安徽省合肥市蜀山区合肥市五十中学西校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 的立方根是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的立方根．根据求一个数的立方根进行计算即可求解．
【详解】解：，
∴的立方根是，
故选：D．
2. 在下列各数中是无理数有（ ）
，，，，（每两个1之间依次多一个0）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是无理数的定义．无限不循环小数叫做无理数，常遇到的无理数有三类：开方开不尽的数的方根，如，等；特定结构的数，如；特定意义的数，如π．
【详解】解：，，都属于有理数，
，，（每两个1之间依次多一个0）是无理数，共3个；
故选：B．
3. 已知，根据不等式的性质，下列式子不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的性质．根据不等式的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意；
B、若，则，故本选项不符合题意；
C、若，则，故本选项符合题意；
C、若，则，故本选项不符合题意；
故选：C
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘除法．利用积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘除法的运算法则分别计算，即可得到答案．
【详解】解：A、，本选项符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意．
故选：A．
5. 不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先移项，再合并同类项，即可求解．
【详解】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
故选：A
6. 计算的结果等于（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查积的乘方的逆用，熟练掌握积的乘方的逆用是解题的关键；由题意易得，然后求解即可．
【详解】解：；
故选C．
7. 如图，点在同一直线上，大正方形与小正方形的面积之差是24，则阴影部分的面积是（ ）

A. 12B. 18C. 24D. 32
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用．设正方形的边长为a，正方形的边长为b，可得，，再由阴影部分的面积等于，即可求解．
【详解】解∶设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，
∴，
∵大正方形与小正方形的面积之差是24，
∴，
∴阴影部分的面积是．
故选：A
8. 下面是新华书店5种类型文学名著套装的价目表，小明在这里看好了类型②的名著套装，爸爸说：“今天有促销活动，九折优惠呢！你可以再选一套但两套最终付款总额不能超过300元．”那么小明再买第二套名著选择价格最贵的类型是（ ）
A. ①B. ③C. ④D. ⑤
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式的应用．根据题意和表格中的数据可以列出相应的一元一次不等式，从而可以求得小明再买第二套可选择价格最贵的类型是哪种，本题得以解决．
【详解】解：由题意得：这一天小明购买类型②需要花费（元）．
设小明购买类型②后剩下的钱还可以购买的套装的钱数为x元．
，
解得：．
∴小明再买第二套可选择价格最贵的类型是③，
故选：B．
9. 我们规定，例如，已知，则代数式的值是（ ）
A. 4B. 5C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要查了整式的混合运算．根据新定义可得，从而得到，再代入，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
即，
∴，
∴．
故选：D
10. 对于任意实数均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中称为的整数部分，表示不超过的最大整数，称为的小数部分．如，，，则下列结论正确的有（ ）
①；
②若，则；
③若则所有可能的值为6和7；
④．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算．根据表示不超过的最大整数，称为的小数部分，计算，再逐一判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，②错误；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴所有可能的值为6和7，③正确；
当均为整数时，；
当不为整数时，，
∴，④正确；
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 某微生物细胞直径约为，其中用科学记数法可表示为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：．
故答案为：
12. 比较大小：____（填、或）．
【答案】
【解析】
【分析】由无理数的估算可知：，据此即可解答．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握和运用无理数估算的方法是解决本题的关键．
13. 已知：，则_______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据完全平方公式的变形公式，即可求解．
【详解】∵，
∴，
故答案是：3．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的变形公式，熟练掌握，是解题的关键．
14. 在方程组中，若未知数满足，则的取值范围是_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式．将两方程相加可得，由得到关于的不等式，解之即可．
【详解】解：，
得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
15. 已知，，．则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘除法，零指数幂，可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘除法，解题的关键是掌握幂的运算法则．
16. 如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美小西数”，如：，因此4，12，20这三个数都是“完美小西数”．
（1）最大的两位数的完美小西数是________________．
（2）介于50到101之间所有“完美小西数”之和为________________．
【答案】 ①. 92 ②. 532
【解析】
【分析】数字类变化规律：
（1）根据“完美小西数”的定义，即可求解；
（2）根据“完美小西数”定义，可得介于50到101之间所有“完美小西数”之和为，即可求解．
【详解】解：（1），，，，，，，，，，
∴最大的两位数的完美小西数是92；
故答案为：92；
（2）介于50到101之间所有“完美小西数”之和为
故答案为：532
三、解答题（本大题共7小题，满分52分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算．根据负整数指数幂、算术平方根以及绝对值的性质化简，再合并即可求解．
【详解】解：
．
18. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了整式的乘除运算．根据单项式乘以多项式，多项式除以单项式的运算法则计算，再合并即可得解．
【详解】解：
．
19. 解不等式组：，并在数轴上表示其解集．

【答案】不等式组的解集为．数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，然后再确定出公共部分，最后在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
由①得，
由②得，
∴不等式组的解集为．
在数轴上表示为：

20. 先化简，再求值：．其中，．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题是整式的化简求值．利用完全平方公式与平方差公式展开，再合并同类项即可，再把字母的值分别代入可求得代数式的值．
详解】解：
，
当，时，原式．
21. 【阅读材料】
观察下列式子：
①；
②；
③；
④；
根据上面材料回答以下问题：
（1）根据阅读材料猜想：式子⑥：（ ）（ ）
（2）探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并证明你的结论．
（3）应用你发现的规律计算：
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题目中的式子即可得到答案；
（2）根据题题干中的式子总结出规律，再通过计算证明等式的左边等于右边即可；
（3）根据（2）中的规律变形，再进行约分即可得到答案．
本题主要考查用代数式表示算式的变化规律以及有理数的混合运算，找出等式的规律．是解题的关键．
【小问1详解】
由题意可得，，
故答案为：
【小问2详解】
由题意可得规律为，
证明：∵，，
∴
【小问3详解】
．
22. 把一张长方形纸片进行两次连续对折后得到边长为的小长方形（图1），再展开还原（图2）沿着折痕（虚线部分）剪开，拼成一个大正方形（图3）
（1）根据材料，直接写出式子，，之间的等量关系为 ．
（2）应用：若，，求的值；
（3）拓展：若，，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何背景应用，关键是能根据图形结合完全平方公式得到对应的结论，并能进行相关的应用．
（1）图大正方形的面积可以表示为，还可以表示为小正方形的面积加上个长方形的面积，，即可得出答案；
（2）由（1）可得：，代入，，进行计算即可得出答案；
（3）设，，则，，在利用完全平方公式的变形得出，即可得解．
【小问1详解】
解：由图3可得：阴影正方形边长为，
大正方形的面积可以表示为，还可以表示为小正方形的面积加上个长方形的面积，，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：由（1）可得：，
，，
，
；
【小问3详解】
解：设，，
，
，
，
，
，
，
．
23. 蜀山家园小区为了美化小区，准备购进两种树苗共60棵栽种在小区空地，其中种树苗数量不少于种树苗的2倍．
（1）该小区最多购买类树苗多少棵？
（2）已知种树苗单价为25元，种树苗单价为45元，若购买树苗总费用不超过2330元，该小区购买树苗的方案有几种？哪种方案总费用最低？
【答案】（1）小区最多购买类树苗棵
（2）该小区购买树苗的方案有2种，购买种树苗棵，种树苗棵，总费用最低
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程不等式（组）的应用．
（1）设购买种树苗棵，根据“种树苗数量不少于种树苗的2倍”列不等式，解出其解集即可求解；
（2）设购买种树苗棵，则购买种树苗棵，根据“购买树苗的总费用不超过2330元”列不等式，解出其解集，结合（1）的结论，进一步计算即可求解．
【小问1详解】
解：设购买种树苗棵，则购买种树苗棵，
由题意得，，
解得，
答：小区最多购买类树苗棵；
【小问2详解】
解：设购买种树苗棵，则购买种树苗棵，
由题意得，，
解得，
结合（1），则，
∵取整数，
∴或，
∴小区购买树苗的方案有2种，购买种树苗棵或棵，
当时，费用为（元），
当时，费用为（元），
．
，
答：该小区购买树苗的方案有2种，购买种树苗棵，种树苗棵，总费用最低．
类型
①
②
③
④
⑤
价格/元
260
200
130
110
80