2023-2024学年广东省汕尾市高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

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这是一份2023-2024学年广东省汕尾市高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知命题p：∀x∈R，x2−3x+a≠0，则( )
A. ¬p：∀x∈R，x2−3x+a=0B. ¬p：∃x∈R，x2−3x+a=0
C. ¬p：∃x∈R，x2−3x+a≠0D. a=2时，p为真命题
2.设集合A={2,3,4,5}，B={x|−2A. {2}B. {2,3}C. {3,4}D. {2,3,4}
3.下列幂函数中，在定义域内是偶函数且在(0,+∞)上是减函数的是( )
A. y=x−2B. y=x−1C. y=x2D. y= x
4.若函数f(x)=ax+1+1(a>0,a≠1)的图象经过定点P，且点P在角θ的终边上，则tanθ的值等于( )
A. 2B. 12C. −2D. −12
5.设a=lg310，b=20.9，c=0.93.1，则( )
A. c6.某市家庭用水的使用量x(m3)和水费f(x)(元)满足关系f(x)=m(0a).已知某家庭2023年前四个月的水费如下表：
若五月份该家庭使用了25m3的水，则五月份的水费为( )
A. 32元B. 33元C. 34元D. 35元
7.已知a，b∈R，则“2a<2b”是“lg12a>lg12b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.若函数f(x)=5x−a−4,x≤0lg(x2−4x+1−a),x>0，恰有3个零点，则实数a的取值范围为( )
A. (−3,−2]B. (−3,−2)C. (−4,−3]D. (−4,−3)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知a>b>c，且ac<0，则下列不等式恒成立的有( )
A. b−ac<0B. ba>caC. 1a>1cD. b2c>a2c
10.已知函数f(x)=lg(1−x)−lg(1+x)，则函数f(x)( )
A. 是奇函数B. 是偶函数C. 在定义域上递增D. 在定义域上递减
11.已知a，b为正数，且2a+b=1，则( )
A. 012.对于区间D上的函数f(x)，若满足∀x1，x2∈D且x1A. f(1)=1B. 当0≤x≤12时，f(x)=2x
C. ∃x0∈[12,32]，f(x0)<1D. ∀x∈[0,12]，0≤f(f(x))≤1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知sinα=45，且α是第二象限角，则csα=______.
14.若对∀x∈R，x2+ax+1>0恒成立，则实数a的取值范围是______.
15.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及了弧田面积的计算问题.如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为6，圆心角为2π3，则此弧田的面积为______.
16.小明在研究函数f(x)=x+kx时，发现f(x)具有其中一个性质：如果常数k>0，那么函数f(x)在区间(0, k)上单调递减，在区间( k,+∞)上单调递增.请你根据以上信息和所学知识解决问题：若函数g(x)=x+a−1x的定义域为[12,+∞),值域为[a3,+∞),则实数a的值是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知sin(π+α)+cs(π2+α)cs(π−α)=1.
(1)求tanα的值；
(2)求sinα−3csαsinα+csα的值.
18.(本小题12分)
已知集合A={x|a−1≤x≤2a+3}，B={x|x2−2x−8≤0}，全集U=R条件：①A∩B=A；②A∪B=B.
(1)当a=2时，求A∪B和(∁RA)∩B；
(2)若集合A，B满足条件_____，求实数a的取值范围.(从两个条件中任选一个作答，若同时选择两个条件作答，则按所选的第一个条件给分)
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax2+3x+2.
(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|b(2)若a>0，解关于x的不等式f(x)>−ax−1.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ln(2−2x)+ln(2−2−x).
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若f(x)≤k恒成立，求实数h的取值范围.
21.(本小题12分)
物理学家牛顿研究提出物体在常温环境下温度变化的模型，如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度为θ0℃(θ1>θ0)，则x分钟后物体的温度θ(x)满足θ(x)−θ0=(θ1−θ0)e−kx(k为常数).实验测算，当x=12时满足θ(x)−θ0=12(θ1−θ0).
(1)求k的值；
(2)茶艺文化是中国传统文化的重要组成部分，涵盖茶的制作、泡法、茶器、茶道等方面.经验表明，茶水的口感与茶叶品种和水温有关，某种茶叶泡制的茶水，刚彻出来时茶水温度为75℃，等茶水温度降至55℃时饮用口感最佳.已知空气温度为25℃，则刚沕出来的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？(结果保留一位小数，参考数值：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6)
22.(本小题12分)
平原上两根电线杆间的电线有相似的曲线形态，这些曲线在数学上称为悬链线.悬链线在工程上有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类曲线的函数表达式可以为f(x)=aex+be−x，其中a、b为非零实数.
(1)利用单调性定义证明：当a=b=1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
(2)若f(x)为奇函数，函数g(x)=e2x+e−2x+f(x)−2，x∈[0,ln2]，探究是否存在实数a，使g(x)的最小值为−1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：命题p：∀x∈R，x2−3x+a≠0，
则 ¬p：∃x∈R，x2−3x+a=0，
当a=2时，x=1或2时，x2−3x+2=0，故p为假命题．
故选：B.
任意改存在，将结论取反，即可求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：集合A={2,3,4,5}，B={x|−2则图中阴影部分表示的集合为A∩B={2,3}.
故选：B.
利用交集定义、韦恩图直接求解．
本题考查交集定义、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y=x−2=1x2，在定义域内是偶函数且在(0,+∞)上是减函数，符合题意；
对于B，y=x−1，在其定义域内为奇函数，不符合题意；
对于C，y=x2，是偶函数，但在(0,+∞)上是增函数，不符合题意；
对于D，y= x，其定义域为[0,+∞),既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意．
故选：A.
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和(0,+∞)上的单调性，综合可得答案．
本题考查函数奇偶性和单调性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=ax+1+1，
令x+1=0，解得x=−1，
当x=−1时，f(x)=1+1=2，
故点P(−1,2)，
所以tanθ=2−1=−2.
故选：C.
根据已知条件，结合指数函数的性质，求出定点P，再结合三角函数的定义，即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：a=lg310>lg39=2，
1=20c=0.93.1<0.90=1，
∴c故选：A.
利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．
本题考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由题意知，函数f(x)=m(0a)中，
m=4，f(15)=4+(15−a)n=18，f(20)=4+(20−a)n=25；
解方程组得a=5，n=1.4，
所以f(x)=4+1.4(x−5)，x>5；
所以f(25)=4+1.4×(25−5)=32，
即该家庭五月份的水费是32元．
故选：A.
根据题意得出m=4，利用f(15)=18，f(20)=25列方程组求出a、n，即可求得f(25)的值．
本题考查了分段函数的应用问题，是基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由2a<2b，能得到alg12b，故充分性不成立．
由lg12a>lg12b，可得b>a>0，能得到2a<2b，故必要性成立．
综上可得，2a<2b”是“lg12a>lg12b”的必要不充分条件．
故选：B.
由题意，根据必要不充分条件的定义，对数的运算性质，得出结论．
本题主要考查必要不充分条件的定义，对数的运算性质，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由f(x)=0，得a=5x−4,x≤0x2−4x,x>0，
作出函数g(x)=5x−4,x≤0x2−4x,x>0的图象，如图所示：
令x=0，则5x−4=−3，
由图可知，当a∈(−4,−3]时，直线y=a与函数y=g(x)的图象有3个交点，
从而函数y=f(x)有3个零点，
但x2−4x+1−a>0对x>0恒成立，即a0恒成立，
又x2−4x+1=(x−2)2−3≥−3，则a<−3，
所以a∈(−4,−3).
故选：D.
令f(x)=0，则有a=5x−4,x≤0x2−4x,x>0，作出函数g(x)=5x−4,x≤0x2−4x,x>0的图象，结合图象即可得答案．
本题考查了函数的零点、转化思想及数形结合思想，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查了不等式的性质，考查了学生对不等式的分析推理能力，属于基础题．
由已知可得a>0，c<0，b的符号不确定，然后对应各个选项逐个判断即可．
【解答】
解：由已知可得a>0，c<0，而b的符号不确定，所以C正确，D错误，
则b−a<0，所以b−ac>0，故A错误；
因为b>c，a>0，所以ba>ca，故B正确；
故选：BC.
10.【答案】AD
【解析】解：根据题意，函数f(x)=lg(1−x)−lg(1+x)，
有1−x>01+x>0，解可得−1而f(−x)=lg(1+x)−lg(1−x)=−[lg(1−x)−lg(1+x)]=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，
函数y=lg(1−x)在(−1,1)上为减函数，函数y=lg(1+x)在(−1,1)上为增函数，
故f(x)在(−1,1)上为减函数．
故选：AD.
根据题意，先分析函数的奇偶性，再利用对数函数的性质分析f(x)的单调性，综合可得答案．
本题考查函数奇偶性和单调性的判断，涉及对数函数的性质，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：根据a、b为正数，且2a+b=1，可知0<2a<1，所以0当a=14,b=12时，ab=18，故02a+1b=(2a+b)(2a+1b)=5+2ab+2ba≥5+2 4=9，当且仅当a=b=13时，等号成立，故C正确；
当a=b=13时，a2+b2=29<14，故14故选：AC.
根据不等式的性质，判断出A项的正误；通过举反例判断出B、D两项的正误；利用基本不等式求最值，判断出C项的正误，可得答案．
本题主要考查了不等式的性质、运用基本不等式求最值等知识，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，∀x∈[0,2]都有f(x)+f(2−x)=2，当x=1时，有f(1)+f(1)=2，变形可得f(1)=1，A正确；
对于B，当0≤x≤12时，有32≤2−x≤2，则f(2−x)=2(2−x)−2=2−2x，
又由∀x∈[0,2]都有f(x)+f(2−x)=2，则f(x)=2−f(2−x)=2x，B正确；
对于C，由于f(12)=2×12=1，f(32)=2×32−2=1，
函数f(x)为“非减函数”，则∀x∈[12,32]，f(x)=1，C错误；
对于D，当0≤x≤12时，f(x)=2x，此时0≤f(x)≤1，
同时，由于f(0)=0，且f(1)=1，
故在区间[0,1]上，0≤f(x)≤1，
综合可得：当0≤x≤12时，有f(f(x))∈[0,1]，故D正确．
故选：ABD.
根据题意，利用特殊值分析A，由于当0≤x≤12时，有32≤2−x≤2，利用函数的解析式分析可得f(x)在[0,12]上的解析式，分析可得B正确，由“非减函数”的定义可得C错误，利用换元法分析f(f(x))在[0,1]上值域，可得D正确，综合可得答案．
本题考查抽象函数的性质，关键理解“非减函数”的性质，属于中档题．
13.【答案】−35
【解析】解：∵sinα=45，且α是第二象限角，
∴csα=− 1−sin2α=−35.
故答案为：−35
由sinα的值且α为第二象限角，利用同角三角函数间基本关系求出csα的值即可．
此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
14.【答案】(−2,2)
【解析】解：由题意知：对∀x∈R，x2+ax+1>0恒成立，
则Δ=a2−4<0，解得−2所以实数a的取值范围是(−2,2).
故答案为：(−2,2).
利用判别式小于0，即可求解．
本题考查二次不等式的解法，属于基础题．
15.【答案】12π−9 3
【解析】解：由题意扇形的面积为S扇形=12×2π3×62=12π，
三角形AOB的面积为S△AOB=12×62×sin2π3=9 3，
则弧田的面积为S=S扇形−S△AOB=12π−9 3.
故答案为：12π−9 3.
分别求出扇形的面积以及三角形AOB的面积，进而可以求解．
本题考查了扇形面积公式的应用，属于基础题．
16.【答案】18+12 2或910
【解析】解：当a−1≤0时，即a≤1，g(x)=x+a−1x在[12,+∞)上递增，
故当x=12时，g(x)min=g(12)=12+2(a−1)=a3，
解得：a=910，满足题设；
当a−1>0，即a>1，
若 a−1≥12，即a≥54时，函数在[12, a−1)上递减，在( a−1+∞)上递增，
故g(x)min=g( a−1)= a−1+a−1 a−1=a3，
可得a=18+12 2或a=18−12 2(舍去)；
若 a−1<12，即1所以g(x)min=g(12)=12+2(a−1)=a3，
解得a=910，不满足题意．
故答案为：18+12 2或910.
当a≤1判断单调性，进而确定最值即可求范围，当a>1，再讨论 a−1与12的大小关系，结合f(x)=x+kx的性质，判断函数在[12,+∞)上的单调性，进而确定最值，结合已知值域求参数范围．
本题主要考查了单调性的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)原式=−sinα−sinα−csα=2tanα=1，
所以tanα=12.
(2)由(1)知tanα=12，
所以sinα−3csαsinα+csα=tanα−3tanα+1=−53.
【解析】(1)根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，即可求解；
(2)将弦化切，即可求解．
本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
18.【答案】解：(1)当a=2时，A={x|1≤x≤7}，B={x|−2≤x≤4}，
所以A∪B={x|−2≤x≤7}，
(∁RA)∩B={x|x<1或x>7}∩{x|−2≤x≤4}={x|−2≤x<1}.
(2)若选择条件①，
因为A∩B=A，
所以A⊆B.
若A=⌀，满足A⊆B，则a−1>2a+3，解得a<−4；
若A≠⌀，由A⊆B，得a−1≤2a+3a−1≥−22a+3≤4，
解得−1≤a≤12.
综上，a的取值范围是{a|a<−4或−1⩽a⩽12}.
若选择条件②，
因为A∪B=B，
所以A⊆B.
若A=⌀，满足A⊆B，则a−1>2a+3，解得a<−4；
若A≠⌀，由A⊆B，得a−1≤2a+3a−1≥−22a+3≤4，
解得−1≤a≤12.
综上，a的取值范围是{a|a<−4或−1⩽a⩽12}.
【解析】(1)当a=2时，求出集合A和B，由此能求出A∪B和(∁RA)∩B.
(2)推导出A⊆B，当A=⌀时，则a−1>2a+3；若A≠⌀，由A⊆B，得a−1≤2a+3a−1≥−22a+3≤4，由此能求出a的取值范围．
本题考查交集、并集、补集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：(1)将x=1代入ax2+3x+2=0，可得a=−5，
∴不等式f(x)>0，即−5x2+3x+2>0，
可转化为(x−1)(5x+2)<0，
∴原不等式的解集为{x|−25∴b=−25，
综上a=−5，b=−25.
(2)不等式f(x)>−ax−1，可化为ax2+(a+3)x+3>0，
即(ax+3)(x+1)>0.
方程(ax+3)(x+1)=0的两个根为x1=−1或x2=−3a，
∵a>0，
∴当−3a<−1，即0−1或x<−3a}；
当−3a=−1，即a=3时，{x|x≠−1}；
当−3a>−1，即a>3，原不等式的解集为{x|x<−1或x>−3a}.
【解析】(1)将x=1代入ax2+3x+2=0，可得a=−5即可求解；
(2)不等式f(x)>−ax−1可化为ax2+(a+3)x+3>0，分类讨论即可．
本题考查不等式的解法，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意得，2−2x>02−2−x>0，
即2>2x2>2−x，
解得−1∴函数f(x)的定义域为(−1,1)；
(2)f(x)=ln(2−2x)+ln(2−2−x)=ln[(2−2x)(2−2−x)]=ln[5−2(2x+2−x)]，
∵2x+2−x=2x+12x≥2 2x⋅12x=2(当且仅当2x=2−x，即x=0时等号成立)，
∴5−2(2x+2−x)≤1，
∴f(x)=ln[5−2(2x+2−x)]≤0.
∵f(x)≤k恒成立，
∴k≥f(x)max=0，
∴实数k的取值范围是[0,+∞).
【解析】(1)结合对数函数的性质求解即可；
(2)由题意可得k≥f(x)max，结合对数函数的性质及基本不等式求解即可．
本题考查了对数函数的性质、转化思想及基本不等式的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意知，{θ(12)−θ0=(θ1−θ0)e−12k,①θ(12)−θ0=12(θ1−θ0),②
①÷②，得2e−12k=1，两边取对数，得−12k=ln12，
即12k=ln2，解得k=ln212.
(2)设刚沏出来的茶水大约需要放置t分钟才能达到最佳饮用口感，
由题意可知，θ1=75，θ0=25，θ(t)=55，
所以55−25=(75−25)e−ln2t12t，
即e−ln212t=35，
解得t=12(ln5−ln3)ln2≈12×(1.6−1.1)0.7≈8.6，
所以刚沏出来的茶水大约需要放置8.6分钟才能达到最佳饮用口感．
【解析】(1)根据题意列方程组，即可求出k的值．
(2)由题意知，θ1=75，θ0=25，θ(t)=55，由此求出t的值．
本题考查了指数函数与对数函数的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
22.【答案】(1)证明：当a=b=1时，f(x)=ex+e−x，
设01，
ex1−ex2<0，1−1ex1ex2>0，
∴f(x1)−f(x2)=(ex1+e−x1)−(ex2+e−x2)=(ex1−ex2)+(e−x1−e−x2)
=(ex1−ex2)+ex2−ex1ex1ex2=(ex1−ex2)(1−1ex1ex2)<0.
即f(x1)∴f(x)在(0,+∞)上单调递增．
(2)解：∵f(x)为奇函数，
∴f(x)+f(−x)=0对∀x∈R成立
⇔(aex+be−x)+(ae−x+bex)=0对∀x∈R成立
⇔(a+b)ex+(a+b)e−x=0对∀x∈R成立，
∴a+b=0，f(x)=aex−ae−x=a(ex−e−x)，
∴g(x)=e2x+e−2x+a(ex−e−x)−2=(ex−e−x)2+a(ex−e−x).
令ex−e−x=t，x∈[0,ln2]，
∴g(x)=h(t)=t2+at，t∈[0,32].
又g(x)即h(t)的最小值为−1，
∴当−a2≤0，即a≥0时，h(t)min=h(0)=0，不符合要求；
当0<−a2<32，即−3当−a2≥32，即a≤−3时，h(t)min=h(32)=94+3a2=−1⇒a=−136，a≤−3矛盾．
∴g(x)的最小值为−1，则a=−2.
【解析】(1)利用函数的单调性的定义即可求解；
(2)由f(x)为奇函数得，a+b=0，g(x)=e2x+e−2x+a(ex−e−x)−2=(ex−e−x)2+a(ex−e−x)，令ex−e−x=t，x∈[0,ln2]，则g(x)可化为h(t)=t2+at，t∈[0,32]，由h(t)的最小值为−1求出a的值．
本题考查了函数的单调性，函数的奇偶性，二次函数的性质，属于中档题．月份
用水量(m3)
水费(元)
一月
3.5
4
二月
4
4
三月
15
18
四月
20
25

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