+π4)=3 25，即sin(x0+π4)=35.
因为x0∈(0,π)，所以x0+π4∈(π4,5π4).
若x0+π4∈(π4,π2)，则sin(x0+π4)> 22，这与sin(x0+π4)=35，矛盾．
∴x0+π4∈(π2,π).
从而cs(x0+π4)=− 1−sin2(x0+π4)=− 1−(35)2=−45.
于是f(x0+π6)= 2sin(x0+π4+π6)= 2sin[(x0+π4)+π6]= 2[sin(x0+π4)csπ6+cs(x0+π4)sinπ6]= 2(35× 32+−45×12)=3 6−4 210.
【解析】(Ⅰ)由题意，利用三角恒等变换，化简f(x)的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，求出函数f(x)的最小正周期与对称轴方程．
(Ⅱ)由题意，求出sin(x0+π4)的值，可得cs(x0+π4)的值，再利用两角和的正弦公式，求出f(x0+π6)的值．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)过A、B作OP的垂线，垂足分别为C、D，如图所示：
则OD=OPcsα=csα，BC=AD=OPsinα=sinα，04，
所以e2x1+e2x2的取值范围为(12,1).
【解析】(Ⅰ)当a=−1时，f(x)=−ex+e−x+1，利用单调性的定义，即可得出答案．
(Ⅱ)当a=1时，f(x)=ex+e−x−1，由基本不等式，即可得出答案．
(Ⅲ)令t=ex∈(0,1)，则问题等价于存在t1，t2∈(0,1)，使得at2−at+1=0，令g(t)=at2−at+1，则a>0,g(0)>0,g(1)>0,0