2023-2024学年广西玉林市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2023-2024学年广西玉林市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x|−1≤x<3}，B={x|2≤x<3}，则A∩(∁RB)=( )
A. {x|−1≤x<2}B. {x|−1≤x≤2}C. {x|22.函数y= x+1+1x的定义域为( )
A. {x|x>−1且x≠0}B. {x|x≥−1}
C. {x|x≥−1且x≠0}D. {x|x>−1}
3.已知a=0.80.7，b=tan48∘+tan72∘1−tan48∘tan72∘，c=1.20.8，则a，b，c的大小关系是( )
A. c>a>bB. c>b>aC. a>c>bD. a>b>c
4.若sinα=−13，且α为第三象限角，则tan2α=( )
A. −4 27B. −4 29C. 4 29D. 4 27
5.下列说法中正确的是( )
A. 若a>b>0，且c>0，则ba>b+ca+c
B. 函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线
C. 命题“∃x0∈R，x02−x0>0”的否定是“∀x∈R，x2−x≤0”
D. 函数y=sinx+4sinx(x∈(0,π2])的最小值为4
6.将函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是( )
A. 16B. 14C. 13D. 23
7.已知函数f(x)=(1−a)x+3,x<1lnx−2a,x≥1的值域为R，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,−4]B. (−4,1)C. [−4,1)D. (0,1)
8.2024年1月5日，第40届中国⋅哈尔滨国际冰雪节，在哈尔滨冰雪大世界园区开幕，现场流光溢彩，游客如湖，充满热情与活力.该园区为了倡导绿色可循环的理念，配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L))与时间t的关系为N=N0e−kt(N0为最初污染物数量).如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的( )
A. 51.2%B. 48.8%C. 52%D. 48%
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列论述中，正确的有( )
A. 正切函数在定义域内是增函数
B. 若α是第一象限角，则α2是第一或第三象限角
C. 锐角一定是第一象限的角
D. 圆心角为60∘且半径为2的扇形面积是2π3
10.函数s=f(t)的图像如图所示(图像与t正半轴无限接近，但永远不相交)，则下列说法正确的是( )
A. 函数s=f(t)的定义域为[−3,+∞)
B. 函数s=f(t)的值域为(0,5]
C. 当s∈[1,2]时，有两个不同的t值与之对应
D. 当t1，t2∈(0,1)(t1≠t2)时，f(t1)−f(t2)t1−t2>0
11.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点A(1,0).已知点B(x1,y1)在圆O上，点T的坐标是(x0,sinx0)，则下列说法中正确的是( )
A. 若∠AOB=α，则ACB=αB. 若y1=sinx0，则x1=x0
C. y1=sinx0，则ACB=x0D. 若ACB=x0，则y1=sinx0
12.已知函数f(x)= 3sinxcsx−cs2x+12，则下列选项中结论正确的是( )
A. 由f(x1)=f(x2)=12可得x1−x2是π的整数倍
B. 函数f(x+π3)为偶函数
C. 函数f(x)在[π3,π2]为减函数
D. 函数f(x)在区间(0,10π)上有19个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.计算：( 2−1)0+lne=______.
14.设函数f(x)=f(x+2),x≤1lnx,x>1，则f(−2)=______.
15.已知函数f(x)=cs(2x−π6)，x∈[0,π2]，则f(x)的最小值为______.
16.若函数f(x)在其定义域内的给定区间[a,b]上存在实数x0(a四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知1与2是三次函数f(x)=x3+ax+b(a,b∈R)的两个零点.
(1)求a，b的值；
(2)求不等式ax2−bx+1>0的解集.
18.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，角α以原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点P(−6,8).求：
(1)cs(π−α)−cs(π2+α)的值；
(2)2sinαcsα+3sin2α5sin2α−2cs2α的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=lgax(a>0且a≠1)在区间[14,16]上的最大值是2.
(1)求a的值；
(2)若函数g(x)=lg2(x2−ax+14)的定义域为R，求关于m的不等式lga(2m+1)>−m−2的解集.
20.(本小题12分)
某专家研究高一学生上课注意力集中的情况，发现其注意力指数p与听课时间t(h)之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈(14,40]时，曲线是函数y=lga(t−5)+83(0(1)试求p=f(t)的函数关系式．
(2)若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节，问在哪一个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节？请说明理由．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式；
(2)将f(x)的图象向右平移14个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的π倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若关于x的方程g(x)=a在[π4,9π4]上有两个不等实根，求实数a的取值范围.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−e−x2，g(x)=ex+e−x2.
(1)解关于x的不等式f(sinx)+f( 3csx−1)>0；
(2)[f(x)]2+a⋅g(x)−2>0对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意可得∁RB={x|x<2或x≥3}，
则A∩∁RB={x|−1≤x<2}.
故选：A.
先求出B的补集，然后结合集合交集运算可求．
本题主要考查了集合补集及交集运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：要使原函数有意义，则：x+1≥0x≠0，解得x≥−1，且x≠0，
∴原函数的定义域为：{x|x≥−1且x≠0}.
故选：C.
可看出，要使得原函数有意义，需满足x+1≥0x≠0，然后解出x的范围即可．
本题考查了函数定义域的定义及求法，考查了计算能力，属于容易题．
3.【答案】A
【解析】解：b=tan48∘+tan72∘1−tan48∘tan72∘=tan(48∘+72∘)=tan120∘=− 3<0，
又0.80.7∈(0,1)，1.20.8>1，
故c>a>b.
故选：A.
利用两角和的正切公式化简得b=− 3<0，由a>0，b>0得b最小，再利用幂函数与指数函数的单调性比较a，b即可．
本题考查对数值大小的比较，考查综合运算能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：sinα=−13，且α为第三象限角，
故csα=− 1−(−13)2=−2 23，tanα=sinαcsα=12 2，
则tan2α=2tanα1−tan2α=1 21−18=87 2=4 27.
故选：D.
由同角三角函数关系得到tanα=12 2，利用正切二倍角公式计算出答案．
本题主要考查了同角基本关系及二倍角公式的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：对于A，利用作差法可得ba−b+ca+c=b(a+c)−a(b+c)a(a+c)=bc−aca(a+c)=c(b−a)a(a+c)，
由a>b>0，且c>0可得c(b−a)a(a+c)<0，所以ba对于B，函数y=2x(x∈N)的图象是不连续的散点，并不是直线，故B错误．
对于C，由含有一个量词命题的否定可知，命题“∃x0∈R，x02−x0>0”的否定是“∀x∈R，x2−x≤0”，故C正确．
对于D，当x∈(0,π2]时，sinx∈(0,1],
则y=sinx+4sinx≥2 sinx⋅4sinx=4，当且仅当sinx=4sinx，即sinx=2时等号成立，
显然等号取不到，所以D错误．
故选：C.
由题意，利用作差法可得ba本题主要考查不等式、函数的性质，命题的否定，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：将f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C，则C的解析式为g(x)=sin[ω(x+π2)+π6]=sin(ωx+πω2+π6)(ω>0)，
∵g(x)=sin(ωx+πω2+π6)(ω>0)的图像关于y轴对称，
∴πω2+π6=kπ+π2(ω>0)⇒ω=2k+23，k∈Z，
∴ω的最小值是23，
故选：D.
利用三角函数中的恒等变换应用可求得C的解析式g(x)=sin(ωx+πω2+π6)(ω>0)，再利用C关于y轴对称，即可求得ω的最小值．
本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查分段函数的应用，求函数的值域，属于中档题．
由题意，利用分段函数，根据函数的值域，求得实数a的取值范围．
【解答】
解：当x≥1，f(x)=lnx−2a，所以当x≥1时，f(x)≥−2a.
因为f(x)的值域为R，所以当x<1时，f(x)=(1−a)x+3，值域需包含(−∞,−2a)，
所以，1−a>01−a+3≥−2a，解得−4≤a<1，
故选：C.
8.【答案】B
【解析】解：依题意有N0e−2k=(1−20%)N0，可得e−2k=0.8，
当t=6时，N0e−6k=N0(e−2k)3=0.512N0=(1−48.8%)N0，
因此，前6个小时消除了污染物的48.8%.
故选：B.
先通过前2小时消除了20%的污染物求出e−2k=0.8，再令t=6可求出答案．
本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】BCD
【解析】解：正切函数的单调递增区间为(−π2+kπ,π2+kπ)(k∈Z)，在定义域内不单调，A选项错误；
若α是第一象限角，则2kπ<α<π2+2kπ(k∈Z)，得kπ<α2<π4+kπ(k∈Z)，
k为偶数时，α2是第一象限角；k为奇数时，α2是第三象限角，B选项正确；
锐角的范围是(0,π2)，一定是第一象限的角，C选项正确；
圆心角为60∘且半径为2的扇形面积是S=12×22×π3=2π3，D选项正确．
故选：BCD.
由正切函数的单调性判断选项A；列不等式求α2的范围判断选项B；由象限角的定义判断选项C；求扇形面积验证选项D.
本题主要考查了正切函数的单调性，象限角的定义以及扇形的面积公式的应用，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：由图象可知，当t∈[−3,−1]，s∈[1,5]，
当t∈[0,+∞),s∈(0,4],
故f(t)的定义域为[−3,−1]∪[0,+∞),故A选项错误．
f(t)的值域为(0,5],故B选项正确．
当s∈[1,2]时，通过图象可以发现，当s=2时，有3个不同的t值与之对应，故C选项错误．
当t∈(0,1)时，函数为增函数，故D选项正确．
故选：BD.
通过图象观察函数的定义域，值域，单调性即可得出答案．
本题主要考查了通过图象确定函数的定义域，值域和单调性，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有ACB=1⋅α=α，所以A正确．
由于B是∠AOB的一边与单位圆的交点，y1是对应∠AOB的正弦值，即y1=sinx0，所以x1是对应∠AOB的余弦值，即x1=csx0，所以B错误．
当y1=sinx0时，∠AOB=x0+2kπ，k∈Z，所以C错误．
反过来，当∠AOB=x0，即ACB=x0时，y1=sinx0一定成立，所以D正确．
故选：AD.
根据弧长公式l=α⋅r可判断A的正误；
由正弦线余弦线的定义即可判断B的正误；
当y1=sinx0时，可知∠AOB=x0+2kπ可判断C的正误；
当∠AOB=x0+2kπ时y1=sinx0成立，故ACB=x0也一定满足，此时可判断D的正误．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
12.【答案】BC
【解析】解：f(x)= 3sinxcsx−cs2x+12
= 32sin2x−12cs2x=sin(2x−π6)，
对A选项，当x1=π2，x2=π6时，满足f(x1)=f(x2)=12，
此时x1−x2=π3，∴A选项错误；
对B选项，∵f(x+π3)=sin[2(x+π3)−π6]=cs2x为偶函数，∴B选项正确；
对C选项，∵x∈[π3,π2]，∴2x−π6∈[π2,5π6]，
∴易得函数f(x)在[π3,π2]上为减函数，∴C选项正确；
对D选项，∵x∈(0,10π)，∴t=2x−π6∈(−π6,119π6)，
又y=sint在(−π6,119π6)上有20个零点，
∴f(x)在区间(0,10π)上有20个零点，∴D选项错误．
故选：BC.
先根据三角函数的倍角公式及辅助角公式化简f(x)的解析式，再根据三角函数的性质，对各个选项分析，即可求解．
本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的性质，化归转化思想，属中档题．
13.【答案】2
【解析】解：( 2−1)0+lne=1+1=2.
故答案为：2.
根据指数和对数的运算公式进行求解．
本题主要考查了指数幂及对数的运算，属于基础题．
14.【答案】ln2
【解析】解：由题意，在f(x)=f(x+2),x≤1lnx,x>1中，
f(−2)=f(−2+2)=f(0)=f(0+2)=f(2)=ln2.
故答案为：ln2.
根据函数表达式代入即可得出答案．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
15.【答案】− 32
【解析】解：因为x∈[0,π2]，所以2x−π6∈[−π6,5π6]，
所以由余弦函数图象和性质可知cs(2x−π6)∈[− 32,1]，
所以f(x)的最小值为− 32.
故答案为：− 32.
由x∈[0,π2]得到2x−π6∈[−π6,5π6]，再根据余弦函数图象和性质得到答案．
本题考查余弦函数的性质的应用，属于基础题．
16.【答案】(4,2)
【解析】解：由题意的1∈(−2,t)，则t>1，且t∈N*，
由题意可知h(1)=h(t)−h(−2)t−(−2)=(kt2+t−4)−(4k−6)t+2=kt2−4k+t+2t+2，
即k−3=k(t2−4)+t+2t+2=k(t−2)+1，所以k=43−t，
因为k∈N*，所以43−t≥1，则−1≤t<3，
又因为t>1，且t∈N*，则t=2，
则当t=2时，k=4成立，
所以(4,2)是满足条件的实数对．
故答案为：(4,2).
根据条件表示出h(1)=kt2−4k+t+2t+2，化简整理可得k=43−t，结合k的范围可求出t的范围．
本题主要考查了函数的新定义问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由函数的零点可得f(x)=0的两个根为1、2，则有1+a+b=08+2a+b=0，
解得a=−7b=6.
(2)由(1)知a=−7，b=6，代入不等式ax2−bx+1>0，
得−7x2−6x+1>0⇒7x2+6x−1<0⇒(7x−1)(x+1)<0，
解得−1故不等式ax2−bx+1>0的解集为(−1,17).
【解析】本题考查了函数的零点问题，一元二次不等式的解法，属于中档题．
(1)根据题意，由函数的零点可得f(x)=0的两个根为1、2，则有1+a+b=08+2a+b=0，解可得a、b的值；
(2)由(1)的结论，代入a，b值，解一元二次不等式即可．
18.【答案】解：(1)∵角α以原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点P(−6,8)，
∴r=|OP|= (−6)2+82=10.
由三角函数定义可得：sinα=45，csα=−35.
∴cs(π−α)−cs(π2+α)=−csα+sinα=35+45=75.
(2)tanα=yx=−43，
∴2sinαcsα+3sin2α5sin2α−2cs2α=2tanα+3tan2α5tan2α−2=1231.
【解析】(1)由已知利用任意角的三角函数的定义求得sinα，csα的值，再由诱导公式求cs(π−α)−cs(π2+α)的值；
(2)利用任意角的三角函数的定义求得tanα，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
本题考查任意角的三角函数的定义，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
19.【答案】解：(1)已知函数f(x)=lgax(a>0且a≠1)在区间[14,16]上的最大值是2.
01时，f(x)在区间[14,16]上单调递增，
则有01f(16)=lga16=2，解得a=12或a=4.
(2)函数g(x)=lg2(x2−ax+14)的定义域为R，则x2−ax+14>0恒成立，
有Δ=a2−1<0，由(1)可知a=12，
lga(2m+1)>−m−2，即lg12(2m+1)>−m−2，得2m+1<(12)−m−2=2m+2，
解得m>−lg23，即不等式的解集为(−lg23,+∞).
【解析】(1)分类讨论，利用函数单调性和最值，求a的值；
(2)由g(x)=lg2(x2−ax+14)的定义域为R，求a的值，利用单调性解对数不等式．
本题主要考查函数的最值及其几何意义，属于中档题．
20.【答案】解：(1)当t∈(0,14]时，
设p=f(t)=m(t−12)2+82(m<0)，
将(14,81)代入f(t)，得81=m(14−12)2+82，解得m=−14，
所以当t∈(0,14]时，p=f(t)=−14(t−12)2+82，
当t∈(14,40]时，将(14,81)代入y=lga(t−5)+83，得81=lga(14−5)+83，解得a=13，
所以当t∈(14,40]时，y=lg13(t−5)+83，
综上所述，p=f(t)=−14(t−12)2+82,t∈(0,14]lg13(t−5)+83,t∈(14,40].
(2)当t∈(0,14]时，令−14(t−12)2+82<80，得0当t∈(14,40]时，令lg13(t−5)+83<80，得32所以在(0,12−2 2)和(32,40]这两个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节．
【解析】(1)根据图象，分别将点代入对应的函数，即可求解．
(2)当t∈(0,14]时，令−14(t−12)2+82<80，解出t，当t∈(14,40]时，令lg13(t−5)+83<80，解出t，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，考查计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)设f(x)的最小正周期为T.
由题图得A=2，T=2×(52−12)=4，
因为ω>0，
所以2πω=4，解得ω=π2，
所以f(x)=2cs(π2x+φ)，
将(12+522,−2)，即(32,−2)代入解析式得：f(32)=2cs(3π4+φ)=−2，
结合图象可3π4+φ=π+2kπ，k∈Z，可得φ=π4+2kπ，k∈Z，
又0<φ<π，
∴φ=π4，
∴f(x)=2cs(π2x+π4)；
(2)将f(x)的图象向右平移14单位长度得到y=2cs[π2(x−14)+π4]=2cs(π2x+π8)的图象，
再将y=2cs(π2x+π8)图象上的所有点的横坐标伸长为原来的π倍(纵坐标不变)，
得到函数g(x)=2cs(12x+π8)的图象，
∵方程g(x)=a在上有两个不等实根，y=a与y=g(x)的图象在上有两个不同的交点，
∵x∈[π4,9π4]，可得12x+π8∈[π4,5π4]，函数g(x)在[π4,7π4]上单调递减，在[7π4,9π4]上单调递增，
且g(5π4)=g(9π4)=− 22，g(7π4)=−1，
∴−2【解析】(1)根据图象得到函数中A的值以及最小正周期，利用周期公式可求ω的值，再代入特殊点的坐标求出φ的值，即可得到f(x)的解析式；
(2)得到平移后的解析式g(x)=2cs(12x+π8)，转化为y=a与y=g(x)的图象在上有两个不同的交点，结合函数g(x)的单调性，且g(5π4)=g(9π4)=− 22，g(7π4)=−1，得到a的取值范围．
本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换以及三角函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
22.【答案】解：(1)f(x)=ex−e−x2，定义域为R，
又f(−x)=e−x−ex2=−ex−e−x2=−f(x)，故函数f(x)是奇函数；
又函数y1=ex,y2=−e−x均为增函数，则f(x)=ex−e−x2为增函数，
则不等式f(sinx)+f( 3csx−1)>0⇔f(sinx)>−f( 3csx−1)⇔f(sinx)>f(1− 3csx)⇔sinx>1− 3csx⇔sinx+ 3csx>1，
即得sin(x+π3)>12，
故π6+2kπ即−π6+2kπ故不等式的解集为(−π6+2kπ,π2+2kπ),k∈Z；
(2)因为[g(x)]2−[f(x)]2=(ex+e−x2)2−(e−x−ex2)2=2ex×2e−x4=1，
所以[f(x)]2=[g(x)]2−1，
不等式[f(x)]2+a⋅g(x)−2>0⇔[g(x)]2+a⋅g(x)−3>0，
又g(x)=ex+e−x2≥2 ex×e−x2=1，当且仅当x=0时取等号，
即a>−g(x)+3g(x)对∀x∈R恒成立，
令g(x)=t,h(t)=−t+3t(t≥1)，
易知h(t)在[1,+∞)上单调递减，
所以h(t)≤h(1)=2，
即−g(x)+1g(x)的最大值为2.
所以实数a的取值范围为(2,+∞).
【解析】(1)利用函数的奇偶性和单调性化简抽象不等式得出正弦型函数，再根据其图象求得解集；
(2)利用[g(x)]2−[f(x)]2=1巧妙替换，将题设不等式转化成g(x)的不等式，最后运用参数分离法求得参数的取值范围．
本题主要考查抽象不等式的求解和不等式恒成立问题，解决关键在于通过相关函数的奇偶性和单调性将其转化为具体不等式的求解，属于中档题．