2023-2024学年河南省信阳市高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年河南省信阳市高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若集合A={x|x2≤9}，B={x|y=lg2x}，则A∩B等于( )
A. [−3,3]B. [0,3]C. (0,3]D. [3,+∞)
2.若sinαtanα>0，且csαtanα<0，则角α是( )
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
3.函数f(x)=lgx+x−2的零点所在区间为( )
A. (3,4)B. (2,3)C. (1,2)D. (0,1)
4.函数f(x)=xex+e−x的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知a=0.40.3，b=0.30.3，c=0.30.4，则( )
A. a>c>bB. a>b>cC. c>a>bD. b>c>a
6.已知x<0，y<0，且2x+y=−2，则4x+2y的最小值为( )
A. 1B. 2C. 2D. 2 2
7.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是参考数据：lg1.09≈0.037，lg2≈0.3010，lg3≈0.4771( )
A. 2024年B. 2023年C. 2026年D. 2025年
8.已知g(x)=lg2(a+2−x)，若对于任意1−2，则实数a的取值范围是( )
A. (0,+∞)B. [−18,+∞)C. [−114,+∞)D. [−112,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)=−e−x与g(x)=ex的图象关于原点对称
B. 函数f(x)=ax−1(a>0,且a≠1)恒过定点(0,1)
C. 已知命题p：∃x>0，x2−x+1<0，则p的否定为：∀x>0，x2−x+1≥0
D. x>0是x>3的充分不必要条件
10.下列化简正确的是( )
A. sin(2024π−α)=−sinαB. tan(α−2025π)=tanα
C. sin(11π2+α)=−csαD. cs(7π2−α)=sinα
11.已知函数f(x)=(a−2)x+1,x≤0xa,x>0，则以下说法正确的是( )
A. 若a=−1，则f(x)是(0,+∞)上的减函数
B. 若a=0，则f(x)有最小值
C. 若a=12，则f(x)的值域为(0,+∞)
D. 若a=3，则存在x0∈(1,+∞)，使得f(x0)=f(2−x0)
12.已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(−∞,0]上单调递减，则( )
A. f(f(x))是偶函数B. f(g(x))是奇函数
C. g(g(x))在[0,+∞)上单调递增D. g(f(x))在[0,+∞)上单调递增
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若扇形的半径为2，面积为43π，则扇形的周长为______.
14.函数f(x)=2|x−1|在(−∞,a]上单调递减，则a的范围为______.
15.已知y=f(x)是偶函数，当x<0时，f(x)=x2+ax，且f(3)=3，则a=______.
16.已知f(x)=ex−1x的零点为x0，若ex0+x0lnx0>2m，则整数m的最大值是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算、求值：
(1)lg52+2lg2+3lg32−lg0.01+lne3+2723；
(2)sin(−11π6)+cs25π3+tan(−19π4).
18.(本小题12分)
已知幂函数f(x)=(6m2−m)xm在(0,+∞)上是增函数；
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(8−2a)19.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2x4lg2x2.
(1)当x∈[2,8]时，求该函数的值域；
(2)若不等式f(x)≥mlg2x在x∈[4,16]上有解，求m的取值范围.
20.(本小题12分)
已知产品利润等于销售收入减去生产成本．若某商品的生产成本C(单位：万元)与生产量x(单位：千件)间的函数关系是C=3+x；销售收入S(单位：万元)与生产量x间的函数关系是S=3x+18x−8+5,0(Ⅰ)把商品的利润表示为生产量x的函数；
(Ⅱ)当该商品生产量x(千件)定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？
21.(本小题12分)
设sinθ，csθ是关于x的方程x2−ax+a=0(其中a∈R)的两个实数根.
(1)求a的值；
(2)求cs3(π2−θ)+sin3(π2−θ)的值；
(3)求tan(π−θ)−1tanθ的值.
22.(本小题12分)
已知定义域为R的函数f(x)=b−2x2x+1+a是奇函数.
(1)求实数a，b的值；
(2)若f(k⋅3x)+f(3x−9x+2)>0对任意x≥1恒成立，求k的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为A={x|x2≤9}={x|−3≤x≤3}，B={x|y=lg2x}={x|x>0}，
则A∩B=(0,3].
故选：C.
由已知先求出集合A，B，然后结合集合的交集运算即可求解．
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：csαtanα<0，
则sinα<0，
sinαtanα>0，
则tanα<0，
故角α是第四象限．
故选：D.
根据已知条件，结合正弦、余弦、正切函数位于所在象限确定的符号，即可求解．
本题主要考查三角函数值的符号，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：函数f(1)=lg1+1−2=−1<0，f(2)=lg2+2−2=lg2>0.
又f(x)为单调增函数，所以f(x)有唯一零点，且在区间(1,2)内．
故选：C.
根据零点存在性定理和单调性即可求解．
本题主要考查函数零点存在性定理和单调性的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意，函数f(x)=xex+e−x，
由于∀x∈R，都有ex+e−x>0，则在区间(0,+∞)上，f(x)>0，
在区间(−∞,0)上，f(x)<0，排除B、C，
当x→+∞时，f(x)→0，排除D.
故选：A.
根据题意，分析函数值的符号，排除B和C，分析函数的变化趋势，排除D，综合可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数值符号以及函数变化趋势的分析，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解析：0.30.3>0.30.4，即b>c>0，而ab=(0.40.3)0.3=(43)0.3>1，即a>b，
∴a>b>c，
故选：B.
由题意利用指数函数的单调性和特殊点，得出结论．
本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：因为x<0，y<0，2x+y=−2，所以4x+2y=22x+2y≥2 22x×2y=2 22x+y=1，
当且仅当22x=2y，即2x=y=−1时，等号成立．
故选：A.
利用基本不等式，结合已知条件，即可得出答案．
本题考查基本不等式的性质的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：依题意知，第n(n∈N*)时投入资金为120×(1+9%)n亿元，
根据题意列不等式为120×(1+9%)n>200，得1.09n>53，
两边同取常用对数，得n>lg5−lg3lg1.09=1−lg2−lg3lg1.09=1−0.3010−≈5.9973，所以n≥6，
所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元．
故选：C.
根据指数函数模型列不等式求解即可．
本题考查了指数函数模型的应用问题，是基础题．
8.【答案】B
【解析】解：∵g(x1)−g(x2)x1−x2>−2⇔[g(x1)+2x1]−[g(x2)+2x2]x1−x2>0对任意1令f(x)=g(x)+2x=lg2(a+2−x)+lg222x=lg2(a⋅22x+2x)，
则f(x1)−f(x2)x1−x2>0对任意1∴f(x)=lg2(a⋅22x+2x)在(1,2)上单调递增，
则函数u=a⋅22x+2x在(1,2)上单调递增，且a⋅22x+2x>0对∀x∈(1,2)成立，
令t=2x，因此h(t)=at2+t在(2,4)上单调递增，且at2+t>0对∀t∈(2,4)成立，
当a≥0时，h(t)=at2+t在(2,4)上单调递增，且at2+t>0对∀t∈(2,4)成立，
当a<0时，由h(t)=at2+t在(2,4)上单调递增，得−12a≥4，解得−18≤a<0，
由∀t∈(2,4)，at2+t>0，得4a+2≥0，解得a≥−12，因此−18≤a<0，
所以实数a的取值范围是[−18,+∞).
故选：B.
对给定不等式作等价变形，构造函数并确定其单调性，再借助函数单调性并结合复合函数单调性求解即得．
本题考查了复合函数的单调性，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A：设f(x)=−e−x上任意一点P(x0,y0)，其关于原点的对称点为Q(x,y)，
所以x0=−xy0=−y，所以−y=−e−(−x)，所以y=ex，即Q为y=ex图象上任意一点，故A正确．
对于B：令x−1=0，所以x=1，此时f(1)=a0=1，所以f(x)过定点(1,1)，故B错误．
对于C：修改量词否定结论可得¬p：∀x>0，x2−x+1≥0，故C正确．
对于D：x>0不一定能推出x>3，但x>3一定能推出x>0，所以x>0是x>3的必要不充分条件，故D错误．
故选：AC.
对于A：根据图象上任意一点的对称点所满足的关系式判断；B：令x−1=0，由此确定出所过定点坐标；C：通过修改量词否定结论可得结果；D：根据x>0与x>3的互相推出情况进行判断．
本题主要考查命题的真假判断，简易逻辑，函数的性质，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于A，sin(2024π−α)=−sinα，故正确；
对于B，tan(α−2025π)=tan(α−π)=tanα，故正确；
对于C，sin(11π2+α)=−csα，故正确；
对于D，cs(7π2−α)=−sinα，故错误．
故选：ABC.
利用诱导公式逐项求解即可．
本题主要考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：若a=−1，则f(x)=−3x+1,x≤0x−1,x>0，f(x)在(0,+∞)上单调递减，故A正确；
若a=0，则f(x)=−2x+1,x≤01,x>0，
当x≤0时，f(x)=−2x+1，f(x)在区间(−∞,0]上单调递减，f(x)≥f(0)=1，
由x>0时，f(x)=1，则f(x)有最小值1，故B正确；
若a=12，则f(x)=−32x+1,x≤0x12,x>0，
当x≤0时，f(x)=−32x+1，f(x)在区间(−∞,0]上单调递减，f(x)≥f(0)=1；
当x>0时，f(x)=x12，f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，f(x)>f(0)=0，
则f(x)的值域为(0,+∞)，故C正确；
若a=3，则f(x)=x+1,x≤0x3,x>0，当x0∈(1,+∞)时，f(x0)=x03>1；
由x0∈(1,+∞)，可得2−x0∈(−∞,1).
则当2−x0∈(0,1)时，有f(2−x0)=(2−x0)3∈(0,1)；
当2−x0∈(−∞,0]时，有f(2−x0)=3−x0∈(−∞,1],
即当2−x0∈(−∞,0]时，f(2−x0)∈(−∞,1],而当x0∈(1,+∞)时，f(x0)∈(1,+∞).
∴不存在x0∈(1,+∞)，使得f(x0)=f(2−x0)，故D错误．
故选：ABC.
分别把四个选项中的a值代入分段函数解析式，由分段函数的单调性判断A；求解函数的值域判断B与C；由x0的范围，求出2−x0的范围，代入分段函数解析式验证判断D.
本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性与函数的最值，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】AC
【解析】解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(f(−x))=f(f(x))，f(g(−x))=f(−g(x))=f(g(x))，
所以f(f(x))和f(g(x))均为偶函数，A正确，B错误；
又因为f(x)，g(x)在(−∞,0]上单调递减，
所以f(x)在[0,+∞)上单调递增，g(x)在R上单调递减，
所以，由复合函数的单调性可知，在[0,+∞)上g(g(x))单调递增，g(f(x))单调递减，故C正确，D错误．
故选：AC.
根据奇偶性定义可判断AB；根据复合函数单调性可判断CD.
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断，属于基础题．
13.【答案】4π3+4
【解析】解：由题意设扇形圆心角所对弧长、半径以及面积分别为l，r，S，
由题意得，S=43π=12lr=12×2×l，
解得l=43π，
所以扇形的周长为C=l+2r=43π+2×2=43π+4.
故答案为：4π3+4.
由扇形的面积公式求出弧长，代入扇形周长公式即可求解．
本题考查了扇形的弧长与面积计算问题，是基础题．
14.【答案】{a|a≤1}
【解析】解：因为f(x)=2|x−1|=2x−1,x>1(12)x−1,x≤1，
所以根据函数图像的平移变换和指数函数的性质可得f(x)在(1,+∞)单调递增，在(−∞,1]单调递减．
因为函数f(x)=2|x−1|在(−∞,a]上单调递减，
所以a≤1.
故答案为：{a|a≤1}.
函数f(x)=2|x−1|是由指数函数y=2x变换得到的，根据函数图像变换知识和指数函数单调性可得f(x)=2|x−1|的单调性，从而解出答案．
本题主要考查了函数单调性的应用，属于基础题．
15.【答案】2
【解析】解：根据题意，当x<0时，f(x)=x2+ax，
则f(−3)=(−3)2−3a=9−3a，
因为y=f(x)是偶函数，
所以f(−3)=(−3)2−3a=9−3a=f(3)=3，解得a=2.
故答案为：2.
根据题意，先求出f(−3)的值，结合偶函数的性质分析可得答案．
本题考查偶函数的性质，涉及函数值的计算，属于基础题．
16.【答案】0
【解析】解：函数f(x)=ex−1x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
当x<0时，f(x)>0恒成立，不存在零点；
当x>0时，f(x)单调递增，且f(12)= e−2<0，f(1)=e−1>0，
所以f(x)=ex−1x的零点x0∈(12,1)，f(x0)=ex0−1x0=0，
即ex0=1x0，两边同时取对数，即x0=−lnx0，即lnx0=−x0，
所以ex0+x0lnx0=1x0+x0⋅(−x0)=1x0−x02，所以m<12(1x0−x02)，
记h(x)=12(1x−x2),12显然h(x)单调递减，所以h(1)所以0故答案为：0.
根据题意，可得f(x)=ex−1x的零点x0∈(12,1)，记h(x)=12(1x−x2)，通过判断h(x)的范围，求出m的取值范围即可．
本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了转化思想，属中档题．
17.【答案】解：(1)原式=lg52+lg4+2+2+3+9=lg10+2+2+12=17；
(2)原式=sinπ6+csπ3+tan(−34π)=12+12−tan34π=2.
【解析】(1)利用指对幂的运算法则求解即可．
(2)运用诱导公式直接化简求值即可．
本题主要考查了对数的运算性质的应用，还考查了诱导公式的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为f(x)=(6m2−m)xm是幂函数，
所以6m2−m=1，解得m=12或m=−13，
又f(x)在(0,+∞)上是增函数，故m>0，
∴m=12，则f(x)=x12.
(2)由(1)知f(x)=x12在(0,+∞)上是增函数，
又f(8−2a)∴8−2a∴a的取值范围是{a|2【解析】(1)利用幂函数的定义与性质即可得解；
(2)利用f(x)的单调性与定义域即可得解．
本题主要考查幂函数的性质，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为f(x)=lg2x4lg2x2=(lg2x−2)(lg2x−1)，
由对数函数单调性可知，当x∈[2,8]时，lg2x∈[1,3]，
令lg2x=t，t∈[1,3]，即可得g(t)=(t−2)(t−1)=t2−3t+2，t∈[1,3]，
可知g(t)=t2−3t+2的开口向上，对称轴为t=32，
由二次函数性质可知当t=32时，g(t)min=−14，当t=3时，g(t)max=2，
所以可得当x∈[2,8]时，函数f(x)的值域为[−14,2].
(2)当x∈[4,16]时，可得lg2x∈[2,4]，令lg2x=t，t∈[2,4]，
可得(t−2)(t−1)=t2−3t+2≥mt，即t2−3t+2≥mt在t∈[2,4]上有解，
整理可得t+2t−3≥m在t∈[2,4]上有解，
因为函数h(t)=t+2t−3在t∈[2,4]上单调递增，当t=4时，h(t)max=32，
所以m的取值范围是(−∞,32].
【解析】(1)换元令lg2x=t，结合二次函数的性质求值域；
(2)换元令lg2x=t，整理可得t+2t−3≥m在t∈[2,4]上有解，根据存在性问题分析求解．
本题主要考查了对数函数性质在函数值域求解中的应用，还考查了存在性问题与最值关系的转化，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)设商品的利润为y万元，
由题意可得，y=S−C=2x+18x−8+2,0(Ⅱ)当0当且仅当8−x=98−x，即x=5时取等号，
所以当0当x≥6时，y=11−x≤5，
综上所述，当x=5时，y取得最大值6，
所以当该商品生产量x(千件)定为5千件时获得的利润最大，最大利润为6万元．
【解析】(Ⅰ)设商品的利润为y万元，由产品利润等于销售收入减去生产成本，列式求解即可；
(Ⅱ)分0本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)sinθ，csθ是关于x的方程x2−ax+a=0(其中a∈R)的两个实数根，
所以sinθ+csθ=asinθcsθ=a，Δ=a2−4a=a(a−4)≥0，a≤0或a≥4，
由sinθ+csθ=a两边平方得1+2sinθcsθ=1+2a=a2，
a2−2a−1=0，解得a=1+ 2(舍)或a=1− 2.
所以a=1− 2.
(2)cs3(π2−θ)+sin3(π2−θ)=sin3θ+cs3θ
=(sinθ+csθ)(sin2θ−sinθcsθ+cs2θ)
=a(1−a)=(1− 2)× 2= 2−2.
(3)tan(π−θ)−1tanθ=−tanθ−1tanθ
=−(sinθcsθ+csθsinθ)=−sin2θ+cs2θsinθcsθ
=−1a=−11− 2=1 2−1= 2+1.
【解析】(1)根据根与系数关系以及同角三角函数的基本关系式求得a.
(2)利用诱导公式以及(1)的结论来求得正确答案．
(3)利用同角三角函数的基本关系式以及(1)的结论来求得正确答案．
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系的运用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)f(x)在R上为奇函数，故f(0)=0，
即b−12+a=0，解得b=1，可得f(x)=1−2x2x+1+a.
由f(−1)=−f(1)，得1−121+a=−1−24+a，解得a=2.
综上所述，a=2，b=1.
(2)f(x)=1−2x2x+1+2=−(2x+1)+22(2x+1)=−12+12x+1；
根据y=2x+1在R上是增函数且2x+1>1，可得f(x)在R上单调递减．
因为f(x)为奇函数，
所以不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x+2)>0可化为f(k⋅3x)>f(9x−3x−2).
根据f(x)在R上单调递减，可得k⋅3x<9x−3x−2对于任意x≥1恒成立；
即(3x)2−(k+1)3x−2>0对任意x≥1恒成立．
设3x=t，不等式化为t2−(k+1)t−2>0对于任意t≥3恒成立．
设g(t)=t2−(k+1)t−2，Δ=(k+1)2+8>0，
所以实数k满足：k+12<3g(3)=4−3k>0，解得k<43，即k的取值范围为(−∞,43).
【解析】(1)根据题意得f(0)=0，f(−1)=−f(1)，从而列式解出实数a、b的值；
(2)由函数单调性，可知f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，从而将问题转化为(3x)2−(k+1)3x−2>0对任意x≥1恒成立，然后根据二次不等式恒成立，算出k的取值范围．
本题主要考查二次函数与指数函数的性质、函数的单调性与奇偶性及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．