安徽省合肥市庐阳区合肥市第四十五中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
详解】解：A、正确；
B、＝ ，故错误；
C、＝|a|，故错误；
D、＝2，故错误；
故选A．
【点睛】本题考查了最简二次根式，在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义：若方程经过整理后，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程，即可解答．
【详解】解：A．是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B．，是一元二次方程，故此选项符合题意；
C．，该方程含有两个未知数，故此选项不符合题意；
D．是分式方程，故此选项不符合题意．
故选：B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的运算法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项正确，符合题意．
故选：D．
4. 下列各组数据中的三个数是一组勾股数的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理和勾股数的定义，满足．根据勾股数的定义进行分析，从而得到答案．
详解】解：A、，，，故此选项错误；
B、，，且，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、中不是正整数，三个数不是勾股数，故此选项错误．
故答案为：B．
5. 根据表格中的信息，判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．利用表中数据得到和时，代数式的值一个等于，一个等于，从而可判断当时，．
【详解】解：当时，，
当时，，
所以方程的一个解x的范围是．
故选：A．
6. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据配方法的方法可以对题目中的方程配方，从而可以解答本题．
【详解】解：4x2-2x-1=0，
x2-x=，
x2-x+（）2=+（）2，
（x-）2=．
故选：D．
【点睛】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是明确配方法，会用配方法对方程进行变形．
7. 关于x的方程有两个相等的实数根，若a，b，c是的三边长，则这个三角形一定是（ ）．
A. 等边三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】由关于x的方程有两个相等的实数根，可得，整理得，根据勾股定理逆定理判断的形状即可．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，整理得，
∴是直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
8. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（ ）
A. 9B. 8C. 7D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意找出等量关系是解题关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据题意可列出关于x的方程，再求解即可．
【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去），，
∴这种植物每个支干长出的小分支个数是8．
故选：C．
9. 若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A. 2024B. 2025C. 2026D. 2027
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，利用整体思想解一元二次方程是解题的关键．利用整体思想设得到方程，再根据关于x的一元二次方程有一根为，即可得到t的值，从而可求解．
【详解】解：∵，
∴，即．
设，则．
∵关于x的一元二次方程有一根为，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴一元二次方程必有一根为2026．
故选C．
10. 如图，在中，，点D是上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点E处，连接交于点F，当是直角时，的长为（ ）
A. 5B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查折叠的性质，勾股定理．利用勾股定理列出方程求解是解题关键．由勾股定理可求出．由折叠可知当是直角时，点E和F重合，且，，从而可求出．设，则．再根据勾股定理可列出关于x的方程，求解即可．
【详解】解：由折叠可知当是直角时，点E和F重合，如图，
∵，
∴．
由折叠可知，，
∴．
设，则．
∵是直角，
∴，即，
解得：，
∴．
故选B．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
由题意知，，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，，
故答案为：．
12. 在实数范围内因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】2写成，然后利用平方差公式分解即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数范围内因式分解：利用完全平方公式或平方差公式在实数范围内进行因式分解．
13. 如图，在中，于点D．分别以为边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为，那么最小的正方形面积为_______．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及正方形的面积，熟记勾股定理是解题关键，由正方形的面积公式可得结合勾股定理即可求解．
【详解】解：在中，，
，
三个正方形的面积分别为，
，
在及中，由勾股定理可得：
，，
，
，
即最小的正方形面积为7，
故答案为：7．
14. 新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”．
（1）与是“同类方程”，则______；
（2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是________．
【答案】 ①. ②. 6
【解析】
【分析】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键．
（1）根据“同类方程”的定义，可得出b的值．
（2）根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值．
【详解】解：（1）与是“同类方程”，
即与是“同类方程”，
∴，
解得，
故答案为：
（2）∵与“同类方程”，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴
∴当时，取得最大值为6．
故答案为：6．
三、解答题
15. 化简计算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】先将式子里的每一项化为最简二次根式，再合并同类项即可得出答案．
【详解】
故答案为：
【点睛】本题主要考查二次根式的加减，熟练掌握二次根式加减运算法则是解题的关键．
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：，
，
解得．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
17. 观察以下等式：
第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，……
（1）按照以上规律，写出第4个等式：______________；
（2）按照以上规律，写出你猜想的第n个等式：____________．（用含n的等式表示，n为正整数），并证明等式成立．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了数字的变化规律，二次根式的混合运算，解题的关键是发现等式的规律：等式序号从1开始按自然数顺序排列，等式的左边二次根式的被开方数为该自然数乘以相差为2的数再加上1，右边是该自然数加1．
（1）根据题意得到规律：等式序号从1开始按自然数顺序排列，等式的左边二次根式的被开方数为该自然数乘以相差为2的数再加上1，右边是该自然数加1，依此规律可得出答案；
（2）根据（1）发现规律用字母表示即可，再分别计算等式两边判断是否相等即可．
【小问1详解】
解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
由以上式子可得：第1个等式为：；
第2个等式：；
第3个等式为：；
即得出规律为：等式序号从1开始按自然数顺序排列，等式的左边二次根式的被开方数为该自然数乘以相差为2的数再加上1，右边是该自然数加1．
故第4个等式为：；
故答案为：．
【小问2详解】
解：由（1）的规律可得第个等式为：，
证明：等式左边，
为正整数，
等式左边，
又右边，
等式左边=等式右边，
．
18. 操作与探究
（1）图1是由有5个边长为1的正方形组成的，把它按图中的分割方法分割成五部分后可拼接成一个面积为5的大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形，并在大正方形内部标注出五部分的序号；
（2）如图，如果设（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为，斜边为c．请你利用图2中拼成的大正方形证明勾股定理．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】此题考查了利用网格拼图与勾股定理的证明，熟练掌握利用图形面积的关系证明勾股定理是解答此题的关键．
（1）根据网格用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，即可完成拼图；
（2）利用大正方形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理得到勾股定理．
【小问1详解】
解：如图即为拼接成的大正方形；
【小问2详解】
解：大正方形的面积，
又因为大正方形的面积，
所以；
19. 已知关于x的方程．
（1）求证：无论x取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个实数根是1，求p的值及方程的另一个实数根．
【答案】（1）见解析 （2），另一个实数根为
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程和一元二次方程的解，根据题意正确计算即可．
（1）先化为一般形式，再求出，即可得结论；
（2）把代入得，，解得，则，再解方程即可得到另一个实数根．
【小问1详解】
解：由得，
∵，
∴无论x取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
把代入得，，
解得
∴，
∴，
即
∴
∴
20. 如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离为2米，顶端B距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为3米，顶端E距墙顶D的距离为2米，点在一条直线上，点在一条直线上，．求：

（1）墙的高度；
（2）竹竿的长度．
【答案】（1）4米 （2）米
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，解题的关键是根据两种不同状态竹竿长不变列等式及正确计算．
（1）设墙高x米，则米，米，在和中，根据勾股定理可列出关于x的方程，再求解即可；
（2）把（1）中的x代入勾股定理即可得到答案．
【小问1详解】
解：设墙高x米，则米，米，
在中，，
在中，，
由题意可知，
∴，
解得：，
答：墙的高度为4米；
【小问2详解】
解：米．
答：竹竿的长度为米．
21. 定义：如图，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割．
（1）已知把线段分割成，若，则点是线段的勾股分割点吗？请说明理由；
（2）已知点是线段的勾股分割点，且为直角边，若，求的长．
【答案】（1）点、是线段的勾股分割点；理由见解析
（2）或10．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是理解新定义，学会分类讨论，注意不能漏解．
（1）由，可得，根据勾股定理逆定理得出以、、为边的三角形是一个直角三角形，再根据线段勾股分割点的定义即可判断；
（2）设，则，分两种情形①当为最长线段时，依题意，②当为最长线段时，依题意，分别列出方程即可解决问题．
【小问1详解】
解：点、是线段的勾股分割点．理由如下：
，，
，
、、为边的三角形是一个直角三角形，
点、是线段的勾股分割点；
【小问2详解】
解：设，则，
①当为最长线段时，依题意，
即，
解得；
②当为最长线段时，依题意．
即，
解得．
综上所述，或10．
22. 机械加工需要用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为，按此计算，加工一台大型机械设备的耗油率为，则实际耗油量为36千克，为了建设节约型壮会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到60千克，用油量的重复利用率仍然为，问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油每减少1千克，用油的重复利用率将增加，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到14千克，乙车间技术革新后，设加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了x千克．
①下降后的润滑用油量为______千克，用油的重复利用率提高为_______；（用含x的式子填空）
②求乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？油的重复利用率是多少？
【答案】（1）24千克；
（2）①，；②乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是70千克，油的重复利用率是．
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列式和列方程是解题的关键．
（1）根据题意，实际耗油量﹦用油量×（1－重复利用率），代入数据计算即可；；
（2）企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为，润滑用油每减少1千克，用油的重复利用率将增加，设加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了x千克．即可得到下降后的润滑用油量为千克，用油的重复利用率提高为；②根据乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到14千克列出方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可得，（千克），
答：甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是24千克；
【小问2详解】
①由题意得到，下降后的润滑用油量为千克，用油的重复利用率提高为；
故答案为：，
②由题意可得，，
解得，（不合题意，舍去），
∴加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了千克．
∴，，
答：乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是70千克，油的重复利用率是．
23. 如图，已知在中，是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接．
（1）当秒时，求的面积；
（2）若平分，求t的值；
（3）过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？
【答案】（1）；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理，三角形的面积，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．
（）根据动点的运动速度和时间先求出，再利用三角形的面积计算公式解答即可求解；
（）作于，利用角平分线的性质分别求得，再利用勾股定理 ，解得，最后利用，求得的值即可；
（）根据动点运动的不同位置利用勾股定理解答即可求解；
【小问1详解】
解：由题意可得，，
∵，，
∴，
∴，
∴当秒时，求面积为；
【小问2详解】
解：当线段恰好平分时，作于，如图，
∵线段平分，， ，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∵ ，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
解得；
【小问3详解】
解：点在线段上时，过点作于，连接，如图，
则，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得；
点在线段的延长线上时，过点作于，如图，
同得 ，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得；
综上所述，在点的运动过程中，当的值为或时，能使．
x
3.24
3.25
3.26
0.03