吉林省长春市朝阳区长春北湖学校2024年七年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题（本大题共有8道小题，每小题3分，共24分）
1. 下列方程是一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元一次方程的定义逐项判定即可．
【详解】解：A、，含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B、，是一元一次方程，故此选项符合题意；
C、，次数为2，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D、不是整式方程，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次方程的判定，只含有一个未知数，并且未知数的次数最高是1次的整式方程叫一元一次方程．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
2. 下列方程变形正确的是（ ）
A. 由，得B. 由，得
C. 由，得D. 由，得
【答案】B
【解析】
【分析】根据移项法则计算并判定A；方程两边同时除以7，即可判定B；方程两边同时乘以2，即可判定C；方程两边同时乘以5，即可判断D．
【详解】解：A、，移项得4x-3x=-1-2，故此选项不符合题意；
B、∵7x=5，∴x=，故此选项符合题意；
C、∵，∴y=0，故此选项不符合题意；
D、∵，∴x-5=5，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和等式的基本性质的应用，主要考查学生的辨析能力．
3. 若是关于的方程的解，则的值为（ ）
A. 5B. C. 7D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】把代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程来求a的值．
【详解】解：∵是关于x的方程的解，
∴，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义．方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
4. 如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内的数字为y，则列出的方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由给定的乘法竖式，即可得出关于y的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：5（120＋y）＝100y＋30．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5. 若代数式与代数式的值相等，则x的值为（ ）
A. B. C. ﹣D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，只需解方程即可．
【详解】解：根据题意，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为，得．
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的求解步骤是解题的关键．
6. 已知与都是方程的解，则与的值为（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】将与代入方程y＝kx+b，得到关于k和b的二元一次方程组，再求出k和b的值．
【详解】解：把与代入方程y＝kx+b，
得到关于k和b的二元一次方程组，
解这个方程组，得．
故选：A．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组和方程的解，运用代入法，得关于k和b的二元一次方程组，再解方程组求解是解决此类问题的关键．
7. 方程的正整数解的对数是（ ）
A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对
【答案】C
【解析】
【分析】将x=1，2，…，分别代入2x+3y=17，求出方程的正整数解的对数是多少即可．
【详解】解：当x＝1时，方程变形为2+3y＝17，解得y＝5；
当x＝4时，方程变形为8+3y＝17，解得y＝3；
当x＝7时，方程变形为14+3y＝17，解得y＝1；
∴二元一次方程的正整数解的对数是3对：、和．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解，要熟练掌握，注意解中x与y必须为正整数．
8. 若关于，的方程组的解互为相反数，则的值等于（ ）
A 1B. 0C. －1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先根据方程组的解互为相反数，则x+y=0，然后化简原方程组可得，最后代入x+y=0，即可求得m的值．
【详解】解：方程组的解互为相反数，
，
，
①+②得：，
即，
∴，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，根据原方程组得出，是解题的关键．
二、填空题（本大题共有6道小题，每小题3分，共18分）
9. 已知方程，用含x的代数式表示y为_____．
【答案】
【解析】
【分析】先移项，再把y的系数化为1即可．
【详解】解：移项得，，
y的系数化为1得，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程变形（用一个未知数表示另一个未知数），准确转化每一步是解题关键．
10. 当时，代数式的值是25，则当时，这个代数式的值为______．
【答案】10
【解析】
【分析】由当时，代数式的值是25，即可将代入，解出c的值，即求出原代数式．最后将代入所求出的代数式求值即可．
【详解】将代入，得：，
∵当时，代数式的值是25，
∴，
解得：，
∴原代数式为．
将代入，得：．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查代数式求值．根据题意求出原代数式是解题关键．
11. 某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利5%”．你认为售货员应标在标签上的价格为_____元．
【答案】120
【解析】
【分析】假设出标签上写的价格，然后七折售出后，卖价为0.7x，仍获利5%，即获利（80×5%）元，列出方程．
【详解】解：获利=（售价－进价）÷进价×100%，
设售价为x元，则=80×5%，
解得：x=120．
故答案为：120．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，首先读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
12. 小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得，则△代表的数是 ___．
【答案】5
【解析】
【分析】把 代入方程组，得到新的方程组：，解方程组即可得到答案.
【详解】解：将 代入方程组，
得方程组，
由②得，，
将代入①得，△＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解及解二元一次方程组，掌握解方程组的方法是解题的关键.
13. 如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．如图示例1，即．在示例2中：当时，n的值为__________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据规定得m=5x+3，n=3-2x，y=m+n=5x+3+3-2x=3x+6，当y=3时，3x+6=3，求出x的值，进而得到n的值．
【详解】解：根据题意得：
m=5x+3，n=3-2x，
y=m+n=5x+3+3-2x=3x+6，
当y=3时，3x+6=3，
解得x=-1，
∴n=3-2x=3+2=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了整式的加减，解一元一次方程，代数式求值，当y=3时列出方程求出x是解题的关键．
14. 如图，是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，按此规律排列下去，若第n个图案由1234个基础图形组成，则n的值为___________

【答案】411
【解析】
【分析】本题考查了图形的变化类、列代数式，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律，根据前三个图形中基础图形的个数得出第n个图案中基础图形的个数为即可求出结果．
【详解】解：观察图形，可知
第1个图案由4个基础图形组成，即，
第2个图案由7个基础图形组成，即，
第3个图案由10个基础图形组成，即，
...
第n个图案的基础图形的个数为：，
当时，
解得：，
故答案为：．
三、解答题．（本大题共有10道小题，共78分）
15. 解下列方程
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程：
（1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【小问1详解】
解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
【小问2详解】
解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
16. 解下列方程组∶
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组：
（1）利用代入消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【小问1详解】
解：
由①得：，
把③代入②得：，解得，
把代入③得，
∴方程组的解为；
【小问2详解】
解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为．
17. 已知关于x的方程与方程的解相同，求a的值
【答案】-11.
【解析】
【分析】先解方程，求得x=-1,再代入中，求a的值.
【详解】解：∵关于x的方程与方程的解相同
∴解得
将x=-1代入，得
即a的值为-11.
【点睛】本题考查解一元一次方程，通过方程与方程的解相同，确定方程的解即另一个方程的解，然后代入求值，熟练掌握解方程步骤是本题的解题关键.
18. 某项工作，甲单独做需要4小时，乙单独做需要6小时，如果甲先做30分钟，然后甲、乙合作，问甲、乙合作还需要多久才能完成全部工作？
【答案】甲、乙合作还需要2.1小时才能完成全部工作
【解析】
【分析】设甲、乙合作还需x小时才能完成全部工作，根据甲的工作量+乙的工作量=总工作量列方程求解即可．
【详解】解：设甲、乙合作还需x小时才能完成全部工作，
即，
解方程得：．
答：甲、乙合作还需要2.1小时才能完成全部工作．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
19. 对于两个非零常数a，b，规定一种新运算：，例如，．根据新运算法则，解答下列问题：
（1）求的值；
（2）若，求x的值．
【答案】（1）7 （2）
【解析】
【分析】（1）先根据新运算得出算式，再根据有理数的运算法则进行计算即可；
（2）先根据新运算得出算式，再根据等式的性质求出方程的解即可．
【小问1详解】
根据题中的新定义得：
【小问2详解】
根据题中的新定义得：
，
，
，
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算和解一元一次方程，能灵活运用有理数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能根据等式的性质进行变形是解（2）的关键．
20. 东方红机械厂加工车间有90名工人，平均每人每天加工大齿轮20个或小齿轮15个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问一天可以生产多少套这样成套的产品？
【答案】300套
【解析】
【分析】设生产大齿轮为x人，则生产小齿轮的为（90x）人，再由两个大齿轮与三个小齿轮配成一套列出方程，进一步求得x的值，计算得出答案即可．
【详解】解：设生产大齿轮的为x人，则生产小齿轮的为（90x）人，由题意得：
20x×3=15（90x）×2，
解得：x=30，
20×30÷2=300（套）．
∴一天可以生产300套这样成套的产品．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
21. 解方程组时，由于，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误．而采用下面的解法则比较简单：
解：①-②得，所以③．
③×35-①得，解得，则．
所以原方程组的解是．
请你运用上述方法解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】仿照例子，利用加减消元法可解方程组求解．
【详解】解：，
①+②得：，
即③，
③×1007-①得：，
解得：，
将代入③得：，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组解法，解二元一次方程组由代入消元法和加减消元法．
22. 张欣、李明和王浩相约去图书城买书，下面是他们的对话内容：
张欣：听说花30元钱办一张金卡，买书可享受八折优惠，花20元钱办一张银卡可享受九折优惠．
李明：是的，我上次买书时，办了一张银卡，算上办卡的钱，还省了2元钱．
王浩：那还不如办金卡．
（1）请你帮忙算一算，李明上次买的书原价是多少元？
（2）你认为王浩的话有道理吗？试说明理由．
【答案】（1）李明上次买的书原价是220元
（2）王浩的话有道理，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设李明上次买的书原价是x元，根据办卡的钱+九折优惠买书的钱=买书的钱-2列出方程解答即可；
（2）利用九折优惠书的价钱+办卡的钱与书的原价比较得出答案即可．
【小问1详解】
解：设李明上次买的书原价是x元，由题意得
20+0.9x=x-2，
解得：x=220．
答：李明上次买的书原价是220元．
【小问2详解】
办金卡花费：220×0.8+30=206（元）
节省：220-206=14（元）
所以王浩的话有道理．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，理解两种优惠的方法，找出数量关系，列出方程解决问题．
23. 某风扇专卖店准备购进两款风扇，一款是手持小风扇，一款是落地大风扇．已知购进20台小风扇和10台大风扇需花费1100元；购进15台小风扇和20台大风扇需花费1825元．
（1）求购进一台小风扇和一台大风扇分别需要多少元？
（2）若该专卖店准备用900元购买若干台小风扇和大风扇（既要有小风扇又要有大风扇且钱刚好花完），请问有几种购买方案？最多可以买几台小风扇？
【答案】（1）购进一台小风扇和一台大风扇分别需要元，元
（2）共有3种方案，最多可以收集44台小风扇．
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键．
（1）设购进一台小风扇和一台大风扇分别需要元，元，根据购进20台小风扇和10台大风扇需花费1100元；购进15台小风扇和20台大风扇需花费1825元，列出方程组进行求解即可；
（2）设购进小风扇台，大风扇台，根据题意列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【小问1详解】
解：设购进一台小风扇和一台大风扇分别需要元，元，
由题意，得：，解得：，
答：购进一台小风扇和一台大风扇分别需要元，元；
【小问2详解】
设购进小风扇台，大风扇台，由题意，得：，
∴，
∵均为正整数，
∴当时，，
当时，，
当时，，
∴共有3种方案，最多可以收集44台小风扇．
24. 材料：在学习绝对值时，我们知道了表示5和3在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示5和在数轴上对应的两点之间的距离．
若点A，点B在数轴上分别表示数a和数b，则点A，点B之间的距离可表示为．
根据材料内容，完成下面问题：
已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为，0，2，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．
（1）如果点P，点B之间的距离等于1，那么 ；
（2）如果，那么 ；
（3）若点P以每秒5个单位长度的速度从点O向左运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A向左运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B也向左运动，且三个点同时出发，那么运动 秒时，点P到点E，点F的距离相等．
【答案】（1）1或3；
（2）
（3）或2
【解析】
【分析】（1）根据题目列式求解即可；
（2）分类讨论，根据的范围进行求解即可；
（3）设运动t秒时，点P到点E，点F的距离相等，列式求解即可．
【小问1详解】
依题意有，解得：或3．
故答案为：1或3；
【小问2详解】
当时，有，方程无解；
当时，有，解得；
当时，有，方程无解．
故答案为：；
【小问3详解】
设运动t秒时，点P到点E，点F的距离相等，根据题意得：，
解得：，．
故运动或2秒时，点P到点E，点F的距离相等．
故答案为：或2．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值，数轴上两点间的距离等，能熟练用绝对值表示数轴上对应的两点之间的距离是解题的关键．